换元引参思想
解答数学问题的七种思想方法
数学解题思想方法透视一、配方思想配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1·a5+2a3·a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 5]B. [5,+∞)C. (－1,5]D. [5,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
换元法在中学中的应用
初等数学中的换元法及其应用罗 伟(数学与信息科学学院2006级1班)指导老师 刘妮副教授1.换元法及其相关的定义1.1换元法的一些基本概念换元法(substitution method;substitution;changing yuan)这种引辅助未知元素解题的方法我们称为换元法。
解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难以直接得出结论时，往往需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新元”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。
这种解决问题的方法称为换元法。
又称变量代换法或辅助元素法。
1.2换元的实质换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。
换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的[1]。
常见的换元法有两种：(1)设()x F 是一个比较复杂的表达式 ,如果()x F 可以表示为一个以()t ψ为中间变量的复函数 ,则可以设()u t =ψ，于是()()()()u G t G x F =ψ=。
如果()u G 比()x F 容易解决 ,这里的换元就起了化繁为简的作用。
这是第一种换元法。
(2)设()x F 是一个比较复杂的表达式 ,为了解题的需要 ,设()t x Φ=,于是()()()()t t F x F Γ=Φ=。
只要()t Γ比较容易解决 ,同样也能起到化难为简的作用。
这是第二种换元法。
1.3 换元法的关键利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。
1.4换元法的基本思想即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。
1.5换元法的一般步骤①设元（或构造元） ②求解 ③回代 ④检验 转化 等量代换 等价原则2.常见的换元法的类型2.1 从结构上分类 2.1.1整体换元法例2.1 已知()43+=x x f ,求()[]x f f 和()[]{}x f f f 。
一次方程组的妙解技法
一次方程组的解法技巧解一次方程组的基本思想是消元，化三元为二元、化二元为一元，最终求出各未知数的值，常用的基本方法是代入法和加减法。
因为方程的形式是多种多样的，所以在解方程中要认真观察、分析方程组中每个方程的结构特征，即方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系，灵活运用消元的思想，找到最简便的解题方法，从不同角度巧妙求解.下面介绍几种常见的解题策略，仅供参考.一、基本法：例1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋y ＝2.② 1.代入消元法（简称代入法）：思路方法：由选方程组中的未知数系数简单一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程达到消元，进而求解．解：由①得：x ＝2y+3 ③将③代入②，得3⨯（2y+3）＋y ＝2.解得y ＝-1.将y ＝-1代入①，得x ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.2.加减消元法（简称加减法）：思路方法：把方程组中两个方程的同一个未知数的系数化为相等（或相反数），通过两个方程相减（或相加），从而消去一个未知数，化为一元一次方程而求解．解：由①＋②×2，得7x ＝7.解得x ＝1.将x ＝1代入①，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 练习：解方程组（1）⎩⎨⎧==7-92-3y x y x 答案：⎩⎨⎧==12-5-y x （2）⎩⎨⎧==+65-41432y x y x 答案：⎩⎨⎧==24y x 二、整体法1.整体代入法例1.解方程组⎩⎨⎧=-=-12524-3y x y x x ）（ 思路分析：把x-2y 看成一个整体，将②代入①即可达到消元的目的．解：把②代入①，得：3x-4⨯1=5，解得：x=3．把x=3代入②，得：3-2y=1，解得：y=1．∴原方程组的解是⎩⎨⎧==13y x . ① ②练习：解方程组⎩⎨⎧=-+=-y x y x 22019333201932）（ 答案：⎩⎨⎧==3675y x 2.整体加减法（轮换对称式的方程组）例2.解方程组 2018x+2019y=2020 ①2019x+2018y ＝2017 ②思路分析：观察方程①、②中x 、y 的系数互调及常数和，发现规律由①+②可求出x+y 的值，然后再整体代入方程中可求解.也可以通过两次加减将原方程组化为简单方程组求解。
例谈换元引参思想
等等 主
解 ｃａ ｃ 一 得ｏ＝ 。 ． ｓ譬 ｓ
占 若把 Ａ： １ ０ Ｃ代 入 已知 等 式 求 解 ， 增 ２ 一 则 评 加 了计 算量且破 坏 了对称 性
４ 增 量 换 元
．
运用 整体 换 元解 题 ， 指 通 过 观 察 和 分 析 ， 解 是 把 题 的注 意力 和 着 眼 点放 在 问题 的整 体 形 式 和结 构 特
１
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设 ＿ 一一√ ｉ（ ） ｌ 只要 ｆ （ ） 厂 ） （ ２ ｎ ＋ ｓ 一 ， ≥ｆ ，
故得 ｃ ２ ． ≥√ —１
