二、第二类换元法
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
机动
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
机动
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
第二类换元法三角代换
第二类换元法三角代换第二类换元法三角代换是高等数学中的一种重要的求解方法，它可以将一些复杂的三角函数积分转化为简单的代数函数积分，从而简化计算过程，提高求解效率。
本文将详细介绍第二类换元法三角代换的原理、步骤和应用。
一、原理第二类换元法三角代换的原理是将三角函数中的自变量用一个新的三角函数代替，从而将原积分式子转化为一个更简单的形式。
具体来说，设原积分式为：∫f(sin x,cos x)dx则进行第二类换元法三角代换，令：t=tan(x/2)则有：sin x=2t/(1+t^2)cos x=(1-t^2)/(1+t^2)dx=2dt/(1+t^2)将上述代换带入原积分式中，得到：∫f(2t/(1+t^2),(1-t^2)/(1+t^2))×2dt/(1+t^2)这样，原积分式就被转化为了一个只含有代数函数的积分式，可以通过代数方法求解。
二、步骤进行第二类换元法三角代换的步骤如下：1.观察原积分式，确定是否适合进行第二类换元法三角代换。
2.令t=tan(x/2)，将sin x和cos x用t表示。
3.将dx用dt表示。
4.将代换后的式子带入原积分式中，得到只含有代数函数的积分式。
5.通过代数方法求解积分式。
三、应用第二类换元法三角代换在求解三角函数积分中有着广泛的应用。
例如，对于以下积分式：∫sin^3 x cos^2 x dx可以通过第二类换元法三角代换来简化计算。
具体来说，令t=tan(x/2)，则有：sin x=2t/(1+t^2)cos x=(1-t^2)/(1+t^2)dx=2dt/(1+t^2)将上述代换带入原积分式中，得到：∫(2t/(1+t^2))^3((1-t^2)/(1+t^2))^2×2dt/(1+t^2)化简后得到：∫(16t^3-24t^5+10t^7-1)/(16t^2+16)dt这样，原积分式就被转化为了一个只含有代数函数的积分式，可以通过代数方法求解。
不定积分的第二类换元积分法
回 代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解 令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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铃
（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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铃
一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
第二类换元法 证明
第二类换元法证明第二类换元法是微积分中的一种重要方法，它可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。
在本文中，我们将探讨第二类换元法的原理和应用。
第二类换元法的原理是将积分中的自变量替换为一个新的变量，从而使积分变得更容易求解。
具体来说，我们可以将自变量替换为一个函数的导数，这样就可以将积分转化为一个更简单的形式。
例如，考虑以下积分：$$\int \frac{1}{x^2+1}dx$$我们可以使用第二类换元法，将$x$替换为$tan\theta$，从而得到：$$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\int \frac{1}{tan^2\theta+1}sec^2\theta d\theta$$这个积分可以通过简单的代数运算和三角函数的性质来求解，最终得到：$$\int \frac{1}{x^2+1}dx=arctan(x)+C$$这个例子展示了第二类换元法的原理和应用。
通过将自变量替换为一个新的变量，我们可以将积分转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。
除了上述例子，第二类换元法还可以应用于其他类型的积分，例如： $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$我们可以使用$x=sin\theta$来进行替换，从而得到：$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int \frac{1}{cos\theta}d\theta$$这个积分可以通过简单的代数运算和三角函数的性质来求解，最终得到：$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsin(x)+C$$通过这些例子，我们可以看到第二类换元法的强大之处。
它可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。
在实际应用中，我们可以根据积分的形式来选择合适的换元方法，从而更加高效地求解积分。
第二类换元法是微积分中的一种重要方法，它可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。
第4章第2节换元法2
(6)
可试用倒代换 (7) 分母中因子次数较高时,
x t e f (e ) dx , 令
x
13
2. (P188)
ln
ln
C
C
ln | sec x tan x | C ln | csc x cot x | C
xa 1 ln C xa 2a
ln|
x
x a | C
a t 1 tdt
2 2
C
8
当x < 0 时, 类似可得同样结果 .
