4-2.1实际问题中导数的意义

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《导数的概念》教案

《导数的概念》教案

《导数的概念》教案教案:导数的概念1.教学目标:1.1.知识目标:学生能够了解导数的概念及其基本性质。

1.2.能力目标:学生能够应用导数的概念解决实际问题。

1.3.情感目标:通过对导数的学习,培养学生的分析和解决问题的能力,并培养学生的兴趣和热爱数学的情感。

2.教学重点:2.1.导数的定义和概念。

2.2.导数的基本性质。

3.教学难点:3.1.导数的基本性质的理解和应用。

3.2.导数的计算和应用。

4.教学过程:4.1.导入(10分钟):引入导数的概念,通过一个简单的例子说明导数的作用和意义。

4.2.导数的定义(20分钟):4.2.1.简单介绍导数的定义和符号表示。

4.2.2.讲解导数的物理意义和几何意义。

4.2.3.通过实例和图像说明导数的计算。

4.3.导数的基本性质(30分钟):4.3.1.导数的定义区间和存在性。

4.3.2.导数的唯一性和连续性。

4.3.3.导数的运算法则。

4.4.导数的应用(30分钟):4.4.1.导数在函数图像的研究中的应用。

4.4.2.导数在最值问题中的应用。

4.4.3.导数在速度和加速度中的应用。

4.5.小结(10分钟):对导数的概念及其应用进行总结,并布置相应的作业。

5.教学手段:5.1.板书与讲解相结合的教学方法。

5.2.生动形象的实例和图像辅助讲解。

5.3.教师提问和学生互动的教学方式。

6.教学资源:教材、黑板、彩色粉笔、投影仪等。

7.教学评价:7.1.反馈评价:学生在课堂上积极参与,课堂气氛活跃。

7.2.笔试评价:设计一套综合性的习题,考查学生对导数概念理解和应用的能力。

7.3.直观评价:观察学生在计算和解决实际问题时运用导数的能力和方法。

8.教学延伸:8.1.导数的计算和应用在微积分的后续学习中具有重要的作用,学生还需继续加深对导数概念和应用的理解。

8.2.练习不同类型的导数计算题目,提高运算能力和分析解决问题的能力。

8.3.进一步了解导数的发展与应用,拓宽数学知识的广度。

第3章 2.1 实际问题中导数的意义

第3章 2.1 实际问题中导数的意义

§2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义学习目标 1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题.知识点实际问题中导数的意义(1)功与功率:在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它是功W关于时间t的导数.瞬时速度:在物理学中,物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,它是位移s关于时间t的导数;速度v关于时间t的导数是加速度.(2)降雨强度:在气象学中,通常把在单位时间内的降雨量称为降雨强度,它是降雨量关于时间的导数.(3)边际成本:在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f′(x0)个单位的成本.(4)线密度:单位长度的物质质量称为线密度,它是质量关于长度的导数.1.对功关于时间的函数,W′(t)就是表示t s内的功率.(×)2.气象学中,用平均降雨量来衡量降雨强度.(√)3.在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.(√)类型一导数在函数图像中的应用例1如图所示,当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的图像大致是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案 D解析选项A表示面积的增速是常数,与实际不符,选项B表示最后时段面积的增速较快,也与实际不符.选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快,与实际不符.选项D表示开始时段和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快,符合实际,所以应选D.反思与感悟解决函数图像问题有两种方法:一是计算出该函数的解析式,由解析式得到函数的某些性质,再根据性质选择相对应的图像;二是利用导数知识,判断函数的平均变化率的变化趋势(越来越大、越来越小或是不变),从而判断出函数图像的特征(下凸、上凸、直线),再选择相对应的图像.跟踪训练1如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像,它们之间的对应关系分别是________________.考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案①→B②→A③→D④→C类型二导数在实际问题中的应用命题角度1导数在物理学中的应用例2某汽车启动阶段的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系是s(t)=2t3-5t2,则当t=2时,汽车的加速度是________ m/s2.考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用答案14解析汽车的速度v(t)=s′(t)=6t2-10t,所以汽车的加速度为v′(t)=12t-10,则v′(2)=14 m/s2.反思与感悟(1)函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值.(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数,即v(t)=s′(t).(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数,即a(t)=v′(t).跟踪训练2某人拉动一个物体前进,他所做的功W(单位:J)是时间t(单位:s)的函数,设这个函数可以表示为W=W(t)=t3-6t2+16t.(1)求t从1 s变到3 s时,功W关于时间t的平均变化率,并解释实际意义;(2)求W′(1),W′(2),并解释它们的实际意义.考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用解(1)当t从1 s变到3 s时,功W从W(1)=11 J变到W(3)=21 J,此时功W关于时间t的平均变化率为W(3)-W(1)3-1=21-113-1=5(J/s).它表示从t=1 s到t=3 s这段时间,这个人平均每秒做功5 J.(2)首先求W′(t),根据导数公式和求导法则可得W′(t)=3t2-12t+16,W′(1)=7 J/s,W′(2)=4 J/s.W′(1)和W′(2)分别表示t=1 s和t=2 s时,这个人每秒做的功为7 J和4 J.命题角度2导数在经济生活中的应用例3某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )=14x 2+60x +2 050.求当日产量由10件提高到20件时,总成本的平均改变量,并说明其实际意义.考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在经济生活中的应用解 当x 从10件提高到20件时,总成本C 从C (10)=2 675元变到C (20)=3 350元.