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２ 整 体换 元
征 上 ， 而 触 及 问 题 的本 质 ， 过 换 元 ， 之 化 繁 为 从 通 使
简 ， 难为易 ， 而达 到求解 的 目的． 化 从
、 例２ 已知函 ＿ ） （ ＋詈） 叫 ）在 数 厂 一 ｉ （ ｎ （＞ｏ，
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一２ 试 比较 ｚ ＋ ＋ 与 １的大小 ． ，
１￣ ８ 的性质・ ０ 可得 １一０， Ｂ ６ 。
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｛ 二这一。＜。入知式： 里ｓ ａ。 已等得 。 ｅ代 ＜ ，
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一
例 １ 已知 实 数 ｚ 满 足 。 （ ， ＋ １ ： １ 且 不 ）一 ，
等 ， 用均值 换 元 法 能 达 到 减 元 的 目的 ， 问 题 求 解 使 使 更加 简捷 、 直观 、 效 ． 有
换元引参与整体思想在高考中的应用
因此， 所求函数的值域为［ √ ， ｒ ｊ 一 ，ｆ． ／
（） ２ 设直线 ｆ 与椭圆 Ｃ交于点 Ａ Ｂ Ａ Ｆ ， ，， Ａ △曰 ： Ｆ 的重心分别 为 Ｇ Ｉ 若原 点 ０在 以线段 ，． １ Ｇ Ｈ为直径的圆内， 求实数 ｍ的取值范围． （００年 浙 江省数 学高考理 科 试题 ） ２１
第 ２期
蒋际明 ： 换元 引参与整体思想在 高考 中的应 用
・３ １・
换 元 引 参 与 整 体 思 想 在 高 考 中 的 应 用
●蒋 际明 （ 湖州中学 浙江湖州 ３３０ ） １００
换元引参与整体思想内涵丰富， 它渗透到数学 的各个领域 ， 是体现学 生观察能力、 直觉思维 能力 和整体意识的主要思想方法 ， 同时也能体现学生思 维结构中从大处着眼的宏观调控能力． 换元引参是 整体思想的集中体现， 在整体思想中扮演着不可或 缺的角色 通过换元引参可 以将陌生的、 不能处理 的问题转化为熟悉 的、 以解决的问题 ， 可 也体现 了 转化与化归的思想． 解决数学问题 的过程中 ， 有时为了将陌生、 抽 象、 复杂的问题转化为熟悉 、 具体、 简单的问题 ， 促
Ｒ｝若集合 Ａ中有且 只有 １ ， 个元素 ， 求实数 ａ 的取 值 范 围． 分 析 令 ｔ 则 ｔ ０ 方 程 ４ 一２ ＝２， ＞ ， “ ＋ａ＝ ０
可 化 为
￣ｓ ＋） Ｙｉ 詈 ￣（ ｎ
因 一 ≤≤ ，以 为 号 詈所
一
号 詈孚 ≤＋≤ ，
・
３ ２・
例 ２ 设 ， 为实数， ４ ＋， ｘ ＝ ， Ｙ 若 ） ＋ ｙ １则 ２
２＋ Ｙ的最大值是— —一 （０ １ ２ １ 年浙江省数 学高考理科试题 ）
解 设 ２ Ｙ＝ ， ＋ ｔ则
初中数学十大思想方法-换元法
解：（用平均值 x x 4 代换） 2
设 y= x－2 ，则 x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626.
［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0
整理，得 y4+24y2－297=0.
(这是关于 y 的双二次方程).
(y2+33)(y2－9)=0.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.
5. (2 5 x 1 1)4+(2 5 x 1 3 )4=16.
6.
x x2 1
x1 =3
2
.
x2
7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0.
x 2 y 2 x y 18 8. x 2 y 2 xy 19
则
x2+
1 x2
=y2－2.
原方程化为 2y2+3y－20=0.
5
解得 y=－4；或 y= .
2
由 y=－4 得 x=－2+ 3 ；或 x=－2－ 3 .
由 y=2.5 得
x=2；或 x= 1 . 2
2x 2 5xy 2 y 2 x y 1 0 例 4 解方程组 x 2 4xy y 2 12x 12 y 10 0
形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
x
2
1
x
2
1
两边都除以 x2, 可化为 a(x2+
换元引参思想在数学解题中的作用
＝
（一１ ’・ ） 一 ２ ］＋（一１ ・ 。 ） ２ｎ．
规 律 小 结
解
方程 ４ ２ 一 ＋ ２＝ ０等 价 于 （ ＋ ２ ） ２ 一２： ． ０
令 ２ ｔ ｔ ０ ， 方 程 可 化 为 ｔ ＋ｔ ２＝ ， ＝ （ ＞ ） 则 一 ０ 即 （ 一１ （ ＋ ）＝ ， 得 ｔ ＝１ ｔ 一 （ ） ｔ ）ｔ ２ ０解 。 ， ＝ ２ 舍 ．
范 围 给予 高 度 重 视 ， 然 会 劳而 无 功 ． 不
２］ “ ＋（一 ） ２ ｒ． １ 。 上
证明 将 ｎ ＝３ 一 一 一 可 变 形 为 。
ｎ ・３ ＋ ＝ 一２（ １＋ ‘ ） Ⅱ一 ３ ．
（ 上 页） 接
．
． ．
由Ｓ ：
一
，
【 键词】 关 转化 ； 元 引 参 ； 想 方 法 换 思
解 决 数学 问题 的过 程 ， 是 将 问 题 转 化 的 过 程 ， 们 通 就 我
换元， ｂ＝ ÷ ‘ 令 ０一 ３，
则 ｂ 一 ｂ 一 ， 造 新 数 列 ｛ ， ＝ ２ 。 构 ６ ｝
过 转 化将 陌生 、 象 、 杂 的 问题 转 化 为 熟 悉 、 体 、 单 的 抽 复 具 简
在 等 比数 列 ｔ 中 ， 知 ｏ ＝ ， ＝ ２ ｑ＞ ， Ｓ ． ｝ 已 ｏ 。 ２。 ３ ， ０求 解 由 ｎ ＝ ， ５ ３ ， 得 ３ ２Ｘ ｌ ２口 ＝ ２ 可 ２＝ ． ｑ
又 由 ｑ＞０， 可得 ｑ＝２ ．
３ ．注 意 ｑ＝ １与 ｑ ≠１两 种情 形 ． 尝 试 小 结 请 回顾 一 下 本 节 课 你 学 到 了 什 么 ？ 本 节 课 你 最 大 的收 获 是 什 么 ？
换元法(高中数学思想方法)
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。