2021届四川省泸州市高三上学期一诊考试数学(文)试卷参考答案
2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷(文科)(解析版)
2021年四川省泸州市泸县五中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣2）}，B＝{x|x2≥9}，则A∩（∁R B）＝（）A．[2，3）B．（2，3）C．（3，+∞）D．（2，+∞）2．已知命题p：∀x≥0，e x≥1或sin x≤1，则￢p为（）A．∃x＜0，e x＜1且sin x＞1B．∃x＜0，e x≥1或sin x≤1C．∃x≥0，e x＜1或sin x＞1D．∃x≥0，e x＜1且sin x＞13．已知α是第二象限角，，则cos（π+α）＝（）A．B．C．D．4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S ＝．若a2sin C＝24sin A，a（sin C﹣sin B）（c+b）＝（27﹣a2）sin A，则用“三斜求积公式”求得的S＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（4，y），且sinθ＝﹣，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数8．某品牌牛奶的保质期y（单位：天）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝a kx+b（a ＞0，a≠1），该品牌牛奶在0℃的保质期为270天，在8℃的保质期为180天，则该品牌牛奶在24℃的保质期是（）A．60天B．70天C．80天D．90天9．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝b b，则x、y、z的大小关系为（）A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π11．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f（x），则函数f（x）的图象与函数y＝2sinπx（﹣4≤x≤6）图象所有交点的横坐标之和等于（）A．12B．4C．6D．812．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届四川省泸州市高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题Word版含解析
2021届四川省泸州市高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2}B xx =≤‖，则A B =（ ）A ．{3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】B【解析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 解：{0,1,2,3},{|22}A B x x ==-≤≤，{0,1,2}A B ∴⋂=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题．2．下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（ ）A ．()f x =B ．()2xf x -=C ．()ln f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”，可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项即可判断． 【详解】解：“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项可知，()f x =(0,)+∞单调递增，不符合题意，1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，符合题意， ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3．“sin 0α=”是“sin 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由sin 0α=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.【详解】 解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 4．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选：D5．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行 C ．相交 D ．不确定 【答案】B【解析】如图所示，直线a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，求证a ∥b ．只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解：由a ∥α得，经过a 的平面与α相交于直线c ，则a ∥c ，同理，设经过a 的平面与β相交于直线d ， 则a ∥d ，由平行公理得：c ∥d ，则c ∥β，又c ⊂α，α∩β=b ，所以c ∥b ， 又a ∥c ，所以a ∥b ． 故答案为B ．6．函数()()1ln f x x x =-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数定义域以及函数值正负识别函数图象，并进行选择. 【详解】当1x >时()()()1ln 1ln 0f x x x x x =-=->，所以舍去B,C; 当0x =时()()1ln f x x x =-无意义，所以舍去D; 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，考查基本分析判断能力，属基础题.7．已知:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<，0:q x ∃∈N ，200210x x --=，则下列选项中是假命题的为（ ）A ．p q ∨B ．()p q ∧-C ．p q ∧D ．()p q ∨-【答案】C【解析】命题p ：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q ：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可． 【详解】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ， 过P 作PM x ⊥轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin MP α=，弧长PA 即为角α；显然MP <弧长PA ； ∴:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<是真命题； 命题q ：解方程200210x x --=，则12x = 因此0:q x ∃∈N ，200210x x --=，是假命题．则下列选项中是假命题的为p q ∧．而A ，B ，D 都是真命题． 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．3B ．12-C ．12D ．32【解析】利用平移后的图像关于y 轴对称求出ϕ，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值. 【详解】平移得到的图像对应的解析式为()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为()g x 为偶函数，所以()0sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，其中k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当2x π=时，()min 12f x =-，故选B. 【点睛】本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题.9．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，+中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，x =确定x 的值，的值为（ ）A ．3B ．12C ．6D ．【答案】A【解析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 【详解】(0)m m =>，则两边平方得，则23m +=， 即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去．【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．10．若将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，则x min 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nxf x ae =（其中e 是自然对数的底数）.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min 后，甲桶中的水只有L 4a ，则m 的值为（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3【答案】C【解析】由题意，函数()nxy f x ae ==满足1(5)2f a =，解出11ln 52n =．再根据1()4f k a =，建立关于k 的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k 的值，由5m k =-即可得到． 【详解】解：∵5min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数()nty f t ae ==，满足51(5)2nf aea ==可得11ln 52n =， 因此，当k min 后甲桶中的水只有4a升， 即1()4f k a =， 即111ln k ln 524⋅=， 即为111ln 2ln 522k ⋅=，解之得10k =，经过了55k -=分钟，即5m =． 故选：C ． 【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．11．在四棱锥P ABCD -中，PA ABC ⊥平面，且ABC ∆为等边三角形，3AB =，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．16πC ．8πD ．32π【答案】B【解析】先确定三棱锥P ABC -的外接球球心位置，再列方程求解球半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】由题意得三棱锥P ABC -的外接球球心在过ABC ∆中心1O 且垂直平面ABC 的直线上，设为点O ，球半径设为R ,则111,31322PAOO AO R ====+=,从而外接球的表面积为2416R ππ=, 故选：B 【点睛】本题考查锥体外接球及其表面积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.12．已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()71,2log 3 B ．()52,2log 3-- C ．()52log 3,1--D ．71log 3,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】把函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，转化为3log ()k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象，转化为关于k 的不等式组求解．