此时总成本的平均改变量为C (20)-C (10)20-10=67.5(元/件), 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.引申探究若本例的条件不变,求当日产量为75件时的边际成本,并说明其实际意义.解 因为C ′(x )=12x +60, 所以C ′(75)=12×75+60=97.5(元/件), 它指的是当日产量为75件时,每多生产一件产品,需增加成本97.5元.反思与感悟 实际生活中的一些问题,如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题,在讨论其改变量时常用导数解决.跟踪训练3 东方机械厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )=-2x 2+7 000x +600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润;(2)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量;(3)求c ′(1 000)与c ′(1 500),并说明它们的实际意义.考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在经济生活中的应用解 (1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)=-2×1 0002+7 000×1 000+600=5 000 600(元),平均利润为c (1 000)1 000=5 000.6(元).(2)当产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量为c (1 500)-c (1 000)1 500-1 000=6 000 600-5 000 600500=2 000(元). (3)∵c ′(x )=(-2x 2+7 000x +600)′=-4x +7 000,∴c ′(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000(元).c ′(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000(元).c ′(1 000)=3 000表示当产量为1 000台时,每多生产一台机械可多获利3 000元. c ′(1 500)=1 000表示当产量为1 500台时,每多生产一台机械可多获利1 000元.1.在一次降雨过程中,降雨量y 是时间t 的函数,用y =f (t )表示,则f ′(10)表示( )A .t =10时的降雨强度B .t =10时的降雨量C .t =10时的时间D .t =10时的温度考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在气象学中的应用答案 A解析 f ′(t )表示t 时刻的降雨强度.故选A.2.某旅游者爬山的高度h (单位:m)关于时间t (单位:h)的函数关系式是h (t )=-100t 2+800t ,则他在t =2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A .500 m/hB .1 000 m/hC .400 m/hD .1 200 m/h 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用答案 C解析 ∵h ′(t )=-200t +800,∴当t =2时,h ′(2)=400.3.圆的面积S 关于半径r 的函数关系式是S (r )=πr 2,那么在r =3时面积的变化率是( )A .6B .9C .9πD .6π考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 D解析∵S′(r)=2πr,∴S′(3)=2π×3=6π.4.一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是()A.7 m/s B.6 m/sC.5 m/s D.8 m/s考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案 C解析∵s′(t)=2t-1,∴s′(3)=2×3-1=5.5.正方形的周长y关于边长x的函数是y=4x,则y′=______,其实际意义是_____.考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案4边长每增加一个单位,周长增加4个单位1.要理解实际问题中导数的意义,首先要掌握导数的定义,然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义.2.实际问题中导数的意义(1)功关于时间的导数是功率.(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度.(3)生产成本关于产量的导数是边际成本.(4)路程关于时间的导数是速度.(5)速度关于时间的导数是加速度.一、选择题1.吹气球时,气球的体积V (r )与半径r (dm)之间的函数关系是V (r )=43πr 3,当半径为2 dm 时体积的瞬时变化率为( )A.43π B .4π C .12π D .16π 考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 D解析 ∵V ′(r )=4πr 2,∴V ′(2)=4π·22=16π,∴气球的体积V (r )在半径为2 dm 时的瞬时变化率为16π.2.某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车,其位移(单位:m)关于时间(单位:s)的函数为s (t )=-13t 3-4t 2+20t +15,则s ′(1)的实际意义为( ) A .汽车刹车后1 s 内的位移B .汽车刹车后1 s 内的平均速度C .汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D .汽车刹车后1 s 时的位移考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 C解析由导数的实际意义知,位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.3.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x),假设f′(x)>0恒成立,且f′(10)=10,f′(20)=1,则这些数据说明第20天与第10天比较()A.公司已经亏损B.公司的盈利在增加,但增加的幅度变小C.公司在亏损且亏损幅度变小D.公司的盈利在增加,增加的幅度变大考点导数在某点处的导数的几何意义题点导数在经济生活中的应用答案 B解析因为导数的含义是变化率,f′(10)>f′(20)>0.4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图像可能是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案 A解析根据变化率的大小判断.5.细杆AB的长为20 cm,M为细杆AB上的一点,AM段的质量与A到M的距离的平方成正比,当AM=2 cm时,AM的质量为8 g,那么当AM=x cm时,M处的细杆线密度ρ(x)为() A.2x B.3x C.4x D.5x考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案 C解析设m(x)=kx2,当AM=2时,m(2)=k·22=8,∴k=2.