2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题(PDF版)【附参考答案】

武昌区2020届高三年级元月调研考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合}02|{2<--=x x x A ，}2|{a x a x B <<-=，若}01|{<<-=x x B A I ，则=B A Y A ．)2,1(- B. )2,0( C ．)1,2(- D ．)2,2(- 2．已知复数z 满足

i i

=-z z

，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列，11=a ，3223+=a a ，则=n a A ．23-n B. 13-n C ．12-n D ．22-n 4．已知2.0log 1.0=a ，2.0log 1.1=b ，2.01.1=c ，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >> 5．等腰直角三角形ABC 中，2

π

=

∠ACB ，2==BC AC ，点P 是斜边AB 上一点，且PA BP 2=，那么=?+?CB CP CA CP

A ．4- B. 2- C ．2 D ．4

6．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A 学习小组的概率是 A ．

643 B. 323 C ．274 D ．27

8 7．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 2

1

232-=，设11+=n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和.若对任意的*∈N n ，

不等式39+

A B

C

D

M

A 1

A ．)48,(-∞ B. )36,(-∞ C ．)16,(-∞ D ．),16(+∞

8．已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，||2||FB AF =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，l AM ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为 A ．

425 B. 2

2

5 C ．25 D ．210 9．如图，已知平行四边形ABCD 中，ο60=∠BAD ，AD AB 2=，E 为边AB 的中点，将ADE ?沿直线DE 翻折成DE A 1?.若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ?翻折过程中，给出以下命题： ①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使C A DE 1⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面DE A 1. 其中，正确的命题是

A ．①

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

10．函数)sin()(?ω+=x A x f （0>A ，0>ω，2

π

0<

π

5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3

π

2(-

为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3

π

个单位后得 到x y 2sin 2=的图象. 其中正确说法的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．已知F 1，F 2分别为双曲线14

92

2=-y x 的左、右焦点，过F 2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于

A ，

B 两点，记21F AF ?的内切圆半径为r 1，21F BF ?的内切圆半径为r 2，则2

1r r

的值等于

A ．3

B ．2

C ．3

D ．2

12．已知函数2ln e )(---=x x x x f x ，x x x

x g x -+=

-ln e

)(2

的最小值分别为a ，b ，则

A ．b a =

B ．b a <

C ．b a >

D ．a ，b 的大小关系不确定

A 1

B

A

B 1

D

C 1

F

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．6

)12(x

x +

的展开式中，3x 项的系数是______. 14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可

能的取值为______.

15．过动点M 作圆C ：1)2()2(22=-+-y x 的切线，N 为切点.若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的

最小值为______.

16．用I M 表示函数x y sin =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足]2,[],0[2a a a M M =，则a 的值为 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本题12分）

在ABC ?中，已知2

6

5=AB ，7=AC ，D 是BC 边上的一点，5=AD ，3=DC . （1）求B ；

（2）求ABC ?的面积.

18．（本题12分）

如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AC ⊥，21===AC AB A A ，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，B

B 1的中点.

（1）证明：平面⊥F C A 11平面DE B 1； （2）求二面角D E B B --1的正弦值.

19．（本题12分）

元） 已知椭圆E ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭

圆上的点的最短距离为1.

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若不过原点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，求OAB ?面积的最大值.

20．（本题12分）

某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0，200)，[200，400)，[400，600)，…，[1000，1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：

（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？

方案一：每满800元可立减100元；

方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为1

2

，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．

若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案． 附：

)

)()()(()(2

2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.

21．（本题12分）

已知函数1e e )(--+=x x f x .

（1）若e )(-≥ax x f 对R ∈x 恒成立，求实数a 的值；

（2）若存在不相等的实数1x ，2x ，满足0)()(21=+x f x f ，证明：221<+x x .

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???

????+=-

=t y t x 222,2

2

（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正

半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为θ

ρ.22cos 239

-=.

（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MB MA ?的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）

（1）已知||||)(x a x x f +-=，若存在实数x ，使2)(

（2）若0>m ，0>n ，且3=+n m ，求证：

34

1≥+n

m ．

A 1

C B A B 1

D C 1

E F

G H A

B

C

D

武昌区2020届高三年级元月调研考试

理科数学参考答案及评分细则

一、选择题：

二、填空题：

13. 240 14.11-，3，17 15.8

2

7 16.4π3或8π9

三、解答题： 17．（本题12分）

在ABC ?中，已知2

6

5=AB ，7=AC ，D 是BC 边上的一点，5=AD ，3=DC . （1）求B ；

（2）求ABC ?的面积.

解：（1）在ADC ?中，由余弦定理，得2

1

cos -=∠ADC ，

所以ο120=∠ADC ，从而ο60=∠ADB .

在ABD ?中，由正弦定理，得2

2

sin =B ，所以ο45=B . ……………（4分） （2）由（1）知ο75=∠BAD ，且46

275sin +=ο.

所以8

)

33(25sin 21+=

∠??BAD AD AB S ABD

， 4

3

15sin 21=

∠?=

?ADC DC DA S ADC ， 所以8

75

355+=

+=???ADC ABD ABC S S S . ……………（12分） 18．（本题12分） 解：（1）因为AB AC ⊥，AC DE //，所以AB DE ⊥. 因为⊥1AA 平面ABC ，?DE 平面ABC ，所以DE AA ⊥1. 因为A AA AB =1I ，所以⊥DE 平面B B AA 11. 因为?F A 1平面B B AA 11，所以F A DE 1⊥.

