换元引参与整体思想
第讲整体思想与换元法
第讲---整体思想与换元法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2０１4春季９年级数学第5讲 整体思想与换元法一、专题简介：整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体构造等．二、典例剖析例1.已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．类题演练： １．已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 ( ） A.6 B.6- C.125 D.27- 2.已知代数式2346x x -+的值为9,则2463x x -+的值为例2.例4. 已知关于x ,y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩,那么关于x ,y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为类题演练:1.若⎩⎨⎧==b y a x 是方程组⎩⎨⎧=+=+19296781567896y x y x 的解，则b a +＝ 2．解方程组⎩⎨⎧=+=+600820022003600720032002y x y x 例３.解方程：24)4)(3)(2)(1(=++++x x x x类题演练：1． 解方程组：（1）⎩⎨⎧=-++=--+15)(3)(43)(3)(2y x y x y x y x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=-++11063106y x y x y x y x ２.解方程：()()()()111225-=-+--x x x x例4．在四边形ABC Ｄ内放入201３个点，将这201３个点与四边形的4个顶点连结,可以将四边形ABC Ｄ分割成多少个互不重叠的小三角形。
整体换元法
整体换元法换元法上一篇讲到了因式解的四个基本方法，但有的时候碰到一些比较难的题目，基本方法用不上，这时候就要考虑进阶方法了，比如我们今天要讲的换元法。
换元法换元法又称变量替换法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
-----引自百度百科上面的文字看起来有点懵，我们通俗一点讲就是，把某个式子看成一个整体用一个变量（字母）去替代它，从而使问题简化，这就叫换元法。
换元法是整体思想的体现，是非常重要的数学思维，也是高中阶段常用的数学方法，希望大家能好好研究一下。
数学解题思想之整体思想，快看看你家孩子会不会一、整体换元例1：乍一看，好像能提公因式，但是当我们尝试后发现，提完公因式就没法继续下一步了，后面的括号里也不满足十字相乘法，所以，我们今天使用换元法。
整体换元法通常把相同的部分设为一个字母。
整体换元我们可以看到，在综合练习中，一般不会只使用一种方法就解分解完全，一定是几个方法来回不断地使用，所以我们一定要记住每一种方法，并养成检查的习惯。
二、均值换元顾名思义，均值换元法就是求出两个部分的平均值，然后把这个平均值设为字母。
例2：仔细观察，两个括号中式子相差2，很容易求出他们的平均值：所以，我们可以这样做：均值换元三、双换元有时候根据题目需要，我们可以用双换元法，把其中的两个部分，分别设为两个字母，然后再根据和差关系推导出另外的部分，再代入原式进行分解。
例3：很明显，c-a、a-b、b-c这三个式子是首尾相连的，很容易得到他们的关系。
双换元还有两种比较罕见的换元法，正常的考试中碰到这类题的机率很小了，但是可以做一个了解，增加一下自己的认知度。
四、倒数换元例4：倒数换元这个题目没有太多需要讲的，基本上是比较佛系的题了，随缘，能碰到对的思路就对了，碰不到，可能想破脑袋都难想出思路。
换元法高中数学思想方法
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t〔t>0〕，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用代数式中与三角知识中有某点联系进展换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2〔r>0〕时，那么可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原那么，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) 〔a>1〕，那么f(x)的值域是_______________。
初中数学常见的思想方法
初中数学常见的思想方法专门与一样的数学思想：关于在一样情形下难以求解的问题，可运用专门化思想，通过取专门值、专门图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一样，从而使问题顺利求解。
常见情形为：用字母表示数；专门值的应用；专门图形的应用；用专门化方法探求结论；用一样规律解题等。
整体的数学思想：所谓整体思想，确实是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。
用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏捷地洞悉问题的本质，有时也不要舍弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。
常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。
分类讨论的数学思想：也称分情形讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯独时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。