∴m(x)=2x2.∴ρ(x)=m′(x)=4x.6.设球的半径关于时间t的函数为R(t),若球的体积V以均匀速度C增长,则球的表面积的增长速度与球半径()A.成正比,比例系数为CB.成正比,比例系数为2CC.成反比,比例系数为CD.成反比,比例系数为2C考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案 D解析根据题意知,V=43πR3(t),S=4πR2(t),球的体积增长速度为V′=4πR2(t)·R′(t),球的表面积增长速度为S′=2·4πR(t)·R′(t).∵球的体积以均匀速度C增长,∴球的表面积的增长速度与球半径成反比,比例系数为2C.二、填空题7.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为s=3t2+t,则速度v=10时的时刻t=________.考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案3 2解析s′=6t+1=10,∴t=3 2.8.若某段导体通过的电量Q(单位:C)与时间t(单位:s)的函数关系为Q=f(t)=120t2+t-80,t∈[0,30],则f′(15)=________,它的实际意义是__________________.考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案52t=15 s时的电流强度为52C/s9.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)的函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品价格上涨的速度大约是________元/年.(1.0510≈1.628,ln 1.05≈0.049,结果精确到0.01)考点导数在实际问题中的应用题点导数在经济生活中的应用答案 0.08解析 因为p 0=1,所以p (t )=(1+5%)t =1.05t ,在第10个年头,这种商品价格上涨的速度,即为函数的导函数在t =10时的函数值.因为p ′(t )=(1.05t )′=1.05t ·ln 1.05,所以p ′(10)=1.0510×ln 1.05≈0.08.因此,在第10个年头,这种商品的价格以约0.08元/年的速度上涨.10.如图,水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张,当半径为250 cm 时,一水波面的圆面积的膨胀率是________.考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 25 000π解析 ∵面积S =πr 2,半径r =50t ,∴S =2 500πt 2.令r =50t =250,∴t =5,又S ′=5 000πt ,∴当t =5时的膨胀率为5 000π×5=25 000π.三、解答题11.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系式为T (t )=120t +5+15,其中T (t )为体温(单位:℃),t 为太阳落山后的时间(单位:min).(1)从t =0 min 到t =10 min ,蜥蜴的体温下降了多少?(2)从t =0 min 到t =10 min ,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?(3)求T ′(5),并说明它的实际意义.考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用解 (1)T (10)-T (0)=12010+5+15-1200+5-15=-16 ℃, 所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率是-1.6 ℃/min ,它表示从t =0 min 到t =10 min 这段时间内,蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)由已知得T ′(t )=-120(t +5)2,所以T ′(5)=-1.2,它表示t =5 min 时,蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.12.江轮逆水上行300 km ,水速为6 km /h ,船相对于水的速度为x km/h ,已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2 L ,即与船相对于水的速度的平方成正比.(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式:y =f (x );(2)求f ′(36),并解释它的实际意义(船的实际速度=船相对水的速度—水速).考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用解 (1)船的实际速度为(x -6) km/h ,故全程用时300x -6 h ,所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y =f (x )=300×0.01x 2x -6=3x 2x -6(x >6). (2)f ′(x )=3·2x (x -6)-x 2(x -6)2=3x (x -12)(x -6)2, f ′(36)=3×36×(36-12)(36-6)2=2.88(L km/h ), f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时,耗油量增加的速度为2.88 L km/h,也就是说当船相对于水的速度为36 km /h 时,船的航行速度每增加1 km/h ,耗油量就要增加2.88 L.四、探究与拓展13.在F 1赛车中,赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s =10t +5t 2(s 的单位为m ,t 的单位为s).求:(1)t =20,Δt =0.1时的Δs 与Δs Δt; (2)求t =20时的瞬时速度考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 (1)因为Δs =s (20.1)-s (20)=(10×20.1+5×20.12)-(10×20+5×202)=21.05(m),所以Δs Δt =21.050.1=210.5(m/s). (2)因为s ′=10+10t ,所以当t =20时,s ′=10+10×20=210(m/s),即当t =20时的瞬时速度为210 m/s.14.水以20 m 3/min 的速度流入一圆锥形容器,设容器深30 m ,上底直径为12 m ,试求当水深10 m 时,水面上升的速度.考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 设容器中水的体积在t min 时为V ,水深为h ,则V =20t ,V =13πr 2h (r 如图所示).由图知r h =630,∴r =15h , ∴V =13π·⎝⎛⎭⎫152·h 3=π75h 3, ∴20t =π75h 3,∴h = 3 1 500πt , 于是h ′= 3 1 500π·13·t -23, 当h =10时,t =2π3,此时h ′=5π, ∴当水深10 m 时,水面上升的速度为5πm/min.。

