高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章.2用空间向量研究距离、夹角问题公开课ppt下载-
用空间向量研究距离、夹角问题(第二课时)高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
β
m n
α
β
m n
α
n,m
β
m
n
α
cos | cos n , m |
β
m
n
α
n,m
用空间向量求平面 α 和平面 β 夹角 θ 的步骤与方法：
化为向量问题 进行向量运算
① 转化为平面 α 的法向量 n 和平面 β 的法向量 m 的夹角 ② 计算| cos n , m | | n m |
| u || v |
③ 两直线 l1，l2 夹角 θ 的余弦值 cos | cos u , v |
设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)， 则直线 a 和 b 所成的角为___6_0____．
在 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， AA1⊥ 底 面 ABC ， AB ＝ BC ＝ AA1 ， ∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点， 试求直线 EF 和 BC1 所成角的大小. 60
u
v
l1
u,v
l2
vu
l1
cos | cos u , v |
l2
u v
l1
u,v
用空间向量求两条直线 l1，l2 夹角 θ 的步骤与方法：
化为向量问题 进行向量运算
① 转化为求两直线 l1，l2 的方向向量 u，v 的夹角 ② 计算 | cos u , v | | u v |
| u || v |
① 求直线 l 的方向向量 u 和平面 α 的法向量 n ② 计算 | cos u , n | | u n |
| u || n |
③ 直线 l 和平面 α 所成角 θ 的正弦值 sin | cos u , n |
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
思考：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.
|| =
设 = ，如何利用这些条件求点到直线的距离？
Ԧ
追问1：与有何关系？
是在直线上的投影向量，
且 = ||
Ԧ ∙ cos∠ ∙ = (Ԧ ∙ ) ∙
面的距离公式为？
点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.
因此 = | ∙
|
||
=
∙
|
|
||
=
|∙|
.
||
追问：如何求直线与平面间的距离？
两个平行平面间的距离？
⟺点到平面的距离
α
典例精析
例题：如图，在棱长为1的正方体 − 1 1 1 1 中，为线段1 1 的中
(4)求距离 =
|∙|
.
||
α
归纳总结
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用
空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、
直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的
2
2
2
2
1
因为 = 1 = (−1, , 0)，所以//1 ，即//平面1 .
2
所以点到平面1 的距离即为直线到平面1 的距离.
设平面1 的法向量为 = (, , )，
1
2
− =0
∙ = 0
则
，即
，取 = 1，则 = (1,2,1)，
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修一
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
学习目标
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与 平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题 的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
重点：理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤. 难点：辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角.
（1）异面直线所成角的范围为（0°，90°］，其余弦值一定是非负数；
（2）异面直线所成的角的求解思路是通过异面直线的方向向量，转化为求方向向量夹角
余弦值的绝对值；
（3）异面直线所成的角也可通过几何法求解，求解思路是通过平移异面直线为相交直线，
转化为求两条相交直线所成的角.
2.直线与平面所成角 直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB 与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的 法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ u n ＝ | u n | .
设平面PCF的法向量为n＝（x，y，z），
则
n
CF
ax
ay0，n
CP
ax
ay
az0，解得
x z
y, 2x.
取x＝1，得n＝（1，1，2）.
设点A到平面PCF的距离为d，又 AC ＝（a，a，0），
则d＝ | AC n | a1 a1 0 2 6 a.
|n|
6
3
（2）由于 BP ＝（-a，0，a）， BC ＝（0，a，0）， AP ＝（0，0，a）.
【解】 { AB ， AD ， AA1 }可以作为空间的一个基底， 且| AB |＝a，| AD |＝a，| AA1 |＝b，〈 AB ， AD 〉＝90°，〈 AA1 ， AB 〉＝120°， 〈 AA1 ， AD 〉＝120°.
数学人教A版2019选择性必修第一册1
离，也可转化为平面内某点到平面的距离.（）
答案：×，√，√.
例析
例6.如图，在棱长为1的正方体 − 1 1 1 1 中，为线段
1 1 的中点，为线段的中点.
