第三章可靠性概率分布
可靠性理论基础复习资料
可靠性理论基础复习资料目 录 第一章 绪论第二章 可靠性特征量第三章 简单不可修系统可靠性分析 第四章 复杂不可修系统可靠性分析 第五章 故障树分析法第六章 三态系统可靠性分析 第七章 可靠性预计与分配第八章 寿命试验及其数据分析第九章 马尔可夫型可修系统的可靠性第一章：可靠性特征量 2.1 可靠度 2.2 失效特征量 2.3 可靠性寿命特征 2.4 失效率曲线 2.5 常用概率分布 2.1 可靠度一、系统的分类：可修系统与不可修系统；可修系统是指系统的组成单元发生故障后，经过维修能够使系统恢复到正常工作状态。
不可修系统是指系统或其组成单元一旦发生失效，不在修复，系统处于报废状态。
二、可靠性定义产品在规定条件下，规定时间内，完成规定功能的能力。
1. 产品：可以是一个小零件，也可以指一个大系统。
2. 规定条件：主要是指使用条件和环境条件。
3. 规定时间：包括产品的运行时间、飞机起落架的起飞着陆次数、循环次数或旋转次数等。
产品可靠性是非确定性的，并且具有概率性质和随机性质。
广义可靠性与狭义可靠性指可修复产品在使用中或者不发生故障（通过预防性维修），或者发生故障也易于维修，因而经常处于可用状态的能力。
广义可靠性 = 狭义可靠性 + 可维修性 广义可靠性典型事例：赛车可靠性的分类：固有可靠性和使用可靠性固有可靠性：通过设计、制造、管理等所形成的可靠性 (通常体现在产品的固有寿命上)使用可靠性：产品在使用条件影响下，保证固有可靠性的发挥与实现的功能。
（通常体现在产品的实际使用寿命上）使用条件：包括运输、保管、维修、操作和环境条件等。
例1:判断下面说法的正确性：所谓产品的失效，即产品丧失规定的功能。
对于可修复系统，失效也称为故障。
（ √ ） 例2：可靠度R(t)具备以下那些性质？（BCD) A ．R(t)为时间的递增函数 B ．0≤R(t)≤1 C ．R(0)=1 D ．R(∞)=0若受试验的样品数是N 0个，到t 时刻未失效的有Ns(t)个；失效的有N f (t)个。
《工程机械可靠性》课件-第三章-可靠性指标及计算
可靠度计算示例： 例：设t=0时，投入工作的10000只灯泡，当t=365天时，发现有300只灯泡 坏了，求一年时的工作可靠度。
5
《工程机械可靠性》精品培训-第三章-可靠性指标及计算
第一节 可靠性概率指标
第一节 可靠性概率指标
2. 失效概率
与可靠度相对应的是不可靠度，也就是“产品在规定的条件下 和规定的时间内不能完成规定功能的概率”，记为F (Failure)，为
= 0.0537
不失效概率，即可靠度R(t)：
R(t) = 1− F (t) = 1− 0.0539 = 0.9463
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《工程机械可靠性》精品培训-第三章-可靠性指标及计算
第一节 可靠性概率指标
第一节 可靠性概率指标
三、失效率： （1）定义
产品工作到 t 时刻后，单位时间内发生故障的概率。即产品 工作到t 时刻后，在单位时间内发生故障的产品数与在时刻t 时仍
t
图2-1 零件寿命试验数据直方图
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《工程机械可靠性》精品培训-第三章-可靠性指标及计算
第一节 可靠性概率指标
1) 第i区间∆t = ti − ti−1；零件的失效频数为∆N fj , 其失效频率为：
fi
=
∆N N
fj
2) 在ti < t时间内的累计失效数为：
∑i
N fi = ∆N fj
j =1
第一节 可靠性概率指标
零件寿命试验数据
顺 区间间距 区间
序 号
∆t / h
中值
ti / h
1 0～100 50
2 100～200 150
3 200～300 250
4 300～400 350
5 400～500 450
[工学]03可靠性工程讲义第三章
![[工学]03可靠性工程讲义第三章](https://img.taocdn.com/s3/m/71eeee7b852458fb770b566a.png)
MTBF
热贮备和温贮备系统的可靠性模型
• 温储备系统的储备单元处于轻载工作状态，不处 于完全不工作状态，例如，电子管的灯丝。
• 当设备处于比较恶劣的环境时，不工作储备单元 的故障率要比轻载的故障率大得多，这时也必须 使储备单元处于轻载工作状态。例如，处于潮湿 环境中的电子设备，通电工作的故障率要比长期 储存（不工作）的失效率低。
A
˦ A
B
˦ B¡¢ ºÍ
˦
' B
若转换装置不是完全可靠，则当开关故障
率λK不为零或不能忽略时
RS (t)
e At
K
A A B
B'
e e Bt
(K A 'B )t
MTBF
1
A
1
B
(
A
A B'
K
)
两单元相同时
• 当λA＝λB=λ、λ‘B＝λ’，即，工作时A、B 两单元工作故障率相同时，可求得：
从设计角度，提高并联系统可靠性措施：
（1）提高单元可靠性，即减少失效率； （2）尽量增加并联数目； （3）等效地缩短任务时间t。
并联单元数与系统可靠度关系
例3-2 已知并联系统由两个服从指数分布的单元
组成，两个单元的故障率分别为1 0.0005h1 2 0.0001h1 ，工作时间t=1000h,试求系