导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明教学目标:1. 理解导数的定义和意义;2. 掌握导数的计算方法;3. 能够应用导数解决实际问题。

教学内容:第一章:导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 导数的定义及其几何意义1.3 导数的计算法则第二章:导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数第三章:导数的应用3.1 函数的单调性3.2 函数的极值3.3 曲线的切线与法线第四章:导数与实际问题4.1 运动物体的瞬时速度与加速度4.2 函数的优化问题4.3 导数在经济学中的应用第五章:导数的进一步应用5.1 曲线的凹凸性与拐点5.2 函数的单调区间与最大值、最小值5.3 函数的渐近线教学步骤:1. 引入导数的概念:通过生活中的例子,如物体运动的瞬时速度,引出导数的定义。

2. 讲解导数的定义及其几何意义:解释导数的定义,并通过图形演示导数的几何意义。

3. 导数的计算法则:讲解基本导数公式,引导学生掌握导数的计算方法。

4. 导数的应用:通过实例讲解函数的单调性、极值等概念,并引导学生运用导数解决实际问题。

5. 总结与拓展:总结本章内容,提出进一步的学习要求和思考题。

教学评价:1. 课堂讲解:评价教师的讲解是否清晰、生动,能否引导学生理解和掌握导数的概念和计算方法。

2. 课堂练习:评价学生是否能够正确计算导数,并应用导数解决实际问题。

3. 课后作业:评价学生是否能够独立完成作业,并对导数的应用有深入的理解。

教学资源:1. 教案、PPT等教学资料;2. 数学软件或计算器;3. 实际问题案例。

教学建议:1. 注重引导学生从实际问题中抽象出导数的概念,提高学生的学习兴趣和积极性;2. 通过图形演示导数的几何意义,帮助学生直观理解导数的概念;3. 鼓励学生进行课堂练习和课后作业,及时巩固所学知识;4. 结合实际问题,引导学生运用导数解决实际问题,提高学生的应用能力。