【详解】解：由函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3xg x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()()131xh x g x =-=-， 函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，即3log ()k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：要使函数3log y k x =与()y h x =-的图象有3个交点，则k 0<，且33log 32log 52k k >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-． ∴实数k 的取值范围是()52,2log 3--． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．二、填空题13．函数()2log f x x =-的定义域为_________． 【答案】(]0,1【解析】根据偶次根式被开方数非负列不等式，解对数不等式得结果. 【详解】由题意得22log 0log 001x x x -≥∴≤∴<≤ 故答案为：(]0,1 【点睛】本题考查函数定义域以及对数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(18)f 的值为________.【答案】9【解析】推导出(18)(353)(3)f f f =⨯+=，由此能求出结果．【详解】解：∵函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，∴2(18)(353)(3)39f f f =⨯+===． 故答案为：9． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．函数()cos22sin x x f x =+的最小值为______. 【答案】3-【解析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值. 【详解】()2cos22sin 12sin 2sin x x x f x x =+=-+所以令sin t x =，则()22132212(),[1,1]22y t t t t f x ==-++=--+∈- 因此当1t =-时，()f x 取最小值3-， 故答案为：3- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16．已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________.（写出所有正确结论的编号） ①每个面都是直角三角形的四面体； ②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体. 【答案】①②④【解析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可． 【详解】 解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E −ABC ，所以①正确； ②每个面都是等边三角形的四面体；如E −BGD ，所以②正确； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A −BDE ，所以④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．三、解答题 17．已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为实数）. （1）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间； （2）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）(1,3)- （2）[1,)+∞【解析】（1）对()f x 求导，代入1x =-使导函数为零，求出a 的值，进而利用导数可求出()f x 的减区间.（2）()f x 在(2,)-+∞上是增函数转化为'()f x 在(2,)-+∞上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）因为321()3f x x x ax =-+，所以2()2f x x x a '=-+， 因1x =-是()f x 的极值点，所以(1)0f '-=，即120a ++=，所以3a =-， 故2()23f x x x '=--，当1x <-或3x >时，()0f x '>，当13x时，()0f x '<，所以3a =-符合题意， 且()f x 的减区间为(1,3)-；（2）因为()f x 在(2,)-+∞上为增函数，所以2()20f x x x a '=-+≥在(2,)-+∞上恒成立， 所以22a x x ≥-+在(2,)-+∞上恒成立，因为2()2g x x x =-+在(2,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数， 所以()(1)1g x g ≤=，所以1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞， 【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos sin c a B B =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）已知c =，BC 边上的高1AD =，求b 的值.【答案】（Ⅰ）34A π=（Ⅱ）b =【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据两角和正弦公式化简求结果，（Ⅱ）先根据三角形面积公式得到a =，再利用余弦定理求b 的值. 【详解】解：（Ⅰ）由()cos sin c a B B =-， 及正弦定理得()sin sin cos sin C A B B =-， 即()sin sin cos sin sin A B A B A B π-+=-⎡⎤⎣⎦， 所以sin cos cos sin sin cos sin sin A B A B A B A B +=-， 即cos sin sin sin 0A B A B +=，由于B 为ABC ∆的内角，所以sin 0B ≠， 所以tan 1A =-， 又()0,A π∈，所以34A π=； （Ⅱ）因为11sin 22S bc A AD a ==⋅，代入c =1AD =，sin A =a =，由余弦定理得22222cos 10a b c bc A b =+-=++，代入a =，得24100b --=，解得b =b =，所以b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =+-()x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，且()15g a =，3,22a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2g a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（Ⅰ）最小值是x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）先根据二倍角正余弦公式以及辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求最值， （Ⅱ）先根据三角函数图象变换得()g x 解析式，再根据两角差正弦公式求结果. 【详解】解：（Ⅰ）()22cos sin 2cos 1f x x x x =+-，sin 2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2242x k πππ+=-+，即38x k ππ=-()k Z ∈时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值是1-，所以函数()f x 的最小值是， 此时x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭； （Ⅱ）()f x 的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x ，所以()g x 的最小正周期为4π，故()124g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()11245g a a π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1sin 2410a π⎛⎫+=⎪⎝⎭. 又3,22a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1,242a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2410a π⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 1122244g a a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11sin cos cos sin 244244a a ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦102102⎛=--⨯ ⎥⎝⎭⎣⎦5=. 【点睛】本题考查两角差正弦公式、二倍角正余弦公式、辅助角公式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.20．如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，点C 是圆锥底面的圆周上，2AB BD ==，6BDC π∠=，AE ED =，F 是AC 上一点，且平面BFE ⊥平面ABD .（Ⅰ）求证AD BF ⊥； （Ⅱ）求多面体BCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）310【解析】（Ⅰ）先根据等腰三角形性质得AD BE ⊥，再根据面面垂直性质定理得AD BEF ⊥平面，即可证得结果，（Ⅱ）先求A BEF V -，根据等体积法或求高可得A BEF V -，再根据A BEF V -与多面体BCDEF 的体积关系得结果. 【详解】解：（Ⅰ）因为ABD ∆是等边三角形，AE ED =， 所以AD BE ⊥，因为平面BFE ABD ⊥平面，且交线为BE ， 所以AD BEF ⊥平面， 因为BF BEF ⊂平面，所以AD BF ⊥；（Ⅱ）解法一：因为30BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，2BD =，所以3CD =4435cos 2228CAD +-∠==⨯⨯，在Rt AEF ∆中，5cos 8AE CAD AF ∠==，又1AE =， 所以85AF =，25CF =，所以点F 到平面ABE 的距离为点C 到平面ABE 的距离的45， 所以三棱锥F ABE -的体积142255F ABE C ABD A BCD V V V ---=⨯=， 所以多面体BCDEF 的体积为35BCDEFA BCD V V -=3153BCD S AO ∆=⨯⋅135210=⨯=.解法二：5EF =，BE =在ABC ∆中，7cos 8BAC ∠=，BF =，在BEF ∆中，cos BFE ∠=，所以sin BFE ∠=从而1325BEF S ∆==， 由（Ⅰ）可知AD BEF ⊥平面，所以113113355A BEF BEF V S -∆=⨯⨯=⨯=， 又因为1132A BCD BCD V S AO -∆=⨯⨯=，所以多面体BCDEF 的体积为1132510BCDEF A BCD A BEF V V V --=-=-=. 