选修1命题与量词2
新教材高中数学第一章命题与量词课后篇巩固提升含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：1.2 常用逻辑用语1.2.1 命题与量词课后篇巩固提升合格考达标练1.(多选题)(2021黑龙江哈尔滨第六中学期末)下列命题为假命题的是( )A.若P={y|y=x 2},Q={x|y=x 2},则P ⊆QB.若集合A={(x ,y )|y=x-1},B={(x ,y )|y=-x 2+1},则A ∩B={-2,1}C.任何集合都有真子集D.若A ∩B=⌀,则A ,B 至少有一个为空集{y|y=x 2}=[0,+∞),Q={x|y=x 2}=R ,则P ⊆Q ,所以A 正确;若集合A={(x ,y )|y=x-1},B={(x ,y )|y=-x 2+1},由{y =x -1,y =-x 2+1,解得{x =-2,y =-3或{x =1,y =0,则A ∩B={(-2,-3),(1,0)},所以B 不正确;空集没有真子集,所以C 不正确;若A ∩B=⌀,则A ,B 至少有一个为空集或A ,B 两个集合中没有相同的元素,所以D 不正确.故选BCD .2.下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x ,使x 2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x ,使1x >2中锐角三角形的内角是锐角或钝角是假命题;B 中x=0时,x 2=0,所以B 是存在量词命题又是真命题;C 中因为√3+(-√3)=0,所以C 是假命题;D 中对于任何一个负数x ,都有1x <0,所以D 是假命题. 3.用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0,符号表示为 ;(2)存在一对实数x ,y ,使2x+3y+3>0成立,符号表示为 .∀x ∈R ,有x 2≥0 (2)∃x ,y ∈R ,使2x+3y+3>0成立4.(2020江苏连云港高一检测)若“∃x ∈R ,x 2+2x-a<0”是真命题,则实数a 的取值范围是 .-1,+∞)“∃x ∈R ,x 2+2x-a<0”是真命题,则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.则实数a 的取值范围为(-1,+∞).5.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,并判断其真假.(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°.(2)对所有的实数a ,b ,方程ax+b=0都有唯一解.(3)存在实数x ,使得1x 2-x+1=2.是存在量词命题,是假命题.(2)是全称量词命题,是假命题.(3)是存在量词命题,是假命题.等级考提升练6.(2021江西宜春高安中学高二期末)设非空集合M ,N 满足M ∩N=N ,则( )A.∃x ∈N ,有x ∉MB.∀x ∉N ,有x ∈MC.∃x ∉M ,有x ∈ND.∀x ∈N ,有x ∈MM ∩N=N ,所以N ⊆M ,所以∀x ∈N ,有x ∈M.故选D .7.(多选题)下列命题中是真命题的是( )A.∀x ∈R ,2x 2-3x+4>0B.∀x ∈{1,-1,0},2x+1>0C.∃x ∈N ,使√x ≤xD.∃x ∈N *,使x 为29的约数A,这是全称量词命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x 2-3x+4>0恒成立,故A 为真命题;对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B 为假命题;对于C,这是存在量词命题,当x=0时,有√x ≤x 成立,故C 为真命题;对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x 为29的约数成立,所以D 为真命题.8.(2020山东济南高一月考)下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是( )A.至少有一个x ∈Z ,使得x 2<3成立B.对任意a ,b ∈R ,都有a 2+b 2≥2(a+b-1)C.∃x ∈R ,√x 2=xD.菱形的两条对角线长度相等A,因为02<3,0∈Z ,所以至少有一个x ∈Z ,使得x 2<3成立,是真命题,不是全称量词命题; 对于B,因为a 2+b 2-2(a+b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以B 为真命题,又因为任意a ,b ∈R 都使命题成立,故本命题符合题意;对于C,当x ≥0,√x 2=x 成立,是真命题,不是全称量词命题;对于D,并不是所有的菱形对角线长度都相等,是假命题.9.已知命题“存在x ∈R ,使ax 2-x+2≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是 .答案18,+∞“存在x ∈R ,使ax 2-x+2≤0”是假命题,所以命题“∀x ∈R ,使得ax 2-x+2>0”是真命题,当a=0时,得x<2,故命题“∀x ∈R ,使得ax 2-x+2>0”是假命题,不合题意;当a ≠0时,得{a >0,Δ=1-8a <0,解得a>18. 10.(1)已知对任意的x ∈{x|1≤x ≤3},都有m ≥x ,求实数m 的取值范围.(2)已知存在实数x ∈{x|1≤x ≤3},使m ≥x ,求实数m 的取值范围.由于对任意的x ∈{x|1≤x ≤3},都有m ≥x ,故只需m 大于或等于x 的最大值,即m ≥3.