培养学生数学思维的深刻性
培养学生数学思维能力的教学反思
培养学生数学思维能力的教学反思数学思维能力是学生在学习数学过程中所需培养的一种思考能力，它涉及到问题解决、推理思维、逻辑思维等方面。
作为一名数学教师，我一直致力于培养学生的数学思维能力。
经过一段时间的探索和实践，我深刻认识到数学思维能力的重要性，同时也意识到我在培养学生数学思维能力上存在一些不足之处。
在此，我将对自己的教学进行反思，并提出一些建议和改进方案。
首先，我认为在培养学生数学思维能力的过程中，应该注重培养学生的问题解决能力。
数学是解决现实生活中问题的重要工具，而问题解决能力是数学思维能力的核心之一。
然而，我在教学中常常着重于传授数学知识和解题方法，而忽略了培养学生的问题解决能力。
因此，我意识到需要在教学中设计更多的开放性问题，鼓励学生思考和探索，并引导他们独立解决问题。
例如，我可以通过给学生提供一些实际情境，让他们自行发现问题，并尝试用数学方法解决。
其次，我认识到在培养学生数学思维能力的过程中，应该注重培养学生的推理思维能力。
推理思维是运用逻辑关系进行推理和演绎的能力，是数学思维能力的重要组成部分。
然而，我在教学中常常只重视运算和结果，而忽略了学生推理思维的训练。
因此，我准备通过在教学中引入一些数学推理、证明思路的讲解和练习，来培养学生的推理思维能力。
例如，在教授几何题时，我可以引导学生通过观察、发现、推理得到结论，并要求他们给出证明过程，从而培养他们的推理思维能力。
另外，我还认识到在培养学生数学思维能力的过程中，应该注重培养学生的创新和探索精神。
数学是创新性的学科，培养学生的创新能力对于其数学思维能力的提升至关重要。
然而，我在教学中常常只关注基本概念和定理的传授，而忽略了创新思维的培养。
因此，我计划通过在教学中加入一些提问型的数学问题，鼓励学生进行探索和独立思考，培养他们的创新能力。
例如，在教授函数概念时，我可以提出一些实际问题，要求学生用函数的概念和性质进行分析和解决，从而培养他们的创新思维。
如何培养孩子的数学思维能力
如何培养孩子的数学思维能力一、激发孩子的数学兴趣数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，对于很多孩子来说，数学常常被视为一座难以逾越的高山。
然而，要想培养孩子的数学思维能力，首先要激发他们对数学的兴趣。
可以通过一些趣味性的数学游戏或挑战来引起孩子们的兴趣，让他们在玩中学，在学中玩，慢慢地培养起对数学的兴趣和热爱。
二、注重数学基础知识的打牢数学思维能力的培养离不开扎实的数学基础知识。
因此，在孩子学习数学的过程中，要注重打牢基础知识，建立起正确的数学思维模式。
可以通过反复练习、巩固基础知识，让孩子对数学的概念和原理有更深入的理解，从而为培养数学思维能力打下坚实的基础。
三、培养孩子的逻辑思维能力数学是一门注重逻辑推理的学科，培养孩子的逻辑思维能力对于提升他们的数学思维至关重要。
可以通过让孩子参与一些逻辑思维训练的游戏或活动，引导他们学会分析问题、推理思考，培养他们的逻辑思维能力，从而提升数学学习的效果。
四、鼓励孩子勇于探索和实践在数学学习中，勇于探索和实践是培养孩子数学思维能力的重要途径。
可以鼓励孩子多进行数学问题的探索和实践，让他们在实践中发现问题、解决问题，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
同时，也要给予孩子足够的自由空间和鼓励，让他们敢于尝试、勇于挑战，从而培养他们的数学思维能力。
五、注重培养孩子的数学思维习惯数学思维能力的培养需要长期的坚持和积累，因此，培养孩子的数学思维习惯至关重要。
可以通过定期的数学思维训练、习题练习等方式，帮助孩子养成良好的数学思维习惯，让他们在日常学习中能够灵活运用数学思维，提升解决问题的能力。