对于单调系统任一元件的失效只会使系统失效概率增加每个元件有两种状态正常状态和失效状态且二者必居其一满足全概率公式的条件因此系统的可靠度其中表示在x正常情况下系统正常的事件相当于把x的两端短接起来表示在x失效情况下系统正常的事件相当于把x的两端断开
第三章 系统可靠性模型
可靠性中常用的概率分布
(3-4)
指数分布的累积分布函数
F(x)=1-e-x
(3-5)
——若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的 寿命服从指数分布。
3.5 正态分布
正态分布密度函数定义为：
f (x)
1
2
exp
1 2
x
2, x来自其中： －均值， －标准差。
(3-6)
标准正态分布
例如，对于图(下左)中所示的两种分布形式（一种为 Weibull分布，另一种为正态分布），虽然它们的概率密度 函数曲线差别很小，但其累积分布函数（反映可靠性特征） 在小概率区域的差别却十分显著，如图(下右)所示。
Probability density function
Probability
0.35
当 (t) 为常数时，满足上述条件的计数过程 {N (t),t 0} 为
时齐泊松随机过程。
泊松随机过程的概率密度分布
(t) 0.5 h 1
P(m, t )
n
t/h
3.4 指数分布
指数分布的定义
指数分布的密度函数为
e x
f (x) 0
式中为常数，是指数分布的失效率。
(x 0; 0)
(3-3)
P{X k} Cnk pk (1 p)nk
(k 0,1,2,..., n)
泊松过程
泊松随机过程作为一种重要的计数过程， 可以很好地用于描述“顾客流”、“粒子流” 、“信号流”等事件的概率特性。
设 {N(t),t 0} 为一计数过程，且满足以下条件： (1) N(0)=0； (2) {N (t),t 0} 是一个独立增量过程，即任取 0 t1 t2 tm
失效率函数
可靠性中常用的概率分布
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形二项分布np npq二项分布：当进行一种试验只有两种可能的结果时，叫成败型试验。
在可靠性工程中，二项分布可用来计算部件相同并行工作冗余系统的成功概率，也适用于计算一次使用系统的成功概率。
返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形泊松分布P（λ）λλ泊松分布：一个系统，在运行过程中由于负载超出了它所能允许的范围造成失效，在一段运行时间内失效发生的次数X是一随机变量，当这随机变量有如下特点时，X服从泊松分布。
特点1：当时间间隔取得极短时，智能有0个或1个失效发生；特点2：出现一次失效的概率大小与时间间隔大小成正比，而与从哪个时刻开始算起无关；特点3：各段时间出现失效与否，是相互独立的。
例如：飞机被击中的炮弹数，大量螺钉中不合格品出现的次数，数字通讯中传输数字中发生的误码个数等随机变数，就相当近似地服从泊松分布。
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形超几何分布H(n,M,N)返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形指数分布e(λ)指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。
有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。
它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。
指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。
可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形威布尔分布(Ⅲ型极值分布)W(k,a,b)威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。
可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形正态分布(高斯分布)N(μ,σ)μσ2正态分布：是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。
系统可靠性分析与设计
该机构对电子产品的设计
该机构对电子产品的设计
结论：
该机构对电子产品的设计
3、表决系统 n个单元中，至少要r个单元可靠时系统才可靠。
系统R如何求？
n个单元中i个可靠，n-i个失效，组合方式的种类种组合方式发生的概率为：
= 0.9883 ＞ 0.9624 为什么，因为贮备状态的单元可靠度在投入使用之间， 可靠度是不随时间而变化即为 e t e xo 1 （开关系统）
5、混联系统
Rs1=R1R2
Rs2=1-(1-Rs1)(1-R3) Rs=Rs2R4
对于复杂混联系统，采用全概率公式或穷举法
解：取事件A表示单元1正常
Rs e
kt
(kt ) i! i 0
nk
i
例：某理想开关系统数，数据同前，求系统可靠度。 kt 3 40 10 6 7200 0.864 Rs e kt
i 0 nk
kt i
i!