【点睛】本题考查面面垂直性质定理、线面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()ln f x x =，()1g x a x=+（其中a 是常数）. （Ⅰ）求过点()0,1P -与曲线()f x 相切的直线方程； （Ⅱ）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当1x a >时不等式()1f x g x kx a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）1y x =-（Ⅱ）存在实数2k e =，a 【解析】（Ⅰ）先求导数，根据导数几何意义用切点坐标表示切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过点求切点坐标，即得结果,（Ⅱ）先化简不等式，构造函数()21ln k k m x x x x a a a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，利用导数研究新函数单调性，确定最小值取法，再根据最小值不大于零，结合解得唯一性确定k ，a 的值. 【详解】解：（Ⅰ）设过点()0,1P -的直线与曲线()f x 相切于点()00,ln x x ， 因()ln f x x =，则()1f x x'=， 所以在()00,ln x x 处切线斜率为()001f x x '=， 则在()00,ln x x 处切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 将()0,1P -代入切线方程，得0ln 0x =， 所以01x =，所以切线方程为1y x =-；（Ⅱ）假设存在1k ≠的正实数，使得只有唯一的正数a ，当1x a >时不等式()1f x g x kx a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即2ln 1a xx kx ax ≤-恒成立， 因为1x a >，所以()21ln k ax x a -≤，即()21ln 0k ax x a--≤， 令()()2211ln ln k ax k k m x x x x x a a a a -⎛⎫=-=-+> ⎪⎝⎭则()1k m x x a '=-，由于()00m x '=，即0a x k =， （1°）当1a k a>即20k a <<时，01,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00m x '>，则()m x 在01,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,x x ∈+∞时，()00m x '<，则()m x 在()0,x +∞上为减函数，则()()02min 1ln 0k a m x m x a k==-++≤， 即2ln 1k a a k +≤，令()(2lnk ah a a a k=+>， 则()233122k a k h a a a a-'=-=，由()00h a '=，得0a a =>，)0a a ∈时，()0h a '<，则()h a在区间)0a 上为减函数，()0,a a ∈+∞时，()0h a '>，则()h a 在区间()0,a +∞上为增函数，因此存在唯一的正数a >()1h a ≤，故只能()min 1h a =.所以()()0min 1ln 12h a h a ==+=， 所以2k e =，此时a只有唯一值e. （2°）当1a k a ≤即2k a ≥时，()0m x '>，所以()m x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数， 所以()11lim ln0x am x a→=≤，即1a ≥，故1k >.所以满足1a ≤≤a 不唯一，综上，存在实数2k e =，a，当1x a >时，恒有原式成立. 【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属难题. 22．如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为2,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB .（1）求曲线1M 的极坐标方程；（2）设点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值.【答案】（1）4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3πθ=【解析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果． （2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【详解】解：（1）设以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ， 所以该圆的极坐标方程为4cos ρθ=， 则1M 的方程为4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；（2）由点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，则114cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，点2,3Q πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线2M 上，则24cos 3233ππππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即224cos 363πππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为12||,||OP OQ ρρ==，所以12||||OP OQ ρρ+=+，即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为32ππθ≤≤，且263ππθ-≤≤，所以32ππθ≤≤，因为||||6OP OQ +=，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 32πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以3πθ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 23．设()|-3||4|f x x x =+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值.【答案】（1）[2.5,4.5] （2）65a =【解析】（1）讨论x 的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2f x ≤的解集； （2）结合题意，利用柯西不等式求得2()x y +的最大值，列方程求出a 的值．【详解】解：（1）当3x <时，不等式化为342x x -+-+≤，此时2.53x ≤<， 当34x ≤≤时，不等式化为342x x --+≤，成立， 当4x >时，不等式化为342x x -+-≤，此时4 4.5x <≤， 综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得22222))()x y ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，因为2223(0)x y a a +=>， 所以25()6x y a +≤，（当23x y =时，取等号），又因为x y +的最大值为1，所以65a =. 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．。
四川省泸州市2021 2021学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解
四川省泸州市2021 2021学年高三数学一诊试卷（文科）Word版含解四川省泸州市2021-2021学年高三数学一诊试卷（文科）word版含解四川省泸州市2022-2022学年高三试卷（文科数学）一、多项选择题（每个子题5分，共50分。
每个子题给出的四个选项中只有一个符合问题要求）1。
设置a={x | x2x≤ 0}，B={0，1，2}，然后是a∩ B=（）A？b、{0}C.{0，1}D.{0，1，2}2。
复数z=a.1b．（I是一个虚单位），然后| Z |=（）Cd．2)图像的对称轴方程为（）d．x=π3.函数f（x）=sin（x+a.x）=b．x=c、 x=4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出s=（）a、不列颠哥伦比亚省。
5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，分层抽样，120分以上100人，90~120分250人。
那么在这个测试中得分低于90分的人数是（）a.600b。
450摄氏度。
300天。
1506．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）a．108b．72c．36d．97.是单位向量，|+2 |=，那么向量的夹角是（）A.30°b.45°c.60°d.90°8．实数x、y满足，这z=3x+4y，则z的取值范围是（）a、 [1,25]B[4,25]C[1,4]D[5,24]9。
下面的命题是正确的（）a．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件b．“?x∈r，x2＞0”的否定是“?x0∈r，x02＞0”c、“如果a=4，那么函数f（x）=AX2+4x1只有一个零点”的逆命题是真命题D。
“函数f（x）=lnx2和函数g（x）=的图象相同”10.已知两个方程x2+（1+a）x+1+a+B=0（a，B）∈ R）大约X分别是X1和X2，并且0<X1<1<X2，那么X的值范围是（）ab．c。
四川省泸州市合江县2024届高三一诊模拟考试数学(文)试题含解析
高2021级高三一诊模拟考试数学（文史类）（答案在最后）第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()i i 1i x y +=+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位），复数i z x y =+，则z z ⋅=（）A.2B.C.23i +D.23i-+【答案】A 【解析】【分析】对()i i 1i x y +=+化简，可求出复数z ，从而可求出z z ⋅【详解】由()i i 1i x y +=+，得i 1i y x +=-+．所以1,1x y ==-因为i z x y =+，所以1i z =-，1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=-+=．故选：A2.设集合{}| 0M x x =<，1|282x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，R 是实数集，则()R C M N =U （）A.{|3}x x ≥B.{}|10x x -<< C.{}|10x x x ≤-≥或 D.{}|3x x <【答案】A 【解析】【分析】先求出集合N ，再求解并集和补集.【详解】因为1282x <<，所以13222x -<<，即13x -<<，{3}M N x x ⋃=<，所以(){3}R M N x x ⋃=≥ð，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（参考数据：20.3010lg ≈）A.1.398B.1.204C.1.602D.2.602【答案】C 【解析】【分析】根据对数运算以及pH 的定义求得此时胃酸的pH 值.【详解】依题意()22.5100lg 2.510lg lg lg 401002.5pH -=-⨯=-==()lg 410lg 4lg102lg 2120.30101 1.602=⨯=+=+≈⨯+=.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.4.