简单无理函数的积分
被积函数为简单根式 的有理式 , 可通过 根式代换, 化为有理函数的积分.例如:
R( x , R( x ,
n
ax b )dx
n
令
n
ax b t
axb t cxd
ax b )dx 令 cx d
例10.求 解: 原式 =
1 1 d( x ) 2
1 2 5 2 ( ) ( x ) 2 2 (P188 公式 (22) ) 1 x 2
2x 1
16
例11.求 解: 原式
1
e
2x
1
1
1 e 2 x 1 x 2 ( 1 e )
dx
或: 令 原式=
t,
1 ln(1 t 2 ) 2
t 1 dt dt 2 2 1 t 1 t
2x
arctan t C arctan e
1 C
17
练习
1.下列积分应如何换元才使积分简便 ?
令
18
2. 已知
求 则
解: 两边求导, 得
第二类换元法
令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
第二类换元法
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
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dsin x sin x
lnsixnC
-
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例5.
求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )
1
(
1
1
)
( x a )( x a ) 2a xa xa
∴ 原式 =
1 2a
xdxaxdxa
1 2a
d(x a) xa
d(xxaa)
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
5
3
-
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例9.
求
dx
1 ex
.
解法1
d x
1 ex
(11exe)xex dx
dx
d(1 ex 1 ex
)
xln1(ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx d(11eexx)
f (u)du
-
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一、第一类换元法
定理1. 设f (u)有原函数 , u(x)可导 , 则有换元
公式
f[(x) ](x)dx f (u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d)(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
-
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例1. 求 (a x b )m d x(m 1 ).
a2 (x2a2)32 d(x2 a2) 2
x2a2
a2 C
x2 a2
-
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例12 . 求 co4sxdx.
解: co4xs(c2ox)s2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
-
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基本思路
设 F (u)f(u),u(x)可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
f[(x) ](x)dxF[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
第一类换元法
f[(x) ](x)dx 第二类换元法
5 )f(co sx)sinxdx f (coxs) dcosx
-
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6 )f(tx ) a sn 2 e x d x c f (tanx)dtanx
7)f(x e)exdx f (ex) d e x
8)
f(lnx)1dx x
f (lnx) dln x
例6.
求
dx . x(12lnx)
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
12d1(1 22 llnxnx)
1ln12lnxC 2
-
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例7. 求
e3
x
dx.
x
Байду номын сангаас
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 xC 3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
2 1ln1sinx C
2 1sinx
-
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解法 2 secxdx sesxc(e x stc x e a x ctan xn )dx se2cxsexctaxndx
sexctaxn
d(sescxx e ttc aa nxx)n
同样可证
ln se x c tax nC
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
14
3 2
dx co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)
3 8
x
14sin2x312sin4x C
-
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1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
-
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常用的几种配元形式:
1
1)f(axb)dxa
f
(axb)
d(axb)
2) f(xn)xn1dx1 f (xn) d x n n
万 能
凑
3) f(xn)1dx1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
幂 法
4 )f(sinx)co sxdx f (sinx)dsinx
arcsixnC a
d(
x a
)
1
(
x a
)2
想到 du arcu sC in 1u2
f[(x) ](x)dxf((x)d )(x) (直接配元)
-
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例4. 求 tanxdx.
解:
tanxdx
sin xdx cos x
dcosx cosx
lncoxsC
类似
coxtdx? cossinxxdx
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
1 (axb)m1C a(m1)
注意换回原变量
注: 当 m1时
d ax
x
b
1lnaxbC a
-
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例2. 求
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx
1
((
xx aa
)) 2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctaxn)(C
a
a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
-
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例3. 求 dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
a2 x2
a
1
(
x a
)2
例13. 求 si2n xco 23sxdx.
解: si2x n co 23 xs[1 2(s4 ixn si2n x)2 ] 1 4 s2 4 ix n 1 4 2 s4 i x s n 2 i x n 1 4 s2 2 ix n 8 1(1co8xs)si2n 2xco 2xs8 1(1co4xs)
ln1 (ex)C
l1 n e ( x ) ln x ([ x e 1 e )] 两法结果一样
-
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例10. 求 secxdx.
解法1
secxdx
cosx cos2 x
dx
1dssiinn2xx
1 2
1s1inx1s1inxdsinx
1ln1sinx ln 1 sx in C
cscxdx ln cs x co x C t 或 cscxdx ln tanx C (P199 例18 )
2
-
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例11.
求
(x2
x3
a2
3
)2
dx .
解:
原式 =
1 2
x2 dx2 (x2 a2)32
1 2
(x(x22aa22))32a2dx2
12(x2a2)12d(x2 a2)