2.1实际问题中导数的意义
第二章 导数与微分教案
M (x0 , f (x0 )) 处的切线方程为 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 )
如 果 f (x0 ) 0 ， 那 么 曲 线 y f (x) 在 点 M (x0 , f (x0 )) 处 的 法 线 方 程 为
y
f (x0 )
f
1 (x (x0 )
x0 )
3
例 4 求曲线 y x 2 的通过点（1，4）的切线方程．
《 数学基础 》教案
标题
2.1 导数的概念
【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义
编号
【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义
【教学难点】导数的几何意义
【教学方法】讲授 实施步骤
【教学时数】 教学内容提要
时间
【课外作业】
1
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 导数概念的引例
既然导数是比值 y 当 x 0 的极限，那么，下面两个极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ， lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
x x0
x0
x
分别叫做函数 y f (x) 在点 x0 处的左导数和右导数，且分别记为 f (x0 ) 和
8
sin 2 x 1 cos2 x
y
1 cos x
1 cos x 1 cos x
y (1 cosx) sin x
三、反函数求导法则 若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y) 0 ，则 它的反函数 y f (x) 在对应区间 I x 内也可导，且
f (x) 1 ( y)
备注：
2.2.1导数的概念及其几何意义
2．1 导数的概念
【课标要求】 1．理解并掌握导数的概念． 2．掌握求函数在一点处的导数的方法． 【核心扫描】 1．导数产生的实际背景(如曲线的切线斜率、瞬时速度等问
题)．(重点)
2．导数的概念及求函数在某一点处的导数的方法．(重点、 难点)
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
利用导数的定义求导数，“三步法”的模式是 Δy 固定的，关键是要注意在求 时，分式的通分、无理式的 Δx 分子有理化等常用技巧的使用．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【训练1】 已知函数y＝ax2＋bx＋c，求y′|x＝2.
解 ∵Δy＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－(4a＋2b＋c) ＝4aΔx＋a(Δx)2＋bΔx，
4
________.
f1＋2Δx－f1 [错解] ∵li m ＝f′(1)， Δx Δx→0 且由导数的定义可求得 f′(x)＝4x3＋3， ∴f′(1)＝7， 故填 7.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
在导数定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但
无论如何变化，其实质是分子中x的增量与分母中x的增量
审题指导 在导数的定义中，Δx的形式是多种多样的，f(x) 的变化区间也是多种多样的，不仅是[x0 ，x0 ＋Δx]的形式， 还可以是[x0－Δx，x0]，[x0－Δx，x0＋Δx]等形式．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
定义法 Δy Δx→0 【解题流程】 确定函数的增量 ――→ Δx 极限 ―→ 导数 ―→ 结果
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
北师大版高中数学《导数及其应用》教材介绍
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
§5简单符合函数的求导法则
一、教材编写的基本结构
1.§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题
二、教材编写特色
1.以丰富的实际问题为基础引入核心概念—— 导数、定积分.帮助学生认识到变化无处不 在，导数和定积分是描述变化规律的基本 概念，这些概念不仅渗透在各个学科中， 也渗透在日常生活的每一个角落. 2. 强调平均变化率到瞬时变化率的过程，以 此来突出导数本质.
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分背景——面积和路程问题
1.2 定积分
§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积
阅读材料 数学史上的丰碑——微积分
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
二、教材编写特色
4. 关注导数的四则运算、简单的复合函数运 算（只在系列2中要求），以加强学生的运 算能力. 5. 在研究函数的单调性、极值时，充分利用 函数图像，并给出了利用导数求函数极值 的算法步骤.
高中数学同步教学 第2章 §2 导数的概念 导数的几何意义
3.掌握利用导数求切线方程的方 3.通过导数实际意义的学习，培养
法．(难点)
了学生数学抽象的核心素养.
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自主预习 探新知
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1．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
函数 y＝f(x)在 x0 点的 瞬时变化率 称为函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，
通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝xl1i→mx0
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1．若 f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则 x0 的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．3 3
C [∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴ΔΔyx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝Δlixm→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 由 f′(x0)＝3，得 3x20＝3，∴x0＝±1．]
第二章 变化率与导数
§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
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学习目标
核心素养
1．理解导数的概念及导数的几何 1．通过导数几何意义的学习，培
意义．(重、难点)
养了学生直观想象的核心素养.
2．会求导数及理解导数的实际意 2．通过求函数的导数的学习，提
义．(重点)
升了学生数学运算的核心素养.
fxx11－ －fx0x0＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 ______Δ_x_______.