第六章:导数与函数的单调性6.1 单调增函数与单调减函数6.2 利用导数判断函数的单调性6.3 单调性在实际问题中的应用第七章:函数的极值与导数7.1 极值的概念7.2 利用导数求函数的极值7.3 极值在实际问题中的应用第八章:曲线的切线与法线8.1 切线方程的求法8.2 法线方程的求法8.3 切线与法线在实际问题中的应用第九章:导数与函数的图像9.1 凹凸性的定义与判断9.2 拐点的定义与判断9.3 利用导数分析函数的图像特点第十章:导数在经济、物理等领域的应用10.1 导数在经济学中的应用10.2 导数在物理学中的应用10.3 导数在其他领域的应用案例分析教学步骤:6.1-6.3:通过具体例子讲解单调增函数与单调减函数的概念,引导学生利用导数判断函数的单调性,并应用于实际问题。

高中数学函数与导数

高中数学函数与导数

高中数学函数与导数在高中数学学科中,函数和导数是两个非常重要的概念,它们在数学的各个领域都有广泛的应用。

本文将从函数和导数的基本概念、性质以及应用等方面进行探讨。

一、函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念,它描述了两个变量之间的依赖关系。

数学上,函数可以用公式、图像或者其他方式来表示。

函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质对于理解和分析函数至关重要。

1.1 函数的定义和符号表示函数是一种映射关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数可以用如下形式表示:\[f: x \rightarrow y\]其中,\(f\) 表示函数的名称,\(x\) 表示定义域中的自变量,\(y\) 表示值域中的因变量。

1.2 函数的图像和性质通过函数的图像可以更直观地观察函数的性质。

在直角坐标系中,可以将函数表示为一条曲线,其横坐标为自变量,纵坐标为因变量。

函数的单调性、奇偶性、周期性等特点可以通过观察图像进行判断。

二、导数的基本概念和性质导数是函数的一种衡量函数变化速度的工具,它描述了函数在某一点的斜率或变化率。

导数在微积分中有广泛的应用,例如求解极值、曲线的切线方程等。

2.1 导数的定义设函数 \(y = f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 上有定义,如果存在一个常数 \(k\),使得当自变量 \(x\) 在区间 \((a,b)\) 内趋于 \(x_0\) 时,函数值的变化量\(\Delta y\) 与自变量的变化量 \(\Delta x\) 之比的极限存在,那么这个极限就是函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的导数,记作 \(f'(x_0)\) 或者\(\frac{dy}{dx} \Big|_{x=x_0}\)。