(1)求点到直线1 的距离；(2)求直线到平面1 的距离.
1.4.2 用空间向量研究距
离、夹角问题
(第1课时：用空间向量研究距离
问题)
复习引入
我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及
两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢？
下面我们先研究用向量方法求直线外一点到直线的距离.
问题1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何
练习
变1.在长方体 − 1 1 1 1 中， = 2， = 3，1 = 2，求1 到直线
的距离.
解：建立如图所示的空间直角坐标系.则(2,0,0)，1 (0,0,2)，
1 (4,0,1)，(0,3,0)，∴1 = (−2,0,2)， = (−2,3,0)，
外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线
的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量
的长度.因此
= | ∙
|
||
=
∙
|
|
||
=
|∙|
.
||
新知探索
思考2：类似地，请同学们研究如何求平行于平面的直线到平面的距离？两个平
行平面之间的距离呢？
解：以1 为原点，1 1 ，1 1 ，1 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图
1
所示的空间直角坐标系，则(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，1 (0,1,0)，(1, , 0)，
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1
探究二:空间中直线、平面的平行
同学们，我们已经知道，要想得到空间中直线、平面的位置关系， 需要严谨的证明，那么我们现在已经具有空间向量这一个工具， 那么直线、平面位置关系上的证明，可否利用空间向量的坐标运算得到解释呢？
.
如图，设 u1 ， u2 分别是直线 l1 ， l2 的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它 们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以 l1 l2 u1 u2 R ，使得 u1 u2 .
同学们，立体几何的基本图形包括点、线、面， 大家知道怎样在空间中表示一个点吗？
.
1.空间中点的向量表示：如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以 用向量 OP 来表示. 我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量.
直线的空间向量怎么表示呢？
.
2.空间中直线的向量表示：如图，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取 AB a ，设 P 是直线 l 上的任 意一点，由向量共线的条件可知，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使得 AP ta ，即 AP t AB .
.
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的 方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.
.
如图（1），设直线 l1 ， l2 的方向向量分别为 u1 ， u2 ，则 l1 l2 u1 u2 u1 u2 0 .
如图（2），设直线 l 的方向向量为 u，平面 的法向量为 n，则 l u n R ，使得 u n .
A. (1, 2, 1)
B. (1, 2,1)
C. (1, 2, 1)
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高中数学人教A 版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B未命名一、单选题1．若平面a 的法向量为n r ，直线l 的方向向量为a r，直线l 与平面a 的夹角为q ，则下列关系式成立的是A ．cos n an a q ×=×r r r rB ．cos n an aq ×=×r r r r C ．sin n an aq ×=×r r r rD ．sin n an aq ×=×r r r r 2．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA 上，13AE A E =，点G 是棱CD 的中点，点F 满足114BF BB =uuu r uuur，则直线EF 与直线1D G 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．45CD3．如图，在三棱锥P ABC -中，已知12PA PB AC ===2AB BC ==，平面PAB ^平面ABC ，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为（ ）ABCD4．已知()1,1,1a ®=，()()0,,101b y y ®=££，则®的最大值为（ ）A B C D 5．如图，已知正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢-的棱长为4，E 为棱AB 的中点，点P 在侧面CC D D ¢¢上运动，当平面B EP ¢与平面ABCD ，平面CC D D ¢¢所成的角相等时，D P ¢的最小值为（ ）A B C ．D 6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ^平面BCD ，BC CD ^，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ）A B C D 二、多选题7．如图，ABC V 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =Ð=а，则（ ）A ．