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的
_切__线__的__斜__率__．函数 y＝f(x)在 x0 处 切线的斜率反映了导数的几何意义．
北师大版数学选修1-1：第四章§2 导数在实际问题中的应用2.1
1.(2012·南阳测试)某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移解析：选C.由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 2.(2012·驻马店质检)某旅游者爬山的高度h (单位：m)是时间t (单位：h)的函数，关系式是h ＝－100t 2＋800t ，则他在2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1000 m/hC ．400 m/hD ．1200 m/h解析：选C.∵h ′＝－200t ＋800，∴当t ＝2 h 时，h ′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．3.物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．解析：由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2. 答案：2.24.若某段导体通过的电量Q (单位：C)与时间t (单位：s)的函数关系为Q ＝f (t )＝120t 2＋t －80，t ∈[0，30]，则f ′(15)＝________，它的实际意义是____________________．解析：Q ′＝f ′(t )＝110t ＋1，令t ＝15，则f ′(15)＝52 (C/s)，这表示t ＝15 s 时的电流强度，即单位时间内通过的电量．答案：52 C/s t ＝15 s 时的电流强度为52C/s[A 级 基础达标]1.圆的面积S 是半径r 的函数，S ＝πr 2，那么在r ＝3这一时刻面积的变化率是( )A ．6C ．9πD ．6π解析：选D.S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝6π.2.(2012·宝鸡检测)自由落体的运动公式是s ＝12gt 2(g 为重力加速度)，则物体在下落3 s 到4 s 之间的平均变化率是(取g ＝10 m/s 2)( )A ．30B ．32C ．35D ．40解析：选C.v ＝Δs Δt ＝12g ×42－12g ×324－3＝72g ＝35. 3.某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：选D.导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．4.人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg /mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：服药2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg /mL 的速度增加5.(2012·西安调研)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________．解析：s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，令6t ＋1＝10，则t ＝32. 答案：326.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t .(1)氡气的散发速度是多少？(2)A ′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？解：(1)A ′(t )＝500×0.834t ×ln 0.834.(2)A ′(7)＝500×0.8347×ln 0.834≈－25.5，它表示7天时氡气散发的瞬时速度．[B 级 能力提升]7.(2012·宜春调研)细杆AB 的长为20 cm ，M 为细杆AB 上的一点，AM 段的质量与A 到M 的距离的平方成正比，当AM ＝2 cm 时，AM 的质量为8 g ，那么当AM ＝x cm 时，M 处的细杆线密度ρ(x )为( )A ．2xC ．4xD ．5x解析：选C.当AM ＝x cm 时，设AM 的质量为f (x )＝kx 2，因为f (2)＝8，所以k ＝2，即f (x )＝2x 2，故细杆线密度ρ(x )＝f ′(x )＝4x ，故选C.8.某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( )A ．t ＝t 0时做的功B ．t ＝t 0时的速度C ．t ＝t 0时的位移D ．t ＝t 0时的功率答案：D9.(2012·西安测试)酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm ，上口宽6 cm ，水以20 cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为________．解析：设水深为h 时，水面半径为r ，则h 8＝r 3，∴r ＝38h ， 经过t s 后，水的体积为20t ，则20t ＝13π(38h )2·h ，即h (t )＝ 320×643πt ， ∴h ′(t )＝13 320×643πt －23.又h ＝4时，r ＝32，V ＝3π， ∴t ＝3π20，h ′(320π)＝809π. 答案：809πcm/s 10.将1 kg 铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量Q (单位：J)：Q (t )＝0.000297t 2＋0.4409t .(1)当t 从10变到20时函数值Q 关于t 的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？(2)求Q ′(100)，并解释它的实际意义．解：(1)当t 从10变到20时，函数值Q 关于t 的平均变化率为Q （20）－Q （10）20－10≈0.4498，它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量约为0.4498 J.(2)Q ′(t )＝0.000594t ＋0.4409，则Q ′(100)＝0.5003，它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.5003 J.11.某食品厂生产某种食品的总成本C (单位：元)和总收入R (单位：元)都是日产量x (单位：kg)的函数，分别为C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时的边际利润，并说明其经济意义．解：(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.(2)当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时，边际利润分别为L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．其经济意义是：当日产量为200 kg时，再增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，再增加1 kg，则总利润无增加；当日产量为300 kg时，再增加1 kg，则总利润反而减少1元．由此可得到：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．。