将一个数学问题依照题设分为有限的若干种情形，在每一种情形中分别求解，最后再将各种情形下得到的答案进行归纳综合。
分类讨论是依照问题的不同情形分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。
运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。
分类讨论的原则是：（1）完全性原则，确实是说分类后各子类别涵盖的范畴之和，应当是原被分对象所涵盖的范畴，即分类不能遗漏；（2）互斥性原则，确实是说分类后各子类别涵盖的范畴之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原则，确实是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。
分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，猎取时期性结果，归纳小结，综合得出结论。
27.高考数学换元引参与整体思想怎么考(2011年高考二轮复习专题)
高考数学换元引参与整体思想怎么考【立意和思路】整体思想与整体思想中的换元引参是解决数学问题的普遍方法之一，其牵涉的知识面广，几乎涵盖了各个知识章节，应用广泛。
换元思想内涵丰富，是培养学生观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一，同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力，产生居高临下之功效，我们不仅在细微之处见“精神”，更要从宏观之中探“世界”。
换元引参是整体思想的集中体现，在整体思想中扮演着不可或缺的角色。
由于换元引参在第一轮复习中已渗透到各知识章节中，学生已初步体验到其实用性和思想方法，因此，在这里安排8道例题分两课时完成，第一课时突出换元引参的解题思想过程，第二课时突出观察问题的整体思想方法，培养学生解决问题的宏观调控能力，使学生的学习能力在第一轮基础上进一步得到整合提高。
这里需要说明的是，下面编排的例题主要是提供一种复习思路，仅供参考，特别是第二轮复习要讲究问题的综合性和一题多解，应考虑到不同层次的学生水平安排例题进行教学。
由于本人水平有限、时间仓促，难免使考虑的问题出现漏洞或不成熟的情况，敬请批评指正。
【高考回顾】换元引参和整体思想是解决数学问题中转化能力的一种体现，它渗透到数学中的方方面面，在历年高考试题中基本体现出这种能力的考查。
如98年高考题的最后一题（即本案例8），考查了数列中整体代换能力或数学归纳法的思想等，但整体能力的观察显然要高于数学归纳法的思想，因为数学归纳法易想但过程显得冗长，远不如整体代入运算来得简捷；99年的填空题（即本案中的例5（1））考查了学生的整体观察能力，从而达到优化运算过程，检测了学生良好的思维品质；又如2000年的解答题（即本案的例4），其中考查学生如何引参、消参，显然这里引参的成功与否关系到运算的质量，是对学生运筹帷幄策略的一次大检验。
这些数据充分说明这部分内容在中学教学中应引起我们足够的重视，特别是这部分学生能力的培养更是我们潜心研究的科目。
这里需要指出的是，2004年我们浙江卷第17题也体现了整体思想，只是能力要求不高，考查的力度不大，但这并不能说明这部分内容不重要，只能说明命题人的构思不同罢了。
七年级数学培优专题：整体思想
目 录
• 整体思想概述 • 整体思想的基本概念 • 整体思想在解题中的应用 • 整体思想的培养与提高 • 整体思想在数学竞赛中的应用 • 总结与展望
01
整体思想概述
整体思想的定义
01
整体思想是指从整体的角度出发 ，将多个部分或要素视为一个整 体，对其进行全面、系统的分析 和处理。
促进知识整合
整体思想有助于学生将所 学知识进行整合，形成完 整的知识体系，加深对数 学本质的理解。
整体思想在数学中的应用
代数问题
在代数问题中，整体思想常用于因式 分解、方程组的求解等，通过将问题 看作一个整体，简化计算过程。
几何问题
函数问题
在函数问题中，整体思想常用于分析 函数的性质和图像，通过从整体角度 把握函数的规律，更好地理解函数的 本质。
03
整体思想在解题中的应 用
代数题中的应用
代数方程组的求解
通过将方程组视为一个整 体，利用消元法或代入法 求解，避免了逐一解每个 方程的繁琐过程。
代数式的化简
将复杂的代数式视为一个 整体，运用合并同类项、 提取公因式等技巧进行化 简，简化了解题过程。
代数式的变形
通过观察代数式的整体结 构，运用整体代换、整体 约简等方法，快速找到解 题思路。
06
总结与展望
总结整体思想的内容与意义
整体思想概述
整体思想是一种重要的数学思维方式 ，它强调从整体的角度看待问题，通 过全面分析、综合运用知识点，寻找 解题的突破口。
整体思想的意义
整体思想有助于培养学生的逻辑思维 、创新思维和问题解决能力，对于提 高学生的数学素养和应对复杂问题的 能力具有重要意义。
对未来学习的展望
例谈换元引参思想
等等 主
解 ｃａ ｃ 一 得ｏ＝ 。 ． ｓ譬 ｓ
占 若把 Ａ： １ ０ Ｃ代 入 已知 等 式 求 解 ， 增 ２ 一 则 评 加 了计 算量且破 坏 了对称 性
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运用 整体 换 元解 题 ， 指 通 过 观 察 和 分 析 ， 解 是 把 题 的注 意力 和 着 眼 点放 在 问题 的整 体 形 式 和结 构 特
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２ 整 体换 元
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例 １ 已知 实 数 ｚ 满 足 。 （ ， ＋ １ ： １ 且 不 ）一 ，
