第四章 放射性测量中的统计学

σ r,N
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N 1 = = = N N N
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σN
(4.2.4)
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结论:N越 结论:N越大，相对误差越小，精确度越高。 :N 相对误差越小 精确度越高 b.多次测量情况： b.多次测量情况： 多次测量情况 K次测量时，样本平均值作为真平均值的近似值，其表示为： 次测量时，样本平均值作为真平均值的近似值，其表示为：
p =1− e−λt 其中
由于考察的原子核数目比较大 而一个核衰变的概率很小 由于考察的原子核数目比较大，而一个核衰变的概率很小，因而有
N 0! = N 0 ( N 0 − 1)...( N 0 − n + 1) ≈ N 0n ( N 0 − n)!
(1 − p) N0 −n ≈ (e− p ) N0 −n ≈ e − pN0
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第二节 放射性测量的统计误差
一、统计误差及其表示方法 二、计数率的统计误差计算 三、测量条件的选择 四、平均效应的统计误差
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一、统计误差及其表示方法 （一）什么是统计误差 放射性测量中，计数值是个随机变量。 放射性测量中，计数值是个随机变量。实验测量所希望知道的准 是个随机变量 确值为计数值的期望 其为无限次测量计数值（相同条件下 期望， 条件下） 确值为计数值的期望，其为无限次测量计数值（相同条件下）的平 均值， 平均值。实际测量为单次或者有限次测量， 均值，称真平均值。实际测量为单次或者有限次测量，只能得到真 平均值的一个估计 估计量 给结果带来了误差 误差。 平均值的一个估计量，给结果带来了误差。 由放射性核衰变和射线与物质相互作用过程的随机性造成的误差， 由放射性核衰变和射线与物质相互作用过程的随机性造成的误差， 核衰变和射线与物质相互作用过程的随机性造成的误差 统计误差 称为统计误差。 称为统计误差。 放射性测量的统计误差与一般非放射性物理量测量中的随机误差有 放射性测量的统计误差与一般非放射性物理量测量中的随机误差有 随机 根本的差别 的差别。 根本的差别。
1 −(108−100)2 (2×1002 ) P(108) = e ≈ 0.03 2×3.14 ×10
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2.标准化正态变量， 2.标准化正态变量，令 标准化正态变量
z = (n − m) σ
代入数值， 代入数值，由于对称性有
第一节 核衰变数和计数的统计分布 第二节 放射性测量的统计误差 第三节 放射性测量数据的检验 第四节 探测下限的确定方法 第五节 脉冲幅度分辨率 第六节 核脉冲事件的事件间隔分布
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第一节 核衰变数和计数的统计分布 一、核衰变数的统计分布 二、计数的统计分布 三、计数的合成
n p (n) = C N p n (1 − p) N −n
N一定的前提下 一定的前提下
因而上式可表为
n p (n N ) = C N p n (1 − p) N − n
入射到探测器上的粒子数N有涨落。设其服从泊松分布， 入射到探测器上的粒子数N有涨落。设其服从泊松分布，即
M N −M e P( N ) = N!
∞
∞
( Mp ) n − M e = n!
( Mp ) n − Mp = e n!