直线AD 与直线BC 所成角的大小为90°B ．直线AB 与直线CDC ．直线AD 与平面BCD 所成角的大小为45°D ．直线AD 与平面BCD 所成角的大小为60°8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．BD ^平面1ACC C ．向量1B C uuur 与1AA uuur的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 三、填空题9．已知AB 和CD 是异面直线，()2,1,3AB =-uuu r ，()1,3,2CD =-uuu r，则AB 和CD 所成角的大小为______．10．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点.当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M =___________.11．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．12．若直线a 的方向向量为a r，平面α，β的法向量分别为,n m r u r ，则下列命题为真命题的序号是____.（1）若a r ⊥n r，则直线a ∥平面α；（2）若a r ∥n r，则直线a ⊥平面α；（3）若1cos ,2a n =r r ，则直线a 与平面α所成角的大小为π6；（4）若1cos ,2m n =u r r ，则平面α，β的夹角为π3.四、解答题13．如果12,n n r r分别是平面12,a a 的一个法向量，设1a 与2a 所成角的大小为q ，写出cos q 与12cos ,n n <>ur uu r之间的关系.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AA C C ^平面ABC ,90ABC Ð=°，1130,,,BAC A A A C AC E F Ð=°==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ^；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ^底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ^，且3,1PB AB AD BC ====．（1）若点F为PD上一点且13PF PD=，证明：//CF平面PAB；（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值．参考答案：1．D【分析】根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.【详解】由于直线l 与平面a 的夹角为q ，其中0q p £<，所以sin 0q ³，所以sin cos n a n a n aq ×=×=×r r r rr r .故选：D【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.2．B【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则32,0,2E æöç÷èø，12,2,2F æöç÷èø，()10,0,2D ，()0,1,0G ，所以()0,2,1EF =-u u u r，()10,1,2D G =-uuuu r ，由题知4cos ,5EF =uuu r ，所以直线EF 与直线1D G 所成角的余弦值为45故选：B3．A【分析】取AB 的中点为D ，连接PD ，证明PD ^平面ABC ，AB BC ^，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.【详解】取AB 的中点为D ，连接PD 因为PA PB =，所以PD AB ^，因为平面PAB ^平面ABC ，平面PAB Ç平面ABC AB =，PD Ì平面PAB 所以PD ^平面ABC因为12PA PB AC ===2AB BC ==所以AB BC^如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,0,1,1,2,0,0B A P C 所以()()0,2,0,2,1,1AB PC =-=--uuu r uuu r所以异面直线PC 与AB=故选：A 4．D【分析】构造正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为1，()11,1,1OB a ®®==,点E 在线段11D C 上移动.当E 在1C 位置时，cos ,a b ®®最大，利用向量的夹角公式即得解.【详解】利用作图法，构造正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为1，如图所示.则()11,1,1OB a ®®==，()0,,1b OE y ®®==，且点E 在线段11D C 上移动.当E 在1C 位置时，,a b ®®最小，即®最大，则cos ,a ®=为最大值.故选：D 5．B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,4)B ¢,()(2,0,0),2,0,4E B E ¢=-uuur. 设(,4,)(0P x z x ££4,04),z ££ 则(2,4,).EP x z =-uuu r易知平面ABCD 和平面CC D D ¢¢的一个法向量分别为12(0,0,1),(0,1,0)n n ==ur uu r.设平面B EP ¢的法向量为3(,,)n a b c =u u r ，则 3300n B E n EP ì×=ïí×¢=ïîu u v uuuv u u v uuu v 即 240,(2)40,a c x ab zc -=ìí-++=î取1c =，可得2,42,4a x zb =ìïí--=ïî所以 3422,,14x z n --æö=ç÷èøu u r 为平面B EP ¢的一个法向量.