六、结语总的来说，培养孩子的数学思维能力是一个长期而又复杂的过程，需要家长和老师的共同努力和引导。
通过激发兴趣、打牢基础、培养逻辑思维、鼓励探索实践、注重习惯养成等多方面的方法，可以有效提升孩子的数学思维能力，让他们在数学学习中游刃有余，取得更好的成绩。
愿每个孩子都能在数学的世界里畅游，享受数学带来的乐趣和成就感。
谈高中数学教学中学生思维深刻性的培养
２ 题 组 层 层 递 进 ， 识 能 力 逐 层 深 化 认
心 理 学 研 究 表 明 ： 的 认 识 总 是 由浅 入 深 、 表 及 人 由
・
６ ・
数 学 教 育 研 究
２１ ０ １年 第 ５ 期
、
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８这是 一个 ｎ ４ｃ ， 一 ，
有 点 滴 发 现 ， 且 在 任何 情 况 下 ， 们 总 能 提 高 自 己对 而 我 这 个 解 答 的理 解 水 平 ． 利 亚 在 这 里 所 说 剩 下 些 工 作 ， 波 就 是 解 题 后 的反 思 ． 斯 纳 提 出 个 人 成 长 的公 式 为 ： 波 经 验 ＋反 思 一成 长 ． 认 为 没 有 反 思 的 经 验 是 狭 隘 的 经 他 验 ， 多只能形成肤浅的知识． 至 例 ３ 过 抛 物线 一 ２ ｙ Ｐ Ｏ 的 准 线 上 任 意 一 ： ｐ（＞ ） 点 Ｐ 作 抛 物 线 两 条 切 线 Ｐ Ｐ 求 证 ： 点 弦 Ａ 一 Ａ、 Ｂ， 切 Ｂ 定经过相应焦 点 Ｆ
学 生 的学 习 活 动 ， 是 人 类 的一 切 发 明 创 造 活 动 ， 离 还 都
不 开 思 维 ． 学 是 思 维 的 体 操 ， 学 思 维 的 深 刻 性 是 数 数 数 学 思 维 品 质 的 基 础 ， 数 学 观 念 、 学 意 识 的 集 中 反 是 数 映 ． 学 思 维 的深 刻 性 是 指 数 学 思 维 活 动 的 抽 象 程 度 数 和 概 括 水 平 ， 及 思 维 活 动 的 深 度 、 度 和 难 度 ， 集 涉 广 它 中表 现 在 对 于 数 学 问 题 的 思 考 ， 抓 住 问 题 的 本 质 和 能 规 律 ， 入 细 致 地 加 以 分 析 和 解 决 ， 不 被 一 些 表 面 现 深 而 象所迷惑 ． 时笔 者经 常 能 听到 “ 太粗 心这 题 才错 平 我 的”“ 式定理 我记 错 了这题 才 错 的” 等这 类话 ， 、公 等 笔 者 认 为 这 些 都 是 学 生 思 维 的 深 刻 性 不 够 造 成 的 ． 此 因 在 新 课 程 理 念 的 指 导 下 有 效 进 行 数 学 教 学 必 须 要 培 养 学 生 思 维 的 深 刻 性 ， 学 生 具 有 这 种 思 维 品 质 ， 其 选 而 对 择 解 题 途 径 和 掌 握 新 的学 习 内 容 非 常 重 要 ． 在 数 学 教 学 中 ， 师 生 共 同 深 入 探 究 一 个 数 学 问 当 题 时， 会 碰 到 “ 重 水 复 疑无 路 ” 尴 尬 或 困 惑， 总 山 的 而 “ 暗 花 明 又 一 村 ” 让 我 们 感 受 到 欣 喜 甚 至 手 舞 足 柳 又 蹈 ， 一 步 深 入 探 究 时 ， 们 又 发 现 山 外 竟 然 还 有 更 高 进 我 的 山 ， 外 还 有 更 美 的楼 ， 学 的 层 次 感 和 深 度 恰 恰 匹 楼 数 配 了我 们 思 维 的 无 极 限 和 它 螺 旋 式 上 升 认 识 事 物 的 过 程 ． 此 ， 数 学 教 学 活 动 的各 个 方 面 都 有 必 要 采 用 层 因 在 层 递 进 的方 法 来 深 化 学 生 的 思 维 ， 达 到 培 养 学 生 思 以 维 的深 刻性 之 功 效 ．