2.2 导数的几何意义导数可以理解为函数的切线的斜率。

在函数图像上,导数可以表示函数在某点处的瞬时变化率,也可以表示切线在横轴上的截距。

导数的正负性可以用来判断函数的单调性和极值。

导数定义及其几何意义

导数定义及其几何意义

第9讲 导数定义及其几何意义【知识导图】知识点1 导数及导数运算 1.导数与导函数的概念(1)一般地,函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →000()()f x x f x x+∆−∆,我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|0x x =,即f ′(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →000()()f x x f x x+∆−∆. (2)如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内的每一点处都有导数,其导数值在(a ,b )内构成一个新函数,这个函数称为函数y =f (x )在开区间(a ,b )内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 2.基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则 若f ′(x ),g ′(x )存在,则有(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x );(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).例题1.1 求下列函数的导数:(1)y =ln x +1x ;(2)f (x )=sin x2⎝⎛⎭⎫1-2cos 2x 4;(3)y =3x e x -2x +e. 答案 (1) y ′=1x -1x 2,(2) f ′(x )=-12cos x ,(3) y ′=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2解析 (1)y ′=⎝⎛⎭⎫ln x +1x ′=(ln x )′+⎝⎛⎭⎫1x ′=1x -1x2. (2)因为f (x )=sin x 2⎝⎛⎭⎫-cos x 2=-12sin x , 所以f ′(x )=⎝⎛⎭⎫-12sin x ′=-12(sin x )′=-12cos x . (3)y ′=(3x e x )′-(2x )′+e′=(3x )′e x +3x (e x )′-(2x )′=3x e x ln 3+3x e x -2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2.例题1.2设函数f (x )=e x x +a .若f ′(1)=e4,则a =________.答案 1解析 由f ′(x )=e x (x +a )-e x (x +a )2,可得f ′(1)=e a (1+a )2=e 4,即a (1+a )2=14,解得a =1.例题1.3 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,则f (1)=________. 答案 -234解析 因为f (x )=x 2+3xf ′(2)+ln x ,∴f ′(x )=2x +3f ′(2)+1x.令x =2,得f ′(2)=4+3f ′(2)+12,则f ′(2)=-94.∴f (1)=1+3×1×⎝⎛⎭⎫-94+0=-234.知识点2 导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k =f ′(x 0).例题2.1 (1)曲线y =3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________.(2)曲线y =ln x +x +1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________.答案 (1) 3x -y =0,(2) 2x -y =0解析 (1)y ′=3(2x +1)e x +3(x 2+x )e x =3e x (x 2+3x +1),所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k =e 0×3=3,所以所求切线方程为3x -y =0.(2)设切点坐标为(x 0,y 0),因为y =ln x +x +1,所以y ′=1x+1,所以切线的斜率为1x 0+1=2,解得x 0=1.所以y 0=ln 1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0.例题2.2 在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是_______,此时切线方程为_______.答案 (e ,1), x -e y =0解析 设A (m ,n ),则曲线y =ln x 在点A 处的切线方程为y -n =1m(x -m ).又切线过点(-e ,-1),所以有n +1=1m(m +e).再由n =ln m ,解得m =e ,n =1.故点A 的坐标为(e ,1),切线方程为x -e y =0.例题2.3 已知y =f (x )是可导函数,如图,直线y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线,令g (x )=xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)=________.答案 0解析 由题图可知曲线y =f (x )在x =3处切线的斜率等于-13,∴f ′(3)=-13.∵g (x )=xf (x ),∴g ′(x )=f (x )+xf ′(x ),∴g ′(3)=f (3)+3f ′(3),又由题意可知f (3)=1, ∴g ′(3)=1+3×⎝⎛⎭⎫-13=0. 例题2.4 已知函数f (x )=a e x (a >0)与g (x )=2x 2-m (m >0)的图象在第一象限有公共点,且在该点处的切线相同,当实数m 变化时,实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫4e 2,+∞B.⎝⎛⎭⎫8e 2,+∞C.⎝⎛⎭⎫0,4e 2D.⎝⎛⎭⎫0,8e 2 答案 D解析 设在第一象限的切点为A (x 0,y 0),所以⎩⎨⎧a e x 0=2x 20-m ,a e x 0=4x 0,整理得⎩⎨⎧4x 0=2x 20-m ,x 0>0,m >0,由m =2x 20-4x 0>0和x 0>0,解得x 0>2.由上可知a =4x 0e x 0,令h (x )=4xe x ,x >2,则h ′(x )=4(1-x )e x.因为x >2,所以h ′(x )=4(1-x )e x<0,h (x )=4xe x 在(2,+∞)上单调递减, 所以0<h (x )<8e2,即a ∈⎝⎛⎭⎫0,8e 2.。

导数知识点总结及例题

导数知识点总结及例题

导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中,我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况,比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。

这种情况下,我们就需要考虑函数在某一点处的变化率,也就是导数。

对于函数y=f(x),在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示:f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

利用导数的定义,我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。

1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义,它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

例如,对于函数y=x^2,在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。

这也意味着,导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。

1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x),它在某一点处的导数存在的条件是:在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。

也就是说,如果函数在某一点处导数存在,那么这个点就是函数的可导点。

二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性,它可以帮助我们理解函数的性质。

例如,导数可以表示函数在某一点处的斜率,可以告诉我们函数曲线的凹凸性,还可以帮助我们找到函数的极值点等。

2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时,我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。

我们把这个过程称为求导,求出的导数称为导函数。

导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质,比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。

这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据,也是我们理解函数性质的基础。

三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础,它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。