由题意,平面B EP ¢与平面ABCD ，平面CC D D ¢¢所成的角相等，所以1323cos ,cos ,n n n n =Þu u r uu r r u u r u .1323|||||24|4n n n n x z ×=×Þ+-=Þur u u r uu r u u r280x z +-=或20.x z +=在平面CC D D ¢¢上，直线280x z +-=过点()4,4,0D 和C D ¢¢的中点()2,4,4，在平面CC D D ¢¢上，直线20x z +=只过点()0,4,0，即点C ，取G 为C D ¢¢的中点,连接GD ，则点P 在DG 上运动或点P 在点C 处，由等面积法可得D P ¢=故选：B.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.6．C【解析】画出四面体A BCD-，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.【详解】四面体A BCD-是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M(1,1,1),(0,2,0)BM CD==uuuu r uuurcos,||BM CDBM CDBM CD×áñ===×uuuu r uuu ruuuu r uuu ruuuu r uuu r因为异面直线夹角的范围为0,2pæùçúèû，所以异面直线BM与CD故选：C【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题. 7．ABC【分析】建立适当的空间直角坐标系，再求线线角和线面角即可.【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-，设2AB =，则(0,A -，()0,2,0C ，)1,0D -，所以AD =uuu r ，()0,2,0BC =u u u r ，(0,1,AB =uuu r ，)3,0CD =-uuu r .因为0AD BC ×=uuu r uuu r ，所以AD BC ^，即直线AD 90°，A 正确..因为cos ,AB uuu r uuu所以直线AB 与直线CD B 正确..设AD 与平面BCD 所成的角为q ，因为()0,0,1n =r 是平面BCD 的一个法向量，所以sin cos q =uuu 45q =°，即直线AD 与平面BCD 所成角的大小为45°，C 正确，D 错.故选：ABC.8．AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur ，\22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++×+×+×uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur363636266cos60266cos60266cos60216=+++´´´°+´´´°+´´´°=，所以1||AC ==A 错误；对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ×=++×-uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =×-+×+×--×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r ，所以10AC DB ×=uuuu r uuu r ，即1AC DB ^，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ×=+×-==--=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以0AC BD ×=uuu r uuu r ，即AC BD ^，因为1AC AC A Ç=，1,AC AC Ì平面1ACC ，所以BD ^平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C uuur 与1BB uuur 的夹角是18060120°-°=°，所以向量1B C uuur 与1AA uuur 的夹角也是120°，选项C 错误；对于11:D BD AD AA AB =+-uuuu r uuu r uuur uuu r ，AC AB AD=+uuu r uuu r uuu r 所以()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++×-×-×uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r，1||BD \=uuuu r同理，可得||AC =uuu rQ 11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ×=+-×+=+-++-=uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r ，所以111cos ||||AC BD BD AC AC BD ×<×>=×uuu r uuuu r uuu r uuuuuu r ，所以选项D 正确．故选：AC ．9．60°##3p【分析】根据向量数量积求出AB uuu r 与CD uuu r 夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围即可求出角．【详解】1cos ,2AB CD AB CD AB CD×===-×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，∵异面直线夹角范围是(0,90ùûo o ，∴AB 和CD 所成角的大小为60°．故答案为：60°．10．85【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面1D MN 、平面ABCD 的法向量，然后按照公式计算进行判断即可.【详解】如图设()()4,0,04M a a ££，()()12,4,0,0,0,4N D ()()12,4,,2,4,4MN a D N =--=-uuuu r uuuu r 设平面1D MN 的一个法向量为(),,n x y z =r ()()14240042440048a z x x y az n MN x y z n D N a zy ì-=ïì-+-=×=ìïïÞÞííí+-=×=+ïîîï=ïîuuuu v v uuuu v v 令8z =，82,4x a y a =-=+，则()82,4,8n a a =-+r 平面ABCD 的法向量的一个法向量为()10,0,1n =ur 设平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角为q所以cos =当2412105a ==时，cos q 有最大，则q 有最小，所以185A M =故答案为：8511．