(4.1.5)
由次，这是以Mp为参数的泊松分布。考虑入射粒子的统计分布后， 由次，这是以Mp为参数的泊松分布。考虑入射粒子的统计分布后， Mp为参数的泊松分布 探测到的粒子服从泊松分布，期望为Mp Mp。 探测到的粒子服从泊松分布，期望为Mp。
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随机误差 由测量中有各种随机因素影响到测量结果， 由测量中有各种随机因素影响到测量结果，或者是测量过程由测量 随机因素影响到测量结果 仪器和方法不够精密所致 而待测物理量不变。 不够精密所致， 仪器和方法不够精密所致，而待测物理量不变。 统计误差 由待测物理量本身的随机性所引起。 由待测物理量本身的随机性所引起。 随机性所引起 （二）表示方法 与随机误差的表示方法一样，统计误差用相应于一定置信概率的 随机误差的表示方法一样，统计误差用相应于一定置信概率的 误差的表示方法一样 误差用相应于一定置信概率 置信区间来表示 来表示。 置信区间来表示。 最常用的方法是用标准误差 σ 来表示。 常用的方法是用标准误差 来表示。 的方法是用标准
σN ≈
K 1 ∑1 ( N i − N ) 2 K − 1 i=
( 4 .2 .2 )
次计数值， N i (i = 1,2,...，K ) 为第i 次计数值， 为算术平均值 (N = ∑Ni K) 。 N
i
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a.单次测量情况： a.单次测量情况： 单次测量情况 一次测量，计数为N 则可把结果表为： 一次测量，计数为N，则可把结果表为：
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一、核衰变数的统计分布 放射性物质在一定时间内发生衰变的原子核数为一随机变量。 放射性物质在一定时间内发生衰变的原子核数为一随机变量。但其 随机变量 统计性 具有一定的统计 具有一定的统计性。 设t=0，放射性原子核个数为 N0 。 t=0， 任一核发生衰变的概率为 p ，不发生衰变的概率为 q(= 1− p) 。 t时间内观测到发生衰变的数目n可视为贝努里试验中“成功”事件 时间内观测到发生衰变的数目n可视为贝努里试验中“成功” 发生的次数问题，其衰变原子核数n服从二项分布，有有n 发生的次数问题，其衰变原子核数n服从二项分布，有有n个原子核 发生衰变的概率为： 发生衰变的概率为：
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M为t时间内入射粒子数的期望。 时间内入射粒子数的期望。 由全概率公式（1.1.10），得到计数n的概率分布P 由全概率公式（1.1.10），得到计数n的概率分布P（n）为 ），得到计数
P (n) =
N =n
∑
∞
N! M N −M p (n N ) P ( N ) = ∑ p n (1 − p ) N − n e N! N = n n !( N − n )! (1 − p ) N − n M N − n ( Mp ) n − M ∞ [(1 − p ) M ]i ∑n ( N − n )! = n ! e ∑ i! N= i=0
p(n) = N0 ! pn (1− p)N0 −n ( N0 − n)!n! (4.1.1)
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期望值和方差为： 期望值和方差为：
E(n) = m = N0 p = N0 (1− e−λt )
D(n) = σ 2 = N0 p(1 − p) = N0 pe−λt
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计算n 内的概率为： 计算n落在区间 [n1 , n2 ] 内的概率为：
P(n1 ≤ n ≤ n2 ) = ∫
n2 +1 2 n1 −1 2 n2 1 −(n−m)2 2σ 2 1 −(n−m)2 2σ 2 e dn≈ ∫ e dn n1 2πσ 2πσ
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设t时间内由两个源引起的计数 n、n2 分别服从参数为 m、m2 的泊松 1 1 分布。测到的总计数 n = n1 + n2 ，由各种可能的 n、n2 组成，因而有n 分布。 组成，因而有n 1 的概率P(n) P(n)为 的概率P(n)为
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若计数为N 若计数为N时，则
σN =
D(N ) = M (4 .2 .1)
M为真平均值，但未知，一般可用有限次测量平均值或者单次测量 为真平均值，但未知， 值近似替代， 值近似替代，因而有 σN ≈ N ≈ N 也可按标准偏差计算， 也可按标准偏差计算，有
一般通过查标准正态分布函数表进行计算。 一般通过查标准正态分布函数表进行计算。 例：在 t 时间内，放射源放出粒子的平均值为 m=100 。 时间内， 试求： 内放出108个粒子的概率； 108个粒子的概率 试求：1，在时间 t 内放出108个粒子的概率； 的概率。 2，出现绝对偏差m− n ≥ 6 的概率。 解： 已知 m=100，因而有 σ = m =10，由于放射性衰变服从正态分布， 1.已知 1. 由于放射性衰变服从正态分布， 因而有
P(n) = ∑ [ P(n − n2 ; m1 ) • P(n2 ; m2 )]
n2 n m1n − n2 − m1 m2 2 − m2 = ∑[ e ] [ e ] n2 ! n2 ( n − n2 )! n n
=
1 (m1 + m2 ) n e− ( m1 + m2 ) n!
(4.1.8)
为参数的泊松分布。 泊松分布 服从以 (m1 + m2) 为参数的泊松分布。
将上两式代入（4.1.1），并令 将上两式代入（4.1.1），并令N0 p = m ，有 ），