北师大版数学高二-第二节 导数在实际问题中的应用3.2.1实际问题中导数的意义学案
第二节 导数在实际问题中的应用3.2.1实际问题中导数的意义★ 学习目标1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路； 2．能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。
★ 学法指导通过实际问题的应用举例，逐步掌握运用函数思想解决优化问题的建模过程：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的结果。
★ 知识点归纳1．生活中经常遇到求 等问题，这些问题通常成为优化问题； 2 ．利用导数解决优化问题的实质是 ； 3 ．解决优化问题的步骤是2） ；（3） 。
★ 重点：掌握优化问题的建模过程；难点：将实际问题转化为数学中的函数问题，并根据实际意义正确确定函数的定义域； 剖析：1．生活和生产实践中优化问题的常见类型：费用、用料最省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题等。
2． 在运用函数解决实际问题的过程中，要注意恰当地选择自变量，从而简化函数的解析式，简化问题解决的过程；3．在解决实际问题时，不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系，而且要根据实际意义正确确定函数的定义域；4．在实际问题中，有时会遇到在定义域内只有一点满足'()0f x =的情形，这时我们仍要确定它是极大值还是极小值，不应认为它就一定是解。
★ 典例分析例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t tt w )(。
(1) 求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2) 求在t=1s 和t=3s 时,该机车每秒做的功。
分析：()W t 在0tt =处的导数'0()W t 为机车在0t t =时，每秒所做的功即功率。
变式练习1一辆加速行使的汽车，其速度关于时间的函数表达式为2()210,v f t t t ==-+求'(1)f ，并解释它的实际意义。
例2 用长为90cm ，宽为48cm 的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转090角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析：考察函数的概念，运用导数求最值的方法。
第二章 导数与微分
例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.
导数的概念及几何意义
利用导数求切线的方程
已知曲线 C：y＝1x3＋4. 33
(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程． (2)在第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[解] (1)将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝4. ∴切点 P(2,4)． ∵Δy＝13(2＋Δx)3＋43－13×23－43 ＝4Δx＋2(Δx)2＋13(Δx)3， ∴ΔΔxy ＝4＋2Δx＋13(Δx)2， 当 Δx 趋于 0 时，4＋2Δx＋13(Δx)2 趋于 4，所以曲线在 x＝2 处 的导数等于 4. 即切线的斜率为 4，故所求切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x －y－4＝0.
也称为 y＝f(x)在 x0 点的__导__数____．
(2)记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f′(x0)表示， 记作 f′(x0)＝_xl_1i→m_x_0 _f_x_x1_1_－ －__fx_0x_0__＝_Δl_ixm→_0__f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0___.
2．导数的几何意义 函数y＝fx在x0处的导数;是曲线y＝fx在点_______x_0_;f_x_0__处的 切线的______斜__率．函数y＝fx在点x0;fx0处切线的斜率反映了 导数的几何意义． 注意：导数的物理意义：函数S＝St在点t0处的导数S′t0;就是 当物体的运动方程为S＝St时;物体在时刻t＝t0时的瞬时速度v; 即v＝S′t0；函数v＝vt在点t0处的导数v′t0;就是当物体的运动 速度方程为v＝vt时;物体在时刻t＝t0时的瞬时加速度a;即a＝ v′t0．
方法归纳 求函数y＝fx在点x0处的导数的三个步骤
1．求函数fx＝x2＋3在x＝2处的导数．
解：因为Δy＝f a＋Δx －f a
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《生活中的优化问题举例》教学反思 人教A 版选修2-2的1.4节是《生活中的优化问题举例》。
“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如费用最低、用料最省、效率最高等。
本节课的教学目标是：1.通过生活中的优化问题的学习，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高，突出导数的应用研究。
本节课的难点主要有两个：难点之一是数学建模问题；学生难以写出函数关系式。
难点之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。
教材选取的这三道题虽然都来自实际生活，但对于本校的学生来讲，还是有难度的，所以选择了面积、容积最值问题，利润最大问题，费用最省相对来说较容易的三个研学问题。
比如例题1，海报版面尺寸的设计问题，有些学生难以写出目标函数85122++=x
x S ，采用求导的方法求最值是一种方法，另外根据函数的形状，有一部分学生能够想到运用基本不等式。
在第二题容积最大问题中，较多学生易忽略定义域的问题。
利润与费用最省问题，也是实际中常遇见的问题。
因为考虑到部分学习能力强的学生，所以加入了一道高考题。
本节课总体来说学生反映不错，达到了学习目标。
最后，本堂课中难点是数学建模，数学建模是数学核心素养的一部分，素质教育的核心是创新教育,这已然成为全社会的共识。
要培养学生的创新意识创新精神,首先就要求教师具有创新精神,要能科学、合理正确地使用好教材, 提高课堂效率,发展学生的思维能力, 我想这也是每个中学教师都所面临的共同挑战。