实数m 的取值范围为[3,+∞).(2)由于存在实数x ∈{x|1≤x ≤3},使m ≥x ,故只需m 大于或等于x 的最小值,即m ≥1.实数m 的取值范围为[1,+∞).新情境创新练11.(2020北京高一月考)在平面直角坐标系xOy 中,设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合.从Ω中的任意点P 作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M P ,N P .所有点M P 构成的集合为M ,M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为x (Ω);所有点N P 构成的集合为N ,N 中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为y (Ω).给出以下命题:①x (Ω)的最大值为√2;②x (Ω)+y (Ω)的取值范围是[2,2√2];③x (Ω)-y (Ω)恒等于0.其中正确结论的序号是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③,根据正方形的对称性,设正方形的初始位置为正方形OABC ,画出图形,如下图所示:正方形的边长为1,所以正方形的对角线长为√2. 当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时,可以发现当对角线OB 在横轴时,如图所示,x (Ω)的最大值为√2,故结论①正确;此时x (Ω)=√2,y (Ω)=√2,所以有x (Ω)+y (Ω)=2√2,当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时,当正方形有一边在横轴时,x (Ω),y (Ω)有最小值为1,即x (Ω)=1,y (Ω)=1,所以x (Ω)+y (Ω)有最小值为2,故结论②正确;又因为在旋转过程中(以旋转的角θ∈[0°,45°]为例),x (Ω)=√2cos(45°-θ),y (Ω)=√2cos(45°-θ),所以x (Ω)=y (Ω),所以x (Ω)-y (Ω)恒等于0,故结论③正确.。
高中数学选修1-1、1-2、4-4知识点高考复习总结
选修1－1、1-2数学知识点 选修1－1数学知识点第一章 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p q p q ∧ p q ∨ p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二章 圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
高中数学选修1-1知识点总结归纳(经典版)
高中数学选修1-1知识点总结归纳（经典版）常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。
其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
1.1.2 四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、以上总结概括：1.1.3 四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
1.2 充要条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1、充要条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
人教B版高中数学必修第一册 1-2-1《命题与量词》课件PPT
（2）含有存在量词“有些”，是存在量词命题.
（3）含有存在量词“有些”，是存在量词命题.
（4）含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.
1.命题真假的判断
例1 判断下列命题的真假.
（1）∀ ∈ ，2 + 4 > 0.（2）∀ ∈ {1， − 1，0}，2 + 1 > 0.
解 （1）这是全称量词命题，∵
（7）-2不是整数.（8）4>3.
【解】
（1）是疑问句，不能判断真假，不是命题.（2）是命题，是假命题.
（3）是开语句，无法判断真假，不是命题.
（4）和（5）都是祈使句，不能判断真假，不是命题.（6）是感叹句，不能判断真假，不是命题.
（7）是命题，是假命题.（8）是命题，是真命题.
量词——全称量词及全称量词命题
（2）∀ ∈N，2 > 0.
（3）∀ ∈Q，32 + 6 − 1是有理数.
1
量词——存在量词及存在量词命题
存在
量词
存在
定义
符号表示
定义
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或
部分，称为存在量词
∃
含有存在量词的命题，称为存在量词命题
量词 一般形式 存在集合中的元素，（）
求的取值范围.
解：当为真命题时， ≥ 6或 ≤ −1.
当为真命题时， > −1.又是假命题，∴ ≤ −1.
故当是真命题且是假命题时，的取值范围为 ≤ −1.
反思感悟
已知含参命题的真假，求参数的思路
此类型题目一般与不等式相结合.
求解此类型题目的思路往往是在给出命题真假的前提下，分别求出各命题中参数
课堂小结
课件2：1.1 命题与量词
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它 的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. (2)若整数a是素数,则a是奇数.
(3)对于任意的实数a,都有a2+1>0.