2 3 0 . 864 0 . 864 0.864 =e 1 0.864 2! 3!
的“电子可靠性顾问团”（AGREE：Advisory
Group on Reliability of Electronic Equipment）
该机构对电子产品的设计、试制、生产、试验、
储存、输送、管理、使用等各方面的可靠性问题，作
了全面的调查研究。并于1957年写出了《电子设备 可靠性报告》，该报告比较完整地阐述了可靠性的理 论甚础与研究方法，60年代以后，可靠性研究逐步 完善的发展，并从电子产品扩展到机械产品，各国也 越来越重视可靠性工作。
讨论： 1、x1表示系统维持正常工作的概率，即有效度 2、上面可修复系统的极限状态矩阵如何求？
可靠性概率分布讲解
关于可靠性分布函数及其工程应用的讨论学号：*********姓名：***目录一、引言 (3)二、分布函数及其应用的讨论 (3)（一）、指数分布 (3)1.定义： (3)2.指数分布的可靠度与不可靠度函数 (4)3.图像分析 (4)4.应用 (5)（二）、正态分布 (6)1.定义： (6)2.正态分布的可靠度与不可靠度函数 (6)3.失效率函数 (6)4.图像分析 (7)5.应用 (8)（三）、对数正态分布 (9)1.定义： (9)2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 (9)3.对数正态分布失效率 (9)4.图像分析 (9)5应用 (11)（四）、威布尔分布 (12)1.三参数威布尔分布的定义： (12)2.可靠度与不可靠度函数 (12)3.威布尔分布失效率 (12)4.图像分析 (12)5.应用 (15)三、小结 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、引言可靠性是指产品在规定的条件下，规定时间内，完成规定功能的能力，是对产品无故障工作能力的度量。
可靠性作为衡量产品质量的一个重要的指标，已广泛的应用于各个工程领域。
与可靠性相反，产品丧失规定功能称为失效或故障。
工程机械系统是由零件和部件组成的，零件或部件的失效会导致系统的失效。
然而，失效的原因是多种多样的，如结构缺陷、工艺缺陷、使用不当、老化等等。
引起每种失效的原因也可能是不同的，如性能退化可能由于疲劳、蠕变、裂纹扩展、磨损或者腐蚀等导致的[1]。
实践表明，系统或零、部件的失效时间往往是不确定的，要定量描述系统或零、部件的失效时间，应当采用统计学方法。
将失效时间作为一个随机变量，用一个恰当的概率分布函数去描述它。
从数据的统计分析中找出产品寿命分布的规律，是进一步分析产品故障，预测故障发展，研究其失效机理及制定维修策略的重要手段。
可靠性分析与评估是可靠性分析中非常重要的一部分，它是指在产品的寿命周期内，根据产品的可靠性分布模型、结构，以及相关的可靠性信息，利用统计方法，对产品的可靠性指标做出估计的过程。
第3章 结构可靠性设计理论基础
可见，是lnR和lnS的表达式。 根据概率论原理可以换算成R,S的统 计参数：
2 ln R ln 1 VR2
lnR＝ln R ln 1 V lnS＝ln S ln 1 V
2 R
1
2
2 ln S
ln V 1
2 S
2 S
1
2
所以得到：
如第一章所述，结构达到极限状态 的概率超过某一允许值，结构就失效。 所以极限状态是衡量结构是否失效的标 志，而极限状态可用极限状态方程来表 示：
Z＝g(X1,X2,…,Xn)=0
Z＝g(R，S)=R－S＝0 当Z>0,结构处于可靠状态，当Z<0,结构处 于失效状态，当Z＝0,结构恰处于极限状态。
从下图中可以清楚地看出，斜 线表示极限状态，即R=S；若点Z1 位于该线上面，即R1<S1，表示结构 失效；若点Z2位于该线下面，即 R2>S2，表示结构可靠。 Safe Region
Failure Region Limit State Surface (Failure Surface)
下面推导失效概率Pf和可靠概率Ps的 公式：
设fR,S(r,s)为随机变量(R,S)的联 合概率密度函数，FR,S(r,s)为相应的联 合概率分布函数， FR(x), FS(x), fS(x), fS(x)分别为边缘分布函数和边 缘概率密度函数。R,S统计独立。 则结构失效概率Pf应为(如图示)
1 FS x f R x dx
所以，有
Pf FR x f S x dx
1 FS x f R x dx
按相同原则，可求得可靠概率为
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k !