导数的计算方法

导数的计算方法

导数的计算方法导数是微积分中的重要概念,它描述了函数在某一点的变化率。

在实际问题中,导数的计算方法可以帮助我们分析函数的特性,解决各种问题。

下面我们将介绍几种常见的导数计算方法。

一、基本导数公式。

1.1 导数的定义。

在介绍导数的计算方法之前,我们先来回顾一下导数的定义。

对于函数y=f(x),它在点x处的导数可以定义为:f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx。

其中,f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

这个定义可以帮助我们理解导数的几何意义,即切线的斜率。

1.2 基本导数公式。

在实际计算中,我们经常会用到一些基本的导数公式。

这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数,其中一些常见的导数公式包括:(1)常数函数的导数公式,若y=c,其中c为常数,则y'=0。

(2)幂函数的导数公式,若y=x^n,其中n为常数,则y'=nx^(n-1)。

(3)指数函数的导数公式,若y=a^x,其中a为常数且a>0且a≠1,则y'=a^x ln(a)。

(4)对数函数的导数公式,若y=log_a(x),其中a为常数且a>0且a≠1,则y' = 1 / (x ln(a))。

(5)三角函数的导数公式,若y=sin(x),则y'=cos(x);若y=cos(x),则y'=-sin(x);若y=tan(x),则y'=sec^2(x)。

以上是一些基本的导数公式,掌握这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数。

二、导数的计算方法。

2.1 使用导数的定义。

在一些特殊情况下,我们可以使用导数的定义来计算函数的导数。

例如,对于一些复杂的函数或者无法直接套用基本导数公式的函数,我们可以利用导数的定义进行计算。

这种方法可能会比较繁琐,但在某些情况下是非常有效的。

2.2 利用导数的性质。

导数具有一些特性和性质,我们可以利用这些性质来简化导数的计算。

导数的定义和求导规则

导数的定义和求导规则

导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念:当自变量x趋近于某一数值a时,函数f(x)趋近于某一数值L,即称f(x)当x趋近于a时的极限为L,记作:lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义:函数f(x)在点x=a处的导数,记作f’(a)或df/dx|_{x=a},表示函数在某一点的瞬时变化率。

定义如下:二、求导规则2.1 常数倍法则:如果u(x)是可导函数,c是一个常数,则cu(x)也是可导函数,且(cu(x))’ = c*u’(x)。

2.2 幂函数求导法则:如果u(x) = x^n,其中n为常数,则u’(x) = n*x^(n-1)。

2.3 乘积法则:如果u(x)和v(x)都是可导函数,则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。

2.4 商法则:如果u(x)和v(x)都是可导函数,且v(x)≠0,则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。

2.5 和差法则:如果u(x)和v(x)都是可导函数,则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x),(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。

2.6 链式法则:如果y = f(u),u = g(x),则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。

2.7 复合函数求导法则:如果y = f(g(x)),则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。

2.8 高阶导数:如果f’(x)是f(x)的一阶导数,则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数,以此类推。

2.9 隐函数求导法则:如果方程F(x,y) = 0表示隐函数,则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y,其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。

三、导数的应用3.1 函数的单调性:如果f’(x) > 0,则f(x)在区间内单调递增;如果f’(x) < 0,则f(x)在区间内单调递减。

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第4章 2.1
(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为s =14t 4-53t 3+2t 2
,那么速度为
零的时刻是( )
A .1秒末
B .0秒
C .4秒末
D .0,1,4秒末
解析: ∵s ′=t 3-5t 2+4t ,令s ′=0,得t 1=0,t 2=4,t 3=1,故选D. 答案: D
2.一根金属棒的质量y (单位:kg)是长度x (单位:m)的函数,y =f (x )=3x ,则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )
A.2
5 kg/m B.3
5 kg/m C.3
4
kg/m D.1
2
kg/m 解析: 平均线密度:f (9)-f (4)9-4==39-345=3
5( kg/m).
答案: B
3.某汽车的紧急刹车装置需在遇到紧急情况2 s 内完成刹车,其位移(单位:m)关于时间(单位:s)的函数为s (t )=1
3
t 3-4t 2+20t +15,则s ′(1)的实际意义为( )
A .汽车刹车后1 s 内的位移
B .汽车刹车后1 s 内的平均速度
C .汽车刹车后1 s 时的瞬时速度
D .汽车刹车后1 s 时的位移
解析: s ′(t )表示运动物体在时刻t 的速度即在t 的瞬时速度. 答案: C
4.物体自由落体运动方程为s =s (t )=1
2gt 2,g =9.8 m/s 2,若s ′(1)=li m Δt →0
s (1+Δt )-s (1)Δt =9.8(m/s),那么下列说法正确的是( )
A .9.8 m/s 是在0~1 s 这段时间内的速率
B .9.8 m/s 是从1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的速度
C .9.8 m/s 是物体在t =1 s 这一时刻的速度
D .9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速率 解析: 解本题时关键弄清瞬时速度与平均速度的概念 答案: C
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张,当半径为250 cm时,一水波面的圆面积的膨胀率是________.
解析:∵s=πr2,r=50t
∴s=2 500 πt2
r=50t=250
∴t=5
∴Δs
Δt