易证F A DB 11⊥，因为D E D DB =11I ，

所以⊥F A 1平面DE B 1. 因为?F A 1平面F C A 11，

所以平面⊥F C A 11平面DE B 1. ……………（4分）

（2）方法一：过B 作D B BH 1⊥，垂足为H ，过H 作E B HG 1⊥于G ，连结BG ， 则可证BGH ∠为二面角D E B B --1的平面角.

在BD B 1Rt ?中，求得52=

BH ；在BE B 1Rt ?中，求得6

22=BG .

所以5

15

sin =

=

∠BG BH BGH . ……………………………（12分） 方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.

19．（本题12分）

解：（1）由?????=-=,

1,

3c a c b

及222c b a +=，得2=a ，3=b .

所以，椭圆E 的方程为13

42

2=+

y x . ……………………………（4分） （2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为)0(≠+=m m kx y ，代入椭圆方程，整理，得

01248)34(222=-+++m kmx x k .

由0>?，得03422>+-m k .

设),(11y x A ，),(22y x B ，则348221+-=+k km

x x ，341242221+-=?k m x x .

于是3

43

41344)(1||2

222

212

212

++-?+?=-+?+=k m k k x x x x k AB . 又，坐标原点O 到直线l 的距离为2

1|

|k

m d +=.

所以，OAB ?的面积3

43

4||32||21222++-??=??=k m k m d AB S .

因为21342)

34(34)34(3434||2

2222222222=++-+≤++-=++-?k m k m k m k m k m k m ， 所以，3||2

1

≤??=d AB S .

当直线l 的斜率不存在时，设其方程为m x =，同理可求得

3312||2

1

||212≤-?=??=m m d AB S .

所以，OAB ?面积的最大值为3. ……………………………（12分）

20．（本题12分）

解：（1）因为?+?+?+?+?=90000125.070000100.050000075.030000050.0100(x 620200)00050.0110000100.0=??+（元），

所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元． ……………（2分） （2）列联表如下：

因为841.3762.470

305050)40203010(10022

>=????-?=

K ，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系． ……………………………………（6分）

（3）若选择方案一：则需付款900元；

若选择方案二：设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．

81)21()700(333===C x P ，8

3)21()800(2

23===C x P ，

83)21()900(313===C x P ，81)21()1000(3

03===C x P ，

所以8508

1

1000839008380081700)(=?+?+?+?=X E （元）

因为900850<，所以选择方案二更划算． ……………………………（12分）

21．（本题12分）

解：（1）令1)1(e e)()()(--+=--=x a ax x f x g x ，则a x g x -+='1e )(. 由题意，知0)(≥x g 对R ∈x 恒成立，等价0)(m in ≥x g .

当1≤a 时，由0)(≥'x g 知1)1(e )(--+=x a x g x 在R 上单调递增.

因为01)1(1

)1(<---=-a e

g ，所以1≤a 不合题意；

当1>a 时，若))1ln(,(--∞∈a x ，则0)(<'x g ，若)),1(ln(+∞-∈a x ，则0)(>'x g ， 所以，)(x g 在))1ln(,(--∞a 单调递减，在)),1(ln(+∞-a 上单调递增. 所以0)1ln()1(2))1(ln()(m in ≥--+-=-=a a a a g x g .

记)1( )1ln()1(2)(>--+-=a a a a a h ，则 )1ln()(--='a a h . 易知)(a h 在)2,1(单调递增，在),2(+∞单调递减， 所以0)2()(m ax ==h a h ，即0 )1ln()1(2≤--+-a a a . 而0)1ln()1(2)(m in ≥--+-=a a a x g ，

所以0)1ln()1(2=--+-a a a ，解得2=a . ……………………………（6分） （2）因为0)()(21=+x f x f ，所以)1e (2e e 2121+=+++x x x x . 因为2

212

1

e

2e e x x x x +≥+，21x x ≠，所以2

212

1e

2e e x x x x +>+.

令t x x =+21，则02e 2e 22

<--+t t .

记02e 2e 2)(2<--+=t t m t ，则01e )(2

>+='t t m ，所以)(t m 在R 上单调递增. 又0)2(=m ，由02e 2e 22

<--+t t ，得)2()(m t m <，

所以2+='x x f ，所以)(x f 为增函数. 要证221<+x x ，即要证122x x -<，即要证)2()(12x f x f -<. 因为0)()(21=+x f x f ，即要证0)2()(11>-+x f x f .

记e 2e e )2()()(2-+=-+=-x

x

x f x f x h ，则x

x x x h e )

e e )(e e ()(+-='.

所以0)1()(m in ==h x h ，从而0)2()()(>-+=x f x f x h ，得证.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）

解：（1）方程???

????+=-

=t y t x 222,2

2

可化为02=-+y x .

方程θ

ρ.22

cos 239

-=可化为13922=+

y x . ……………………（5分）

（2）将???

????+=-=t

y t x 222,22

代入13922=+

y x ，得032622=++t t . 设方程032622=++t t 的两根分别为1t ，2t ，则

23

||||||||21=?=?t t MB MA . ………………………………（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）

解：（1）方法一：因为||||||||)(a x a x x a x x f =--≥+-=，

因为存在实数x ，使2)(

方法二：当0=a 时，符合题意.

当0>a 时，因为??

?

??<+-≤≤>-=+-=,0 ,2,0 ,, ,2||||)(x a x a x a a x a x x a x x f 所以a x f =m in )(.

因为存在实数x ，使2)(

当0a .

综上，实数a 的取值范围为)2,2(-. ……………………………（5分） （2）因为3=+n m ， 所以

3)542(31)54(31)41(341=+?≥++=++=+n

m m n n m m n n m n m n m ， 当且仅当2,1==n m 时取等号. ……………………………（10分）