抓住数学本质,培养学生思维的深刻性
应引导学生抓住 比商法 的商的值与 １ 的大小判断 ，利
用对数运算 、放缩法的思想来达到判断 目的，放缩法 是难点 ，但其本质是不等式的传递性 ，这里正是 因为
所以 ｆ （ ２ ０ １ ４ ） ＝ （ ６ × ３ ３ ６ — ２ ） ＝ 厂 （ 一 ２ ） ＝ ３ ＝ 告 ．
二 ，
人类 的思 维 品质 是 指人 们 在 思 维 过 程 中所 表 现 出 性 、批 判 性 和 敏捷 性 等 ．思 维 的深 刻 性 是 指 思 维 活 动
、
从 思维 变换 中抓住 数 学本质 。培 养 思
维 的深刻性
侈 ０ １ 设Ｃ ／ ， ＞ ０ ，０ ≠１ ，０ ＜ ＜ １ ，比较 Ｉ ｌ ｏ ｇ ． （ １ 一 ） ｌ
收稿 Ｅ ｔ 期 ：２ ０ １ ３ — ０ ５ — １ ０
作者简介 ：陈健 （ １ ９ ６ ４ 一） ，男 ，四川邻 水人 ，四川省特级教 师，全国优 秀教师 ，主要从 事高 中数 学教 学及研究．
匝ｌ 主 堕２ 年 ２ 期
《教 学 研 究
…
Ｉ ｊ ｌ Ａ Ｑ 毫
如果我们变换思维角度 ，引导学生进一步观察绝
些学生的思维层次有限，始终找不到错在哪里 ． 在上述解答中，如果注意ｆ （ ｘ ） ＝ 厂 （ 一１ ） 一 ｆ （ ｘ 一 ２ ）
对值里面数的符号规律 ，利用实数 的运算性质不难发 成立的条件是 ＞ ０ ，那么ｆ（ ｘ 一１ ） ： ｆ （ ｘ 一 ２ ） 一 ｆ （ ｘ 一 ３ ） 现该题 中蕴含着的数学本质．不少学生会 发现题 目中 中的 ＞ｌ ，即． 厂 （ ） ＝ － ｆ （ 一 ３ ） 中的 ＞ｌ ，而 ｆ （ ｘ 一 ３ ） ＝
有两个本质特征 ：第一 ，不论是 ａ ＞１ 还是 ０＜ ａ＜１ ， ｆ（ 一６ ） 中 的 ＞４ ，即ｆ（ ｘ ） ＝ 厂 （ 一６ ） 中 的 ＞４ ，故
数学是思维的体操
数学教学的思维数学是思维的“体操”,可以锻炼学生的思维能力,使其不断地发展;思维品质主要包括思维的深刻性、灵活性、敏捷性和独创性等,教师在教学实践中从学生的实际出发,根据教学内容有目的有计划地培养学生优良的数学思维品质,是发展学生思维能力的重要手段;一、沟通知识间的内在联系,培养思维的深刻性思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平,它集中表现在善于深入地思考问题,能从复杂的表面现象中,发现和抓住事物的规律和本质;因此沟通知识间的内在联系,是培养思维深刻性的主要手段;例如：学生学过分数的约分、通分后,思维往往停留在“基本法则”的浅层认识上,如果能适时揭示它们之间的本质联系,让学生悟出两者都是分数基本性质的应用,只不过所取的角度不同,前者取“同时缩小相同的倍数”,后者取“同时扩大相同的倍数”,就能把学生的认识引向概括,引向深层;二、开拓思路,培养思维的灵活性思维的灵活性指的是善于从不同角度和不同方面进行分析思考,学生解题的思路广、方法多、解法好就是思维灵活的表现;在数学教学中,教师注重启发学生多角度地思考问题,鼓励联想和提倡一题多解,有助于学生思维灵活性的培养;例如,看到“男同学比女同学多34人”,就要启发学生联想到：女同学比男同学少34人；看到“红花比黄花少12朵”,就要启发学生联想到：黄花比红花多12朵……通过这样的联想训练,培养学生多角度思考问题的能力;如：在教学应用题“一台电视机价格是1500元,一台计算机的价格是一台电视机的5倍少40元”时,教师可问学生：你能根据这两个条件,提出哪些问题学生通过观察和讨论,从不同侧面提出下面问题：1 一台计算机的价格是多少元2 一台计算机比一台电视机贵多少元3 