2 500π(5+Δt)2-2 500π52
Δt
=2 500π(Δt2+10Δt)
Δt
=2 500πΔt+25 000π
lim Δt→0Δs
Δt
=25 000π
答案:25 000π cm2/s
6.某收音机制造厂管理者通过对上班工人工作效率的研究表明:一个中等技术水平的工人,从8:00开始工作,t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)=-t3+9t2+12t,则Q′(2)=______,它的实际意义为________.
解析:∵Q(t)=-t3+9t2+12t
∴Q′(t)=-3t2+18t+12
∴Q′(2)=-3×4+18×2+12
=36台/时
实际意义:10:00时工人装配收音机的速度为36台/时.
答案:36(台/时)
10:00时工人装配收音机的速度为36台/时
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=120+x
10+
x2
100
(元).
(1)当x从200变到220时,总成本c关于产量x的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?
(2)求c′(200),并解释它代表什么实际意义.
解析:(1)当x从200变到220时,
总成本c从c(200)=540元变到c(220)=626元.
此时总成本c 关于产量x 的平均变化率为c (220)-c (200)
220-200

86
20
=4.3(元/件), 它表示产量从x =200件到x =220件变化时平均每件的总成本. (2)首先求c ′(x ),根据导数公式和求导法则可得c ′(x )=110+x
50,
于是c ′(200)=1
10
+4=4.1(元/件).
它指的是当产量为200件时,每多生产一件产品,需增加4.1元成本.
8.江轮逆水上行300 km ,水速为6 km/h ,船相对于水的速度为x km/h ,已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2L ,即与船相对于水的速度的平方成正比.
(1)试写出江轮航行过程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式:y =f (x ). (2)求f ′(36),并解释它的实际意义(船的实际速度=船相对水的速度-水速). 解析: (1)船的实际速度为(x -6)km/h ,
故全程用时300
x -6
h ,所以耗油量y 关于x 的函数关系式为
y =f (x )=300×0.01x 2
x -6=3x
2
x -6
(x >6).
(2)f ′(x )=3·2x (x -6)-x 2
(x -6)2=
3x (x -12)
(x -6)
2, f ′(36)=3×36×(36-12)(36-6)
2
=2.88⎝⎛⎭⎫
L km/h f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时耗油量增加的速度为2.88 L/h ,也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时,船的航行速度每增加1 km/h ,耗油量就要增加2.88 L.
尖子生题库 ☆☆☆
9.(10分)东方机械厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )=-2x 2+7 000x +600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润;
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量; (3)求c ′(1 000)与c ′(1 500),并说明它们的实际意义. 解析: (1)总利润为5 000 600元,平均利润为5 000.6元 (2)平均改变量
-2×15002+7 000×1 500+600+2×1 0002-7 000×1 000-600
1 500-1 000
=1 000 000
500
2 000(元)
(3)∵c′(x)=(-2x2+7 000x+600)′=-4x+7 000,
∴c′(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000(元),
c′(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000(元),
c′(1 000)=3 000表示当产量为1 000台时,每多生产一台机械可多获利3 000元.c′(1 500)=1 000表示当产量为1 500台时,每多生产一台机械可多获利1000元.。

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