60°【分析】由题意作出正三棱锥S ABC -，设O 为底面ABC V 的中心，过S 作SE AB ^交AB 于点E ,连接EO ，可得SEO Ð为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件23SAB ABC S S =V V ，得出2SEOE =，从而得出答案.【详解】如图在正三棱锥S ABC -中，设O 为底面ABC V的中心，连接SO ,则SO ^平面ABC .过S 作SE AB ^交AB 于点E ,连接EO则SO AB ^,又SE AB ^，且SE SO S Ç=,所以AB ^平面SEO则OE AB ^,所以SEO Ð为侧面和底面所成二面角的平面角.在正三角形ABC V 中，O 为中心，3++32ABC OBC OAB OAC OAB S S S S S AB OE ===V V V V V 由条件有122332SAB ABC AB SE S S AB OE ×==×V V ，可得2SE OE =在直角三角形SOE 中，1cos 2EOSEO ES Ð==所以60SEO Ð=°故答案为：60°【点睛】本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.12．(2)(3)(4)【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面，面面的关系即可得出结论.【详解】若a r ⊥n r ，则直线a 与平面α平行或在平面α内，所以(1)是假命题；若a r ∥n r ，则a r 也是平面α的法向量，所以直线a ⊥平面α，所以(2)是真命题；直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值，所以(3)是真命题；两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以(4)是真命题.故答案为：(2)(3)(4).13．12cos cos ,n n q =-<>ur uu r 或12cos cos ,n n q =<>ur uu r 或12cos cos ,0n n q =<>=ur uu r 【分析】分析两个平面所成角为钝二面角、锐二面角、直二面角三种情况.【详解】当两个平面12,a a 所成角为钝二面角，此时12cos cos ,n n q =-<>ur uu r ，当两个平面12,a a 所成角为锐二面角，此时12cos cos ,n n q =<>ur uu r ，当二面角的平面角为直角时，12cos cos ,0n n q =<>=ur uu r 14．（1；（2【分析】（1）以1D 为原点，11111D A D C D D ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取a AB =r uuu r ，11AC u AC =uuuu r r uuuu r ，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点B 到直线1AC 的距离；（2）易证//FC 平面1AEC ，则点F 到平面1AEC 的距离为直线FC 到平面1AEC 的距离，求出平面1AEC 的一个法向量，再求出(0)1,,02AF =uuu r ，根据点到面的距离公式，可得直线FC 到平面1AEC 的距离．【详解】以1D 为原点，11111D A D C D D ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1111,0,11,1101,10)10101,,12()()()2(A B C C E F æöæöç÷ç÷èøèø,,,，,,,,,,,，所以(0,1,0)AB =uuu r ，1(1,1,1)AC =--uuuu r ，)10,,12(AE -=uuu r ， 11111,,01,,0,,02)2(),(),2(0EC FC AF =--==uuuu r uuu r uuu r .（1）取(0,1,0)a AB ==r uuu r，)111,1,1AC u AC ==--uuuu r r uuuu r，则21,a a u =×=r r r 所以，点B 到直线1AC==. （2）因为111,,02FC EC æö==-ç÷èøuuu r uuuu r ，所以1//FC EC，所以//FC 平面1AEC .所以点F 到平面1AEC 的距离为直线FC 到平面1AEC 的距离.设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则100n AE n EC ì×=ïí×=ïîuuu v v uuuu v v 所以102102y z x y ì-=ïïíï-+=ïî所以2x z y z=ìí=î取1z =，则1,2x y ==.所以，(1,2,1)n =r 是平面1AEC 的一个法向量.又因为(0)1,,02AF =uuu r ，所以点F 到平面1AEC.即直线FC 到平面1AEC15．（1）证明见解析；（2）35.【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AA C △中，AE EC =，则1A E AC ^，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，由面面垂直的性质定理可得：1A E ^平面ABC ，故1A E BC ^，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ^，故11A B BC ^，且1111A B A E A =I ，由线面垂直的判定定理可得：BC ^平面11A B E ，结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ^.