一台计算机和一台电视机共多少元学生用立体的眼光去观察事物,思维是多向的,有利于思维灵活性的培养;学生思考问题常常是单一的,教师在关键时刻自然地把学生的思维向高层次引导,这就把学生的思维引向多向;在教学基本概念时,要设法让学生从不同的角度,不同的侧面来理解概念的实质;如:教学倍数关系应用题“学校里开展兴趣小组活动,参加航模组的有5人,参加体育组的人数是航模组的3倍;参加体育组的有多少人”教师可引导学生用画线段图的方法来理解题目中的倍数关系;当学生初步掌握线段图之后,可把学生的思维引向高层次,引导学生脱离线段图找出题中的对应关系：航模组：５人—１份体育组：□人—３份学生可直接根据对应关系看出：体育组人数和航模组人数比,把航模组人数看作１份,体育组人数有这样的３份,求５的３倍是多少,用乘法计算;学生学会了这种方法以后,在解答应用题：“学校里开展兴趣小组活动,参加歌舞组的有２４人,参加手工组的有８人,参加歌舞组的人数是手工组的几倍”时,就可让学生直接用找对应关系的方法来理解应用题中的倍数关系,从而解答应用题; 概念初步形成后,在运用概念时要灵活,如果一味地让学生模仿性地运用,会使思维懒惰;教师要设计新颖灵活的题目,以便学生从不同角度去分析解决;三、强化技能训练,培养思维的敏捷性思维的敏捷性是指思维活动的速度,表现在数学学习中能善于抓住问题的本质,正确、合理、巧妙地运用概念、法则、性质、公式等基本知识,简缩运算环节和推理过程,使运算既准又快;因此,强化技能训练是培养思维敏捷性的主要手段;例1：9+6+4+1,教师可根据加法的交换律,让学生用凑十法比较简便,计算过程是：9+6+4+1=9+1+6+4=10+10=20例2：20+7+40+5,可让学生用整十数与整十数相加,一位数与一位数相加,计算比较简便;计算过程是：20+7+40+5=20+40+7+5=60+12=72例3：50+9-20+7,可让学生用整十数和整十数相减,一位数和一位数相减比较简便;计算过程是：50+9-20+7=50-20+9-7=30+2=32随着学生运算技能的形成,计算过程的中间环节,随着练习而逐步压缩,培养和训练学生从详尽的思维,逐步过渡到压缩省略的思维;这样可以使学生一看到题目,通过感知就能很快地算出得数;如:20+１-7－3,可让学生根据和减一个数的方法计算比较简便;计算过程是：20+1-7+3=20+1-10=21-10=11强化技能训练一定要在学生切实理解运算法则、定律、性质等基础上,要求学生熟记一些常用的数据,平时坚持适量的口算和应用题练习,通过视算、听算、口答、速算比赛等,采用“定时间比做题数量”、“定做题数量比完成时间”的训练方式,强化学生的基本技能,从而达到培养思维敏捷性的目的;四、提倡求异思维,探究求新,培养思维的独创性思维的独创性是智力活动的独立创造水平;在教学中要提倡求异思维,鼓励学生探究求新,激发学生在头脑中对已有知识进行“再加工”,以“调整、改组和充实”,创造性地寻找独特简捷的解法,提出各种“别出心裁”的方法,这些都能促进学生思维独创性的形成;例如,解答应用题：某厂原计划40天生产工具1600件,实际每天比原计划多生产25%,实际几天完成教师启发学生从不同角度、不同思路进行思考,尝试有无更简捷的算法;学生要冲破解应用题,必须用上每一个条件的常规,运用工程问题的思考方法,把工作总量看作单位“1”,甩开1600这个实际数字,列式为1÷1÷40×1+25%,也有的学生把原计划工作效率看作单位“1”,列式为：1×40÷1+25%,更有学生提出40× 4/5的最佳方案;在四则运算教学中,提倡新颖的解题方法;除要求学生能掌握一般法则进行计算外,还可启发学生合理想象,用新颖独特的方法进行解题,使参加运算的数形变值不变,使运算简便;如：99+68=99+1+67=100+67=1679+8+7+6+5=7+2+7+1+7+7-1+7-2=7×5=35这样训练进一步发挥了学生的创造才能,调动了他们学习的积极性和主动性,使所学知识理解得更深刻,独创性思维品质也得以培养和发展;总之,数学是一门培养思维能力的基础课;思维的训练不是靠灌输,而是靠启发,引导和点拨;教师应不断分析、不断总结、不断改进自己的教学工作,在改革中,探寻开展思维训练的方法和途径;。