若2log 0.2a =，0.22b =，0.2log 0.3c =，则下列结论正确的是A.c b a >> B.b a c>> C.a b c >> D.b c a>>【答案】D 【解析】【详解】分析：利用指数函数的性质以及对数函数的性质，分别确定2log 0.2a =，0.22b =，0.2log 0.3c =的范围，从而可得结果.详解：因为0.22log 0.20,21,a b ==0.20log 0.31c <=<，所以b c a >>，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.函数()41f x x x=+的图象为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性和函数值符号使用排除法可得.【详解】因为()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且()4411()()f x f x x x x x-===-+-+所以()f x 为偶函数，可排除AB ；又当0x >时，()410f x x x=>+，故C 错误.故选：D6.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，点()2,5P -是角α终边上的一点，则cos 2=α（）A.2029B.2129C.2129-D.2029-【答案】C 【解析】【分析】首先由任意角的三角函数的定义求出cos α，再利用二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为点()2,5P -是角α终边上的一点cos α∴==，故2421cos 22cos 1212929αα=-=⨯-=-，故选：C ．【点睛】本题考查任意角的三角函数及二倍角公式的应用，属于基础题.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面11AB D 的交点为,M O 为线段11B D 的中点，则下列结论错误的是（）A.,,A M O 三点共线B.1,,,M O A B 四点异不共面C.1,,,B B O M 四点共面D.1,,,B D C M 四点共面【答案】C 【解析】【分析】由长方体性质易知11,,,A A C C 四点共面且1,OM BB 是异面直线,再根据M 与1AC 、面11ACC A 、面11AB D 的位置关系知M 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上,同理判断O A 、,即可判断各选项的正误.【详解】因为11//AA CC ,则11,,,A A C C 四点共面.因为1M A C ∈,则M ∈平面11ACC A ,又M ∈平面11AB D ,则点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,同理,O A 、也在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,所以,,A M O 三点共线;从而1,,,M O A A 四点共面,都在平面11ACC A 内，而点B 不在平面11ACC A 内，所以1,,,M O A B 四点不共面，故选项B 正确；1,,,B B O 三点均在平面11BB D D 内，而点A 不在平面11BB D D 内，所以直线AO 与平面11BB D D 相交且点O 是交点，所以点M 不在平面11BB D D 内，即1,,,B B O M 四点不共面，故选项C 错误；11BC D A ，且11=BC D A ，所以11BCD A 为平行四边形，所以11,CA BD 共面，所以1,,,B D C M 四点共面，故选项D 正确.故选:C.8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,∞+上是增函数，则下列各式一定成立的是（）A.()()25f f >-B.()()50f f -<C.()()20f f -<D.()()52f f ->【答案】D 【解析】【分析】由()f x 是R 上的偶函数，得()()55f f -=，()()22f f -=，再根据()f x 在[)0,∞+上是增函数可逐项判断得出答案.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()55f f =-，()()22f f -=，且()f x 在[)0,∞+上是增函数，因为()()()255f f f <=-，所以A 错误；因为()()()550f f f -=>，所以B 错误；因为()()()220f f f -=>，所以C 错误；因为()()()552f f f -=>，所以D 正确.故选：D.【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路：（1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间；（2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥，则A =（）A.102B.10 C.5D.10【答案】B 【解析】【分析】由题意()f x 的周期6T =可得π3ω=，由()f x 图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭可得π6ϕ=，从而π()sin 3π6f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 与y 轴的交点0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭，由0NM NP ⋅= 解得A .【详解】若()f x 的周期为T ，由题意有531422M P T x x =-=-=，所以6T =，所以2ππ63ω==，()f x 图象与x 轴的交点为5,02M⎛⎫ ⎪⎝⎭，则)π5π(32k k ϕ⨯+=∈Z ，因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=，即π()sin 3π6f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 与y 轴的交点0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭，由NM NP ⊥，则NM NP ⋅= 255,1,022224A A A ⎛⎫⎛⎫-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10A =或10A =(舍)．故选：B.10.若函数()329f x x ax =+-在2x =-处取得极值，则=a （）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由()f x 在2x =-时取得极值，求出()f x '得(2)0f '-=，解出a 的值．【详解】解：32()9f x x ax =+- ，2()32f x x ax ∴'=+；又()f x 在2x =-时取得极值，(2)1240f a ∴'-=-=；3a ∴=．故选：B ．【点睛】本题考查了应用导数求函数极值的问题，是基础题．11.在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90ABC ∠=︒，2PA =，若三棱锥-P ABC 的体积为6，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.18π B.24πC.36πD.40π【答案】D 【解析】【分析】PA ⊥平面ABC ，则有PA AC ⊥，PA BC ⊥，然后由AB BC ⊥得线面垂直后得PB BC ⊥，从而可得PC 就是外接球直径，再由体积计算出PC 长后可得球表面积．【详解】∵PA ⊥平面ABC ，∴PA AC ⊥，PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A = ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC PB ⊥，PC 中点到四个点,,,P A B C 的距离相等，即PC 为三棱锥-P ABC 外接球的直径．12633P ABC ABC ABC V PA S S -=⋅==△△，9ABC S = ，又,90BA AC ABC =∠=︒，∴2192ABC S BA ==△，BA =6AC ==，PC ==∴所求外接球表面积为224402PC S PC πππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭．故选：D .【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定外接球的球心，本题是利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中点到三顶点的距离相等”确定的．12.已知0ω>，函数()sin(4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.221log 12log 92-=______.【答案】2；【解析】【分析】根据对数的运算性质求值即可.【详解】222222211log 12log 9log 34)log 32log 3log 3222(-=⨯-=+-=，故答案为：214.曲线()3f x x x =-在点（2，6）处的切线方程为_______．【答案】11160x y --=【解析】【分析】求出()f x '，()2f '即可.【详解】因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --=故答案为：11160x y --=15.已知奇函数()f x 为R 上的减函数，若()()23210f a f a +-≥，则实数a 的取值范围是__________．【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【详解】分析：由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性得到关于a 的不等式求解二次不等式即可确定实数a 的取值范围.详解：不等式()()23210f af a +-≥即：()()2321f a f a ≥--，函数为奇函数，则不等式等价于()()2321f af a ≥-+，函数在R 上单调递减，脱去f 符号有：2321a a ≤-+，即：23210a a +-≤，()()11310,13a a a +-≤-≤≤，故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．16.在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.【答案】6+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c==，22,22b b b c +===+时等号成立.故答案为：6+三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=>，()f x 图像的相邻两对称轴之间的距离为2π．（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，求5sin 46πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（1）2ω=；（2）79-【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可．（2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可．【详解】（1）13()2(sin )2sin()23f x x x x πωωω=+=+，()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离为2π，∴22T π=，即2T ππω==，得2ω=．