等 ， 用均值 换 元 法 能 达 到 减 元 的 目的 ， 问 题 求 解 使 使 更加 简捷 、 直观 、 效 ． 有
数学中的整体思想
数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。
有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。
一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
设船往返共用x小时。
则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。
分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。
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换元引参与整体思想【立意和思路】整体思想与整体思想中的换元引参是解决数学问题的普遍方法之一，其牵涉的知识面广，几乎涵盖了各个知识章节，应用广泛。
换元思想内涵丰富，是培养学生观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一，同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力，产生居高临下之功效，我们不仅在细微之处见“精神”，更要从宏观之中探“世界”。
换元引参是整体思想的集中体现，在整体思想中扮演着不可或缺的角色。
由于换元引参在第一轮复习中已渗透到各知识章节中，学生已初步体验到其实用性和思想方法，因此，在这里安排8道例题分两课时完成，第一课时突出换元引参的解题思想过程，第二课时突出观察问题的整体思想方法，培养学生解决问题的宏观调控能力，使学生的学习能力在第一轮基础上进一步得到整合提高。
【高考回顾】换元引参和整体思想是解决数学问题中转化能力的一种体现，它渗透到数学中的方方面面，在历年高考试题中基本体现出这种能力的考查。
如98年高考题的最后一题（即本案例8），考查了数列中整体代换能力或数学归纳法的思想等，但整体能力的观察显然要高于数学归纳法的思想，因为数学归纳法易想但过程显得冗长，远不如整体代入运算来得简捷；99年的填空题（即本案中的例5（1））考查了学生的整体观察能力，从而达到优化运算过程，检测了学生良好的思维品质；又如2000年的解答题（即本案的例4），其中考查学生如何引参、消参，显然这里引参的成功与否关系到运算的质量，是对学生运筹帷幄策略的一次大检验。
这些数据充分说明这部分内容在中学教学中应引起我们足够的重视，特别是这部分学生能力的培养更是我们潜心研究的科目。
这里需要指出的是，2004年我们浙江卷第17题也体现了整体思想，只是能力要求不高，考查的力度不大，但这并不能说明这部分内容不重要，只能说明命题人的构思不同罢了。
【基础知识梳理】换元引参是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，再代回求出原变量的结果。
换元法常与所考虑问题的整体因素有关，其基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，以实现从未知向已知转化，从而达到解题的目的。
转化的方式主要是分式向整式、无理向有理、超越向初等以及函数、三角、几何等的互化。
引入参变量，作为揭示运动变化中变量之间内在联系的媒介。
使我们有可能对运动的过程作出定量的刻划，消化问题的难点，促使问题转化，达到简捷解决问题的目的。
解数学问题时，人们常习惯于把它分成若干个简单的问题，然后再各个击破，分而治之。
有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构等，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过整体结构的调节和转化使问题获解，这种对数学问题的整个过程进行研究的思想方法即为整体思想。
在解题时，要细察命题的外形，把握问题的特征展开联想，创设整体常常会使解题思路出现峰回路转、豁然开朗的情景。
【例题精选】例1 求下列函数的最值1）)2(12222≥++-=x xx x x y 2）)0(2≠++=a b x a x y 3）)0(22>-+=a x a x y 解：1）通过观察，注意到式子含有2211xx x x +-与的关系，可令t x x =-1，则21222+=+t x x ，于是问题转化为二次型：1)1(2222+-=+-=t t t y ，2≥x ，函数 x x t 1-=是增函数，13,2t x x ∴=-≥2）分析x b x 与+的本质是平方关系，故可令)0(≥=+t t b x ，则b t x -=2，()b a a t b at t y --+=-+=2222。
若b y t a -==>m in ,0,0时则；若0<a ，则a t -=时，b a y --=2m in 。
45,23m in ==∴y t 时当3）此题中的根号与2）题有本质的区别，不宜用t 替换22x a -，注意到a x a ≤≤-，故可)22)(cos (sin πθπθθ≤≤-=a a x 或，)4sin(2cos sin πθθθ+=+=a a a y ，当时4πθ=，a y 2max =；a ，y =-=m in2时πθ.【点评】①在换元法中，注意换元的原则是将复杂的问题转化为简单的问题；把不熟悉的化归为熟悉的，同时要注意新变量范围的确定。
②问题1）的同类问题还有2211xx x x ++与的关系；问题2）的一般形状为： )0(≠⋅⋅+++=e c a d cx e b ax y ，3）的一般形状为)0(,222≠-+=abd x d c b ax y ；③求最值问题还可以考虑用导数求解，但这里换元可简化计算过程。