( k 0 , 1 , 2 , , n , 0 )
F ( k ) P ( X k ) ! r 0r • X的期望与方差分别为：
E (X) kP (X k)
k 0
2 D (X) [k E (X)] P (X K) k 0
正态分布 截尾正态分布 对数正态分布 指数分布 伽玛分布 威布尔分布
可靠性的概率分布
可靠性工程以产品的寿命特征为主要研究对象。产品 的寿命特征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和 维修时间等。处理这种问题可利用概率统计方法，找出它 们的概率分布和概率密度函数，有了确定的分布就可以求 出该分布特征统计量，如正态分布的均值及标准差。即使 不知道具体的分布函数，也可以通过对分布的参数估计求 得某些特征量的估计值。这些分布及概率密度函数，不仅 描述了寿命的内在规律，而且分布的参数还决定了产品的 寿命特征。因此必须对失效分布作较深入的研究
P ( A A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) 3A 4A 5 3 4 5 1 2A 1 2 0 . 7 0 . 7 0 . 3 0 . 3 0 . 3
2 3 0 . 7 0 . 3
k n k P (A ) P q C n 2 3 0 . 7 0 . 3 0 . 1323 C 5 2 k
•
X的数学期望与方差分别为:
E ( x ) kP ( X k ) np
k 0 2 D ( X ) [ k E ( X )] P ( X k ) npq np ( 1 p ) k 0 n n
• 二项分布用来计算冗余系统的可靠度，也可用于计算一次 性使用装置或系统的可靠度估计
此时，称随机变量X服从二项分布B（n,p）。 当n=1时，二项分布简化为两点分布即：
k1 k p X k p q , k 0 , 1
二项分布
• 随机变量X取值不大于k的累积分布函数为:
r r n r F ( k ) P ( X k ) C p q n r 0 n
可靠性的概率分布
学习要求
1. 了解二项分布、泊松分布的含义和计算 2. 掌握指数分布、正态分布、对数正态分布 和威布尔分布的特性以及特征值的获取
3. 会查标准正态分布表
主要内容
• 离散型随机变量的几种常见分布
两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布和负二项分布 超几何分布
• 连续型随机变量的几种常见分布
二项分布
( k 0 , 1 , 2 , n )
上式为二项概率公式。若用X表示在n次重复试验中事件A发 生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为 0,1,2,…n，则 • 随机变量X的分布律为：
k k n k P ( X k ) C p q n
( k 0 , 1 , 2 , n )
所谓独立试验是指将试验A重复做n次，若 各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出 现的概率都与其他各次试验结果无关，则称这n 次试验是独立的，并称它们构成一个序列
•
在二项分布中，若一次试验中，P ( A ) p ,P ( A ) 1 p, 则在n次独立地重复试验中，试验A发生的概率为:
k k n k P ( k ) C p q n n
二项分布实例
例：有人打靶，每次命中率均为0.7，现独立射击5次，求恰 好命中2次的概率？ 解：每次射击有“击中”和“未击中”两个可能，设 A " 第 i次击中 " ，“恰好有两次几种”的情况有 i
A A A A A , A A A A A , A A A A A ,... 共有 种 3 4 5 2 4 5 2 3 1 2 1 3 1 4 5 C 5
•
两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽 取一件得到的“合格品”或“不合格品”的 概率分布模型
二项分布
• 二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下 基本假定：
试验次数n是一定的； 每次试验的结果只有两种，成功或失败； 每次试验的成功概率和失败概率相同，即p和q是 常数； 所有试验是独立的。
(2)在任意两次相邻的失效之间的时间T是独立的连续型的随机 变量，服从参数为λ 的指数分布 :
t P ( T t ) R ( t ) e
k ( t ) t P ( X k ) e k !
( k 0 )
泊松分布
1 两次失效的平均时间为 ,泊松过程适
合于建模有较多的元件倾向于失效，而每 个元件失效的概率比较小的情况
•常数），则二项分布可表示为：
泊松分布
P ( X k ) e
n k
此时，称随机变量X服从参数为λ的泊松分布。泊松分布可认为是当 n无限大时二项分布的推广。当n很大、p很小时，可用泊松分布近似代 替二项分布。一般地，当n≥20,p≤0.05时，近似程度较好。 • 随机变量X取值不大于k次的累积分布函数为：
离散型随机变量的几种常见分布
可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工 程实际问题需要用到离散模型。主要有
两点分布 二项分布
泊松分布
几何分布与负二项分布 超几何分布
两点分布
• 数字特征:
E ( X ) 1 p 0 q p
2 D ( X ) p p p ( 1 p ) pq
泊松分布
• 泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假 定：
在互不相交的时间区间内所发生的失效是统计独立的； 单位时间内的平均失效次数为常数，而与所考虑的时间区 间无关。
•
泊松过程有下面两个重要性质:
(1)设t是时间区间的长度，则在此区间内发生失效的次数X 是一个整数型的随机变量，在此时间区间内，发生k次失效的概 率服从一个均值为λ t的泊松分布: