【2019最新】高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习
高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习新人教A版选修4-4(2021年整理)
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四 渐开线与摆线［课时作业]［A 组 基础巩固］1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．2πC ．12πD ．14π解析:当t ＝0时，x ＝0且y ＝0。
即点(0,0)在曲线上．答案：C2．已知一个圆的摆线的参数方程是{ x ＝3φ－3sin φ，，y ＝3－3cos φ（φ为参数），则该摆线一个拱的高度是( ）A ．3B ．6C ．9D ．12解析：由圆的摆线的参数方程错误!(φ为参数）知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6。
答案:B3．圆错误!(φ为参数）的渐开线方程是（ ）A 。
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos φ＋5φsin φy ＝5sin φ－5φcos φ(φ为参数）B 。
错误!（φ为参数）C.错误!（φ为参数）D 。
错误!（φ为参数)解析：由圆的参数方程知圆的半径为10,故其渐开线方程为错误!(φ为参数)．答案：C4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动,在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( )A.错误!B 。
错误!C 。
｛ x ＝3φ－sin φy ＝31－cos φD 。
高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习新人教A版选修4_42018080419
四 渐开线与摆线[课时作业] [A 组 基础巩固]1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π解析：当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上． 答案：C2．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：B 3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ，y ＝10sin φ(φ为参数)的渐开线方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ＋5φsin φ，y ＝5sin φ－5φcos φ(φ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos φ－5φsin φ，y ＝5sin φ＋5φcos φ(φ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ－10φsin φ，y ＝10sin φ＋10φcos φ(φ为参数)解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数)．答案：C4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ解析：易知点M 的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C. 答案：C5．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析：当φ＝2π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2π＋2πsin 2π＝6，y ＝sin 2π－2π·cos 2π＝－12π.故选C.答案：C6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________． 解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)7．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π88．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程． 解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系， 所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)．9．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝－cos t(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．解析：当y ＝2时，有2(1－cos t )＝2，∴t ＝π2或t ＝3π2.当t ＝π2时，x ＝π－2；当t ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．[B 组 能力提升]1．t ＝π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋t sin t ，y ＝sin t －t cos t上的点的坐标为( )A ．(－5,5π)B ．(－5，－5π)C ．(5,5π)D ．(5，－5π)解析：将t ＝π代入参数方程易得x ＝－5，y ＝5π.故选A. 答案：A2．已知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：方法一 由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4.方法二 由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x 轴两个相邻交点的距离，令y ＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2k π(k ∈Z)，不妨分别取k ＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x 1＝0，x 2＝4π，所以摆线与x 轴两个相邻交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽度等于4π；又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x 1,0)，(x 2,0)的中点，此时φ＝φ1＋φ22＝π，所以摆线一个拱的高度为|y |＝2(1－cos π)＝4. 答案：D3．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案：12 34．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为16，求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝42＋2π，y ＝42－2π，由此可得对应的坐标为(42＋2π，42－2π)．答案：16 (42＋2π，42－2π)5．已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程．解析：令y ＝0得r (1－cos φ)＝0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)． 则x ＝r (2k π－sin 2k π)＝4，即得r ＝2k π(k ∈Z)． 又r >0，易知，当k ＝1时，r 取最大值为2π.圆的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2πφ＋φsin φ，y＝2πφ－φcos φ(φ为参数)．6．已知圆C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．解析：(1)圆C 平移后的圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋6φsin φ，y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为参数)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2019高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习
四 渐开线与摆线[课时作业] [A 组 基础巩固]1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π解析：当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上． 答案：C2．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：B 3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ，y ＝10sin φ(φ为参数)的渐开线方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ＋5φsin φ，y ＝5sin φ－5φcos φ(φ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos φ－5φsin φ，y ＝5sin φ＋5φcos φ(φ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ－10φsin φ，y ＝10sin φ＋10φcos φ(φ为参数)解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数)．答案：C4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8 φ－sin φ ，y ＝8 1－cos φB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ解析：易知点M 的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C. 答案：C5．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 cos φ＋φsin φy ＝6 sin φ－φcos φ (φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析：当φ＝2π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6 cos 2π＋2πsin 2π ＝6，y ＝6 sin 2π－2π·cos 2π ＝－12π.故选C.答案：C6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________． 解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5 φ－sin φ ，y ＝5 1－cos φ(φ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5 φ－sin φ ，y ＝5 1－cos φ (φ为参数)7．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π88．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程． 解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系， 所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)．9．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 t －sin t ，y ＝2 1－cos t(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．解析：当y ＝2时，有2(1－cos t )＝2，∴t ＝π2或t ＝3π2.当t ＝π2时，x ＝π－2；当t ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．[B 组 能力提升]1．t ＝π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5 cos t ＋t sin t ，y ＝5 sin t －t cos t 上的点的坐标为( )A ．(－5,5π)B ．(－5，－5π)C ．(5,5π)D ．(5，－5π)解析：将t ＝π代入参数方程易得x ＝－5，y ＝5π.故选A. 答案：A2．已知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 φ－sin φ ，y ＝2 1－cos φ(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：方法一 由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4.方法二 由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x 轴两个相邻交点的距离，令y ＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2k π(k ∈Z)，不妨分别取k ＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x 1＝0，x 2＝4π，所以摆线与x 轴两个相邻交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽。
高中数学 第二讲 参数方程 2.4 渐开线与摆线练习 4-4
四 渐开线与摆线课后篇巩固探究A 组1.下列说法正确的是( )①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A 。
②③B 。
②C 。
③D 。
①③2。
下列各点中,在圆的摆线{x =φ-sinφ,y =1-cosφ(φ为参数)上的是( ) A 。
(π,0) B .(π，1） C .(2π，2） D .(2π,0）。
3.当φ=2π时，圆的渐开线{x =6(cosφ+φsinφ),y =6(sinφ-φcosφ)(φ为参数）上对应的点是( ) A.（6，0）B.（6,6π）C 。
（6,—12π) D.（-π,12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程，得{x =6(cos2π+2π·sin2π)=6,y =6(sin2π-2π·cos2π)=-12π,即所求的坐标为（6,—12π）。
4.当φ=3π2时,圆的摆线{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数)上对应的点的坐标是 .+4,4）5。
如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=π3，那么该点的坐标为 。
r=3，所以圆的摆线的参数方程为{x =3φ-3sinφ,y =3-3cosφ（φ为参数）.把φ=π3代入得x=π-3√32，y=3-32=32。
故该点的坐标为(π-3√32,32)。
答案(π-3√32,32)6.已知一个圆的摆线方程是{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ（φ为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程。
解根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是{x =4cosφ+4φsinφ,y =4sinφ-4φcosφ（φ为参数)。
7。
已知圆C 的参数方程是{x =1+6cosα,y =-2+6sinα(α为参数)，直线l 的普通方程是x —y-6√2=0。
【配套K12】高中数学第二章参数方程2.4平摆线和渐开线课后训练
平摆线和渐开线练习1给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④2平摆线=2sin =21cos x t t y t (-)⎧⎨(-)⎩，(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )．A ．(π－2,2)B ．(3π＋2,2)C ．(π－2,2)或(3π＋2,2)D ．(π－3,5)3如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π4我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线()()sin ,1cos x r y r ϕϕϕ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为( )． A ．=sin ,=1cos x r y r ϕϕϕ(-)⎧⎨(-)⎩(φ为参数)B ．=1cos ,=sin x r y r ϕϕϕ(-)⎧⎨(-)⎩(φ为参数) C ．,1x rsin y r cos ϕϕ=⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)D ．1cos ,sin x r y r ϕϕ=(-)⎧⎨=⎩(φ为参数) 5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数π2ϕ=，则点P的坐标为________．7已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．8已知圆的渐开线cos sin,sin cosx ry rϕϕϕϕϕϕ=(+)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．参考答案1 答案：C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和平摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．2答案：C 由y ＝2得2＝2(1－cos t )，∴cos t ＝0.∵0≤t ≤2π，∴π=2t 或3π2. ∴x 1＝ππ2sin 22⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π－2， x 2＝332πsin π22⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3π＋2. ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．3答案：C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 4答案：B 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换．5 答案：6k π(k ∈Z ) ∵r ＝3，∴平摆线的参数方程为=33sin =33cos x y ϕϕϕ-⎧⎨-⎩，(φ为参数)．把y ＝0代入，得cos φ＝1.∴sin φ＝0，∴φ＝2k π(k ∈Z )．∴x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．6 答案：(π，2) 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ(+)⎧⎨(-)⎩，(φ为参数)． 当π=2ϕ时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)． 7答案：解：∵平摆线的生成圆的半径r ＝40 mm ，∴此平摆线的参数方程为=40sin =401cos x t t y t (-)⎧⎨(-)⎩，(t 为参数)，它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．8 答案：解：把已知点(3,0)代入参数方程得3=cos sin 0=sin cos r r ϕϕϕϕϕϕ(+)⎧⎨(-)⎩，，解得=0=3.r ϕ⎧⎨⎩，所以基圆的面积S ＝πr 2＝π×32＝9π.。
高中数学 第二章 参数方程 第4节 摆线和渐开线检测 北师大版选修44
第二讲 第四节 摆线和渐开线一、选择题(每小题5分，共20分)1．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析： 当φ＝2π时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π＋2πsin2π＝6y ＝π－2πcos2π＝－12π，故点(6，－12π)为所求． 答案： C2．已知一个圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝π2对应的点的坐标与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( ) A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2解析： 根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，代入距离公式，可得距离为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2＝10.答案： C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析： 本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案： C4. 如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …中做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析： 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出某渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)进行对照可知，这里的r ＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝π2分别代入x 和y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3，即得对应的点的坐标．答案： 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，36．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(6，3，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案： 12 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程．解析： (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)， 它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)．8．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C 的半径为2，圆周上有一点A ，当圆C 沿直线l 滚动时， (1)求CA 中点的轨迹方程；(2)若在CA 的延长线上取点Q ，使|AQ |＝|CA |，求Q 的轨迹方程．解析： (1)以直线l 为x 轴，点A 落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C 转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A 的轨迹是平摆线，此时A 点坐标为(2θ－2sin θ，2－2cos θ)，设CA 中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12θ＋2θ－2sin θy＝12＋2－2cos θ即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2θ－sin θy ＝2－cos θ，为P 点的轨迹方程．(2)设点Q 的坐标为(x ，y )． ∵|AQ |＝|CA |，∴A 为CQ 的中点，故有⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝2x A －x Cy Q ＝2y A －y C∴⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝4θ－4sin θ－2θ＝2θ－4sin θy Q ＝4－4cos θ－2＝2－4cos θ，为Q 点的轨迹方程．。
2019高中数学 第二章 参数方程 四 渐开线与摆线高效演练 新人教A版选修4-4
四、渐开线与摆线A 级 基础巩固一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同 解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2．直径为12的圆的摆线的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－sin φ，y ＝6－cos φ(φ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6cos φ，y ＝6－6sin φ(φ为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－cos φ，y ＝6－sin φ(φ为参数) 解析：因为2r ＝12.所以r ＝6.所以该圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数)．故选A.答案：A3．下列各点中，在圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝1－cos φ(φ为参数)上的是( )A ．(π，0)B ．(π，1)C ．(2π，2)D ．(2π，0)答案：B4．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)．答案：C5．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，所以|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案：C 二、填空题6．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．解析：当φ＝π时，y ＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x ＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度．答案：6 6π7．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π88．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝π2，则点P的坐标为________．解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．答案：(π，2) 三、解答题9．已知渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos θ＋θsin θ），y ＝2（sin θ－θcos θ）(θ为参数)，求当参数θ为π2和π时对应的渐开线上的两点A 、B 之间的距离． 解：当θ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π，y ＝2，当θ＝π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2π，所以A (π，2)，B (－2，2π)，所以|AB |＝（π＋2）2＋（2－2π）2＝5π2－4π＋8.10．渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标．解：由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．B 级 能力提升1.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案：C2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t －sin t ），y ＝4（1－cos t ）(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为________________．解析：由题设得4＝4(1－cos t )得cos t ＝0. 因为t ∈[0，2π)，所以t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)3．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？ (2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（φ－sin φ），y ＝6（1－cos φ）(φ为参数)．。
(新)高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线成长训练新人教A版选修4-41