培养思维品质
结合数学教学，培养良好的思维品质江苏省江阴市新世外国语学校：蒋仪小学生数学能力的差异，不仅仅表现在对数学问题能否解答上，还表现在解答过程中数学思维技巧的科学性、灵活性及其深度、广度上。
思维的敏捷性、灵活性、深刻性、独创性是基本数学思维品质，数学教学中培养学生良好的思维品质，是塑造高素质人才的需要，是我们每个数学教师应该十分重视和研究的课题。
因此，我们在教学实践中，应该认真培养学生的良好思维品质，在教学实践中，我从以下几方面进行了探索。
一、培养思维深刻性、抓住规律巧分析数学思维的深刻性，是指小学生对具体的数学材料进行概括，对具体的数量关系和空间形式进行抽象，以及在推理过程中思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映。
要培养思维的深刻性，从一年级开始就应加强训练，例如可以让学生完整地表述思维过程，总结和概括本节课学到的知识等；到了中高年级，我们就应该培养学生学习整理和归纳本单元的知识要点，形成知识体系；让学生抓住题目的本质、规律和内在联系，并进行高度概括；我们还可以巧妙设计一些练习题，培养学生的概括和推理能力。
如学习了“比和比例”，我出示了下列一题：例1、甲、乙两人共加工零件66个，甲加工的4/5等于乙加工的2/3，甲、乙两人各加工零件多少个？我要求学生能够抓住题目的本质、规律和内在联系，概括出这是一道什么类型的应用题。
学生经过分析，概括出这是一道“把一个总量分成两个部分量的题目”；是“把一个总量分成两部分，是按比例分配。
”当学生掌握了根据此题的条件知道是按比例分配。
我再进而要求学生说出近比例分配题目的基本结构，学生随即就说出按比例分配题目的基本结构是“已知总量和两个部分量的比，求两个部分量。
”然后，我再让学生把“甲加工的4/5等于乙加工的2/3”抽象为数学形式：学生则很快将：甲加工的4/5等于乙加工的2/3，转化成：甲×4/5=乙×2/3，甲∶乙= 2/3∶4/5 = 5∶6，5＋6 = 11，甲加工零件：66×5/11 = 30（个）.。
如何培养良好的数学思维品质
如何培养良好的数学思维品质思维就是人的理性认识过程。
所谓数学思维，是指人关于数学对象的理性认识过程，广义的可理解为，包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。
思维能力的高低，直接影响到数学学习的效果，因此，培养学生的数学思维能力是提高数学教学效益的关键。
要提高学生的思维能力，首先要就要养成学生良好的思维习惯，而思维习惯的形成，又要落实到思维品质的形成上。
良好的数学思维品质主要包括思维的严谨性、深刻性、广阔性、灵活性和批判性，下面分别就这几种品质进行讨论。
一、培养数学思维的严谨性思维的严谨性是指考虑问题的严密、有据。
要提高学生思维的严谨性，必须严格要求，加强训练。
首先要求学生要按步思维，思路清晰，就是要按照一定的逻辑顺序进行思考问题。
特别在学习新的知识与方法时，应从基本步骤开始，一步一步深入。
其次要求学生要全面、周密地思考问题，做到推理论证要有充分的理由作根据。
运用直观的力量，但不停留在直观的认识上；运用类比，但不轻信类比的结果；审题时不但注意明显的条件，而且留意发现那些隐蔽的条件；应用结论时注意结论成立的条件；仔细区分概念间的差别，弄清概念的内涵和外延，正确地使用概念；给出问题的全部解答，不使之遗漏。
二、培养数学思维的深刻性思维深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的深度和难度。