（2）2ω=Q，()2sin(2)3f x x π∴=+，2()3f α=，22sin(2)33πα∴+=，得1sin(2)33πα+=，设23πθα=+，则1sin 3θ=，且23παθ=-，55523sin(4)sin[2()]sin(2)sin(2)663632ππππππαθθθ-=--=-+=-sin(2)cos 22πθθ=--=-217(12sin )1299θ=--=-+⨯=-18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且)()sin sin sin b B a A c A B -=-+.（1）求A 的大小；（2）过点C 作CD BA ∥，在梯形ABCD 中，4BC =，CD =，120ABC ∠=︒，求AD 的长.【答案】（1）45︒（2【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得22)b a c c -=-，利用余弦定理计算即可得出结果.（2）在BCD △中，由正弦定理求得AC =，在ACD 中，由余弦定理2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠计算即可求得结果.【小问1详解】由正弦定理可得：22)b a c c -=-，即222b c a +-=，所以222cos 22b c a A bc +-==，又0180A << ,所以45A =︒.【小问2详解】在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，因为445,120BC BAC ABC =∠=︒∠=︒，，所以AC =.在ACD 中，由余弦定理可得，222222cos 2cos 4515AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯︒=所以AD =.19.已知函数()32215333f x x ax a x =-++-．(1)若1a =-时，求()f x 在区间[4,2]-上的最大值与最小值；(2)若函数()f x 仅有一个零点，求a 的取值范围．【答案】(1)最大值为0，最小值为323-；(2)(1)3-，．【解析】【分析】(1)求导，并判断()f x 在[4,2]-上的单调性，再求出其最大值与最小值；(2)利用分类讨论判断()f x 在定义域内的单调性，求出极值，再判断极值与0的大小关系，进一步求出参数a 的取值范围.【详解】(1)由题意得()()()22'233f x x ax a x a x a =-++=--+．当1a =-时，()(1)(3)f x x x -'=-+，[4,2]x ∈-．由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43x -≤<-或12x <≤．∴函数()f x 在区间(3,1)-上单调递增，在区间[4,3)--，(1,2]单调递减．又2532(4)(3)33f f -=--=-，，()()71023f f ==-，，∴函数()f x 在区间[4,2]-上的最大值为0，最小值为323-．(2)函数()f x 只有一个零点．∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a =-++--+'，i )当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数()f x 在区间(3,)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数()f x 在区间(,3)a -∞，(,)a -+∞上单调递减．又5(0)03f =-<，∴只需要()0f a -<，解得10a -<<．∴实数a 的取值范围为10a -<<．ii )当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立．iii )当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<，即()f x 在区间(,3)a a -上单调递增；由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(,)a -∞-，(3,)a +∞上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得03a <<．综上：实数a 的取值范围是(1-．【点睛】利用导数求最值问题，既要求函数的极值，也需要求出其端点值，再比较大小；零点相关问题求参数取值范围，通常有两种思路，一种是分离参数，转化为求参数与另外一个函数的交点个数问题，另一种是直接含参讨论单调性求极值解不等式.20.如图所示，ABC 是等边三角形，//DE AC ，//DF BC ，面ACDE ⊥面ABC ，22AC CD AD DE DF =====．（1）求证：EF BC ⊥；（2）求四面体FABC 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】(1)由余弦定理可得E F EF DF ⊥，结合//DF BC 即可得出结果.(2)由面面垂直的性质定理得DO ⊥平面ABC ，且DO =，根据线线平行得出平面//DEF 平面ABC ，进而得到F 与D 到底面ABC 的距离相等，结合棱锥体积公式即可.【详解】（1）证明：//DE AC ，//DF BC ，又ABC 是等边三角形，60EDF ACB ∴∠=∠=︒，又22AC DE BC DF ====，在EDF 中，由余弦定理可得，EF =，222EF DF DE ∴+=，故EF DF ⊥，又//DF BC ，EF BC ∴⊥；（2）解：取AC 的中点O ，连接DO ，由AD DC =，得DO AC ⊥，又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE 平面ABC AC =，DO ∴⊥平面ABC ，且求得DO ==．由//DE AC ，DF ⊄平面,ABC BC ⊂平面ABC ，可得//DF 平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等，则四面体FABC 的体积11221322V =⨯⨯⨯⨯．【点睛】(1)证明线线垂直的方法主要有：线面垂直的性质定理、勾股定理的逆定理或者采用空间向量法；(2)求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．21.已知函数()ln 1f x a x ax =++.（1）当1a =时，求()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()e x f x x ≤恒成立，求a 的取值集合.【答案】（1）y =2x（2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数()e ln 1x g x x a x ax =---，将问题转化成求()g x 的最小值，通过对a 进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln 1f x x x =++，所以(1)2f =，又()11f x x '=+，所以()11121f '=+=，故()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)2y x =-+，即2y x =.【小问2详解】解法一：因为()e x f x x ≤恒成立，e ln 10x x a x ax ---≥恒成立，令函数()e ln 1x g x x a x ax =---，则()()1e e (1)e (1)(e )x x x x a x a a g x x a x x x x x +'=+--=+-=+-①当0a ≤时，()()1(e )0x a g x x x'=+->在区间(0,)+∞恒成立，此时g (x )在区间(0,)+∞单调递增，又11221111()e ln21(e 2)(ln2)22222a g a a =+--=-+-，易知12e 2,<1ln 22<，所以1(02g <，故0a ≤不合题意，②当0a >时，由()()1e 0xa g x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，可得e 0x a x -=，即e 0x x a -=令()e x h x x =，则()()e e 1e 0x xx h x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立所以()e xh x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00h =，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得00e x x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=，则当0(0,)x x ∈时，e x x a <，即()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，e x x a >，即()0g x '>，所以当0x x =时，()0000min e ln 1ln 1xg x x a x ax a a a =⋅---=--，故要使()0g x ≥恒成立，只需ln 10--≥a a a ，令()ln 1a a a a ϕ=--，则()11ln ln a a a a aϕ=--⨯=-'，由()0a ϕ'>，得到01a <<，由()0a ϕ'<，得到1a >，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，()()10a ϕϕ≤=，即()ln 10a a a a ϕ=--≤，所以ln 10--≥a a a 只有唯一解，即1a =.综上，a 的取值集合为{}1.解法二：由题意可得()e ln e10x x x a x --≥恒成立，令()e x t x x =，则()()e e 1e 0x x xt x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立，所以()e xt x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00t =，所以()e 0x t x x =>，所以()e ln e 10x xx a x --≥恒成立，即ln 10t a t --≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln 1g t t a t =--，又因为(1)0g =，要使()0g t ≥恒成立，则1t =是()g t 的极小值点，又因为()1a g t t '=-，所以()110g a '=-=，解得1a =.当1a =时，令()ln 1ln 1g t t a t t t =--=--，11()1t g t t t -'=-=，所以(0,1)t ∈时，()0g t '<，()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()(1)1ln110g t g ≥=--=，满足题意.综上，a 的取值集合为{}1.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0g x ≥，然后由导数求得()g x 的最小值min ()g x ，解不等式min ()0g x ≥即可得参数范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（选修4-4极坐标与参数方程）22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，倾斜角为α的直线l 过点0M ，点0M 的极坐标为π(2,)3.（1）求曲线1C 的普通方程和直线l 的参数方程.（2）若l 与1C 交于A ，B 两点，且点B 为0AM 的中点，求AB【答案】（1）222x y x +=，1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即得1C 的普通方程，求出点0M 的直角坐标，按条件写出l 的参数方程作答.（2）将l 的参数方程代入1C 的普通方程，再利用参数的几何意义计算作答.【小问1详解】曲线1C ：22cos ρρθ=，把222cos x x yρθρ=⎧⎨=+⎩代入得1C 的普通方程：222x y x +=，因点0M 的极坐标为π(2,3，则点0M的直角坐标是，而直线l 的倾斜角为α所以直线l的参数方程为：1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.【小问2详解】把直线l的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入曲线1C 的普通方程22(1)1x y -+=得：22(cos )sin )1t t αα++=，整理得：2sin 20t α++=，212sin 80α∆=->，即6sin 3α>，令点A ，B 所对参数分别为12,t t ，则有122t t =，因点B 为0AM 的中点，即有212t t =，于是得2||1t =，所以122||||1AB t t t =-==.（选修4-5不等式选讲）23.设函数()4f x x x a =+-，其中R a ∈.（1）当6a =时，求曲线()y f x =与直线480x y -+=围成的三角形的面积；（2）若a<0，且不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-，求a 的值.【答案】（1）64（2）17-【解析】【分析】（1）由题知()56,636,6x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分x a ≥和x a <两种情况求解得()2f x <的解集为2{|}5a x x +<，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当6a =时，()56,64636,6x x f x x x x x -≥⎧=+-=⎨+<⎩，所以，()624f =，设(6,24)C ；直线480x y -+=与36y x =+交于点(2,0)A -，与直线56y x =-交于点(14,64)B ，且AB =点(6,24)C 到直线480x y -+=的距离d =，所以，要求图形的面积1642S AB d =⨯⨯=；【小问2详解】解：当x a ≥时，()5f x x a =-，()2f x <，即52x a -<，解可得25a x +<，此时有25a a x +≤<，当x a <时，()3f x x a =+，()2f x <，即32x a +<，解可得23a x -<，又由a<0，则23a a ->，此时有x a <，综合可得：不等式的解集为2{|}5a x x +<，因为不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-所以，235a +=-，解可得17a =-；所以，17a =-.。
四川省泸州市2024届高三上学期一诊模拟(二)数学(文)试题(解析版)
泸州老窖高2021级高三上期一诊模拟(二)数学（文科）（答案在最后）第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}|2B x x =≤，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,2,3 D.{}1,2,3,4解：由题意知A B = {}1,2.故选：B2.已知34a =，2log 3b =，则ab =（）A .2 B.9C.4D.5解：因为34a =，所以3log 4a =，所以322lg 2lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⨯=⨯=.故选：A3．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β解：对于A 选项，设α∩β＝a ，若l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，此时α与β相交，故A 选项错误；对于B 选项，l ∥α，l ⊥β，则存在直线a ⊂α，使得l ∥a ，此时a ⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B 选项正确；对于C 选项，若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β或l ⊂β，故C 选项错误；对于D 选项，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系不确定，故D 选项错误．选B.答案：B4.当某种药物的浓度大于100mg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L （安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L ，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈，lg86 1.935≈）A.4小时 B.6小时 C.8小时 D.12小时【分析】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y -=⨯-，由题意可得()160010.14100n -⨯-<，两边取常用对数求解即可.解：设n 小时后药物浓度为()160010.14n y-=⨯-若n 小时后药物浓度小于100mg/L ，则需再服药.由题意可得()160010.14100n -⨯-<，即110.866n -<所以()1lg 0.86lg 6n -<-，则lg 6lg 2lg 30.3010.4770.778111.969lg 0.86lg 86lg100 1.93520.065n -++->=-=-=≈--所以12.969n >所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适故选：D5.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）A .()1,0- B.[]0,1C.(]()10,-∞-+∞ , D.(](),11,-∞-⋃+∞解：若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则201440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A 6.已知π3sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.33- D.33解：因为22πππ31cos 2=cos212sin 1236633ααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2πππ1cos 2cos π2cos 23333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A.7．若1a b >>，01c <<，则（C）A ．c ca b <B ．c cab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a b c c<解：用特殊值法，令a =3，b =2，12c =，可知选项A 错误；11223223⨯>⨯，选项B 错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误.故选C.考点：指数函数与对数函数的性质8.如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=-，D 是BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为（）A ．94πB ．52πC ．92πD ．5π且长方体的长、宽、高分别为1、2、2，设三棱锥C ABD '-外接球的半径为R ，则2222222(2)1(2)(2)5R DA DB DC '=++=++=.所以，三棱锥C ABD '-外接球的表面积为24π5πS R ==.故选D.9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A ．32B ．72C ．2D ．3【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.解：将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝3（km ），CD ＝33（km ），在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，∠BED ＝150°，则两山顶A 、C 之间的距离为（）A ．63(km)B ．53(km)C(km)D(km)【分析】先计算BE ，DE ，利用余弦定理计算BD ，再利用勾股定理计算AC ．解：在Rt △ABE 中，∵AB＝，CD ＝3，∠AEB ＝30°，∠CED ＝45°，∴BE ＝3，DE ＝3，又∠BED ＝150°，∴BD ＝＝3，过A 作AF ⊥CD 于F ，则AF ＝BD ＝3，CF ＝CD ﹣AB ＝2，∴AC＝＝＝5（km ）．故选：B ．11.已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（）A．BC ．1D ．e【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.解：函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P '=+=⇒=⇒=⇒，所以min PQ==故选：A12.若函数f (x )的定义域为R ，且f (2x +1)为偶函数，f (x –1)的图象关于点(3，3)成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①f (x )的一个周期为2；②f (22)=3；③f (x )图象的一条对称轴为x =5；④191()57i f i ==∑.A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.曲线e cos x y x =在0x =处的切线方程为_____．【答案】10x y -+=【分析】根据导数的几何意义即得.解：因为e cos x y x =，所以si e c s e n o x x y x x -⋅'⋅=，当0x =时，00e cos 0e sin 0=1y '=-⋅⋅，0co e s 01y ==，故切线方程为：()110y x -=⨯-，即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解：由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C 1ABCD )，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC 1.由正方体棱长AB ＝2知最长棱AC 1的长为2 3.答案：2315.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=___________．255-解：∵()f x =sin 2cos x x -5(sin cos )55x x -令cos ϕ=5，sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=5-.则下列结论中正确的有①//AF 平面1A DE③1A ，D ，E ，H 四点共面【答案】①③【分析】取1A D 的中点的中点N ，连接NG ，延长面1A DP 相交，可判断②；显然不成立可判断④.如上图，取1A D 的中点M ，连接AM //AM ，=EF AM ，则四边形⊄平面1A DE ，ME ⊂平面如上图，取11D C 的中点N ，连接NG ，延长DE 与11D C 交与点P ，连接1A P ，因为11//=A A NG A A NG ，，所以四边形1A AGN 是平行四边形，可得1//A N AG ，因为1A ∈平面1A DP ，N ∉平面1A DP ，所以直线1A N 与平面1A DP 相交，所以AG 与平面1A DE 相交，故②错误；如下图，连接EH ，则1//EH B C ，11//A D B C ，所以1//EH A D ，可得1A ，D ，E ，H 四点共面，故③正确；若1A ，D ，E ，1C 四点共面，则11//A D C E ，显然不成立，所以④错误.故填：①③.PAB，平面AEF，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.的极坐标；，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到30,2MOK ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.。