(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它 的真假。
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题与量词
一、命题
1.定义：能判断真假的语句叫做命题. 2.如何判断某个语句是否命题？ 首先，要看这个句子的句型.
一般的，陈述句，反意疑问句是命题，疑问句、祈使 句、感叹句都不是命题. 其次，要看能否判断真假，也就是判断其能否成立. 不能判断真假的语句不能叫命题.
特别地：在数学或其他科学技术中的一些猜想仍 是命题. 3.命题的表示方法：
(4)每一个向量都有方向.
(3)全称命题.
x R, x x 1
(4)全称命题. 向量a, a有方向
练习1.用量词“ ”表达下列命题:
(1)实数都能写成小数形式;
XR,x能写成小数形式
(2)凸多边形的外角和等于2π
X {x|x是凸n边形},x的外角和等于2
（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数
x M,p(x)
短语“有一个”或“至少有一个”在陈述中也表示 数量，逻辑中通常叫做存在性量词，并用符号
“ ”表示.含有存在性量词的命题叫做存在性命
题. 定义：2.存在性命题就是某集合中有（存在）一些 元素具有某种性质的命题.
设q(x)是某集合M的有些元素x具有的性质,那么存在性 命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题.简
记为：x M,q(x)
新教材高中数学必修一第一章 1.2.1 命题与量词
§1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词学习目标1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．知识点一命题的概念知识点二全称量词和存在量词1．“这盆花长得太好了！”是命题．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(×)4．在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(×)5．“四边形的内角和是360°”是全称量词命题．(√)一、全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)存在实数x，满足x2≥2；(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．解(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.(3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，它的对角线不互相垂直．(4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．反思感悟判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．跟踪训练1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)有的一次函数图像经过原点；(3)所有的二次函数的图像的开口都向上．解(1)全称量词命题．表示为∀x∈R，x2＋x＋1>0.(2)存在量词命题．∃一次函数，它的图像过原点．(3)全称量词命题．∀二次函数，它们的图像的开口都向上．二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2；(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.解(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在a＝－5，b＝－3，a<b，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题．(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．反思感悟全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x0的存在性，若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题．跟踪训练2判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，x2＋1>0；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)∀x∈N，x2>0.解(1)因为x2＋1≥1>0，所以命题是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3已知命题“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．解∵“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上恒成立．又y＝2x－1－m在[1,2]上的最小值为1－m.∴1－m≥0.解得m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．延伸探究若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解∵“∃x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上有解．函数y＝2x－1－m在[1,2]上的最大值是2×2－1－m＝3－m.∴3－m≥0，故m≤3.∴实数m的取值范围是(－∞，3]．反思感悟应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．跟踪训练3(1)是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.(2)不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>t min.又t＝(x－1)2＋4，∴t min＝4，∴m>4.所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．1．下列命题不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．我班绝大多数同学是团员D．每一个方程都有实数解答案 C解析“我班绝大多数同学是团员”，即“我班有的同学不是团员”，是存在量词命题．2．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．3．下列是存在量词命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x3>0 B．∃x∈Z，x2>2C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0答案 B解析对于A，∀x∈R，x3>0是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．答案①③解析①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．5．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题．(填“真”或“假”)答案存在量词命题假解析命题中含有量词“∃”，故为存在量词命题．又Δ＝22－4×5＝－16<0，故方程x2＋2x＋5＝0无实根，即命题为假命题．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．(2)含量词的命题的真假判断．(3)通过含量词的命题的真假求参数．2．方法归纳：转化与化归、分离参数法．3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．1．(多选)对语句：“如果x>1，那么x>2”，下列判断正确的是() A．不是命题B．是命题C．是假命题D．是真命题答案BC解析能够判断真假，所以是命题，而且x>1不一定有x>2，∴是假命题．2．(多选)下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是() A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任意一个x∈R，使得x2>3D．所有x∈R，使得x2>3答案CD3．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成()A．若x∈R，则x2＋1>0B．∀x∈R，x2＋1<0C．∃x∈R，x2＋1<0D．以上都不正确答案 C解析存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示．4．(多选)下列命题中是存在量词命题的是()A．有些自然数是偶数B．正方形是菱形C．能被6整除的数也能被3整除D．存在一个x0∈R，满足|x0|≥0.答案AD解析命题A含有存在量词；命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题D是存在量词命题．5．