换元法第二类换元法
1 a
arctan
x a
C;
(21)
x2
1
a
2
dx
1 2a
ln
xa xa
C;
(22)
1 dx arcsin x C;
a2 x2
a
(23)
1 dx ln x x2 a2 C.
x2 a2
(24)
1 dx ln x x2 a2 C.
x2 a2
说明: 当遇到
时, 先将
2
2
例7. 求
解:
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C
(P203 公式 (23) )
例8. 求
解: 原式
dx
ex d x
ex 1 e2x
1 e2x
d ex arcsin ex C 1 e2x (P203 公式 (22) )
例9. 求 解: 原式 =
ln
a2 x x2 a2
C1
(C C1 2ln a)
2 倒代换
当分母的阶较高时, 可采用倒代换 x 1.
1
t
例4
求
x(
x7
dx 2)
解
令
x
1 t
dx
1 t2
dt ,
x(
1 x7
dx 2)
1
t 7
2
1 t2
dt
1
t
6
2t
7
dt
t
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
(2) a2 x2 (3) x2 a2
可令x a tant; 可令x a sec t.
例1. 求 a2 x2 dx (a 0) .
解:
令
x asin t ,
t
(
2
,
2
)
,
则
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cos t
dx a cos t d t
ax
∴ 原式 a cost a cost d t a2 cos 2 t d t
a2 x2 , a2 x2 , x2 a2
中一种 ,再套公式或利用三角代换积分.
配方成
例5. 求
解: 原式 =
d (x 12)
(
5 2
)2
(x
1 2
)2
(P203 公式 (22) )
例6. 求
解: 原式
(x
1 1)2 (
22
)2
dd(xx
1)
1 arctan x 1 C (P203 公式 (20) )
∴ 原式
a sec2 a sec t
t
d
t
sec
t
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
例3. 求
解:Leabharlann 当xa时,令
x
a sect
,
t
(0,
2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
dx a sect tan t d t
a2 t sin 2t C
t
a2 x2
24 sin 2t 2sin t cost 2 x
a2 x2
aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
例2. 求
解:
令
x
a
tan
t
,
t
(
2
,
2
)
,
则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
∴
原式
asect tan t a tant
dt
sect d t
ln sect tan t C1
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
t
(C C1 ln a)
当x a 时, 令 x u , 则u a ,于是
du ln u
u2 a2
u2 a2 C1
ln x x2 a2 C1
则有换元公式
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t 1( x)
其中 1( x) 是 x (t )的反函数.
常用第二类换元法 • 三角代换 • 倒代换 • 根代换（第四节）
1 三角代换
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) a2 x2 可令x a sin t;
令
则
原式 =
三、小结
两类积分换元法：
（一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换
基本积分表(2)
• P 205—2
作业
14
14
2
基 (16)
本 积 (17)
分 表
(18)
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln(sec x tan x) C;
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C;
(20)
a2
1
x 2 dx
二、第二类换元法
第一类换元法基本思想
f [(x)](x)dx
做变量替换u (x)
易求
[ f (u)du]u ( x)
第二类换元法基本思想
f [ (t)] '(t)dt
做变量替换x (t) f (x)d x
难求
易求
求出积分后，用t 1(x)换回原始变量。
定理2 设 x (t )是单调的、可导的函数， 并且 (t) 0，又设 f [ (t)] (t)具有原函数，
求取一元定积分和不定积分的6种方法
求取一元定积分和不定积分的6种方法声明：本文章为原创文章，首发于“湖心亭记”其实一元定积分的解法有几种，跳来跳去。
所以做题的时候如果想养成习惯，可以避开所有没有观察到的点。
========================================首先说明求解一元定积分的几种方法：1、奇函数和偶函数法要特别注意的是，奇函数在对称区间的定积分是0，根本不用找。
例1： \[\int_{ - 1}^1 x dx= 0\] 。
解析：显然x在[-1,1]区间内为奇函数，故不用算就知道积分为0。
2、定积分的几何意义法这类题目的特点是，一眼就能看出是圆方程；要么被积函数看似简单，但对原函数进行积分是非常困难的。
匹配后发现，被积函数其实就是我们学过的常见曲线方程(一般来说是圆方程)。
然后我们就可以利用定积分的几何意义，按照常用的方法求面积了。
例2： \[\int_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx =\frac{{9\pi }}{2}\]解析：很明显能直接看出被积函数就是一个半圆：x2+y2=9（y>=0），因此积分值为圆面积的一半，非常易求。
例3： \[\int_0^4 {\sqrt {4x - {x^2}} } dx = 2\pi \]解析：这道题如果按照换元法或者分部法是很难积出原函数的。
而且一眼也看不出来被积函数是圆的方程。
但是经过配凑，发现确实是圆的方程。
令 \[y = \sqrt {4x - {x^2}} \] 得到y2+x2-4x=0，进而配凑成y2+(x-2)2=4（y>0），很明显这就是一个以（2,0）为圆心，2为半径的圆。
积分值为圆的面积的一半，非常易求。
小结下：几何意义法下的题目的被积函数一般为一个根号式，式子下含有\[ - {x^2}\]项，因此碰到这样子的可以优先考虑几何意义法。
3、第一类换元法和第二类换元法第一类换元法或者可以称之为整体配凑法，如下：\[\int {f\left( {\varphi \left( x \right)} \right)dx} = k\int {f\left( {\varphi \left( x \right)}\right)d\varphi \left( x \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \]例4： \[\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\int {\sin 2xd2x = - \frac{1}{2}\cos 2x} } \]第二类换元法，可以称之为直接换元，如下：\[\int {f\left( x \right)dx = \int {f\left( {\phi\left( t \right)} \right)d\phi \left( t \right) = \int {g\left( t \right)dt{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (x{\rm{ = }}\phi \left( {\rm{t}}\right))} } } \]也就是说将f(x)换成了比较容易积出来的g(t)，当然最后别忘记将t回代成x。
高等数学(大农类)4.2换元法
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
积分的计算方法
积分的计算方法
1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
2、换元法：包括整体换元，部分换元等等。
3、分部积分法：利用两个相加函数的微分公式，将所建议的分数转变为另外较为简
单的函数的分数。
4、有理函数积分法：有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式
的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。
分数公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即为兎微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
二、备注：第二类换元法的转换式必须对称，并且在适当区间上就是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：
1、根式赋值法，
2、三角代换法。
在实际应用领域中，赋值法最常用的就是链式法则，而往往用此替代前面所说的换元。
链式法则就是一种最有效率的微分方法，自然也就是最有效率的分数方法。
分部积分法
分部积分法的实质就是：将所求分数化成两个分数之差，分数难者先分数，实际上就
是两次分数。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假
分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为
计算真分式的积分。
可以证明，任何真分式总能水解为部分分式之和。
换元法
2 sin xd (sin x ) sin x C ;
2
解（三） sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd (cos x ) cos x C .