例2 解关于x 的不等式：)10(1log log ≠>>-a a a x x a 且 解：易观察到x a log 与a x log 的倒数关系，令t x a =log ，得⇒>-12tt ⇒>--022t t t 201><<-t t 或，即2log 0log 1><<-x x a a 或 时1>∴a ，不等式的解集为：),()1,1(2+∞a a，,10时<<a 不等式的解集为：)1,1(),0(2a a 。
【点评】培养学生敏锐的观察能力，是培养学生直觉思维的一种有效途径，此题的功效是要求学生在较短的时间内对问题的解决做出反应，同时还要注意分类讨论应在何时进行比较恰当进行定位。
例3 已知36422=+y x ，确定y x +的取值范围。
解：如何运用题设条件，将y x +转化成只含一个变量，是解决此问题的关键，由36422=+y x 联想到椭圆的参数方程：θcos 6=x ，θsin 3=y ，或将y x +看作一个整体t ，利用数形结合、方程的思想解决都不失为一种好方法：方法一：令θcos 6=x ，θsin 3=y ，则53sin 3cos 6≤+=+θθy x ,5353≤+≤-∴y x . 方法二：令t y x =+，则y t x -=，代入36422=+y x 得0362522=-+-t ty y ，因方程有实数根，故53530)36(20422≤≤-⇒≥--=∆t t t ，5353≤+≤-∴y x【评点】上述提供的换元的两种思路中，前者转化为三角关系，利用三角函数的有界性易确定范围，其优点是运算量少；第二种方法有明显的几何背景，即求椭圆上的平行直线系的截距（y 轴或x 轴）的取值范围，其包含的数学思想方法是数形结合、方程思想，从而挖掘了问题的数学思想内涵。
例4 设点A 和B 为抛物线)0(42>=x px y 上原点以外的两个动点，已知AB OM OB OA ⊥⊥,，求点M 是轨迹方程，并说明它是表示什么曲线。
解：首先明确轨迹问题的实质是找动点中x 与y有的问题x 与y 的关系易确定，但这个问题却不易直接找到x 怎么办？注意到动点M 与抛物线A 、B 的位置有关（可用多媒体动画演示），因此引进A 、B 考虑到所引的参数以少为宜，可设),4(2A A y py A ，,4(2B B y p yB系，即：A oA y p k 4=，BoB y p k 4=，由2161p y y ，k k B A OB OA -=⋅-=⋅得，再注意到条件AB OM ⊥， 得：BA AB y y pk +=4，p y y k B A OM 4+-=∴，直线OM 方程：x p y y y B A4+-=, ① 直线AB 的方程：)4(42py x y y py y A B A A -+=- )2(44)(22p x y y py y px y y y y y y BA AB A A B A -+=⇒-=⋅--+⇒ ②由①②消去B A y y +得：)0(0422≠=-+x px y x M 点∴的轨迹是圆)(4)2(222原点除外p y p x =+-【点评】此题的解法较多，但都离不开A 、B 的坐标参与，故引参时必须考虑设A 、B 的坐标（设而不求）。
在具体消参时，两个变量B A y y ,实际上是作为一个变量（整体）B A y y +考虑，这给消参带来便利。
在解题过程中，若注意到直线AB 方程：)2(4p x y y py BA -+=经过一定点N （2p,0），则点M 的轨迹是以ON 为直径的圆（原点除外），解题过程显得更简捷。
上述是换元引参的几个例子，其过程往往表现在有型（具体换元）的转换。
但有些问题的整体思想不是用具体的换元表示，其解题过程却表现出整体思想，下面要讲述的几个例子就表现在无型（无具体的换元）上的整体构思。
例5 （1）已知443322104)52(x a x a x a x a a x ++++=+，求：2312420)()(a a a a a +-++的值.（2）已知函数,1)(22xx x f +=求111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++的值. 解：（1）先将结论因式分解，然后将43210a a a a a ++++和43210a a a a a +-+-都看作整体进行运算，分别令1=x 或1-=x ，易得到结果为1。
（2）如果注意到1)1()(=+x f x f ，就易发现此题的结果为27。
【点评】（1）题主要考察学生的整体观察能力，即不能将43210,,,,a a a a a 割裂来求，否则加大了运算难度；（2）题与（1）有类似情况，其关键是将)1()(xf x f +作为一个整体运算，从问题的结构中也易发现这层关系，利用整体运算带来轻松的快感。
例6 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，且)0(,2b a ab b S a S n n ≠≠==且，求n S 3.解：此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比q 还要考虑1,1≠=q q 进行分类讨论，若注意到n S ，n S 2，n S 3依次相差n 项，以此构造三个整体：n n n n n S S S S S 232,,--，通过分析可知这三个数构成等比数列。
从而得b aa b S S S S S S nn n n n n +-=⇒-=-232322)()()(.【点评】在解决问题中，有时将局部的问题通过适当的增减，使之成为一个完整的有联系的整体，让问题中的局部与整体的关系有机地联系起来，显露出问题的本质，从而使问题的解决找到捷径。
例7 已知三棱锥P – ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两相互垂直，其外接球的半径为R 。
（1）求证：222PC PB PA ++为定值； （2）求三棱锥P – ABC 体积的最大值。