四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）A．B ．C．D ．与的大小与有关2. 已知过坐标原点的直线与函数的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为，则下列等式成立的是（ ）A．B．C．D．3. 已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 若，则下列结论不正确的是（ ）A．B．C．D．5. 已知双曲线的中点在原点，焦点，点为左支上一点，满足且，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．6. 如图，正六边形的边长为2，取正六边形各边的中点，，，，，，作第二个正六边形；然后再取正六边形各边的中点，，，，，，作第三个正六边形；依此方法一直继续下去……，则第2022个正六边形的面积为（）A．B．C．D．7. 已知集合A={|﹣2≤x ≤3}，B ={x |y =}，则A ∩B =A ．{x |1＜x ≤3}B ．{x |x ≥﹣2}C ．{1，2，3}D ．{2，3}8. 为了绿色发展，节能减排，相关部门随机调查了10户居民今年二月份的用电量（单位：kW.h ），数据如下：1071017899881277423131156则该组数据的极差为（ ）A ．20B ．30C ．180D ．2009. 随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到如下频率分布直方图，其中右侧三组小长方形面积成等差数列.则下列说法正确的是（ ）四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题 (2)四川省泸州市2021-2022学年高三第一次教学质量诊断性考试数学（文）试题 (2)三、填空题四、解答题A ．身高在范围内的频率为0.18B ．身高的众数的估计值为115C ．身高的中位数的估计值为125D ．身高的平均数的估计值为121.810.已知正方体的棱长为2，棱AB 的中点为M ，点N 在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（）A．三棱锥的体积为定值B ．当最大时，MN 与BC所成的角为C ．正方体的每个面与点N 的轨迹所在平面夹角都相等D ．若，则点N的轨迹长度为11. 下列说法正确的是（ ）A ．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于C ．经过小时，时针转了D ．若角和角的终边关于对称，则有12.已知的展开式中共有7项，则（ ）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第4项D ．有理项共4项13. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b ，2003年产生的垃圾量为a 吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为__________吨，2008年的垃圾量为____________吨．14. 已知定义在上的函数满足，且，若关于的方程有且只有一个实根，则的取值范围是__________．15. 已知公差不为0的等差数列中，存在，，满足，，则项数__________.16. 第五代移动通信技术（5th Generation Mobile Communication Technology，简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，5G通讯设施是实现人机物互联的网络基础设施。
四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文科)试题11.23(含答案)
D．4
11．在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中， E ， F 分别为 C1D1 ， B1C1 的中点， O ， M 分别为 BD ， EF 的
中点，则下列说法错误的是 A. 四点 B、D、E、F 在同一平面内 B. 三条直线 BF ， DE ， CC1 有公共点 C. 直线 A1C 上存在点 N 使 M ， N ， O 三点共线 D. 直线 A1C 与直线 OF 不是异面直线
则 tan( − ) = ___________．
16．已知直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的所有棱长均为 4，且 ABC = 120 ，点 E 是棱 BC 的中点，
则过 E 且与 BD1 垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) = 3 sin x − 2cos2 x +1． 2
（Ⅰ）若 f ( ) = 2 3 f ( + ) ，求 tan 的值； 6
（Ⅱ）若函数 f (x) 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 1 倍得到函数 g(x) 的图象，求函 2
第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、 选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的．
1．已知集合 A = {1, 2,3, 4}， B = x | x = 2n −1, n N ，则 A B =
A． 3
B． 1, 3
泸州市高2021级高三(一模)第一次教学质量诊断性考试文科数学试卷及答案
泸州市高2021级第一次教学质量诊断性考试数学（文科）本试卷分第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第1卷1至2页，第II 卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答1每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I 已知集合A=｛XII斗<4,xE z}, B=｛斗2x>l}，则AnB=A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{1,3}2.已知命题p :VxER,3">2·`．；命题q :3x 。
ER,lnx 。
=－2,则下列命题是真命题的为A .(-,p )＾qB.p/\q C .p A(-.q)2五3若sinx ＝一—-，则cos2x =1 1 7A.-B.--C .-99 9 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为D .(-,p )＾（-,q )D.－一门一�丿勹上1T俯筏Ill艺2A 竺2BC.2兀 D.4冗5.“碳中和“是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳零排放＇．某地区二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式S=ab'，已知经过43a年，该地区二氧化碳的排放量为—-（亿吨）．若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二颌4 化碳排放量为己（亿吨），则该地区要实现“碳中和“，至少需要经过（参考数据：lg2""0.30, lg3"" 0.48)3 A.13年B.14年C.15年D.16年6."sin(a-/J)=O “是“tana= tan/J"的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.函数.f (x)2x-1=-—• si11.,"t '的图象大致为2'+1yyyy工A. B. C. D.8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA..l底面ABCD,PA=AB, E为线段PB的中点，F 为线段BC 上的动点，则下列结论一定正确的是pcA.平面AEF上平面PBC C.直线EF II平面PCDB.平面AEF上平面ABCD D.直线EF J_平面PAB9 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x+2)=f(-x)，当xE(O,I)时，/(x)=ln(x+l)，则f（罕）＝l 一2nA3一2nB2一31 Ic D.ln210.已知菱形ABCD 的边长为6,乙BAD =60•,将t:::,.BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A -BD -P 为90·,则此时三棱锥P -ABD 的外接球的表面积为A.48冗B.32✓3冗C.20平冗D.60冗11.已知f(x)＝｛釭－l，（x<a)(x-2)2,(x a) 的值域为R，则a的最小值为5A.0B.2C..:...D.I12 已知函数f(x) = 2sin((JJx-f)c{i)>O)在（咚）上存在砓值且在（气，叶上单1问则Q的取值范围是A.［峙］B.［飞］c.[%,甘D.［琵］第I1卷（非选择题共90分）注意事项：(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．(2)本部分共10个小题，共90分．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）．13.函数f(x)＝-江的对称中心为x-114.已知一个圆锥的体积为3开，侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为15.写出“使函数f(x)= ae x -lnx在区间(1,2)上单调递增＂的实数a的一个值．16.过点(O,m)有两条直线与曲线y=.!.+ lnx相切，则实数m的取值范围是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）已知函数f(x) = 2sin2x + 2✓3s i几xcosx-1(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)将函数f(x)图象向右平移工个单位长度得到g(x)的图象，若g g十工＝－3，OE O卫，求sin0(2l2) 7 (』的值18.（本小题满分12分）已知x=－是函数／（x)= x2 -1 lx + a lnx的极值点．（I)求a的值(TI)若函数.f(x)在(l,c)上存在最小值，求c 的取值范围19.（本小题满分l2分）心ABC 的内角A,B, C 的对边分别为a,b, c,设12b s inB=c s inAco s B+a s inBco sC.a(I)求一的值；b (II)若a=6,AD为t:::,.ABC 的内角平分线，且AD=CD,求co sC 的值．20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，且平面PBC..L 平面ABCD.0, E 分别是BC,PA 的中点，经过0,D, E 兰点的平面与棱P B 交于点F,平面PB Cn 平面P A D =l ,直线D E 与直线l 交于点G.PF(I)求一一的低PB(II)若PB=PC=CD=2,求多面体POCDEF 的体积．21.（本小题满分12分）已知函数f (x) = tanx-ax.(I)若a I,证明：当XE （吁）时，f(x)>O,(II)若函数g (x) =f (x) + sinx 在（二琴）上有三个零点，求实数a 的取值范围2 2（二）选考题：共IO 分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为psin （三］早曲线c 2｛芦：aosa(a为参数）．(I)求C 2的极坐标方程：(II)已知点M(2,0)，曲线C J 的极坐标方程为0=互,C 3与G 的交点为P,与c 2的交点为o,Q,求3 凶PQ的面积．