在数学学习中经常有学生对结论不求甚解，做练习时照葫芦画瓢，根本无法领会解题方法的实质，离开书本和老师就无法独立解题。
这种现象正是学生在长期的学习中缺乏思维深刻性的表现。
要克服这一现象，必须有意识地经常进行思维的深刻性训练。
1、透过现象看数学本质能否透过表面现象，洞察数学对象的本质及联系，是思维深刻与否的主要表现。
很多的数学问题，条件关系比较隐蔽，如果只看问题的表面，是无从下手的。
因此在数学学习中，要进行由表及里的思索，抓住问题的本质和规律。
例1：商店有红气球17个，红气球比黄气球少9个，花气球的个数是红气球的3倍，花气球有多少？分析：一个应用题含有两个未知的数量，一般情况下是不可求解的，但本题却要求花气球的个数，显然该应用题中可以转变为只含一个未知数量（花气球数量）的应用题。
小学数学教学中如何培养学生的思维能力
小学数学教学中如何培养学生的思维能力思维是人脑对客观事物的一般特性和规律的一种间接的、概括的反映过程。
进行思维训练，培养学生的思维能力，是小学数学教学的主要任务之一，是实施素养教育开发学生智能，提高学生素养的重要措施。
下面就如何培养学生的思维能力谈几点粗浅的看法。
一、进行类比迁移，培养思维的深刻性思维的深刻性是指思维活动到达较高的抽象程度和逻辑水平，表现在能特长深刻地思索问题，从纷繁到复杂的现象中，抓住觉察事物的本质规律。
小学生的认知结构往往缺损，他们不特长将知识纳入原有的认知结构之中，因而考虑问题缺少深度，因此，在教学中应抓以下三点：1、培养学生对数的概括能力。
数的分解能力，是数的概括的核心。
如教20以内的加法，利用直观教具，让学生了解某数是由几个局部组成和如何组成的，引导他们将20以内的数比较实际意义，认识大小，顺序、进行组合与分解练习。
2、让儿童逐渐掌握简单的推理方法。
依据教材的内在联系，引导儿童进行类比推理。
例如：在乘法口诀教学中，先通过一环紧扣一环的步骤，让学生展示“生动〞的思维过程，使学生认识2—4的乘法口诀的可信性，还了解每句乘法口诀形成的过程。
然后利用低年级学生模仿性强的特点，让他们模仿老师的做法去试一试，推导出5—6的乘法口诀。
生模仿获得成功后，就与他们一起总结几个步骤：①摆出实物；提供思维材料；②列出加法式子的结果；③列出乘法式子，说明它的结果就是加法式子结果；④用乘法式子的已知数和结果构造口诀。
让他们按步骤来独立地推导7—8的乘法口诀。
在这过程中，针对不同学生不同阶段的不同情况，进行多寡不同的提示和点拨，使独立思维逐渐开展。
到推导9的乘法口诀时，有的学生已经几乎完全能进行推导了，而大多数学生的思维的能力都表现出不同程度的提高。
3、培养掌握应用题结构的能力。
各科教学问题，都有一个结构问题。
狠抓结构训练，使学生掌握数学问题的数量关系，而不受题中具体的情节干扰，是培养思维深刻性的重要一环。
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培养学生数学思维的深刻性
数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得数学问题，对具体数学材料，数学总是进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法，用合适的数学计算出此模型的解或近似的解，以及对解的实践检验，对模型的修正等过程中，思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映。
数学思维的深刻性是思维品质的基础，是学生终身学习必备的素质。
笔者在教学实践中十分重视它的培养，常用如下几种方法：
1 挖掘隐含，培养思维的深刻性