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则AE EC ==11AA CA ==3BC AB ==，据此可得：()()()130,,,0,0,3,2A B A C æöç÷ç÷èø，由11AB A B =uuu r uuuu r 可得点1B的坐标为132B æöç÷èø，利用中点坐标公式可得：34F æöç÷èø，由于()0,0,0E ，故直线EF的方向向量为：34EF æö=ç÷èøuuu r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：()()133,,30223,,02m A B x y z x z m BC x y z y uuuv v uuu v v ìæö×=×=+=ïç÷ç÷ïèøíæöï×=×=-=ç÷ïç÷èøî，据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF æö=ç÷èøuuur此时4cos ,5EF =uuu r u ，设直线EF 与平面1A BC 所成角为q ，则43sin cos ,,cos 55EF m q q ===uuu r u r .【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.16．（1）证明见解析（2）12【分析】（1）作//FH AD ，根据比例关系可知1HF =，从而可证得四边形HFCB 为平行四边形，进而得到//CF BH ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作//FH AD 交PA 于H ，连接BH13PF PD =Q 113HF AD \==又//AD BC 且1BC = //HF BC \且HF BC=\四边形HFCB 为平行四边形 //CF BH\BH ÌQ 平面PAB ，CF Ë平面PAB //CF \平面PAB（2）PB ^Q 平面ABCD ，BC Ì平面ABCD PB BC\^又AD AB ^，//AD BC AB BC\^则可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0B ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,3,0A ()3,3,3PD \=-uuu r ，()0,3,3PA =-uuu r ，()3,3,0BD =uuu r 设平面PBD 的法向量(),,n x y z ®=则3330330n PD x y z n BD x y ì×=+-=í×=+=îuuu v r uuu v r ，令1x =，则1y =-，0z = ()1,1,0n ®\=-设直线PA 与平面BPD 所成角为q1sin |cos ,2PA n q ®®\=<=【点睛】关键点点睛：线面平行的判定，关键要利用三角形中位线，平行四边形寻求直线与直线的平行关系，利用线面平行的判定定理求解，属于中档题.。
1.4.2.2用空间向量研究夹角问题高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3
Ԧ
|
2
3
Ԧ
|.
2
Ԧ
= 4 3||.
又因为降落伞匀速下落，所以|Ԧ合 | = |Ԧ礼物 | = 1 × 9.8 = 9.8().
Ԧ
所以4 3||
= 9.8.
Ԧ =
所以||
9.8
4 3
≈ 1.41().
课本P38
练习巩固
思
2. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.
添加正负号
课后作业
优化学案、小本
练
AF=1，求平面ADF与平面BDF夹角的大小.
z
解：如图建立空间直角 坐标系 Cxyz , 则
E
D( 2 ,0,0), A( 2 , 2 ,0), F ( 2 , 2 ,1), B(0, 2 ,0),
F
C
DB ( 2 , 2 ,0), DF (0, 2 ,1)
y
设平面BDF的法向量为n ( x, y, z ),
3、平面与平面所成角： = | < , > | =
∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角（肉眼观察），
添加正负号
思
优化学案P65
例题解析
例2-1:. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB= ，
∴BD1 (1, 1, 2), AF1 (1,0, 2).
| cos BD1 , AF1 |
| BD1 AF1 |
| BD1 || AF1 |
x A
30
.
用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
(2)平面与平面的夹角的向量表示式：设平面α，β的法向量分别是1 和2 ，则平面α与
平面β的夹角即为向量1 和2 的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ
＝|cos〈1 ，2 〉|＝
1 ∙2
1 2
.
【说明】二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角．在两个半平面内，各
所以PB//平面ACN；
=
1
=2
（三）典型例题
（2）由PD ⊥平面ABCD，∠ = 90°.
以 D 为原点，以DA,DC ,DP 分别为, , 轴建立空间直角坐标系,如图.
由PD=3，PN=2ND，BC=2AD=2DC=3
3
2
3
2
则 N(0,0,1) , A( , 0,0), C(0, , 0),P(0,0,3)
∙
.
3
【做一做】已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈，〉＝－ 2 ，则l与α所成
的角为( B )
A．30° B．60° C．150° D．120°
（二）用空间向量研究夹角
∙
【思考】设平面α的斜线l的方向向量为 ，平面α的法向量为，l与α所成的角的公式为什么不是cosθ＝
由（1）易知CD⊥平面AA1B1B，且 CD= 3．
如图，以B为原点，分别以射线BA，BA1为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，
【做一做】平面α的法向量 1 为(1,0，－1)，平面β的法向量 2 为(0，－1,1)，则平面α与平面β
的夹角为_______．
3