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．当k>0时，一次函数y＝kx＋b在R上y随x的增大而增大答案 D解析A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“任意的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题．6．有下列命题：①有的质数是偶数；②与同一条直线平行的两条直线平行；③有的三角形有一个内角为60°；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称量词命题的为________，是存在量词命题的为________．(填序号)答案②④①③解析①③是存在量词命题，②④是全称量词命题．7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．答案∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使s(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．8．试判断下列全称量词命题的真假：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.其中真命题的个数为________．答案 1解析①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．③当x ＝y ＝0时，x 2＋y 2＝0，所以是假命题．9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数． 解 (1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题．如当a ＝0，b ＝0时，该方程的解有无数个．(3)∃x ，y ∈Z,3x －2y ＝10；真命题．(4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题． 10．已知命题p ：∀x ∈R ，函数y ＝ax 2＋2x ＋3的图像总在x 轴上方是真命题，求实数a 的取值范围．解 命题p 为真命题，①当a ＝0时，一次函数y ＝2x ＋3的图像总在x 轴上方，显然不能恒成立；②当a ≠0时，由二次函数y ＝ax 2＋2x ＋3的图像总在x 轴上方，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝22－4×a ×3<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a >13，∴a >13. 综上，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a >13.11．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则下列选项正确的是()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．12．(多选)下列结论中错误的是()A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题答案ABD解析当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B，D错误，C项正确．13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．答案{a|a<1}解析当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.14．命题p：任意x∈R，一次函数y＝－2x＋b的图像都不经过第一象限，若命题p为真命题，则实数b的取值范围是________．答案(－∞，0]解析因为一次函数y＝－2x＋b的图像都不经过第一象限，则b≤0.所以实数b的取值范围为(－∞，0]．15．命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1,1) D．[－1,1]答案 A解析由命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”为真命题，即对于∀x∈[1,2]，m<2x2－x恒成立，得m<(2x2－x)min＝1，所以m<1.16．已知函数y1＝x21，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．解因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，解得m≥－4，所以m的取值范围为[－4，＋∞)．。
第2节 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定
作“___綈__p_”.
索引
2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事 物的全体，称为全称量词，用符号“___∀_”表示. (2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个 体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示.
索引
5.(2020·合肥调研)能说明命题“∀x∈R 且 x≠0，x＋1x≥2”是假命题的 x 的值可
以是__－___1_(_任__意___负__数__)____(写出一个即可).
解析 当 x>0 时，x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号， 当 x<0 时，x＋1x≤－2，当且仅当 x＝－1 时取等号， ∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.
索引
2
考点分层突破
考点聚焦
题型剖析
考点一 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
师生共研
【例 1】 (1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是
A.∃x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0 B.∃x0∈(0，1)，log x0＞log x0 C.∀x∈(0，＋∞)，21x＞log x D.∀x∈0，13，12x＜log x
索引
【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有 A.∀x∈R，2x－1＞0
( ACD )
B.∀x∈N*，(x－1)2＞0
C.∃x0∈R，lg x0＜1 D.∃x0∈R，tan x0＝2 解析 当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.
索引
【训练1】(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是
人教高中数学B版必修一 第一章 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
第一章 集合与常用逻辑用语
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
q
¬q
结论
全称量词命题 ∀x∈M，q(x)
∃x∈M，¬q(x)
全称量词命题的否定 是____存__在__量__词__命__题____
存在量词命题 ∃x∈M，p(x)
__∀_x_∈__M__，__¬_p_(x_)___
存在量词命题的否定 是___全__称__量__词__命__题____
[注意] 全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存 在量词一般不能省略．
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
1．给出下列命题： ①存在实数 x＞1，使 x2＞1； ②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数 a，使 ax2－ax＋1＝0 的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( )
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
考点
学习目标
核心素养
理解全称量词、全称量词命 全称量词命题与存在
题的定义，理解存在量词、 数学抽象 量词命题的定义
存在量词命题的定义
全称量词命题与存在 掌握判断全称量词命题与 量词命题的真假判断 存在量词命题真假的方法
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在 M 中找到一
个 x，使得 q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．
(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对 M 中的
每一个 x，均有 p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成