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=lxl+lx-21-1 (I)求不等式f(x)5的解集；a 2(II)若函数f(x)的最小值为m,且a+b=m(a >0,b >0) 求证：——+——-b2Ia+I b+l 3泸州市高2021级第一次教学质量诊断性考试数学（文科）参考答案及评分意见评分说明：I.本解答给出了一种成几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则，2.对计邻题，当考生的解答在某一步出现错误时，如呆后维部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严堡的错误，就不再给分．3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的只加分数，4,只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题，| :; | ; | ： I ; | ； | ; | ； | ； | ：I : I :二、填空题，11-D 12-C13.(1,1);三、解答题，17,烧由题意，f(x )=-cos 2x ．十石s i n 2-.:...........................................................I 分..fi .~ I =2（一sin 2'<--;:-cos 2x)...............,.............,..........................................2分2 214..[j ;I15.“>－的任意一个实数值；e16.(In 2，如）．冗=2sin (2x-一），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.....4分62兀所以函数J (x ）的嵌小正周期T=一－＝冗： (2)6分冗冗冗(II）由聪意，g(:c)= 2si n [2(x －一）－一＝2si n(2x －一）＝一2co s2x,..................….7分66 2°”“因为g(-＋一）＝－2c os (0＋一）＝－一，22 l2 67 冗所以co s(0+－）＝-，I....................................................,..........,............ g 分6 7冗冗冗2冗因为0e(O 一），所以0+－e（一，一），2 6 6 3冗所以sin(B＋一）＝一一，颂........................................................................... 9分6'7冗冗冗冗”“s i n0 = sin[(B＋一）－一＝sin(B ＋一）co s-－c心（0+一）s in一..........……......,......J O 分6 6 6 6 6 6 4✓3 ✓3 1.. 1 11 -—X -－ －一X 一＝－....................................................................... 12分7 2 7 2 14愤j三·文数答案第1页共6页18.解：（I)因为／（x)=x2-llx+alnx,所以/'(x)=2x-l l+f!.(x>O),············.. ·························... ·............. 2分X3因为x=－是函数函数f(x)的极值点，22a所以!'(2)=3-11＋一＝o,3............................................................ 3分(x-4)(2:飞一3)a=12,此时f'(x)•�(x > 0),X......................................... 4分3 3所以f(x)在(0．一）上单调递增，在(-,)上单涸递减，在(4..l.OO）上单调递增，2 2故所求o的值为121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．妇........................................6分3 3(II)当a=12时，f(x)在(0，一）上单调递增，在(-A)上单调递减，在(4,-t«>）上单调递2 2增，/(1)=1-11=-IO,······························.. ··............................... 7分/(4) =16-44+121n4 =-28+241n 2, ·······•············· ·········......... ··· ······ 8分/(I)-/(4)= -10-(-28-24ln 2)=6(3-lnl6), ·· ··············· ··"....... •·· ····· 10分因为e1>16,所以f(l)> /(4), ·· ···· ·· ·· ··· · ··· ··· ····· ······ ······ ·· ··..... ···· ··11分所以c的取值范围是（4,心))............................... ... . (2)19．衅（l)因为1泌sinB= csinAcosB+asinBcos C.由正弦定理得12sm2B = s inCsi n Aco s B＋血AsinBco s C,· ···．．．．．．．,.......…··2分所以12sm2B=smAsit1(B+C)=sit1Asin[冗一(B+C))=s m2A, ·······……………4分所以12sia12B = sir12 A, ........................................................................... 5分因为A,Be(O，冗），所以sinA >0, sinB>O,所以sin2 A=12si n2 B即2＝史-4=2石b sinB....................................................... 6分（日）解法一：由a=6,a-＝ 2石，得b＝./3'...........................................................7分b设DD=x,则AD=CD=6－．飞，因为AD为/::.ABC的内角平分线，1s .:.AD•ABsin乙BAD 所以土巫＝24空s I CD't:.ACD .:..A D· AC sin L.CAD2AB�D C ................................................ g分所以AB BDAC CD ， AB=石．｀．6-x................................,,,,,.......................... 9分在f:::.ABC中，石飞－（生．）2由余弦定理得co s C= �2x..[3x6设A C的中点为E，连接DE,则DEJ.AC,高三·文数答案第2页共6页 0五CE _ 2在R IA CED 中，co sC =－-=-—·CD 6-x 乱62一（亟)2fJ 所以6-x 2 9 ＝－一，鲜得x=－,2x./3x66-x · "".. ·· 2 §所以co s c =..::t.-=五，．，，．．．．．．，．．．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．．．，．．．．．．．..12分6-."C 3解法二：因为AD为!:':.ABC的内角平分线，·,.. ·............. ·.. ·.. ·.... ·...... · · 11分I s .:.,JD • AB s in乙B AD 所以今坐＝2 s I心co .:.AD ·AC sin 乙C A DBDCD ' ................................................ 7分所以AB BD， AC CD记AB BD －一＝一＝1，1,AC CD 由a=6,岊＝2石，得b=石．．．．．．．．．．．．．．．．．．...........................................g 分6 CD=—,L+m 在!:,.ABC中，由余弦定理得cosC = �, 战）2+62一（石m)22x./3x6设AC 的中点为E,连接D E,则DE l AC ,cosC= CE./J(l +m)=,CD 12贝l j AD=..{3m , 6mBD=—, 1+111在Rt6CED中，........................ 9分 0故石项－（岛）2=五�.解得m =3,….........……..................II 分2x$x612 叔l+m)_.fi 所以cosC =＝一－．..............................................................12分123 20.烧（I)因为ADIi BC, AD ,:;:平面PBC,所以从）／／平面PBC,·············..................... J 分因为平面P BCn 平面P AD=l,所以I II AD,............................................. 2分因为直线DE与宜线I 交千点G,连接OG,OG与PB 的交点即为点F ,················........................ 3分因为底而ABCD是正方形，0是BC的中点．AD =20B ,···············... ·.. ·.......................... 4分因为E是PA的中点，可得P G=AD，则PG=20B,因为I ll AD,所以l II BC , l::,PGF "'!::,BOP ,……......……….....…......…5分PF PG PF 所以一－＝－－ ＝2.即一－＝2:............................................................ 6分FB OB . FBOE,多面体POCDEF的休积V=v 区尤{)+V,-,oo +V s －应，…….........7分c（日）连接OP,高三·文数答案第3页共6页因为PB=PC=2,0为BC中点，所以PO」./JC，PO=.JPC2-oc2＝石·又平面PBC上平面A!J C D ，平面PBCn平面AJJC D =BC,POc平面PBC,所以PO J_平面A B CD ,······....................................................................... g分而ODc平面ABCD,所以PO上OD,I I I J 所以Vp.OC D =－x S AOCD x PO =－X-xl x 2x 石＝一·3 3 2 3 ...............,...,....................9分因为E为PA中点，I I所以V8-t”=5V 小沁产了肛。
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2021届四川省泸州市高三上学期一诊考试
数学（文）参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．
3．解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数,选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
13．3； 14．0； 15.4
3-； 16
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）因为2()2cos 12x f x x =-+
cos x x -
····················· 1分 2sin()6x π
=-, ····················· 2分
因为()()6f παα=+,所以sin()6παα-=, ······· 3分。