2
1 dx . 例2 求 3 2x
解
1 1 1 dx d ( 3 2 x ), 3 2x 2 3 2x
x 例4 求 dx . 3 (1 x ) x x 11 1 dx [ dx ]d (1 x ) 解 3 3 2 3 (1 x ) (1 x ) (1 x ) 1 1 C. 2 1 x 2(1 x ) dx 1 dx dx 类似地 ( ) 2 2 1 x 1 x 1 x 1 1 d (1 x ) d (1 x ) 1 x ( ) ln | 1 x | C . 2 2 1 x 1 x
x ln | tan | C ln | csc x cot x | C . 2 （使用了三角函数恒等变形）
解（二） csc xdx
1 sin x dx 2 dx sin x sin x
1 d (cos x ) u cos x 2 1 cos x 1 1 1 1 du du 2 1 u 2 1 u 1 u
2 2
32 sin t cos tdt 32 sin t (1 cos t ) cos tdt
3 2
32 (cos2 t cos 4 t )d cos t 1 1 5 3 32( cos t cos t ) C 3 5 4 1 2 3 2 5 4 x 4 x C. 3 5
1 dx . 例10 求 1 cos x 1 1 cos x 解 dx dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx dx 2 2 1 cos x sin x 1 1 2 dx 2 d (sin x ) cot x 1 C . sin x sin x sin x
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
不定积分求解方法-换元法
例1. 求 (a x b )m d x(m 1 ).
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = um 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
1 (axb)m1C a(m1)
注: 当 m1时
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例2. （P222）求
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一、第一类换元法 （P221）
定理1. 设f (u)有原函,数u(x)可导 ,则有换元
公式
f[(x) ](x)dx f(u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d )(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
精选版ppt
3
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dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx 1(( aaxx )) 2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1a
du 1 u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C aa
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
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例3. （P223） 求
解:
tanxdx
sin xdx cosx
dccoossxx
ln co x sC
类似
coxtdx? cosisnxxdx
dsinx sinx
lnsixnC
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例5. （P223）求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )1( 1 1 ) ( x a )( x a ) 2a xa xa
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
用换元法求不定积分
用换元法求不定积分
用换元法求不定积分的方法如下：
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
第一类换元法也叫凑微分法，通过凑微分，最后依托于某个积分公式，进而求得原不定积分。
第二类换元法的变换式必须可逆，并且Φ（x）在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：根式代换法，三角代换法。
两种换元法例题如下：
第一类换元积分法
原式=∫(x-1+1)/根号下(x-1)dx
=∫[根号下(x-1)+1/根号下(x-1)]d(x-1)
=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根号下(x-1)+C，其中C是任意常数。
第二类换元积分法
令t=根号下(x-1)，则x=t^2+1，dx=2tdt
原式=∫(t^2+1)/t*2tdt
=2∫(t^2+1)dt
=(2/3)*t^3+2t+C
=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根号下(x-1)+C，其中C是任意常数。
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
高数不定积分第二类换元法
高数不定积分第二类换元法
什么叫换元法？换元法是数学中的一种方法，它可以用来解决高数不定积分的
第二类问题。
它是在给定积分内把被积函数按一定的原则引进另一种新函数，然后用新函数代替原函数，再利用原来的计算方法来简化一些复杂的积分。
要想正确地应用换元法，首先要明确看待当前所给积分是一个什么样的函数，它有什么特点。
然后，要做出恰当的换元，把它们换为某种易于计算的函数，在换元后，原函数的积分会变得简单明了很多。
换元法有两个关键点：一个是换出的新函数，一个是详细的运算 8 步骤。
换
出的新函数通常是由数学公式表示的，运算步骤，需要根据给定的积分内容，按照不定积分的基本算法，将原函数换成易于计算的函数，用新函数进行积分运算。
这是完成整个换元步骤的核心。
然而，换元法这类计算方法，借鉴历史上数学大师为我们积累下来的计算技巧
和公式，需要使用者有一定的数学水平才能在相应的积分处进行正确的换元操作，详细熟悉一些常用的函数及其特征，然后根据特征进行换元的同时，考虑成熟的技巧操作，从而节省大量的时间，进而更多的精力可以被集中到积分的计算上来。
换元法是高数不定积分问题中一种传统的解决方法，它是一种借助上述解析性
技巧，将复杂的积分运算转化为计算机更容易理解的模型。
它不但可以精确计算出积分的结果，而且运算步骤设计精巧，使用户可以得到更快速的计算结果，比传统的运算方法高效可靠。