隐含条件是题目本身包包含却未明确给出的条件，如果看不出它，常给人条件不足，无处下手的困惑，教学时要引导学生注意从局部上分析问题的特征，从整体上分析问题的结构，进行联想类比，挖掘隐含条件，这对于培养学生的观察能力，提高综合分析能力，增强思维的深刻性都有积极作用。
（1）若二次函数y=（a-1）x2-2x+1的图像与x轴有两个交
点，求a的取值范围。
分析：若此题不深刻思考，只考虑条件图像与x轴有两个交点，则得到a的错误取值范围是a0
解之得a<2且a≠1
2 透视本质，培养思维的深刻性
能否透过表面现象洞察数学对象的本质及联系，是思维深刻与否的主要表现。
教学过程中，要注意启发学生，透彻理解概念，对数学问题的思考不能停留在表面，而在通过由表及里，由感性到现性的思考，抓住问题的本质和规律，深入细致地加以分析和解决。
例2：已知x2+y2+2x-6y+10=0,求x,y
分析：一个方程含有两个变量，一般情况下是不可求解的，而本题却要求X，Y的值。
显然该方程能变为特殊形式的可解方程，即非负数实数的和为零，这样能过现象看到了问题的本质，明确了变形方向。
解：原方程化为﹙x+1﹚2+﹙y－3﹚2=0
∴x+1=0y-3=0 ∴x=-1y=3
3 追根寻源，培养思维的深刻性
善于集中思路，调动所有的信息朝探寻问题本源的目标深入发展，是思维深刻性的重要特征。
例3：已知一抛物线与x轴两交点间的距离为2，且经过
p﹙0，-16﹚，顶点在直线y=2上，求它的解析式。
分析：如果此题按常规解法。
设它的解析式为
y=ax2+bx+c则根据题意得：
■=2c=-16■=2
从此解出a、b、c那么就显得解法繁琐。
若抓住抛物线与x轴的两个交点分居在对称轴两旁，而且到对称轴的距离相等这一关键，教学中教师抓住这一“根源”，即抛物线的对称性讲清讲透，学生不难得出如下巧妙解法：
解：设所求的解释式为y=a（x－h）2+2
∴|x2-x1|=2
∴x1=h+1,x2=h-1是方程a(x-h)2+2=0的两根
把其中一个代入上述方程得a（h+1－h）2+2=0，
∴a=-2 ∴解析式为y=-2（x-h）2+2
∵抛物线过点（0，-16）
∴-16=-2（0-h）2+2 ∴h=±3
∴解释式为y=－2(x±3)2+2
4 解法多变，培养思维的深刻性
根据某一问题的多种解法，将问题的某一方面侧重化，而展开式训练，这种训练能有效地突出解题思想方法，使学生掌握知识的同时，更牢固在掌握方法，进一步提高数学思维的深刻性。
例4：过点p（1，2）作斜率是3的直线，求这条直线与椭圆4x2+y2=16的两交点到p的距离和。
解法一设直线的倾斜角为θ，则tgθ=3，可求得:
sinθ=■,
cosθ=■则所求的直线参数方程为：
x=1+■ty=-2+■t(t为参数)
代入椭圆化简得：■t2-■t-8=0
设方程式两根为t1、t2，由伟达定理得：
t1+t2=■, t1t2=-■
其中t1、t2即为直线与椭圆两交点p1、p2，到p的有向线段的数量。
由t1t2<0知，两交点在点p的两侧。
|p1p|+|p2p|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=■=■
解法二设直线参数方程为x=1+ty=-2+3t (t为参数)
代入椭圆方程式得：
13t2-4t-8=0则t1+t2=■, t1t2=-■
令t=■从而t′=■t
于是所求两交点到p的距离和：
|p1p|+|p2p|=|t′1|+|t′2|=|t′1-t′2|=■|t1-t2|
=■■=■
培养学生思维深刻性和途径很多，无论在教师的新授知识中，还是学生在解题训练时，只要有意识、有计划地加以训练，学生思维能力定会得到较大的提高。
参考文献：
[1]王鸿钧.数学方法引论[J].广西教育出版社，2001.
[2]徐利冶.数学与思维[J].湖南教育出版社，1994.。