四 渐开线与摆线 主动成长 夯基达标 1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( )A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.首先要明确不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.答案：C2.给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.①③B.②④C.②③D.①③④解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题.对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置. 答案：C3.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧φφ-φy=φ,φ-φx=cos sin sin cos (φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是___________，当参数φ=4π时对应的曲线上的点的坐标为___________. 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为 2.求当φ=π4时对应的坐标只需把φ=4π代入曲线的参数方程,x =8π222,8π222-=+y ,由此可得对应的坐标为(8π222,8π222-+). 答案：2 (8π222,8π222-+)4.我们知道关于直线y =x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧)cos 1(),sin (φ-y=r φφ-x=r (φ为参数)关于直线y =x 对称的曲线的参数方程为___________.解析：关于直线y =x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y =x 的对称曲线方程，把其中的x 与y 互换，即是交换x 与y 对应的参数表达式.答案：⎩⎨⎧)sin (),cos 1(φφ-y=r φ-x=r (φ为参数)5.已知一个圆的摆线方程是⎩⎨⎧φ-y=φ,φ-x=cos 44sin 44(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的摆线的参数方程.解析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4,易得圆的面积为16π,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程.解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积是16π.该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧φφφ-y=φ,φφ+x=cos 4sin 4sin 4cos 4(φ为参数). 6.已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.解析：根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧φ)-y=r(φ),x=r(φ=cos 1sin (φ为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式,根据表达式求出r 的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的方程.解：令y =0,得r (1-cos φ)=0,即得cos φ=1.所以φ=2k π(k ∈Z ).代入x =r (2k π-sin2k π)=2,即得r =π1k (k ∈Z ). 又由实际可知r >0,所以r =1k π(k ∈N *).易知,当k =1时,r 最大,最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程是⎩⎨⎧)cos 1(π1)sin (π1φ-y=,φφ-x=(φ为参数), 圆的渐开线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+)cos (sin π1=),sin (cos π1=φφ-φy φφφx (φ为参数).走近高考1.（高考预测题）如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH 、…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析：如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的41圆周长,长度为2π,继续旋转可得是半径为2的41圆周长,长度为π；是半径为3的41圆周长,长度为23π;是半径为4的41圆周长,长度为2π.所以,曲线AEFGH 的长是5π. 答案：C。
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4．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为16，求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝4＋π，y＝4－π，由此可得对应的坐标为(4＋π，4－π)．
(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是(φ为参数)．
圆的渐开线的参数方程是：
(φ为参数)．
6．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？
(2)写出平移后圆的渐开线方程．
解析：(1)圆C平移后的圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
答案：16 (4＋π，4－π)
5．已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程．
解析：令y＝0得r(1－cos φ)＝0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
则x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝4，即得r＝(k∈Z)．
又r>0，易知，当k＝1时，r取最大值为.
解析：当t＝0时，x＝0且y＝0.即点(0,0)在曲线上．
答案：C
2．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是( )
A．3B．6
C．9D．12
解析：由圆的摆线的参数方程
(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
答案：B
3．圆(φ为参数)的渐开线方程是( )
——教学资料参考参考范本——
【2019最新】高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习
______年______月______日
____________________部门
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．πB．2π
C．12πD．14π
7．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.
求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的点的坐标为.
9．求摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．
解析：当y＝2时，有2(1－cos t)＝2，∴t＝或t＝.
当t＝时，x＝π－2；
当t＝时，x＝3π＋2.
∴摆线与直线y＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．
[B组 能力提升]
1．t＝π时，圆的渐开线上的点的坐标为( )
A．(－5,5π)B．(－5，－5π)
答案：2
8．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
答案：C
5．当φ＝2π时，圆的渐开线(φ为参数)上的点是( )
A．(6,0)B．－π，12π)
解析：当φ＝2π时，
故选C.
答案：C
6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________．
解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为(φ为参数)．
答案：(φ为参数)
答案：D
3．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为(φ为参数)．
答案：C
4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M与圆盘中心的距离为3，则点M的轨迹方程是( )
A.B.
C.D.
解析：易知点M的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C.
方法二 由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x轴两个相邻交点的距离，令y＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2kπ(k∈Z)，不妨分别取k＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x1＝0，x2＝4π，所以摆线与x轴两个相邻交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽度等于4π；
又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中点，此时φ＝＝π，所以摆线一个拱的高度为|y|＝2(1－cos π)＝4.
C．(5,5π)D．(5，－5π)
解析：将t＝π代入参数方程易得x＝－5，y＝5π.故选A.
答案：A
2．已知摆线的参数方程为(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )
A．2π，2B．2π，4
C．4π，2D．4π，4
解析：方法一 由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4.