一元二次方程中的整体思想(换元法)
第讲整体思想与换元法
第讲---整体思想与换元法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2０１4春季９年级数学第5讲 整体思想与换元法一、专题简介：整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体构造等．二、典例剖析例1.已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．类题演练： １．已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 ( ） A.6 B.6- C.125 D.27- 2.已知代数式2346x x -+的值为9,则2463x x -+的值为例2.例4. 已知关于x ,y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩,那么关于x ,y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为类题演练:1.若⎩⎨⎧==b y a x 是方程组⎩⎨⎧=+=+19296781567896y x y x 的解，则b a +＝ 2．解方程组⎩⎨⎧=+=+600820022003600720032002y x y x 例３.解方程：24)4)(3)(2)(1(=++++x x x x类题演练：1． 解方程组：（1）⎩⎨⎧=-++=--+15)(3)(43)(3)(2y x y x y x y x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=-++11063106y x y x y x y x ２.解方程：()()()()111225-=-+--x x x x例4．在四边形ABC Ｄ内放入201３个点，将这201３个点与四边形的4个顶点连结,可以将四边形ABC Ｄ分割成多少个互不重叠的小三角形。
知识点142换元法解分式方程(解答)
1、（2010•）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，=2，解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2、（2010•）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。
分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0，解之得，y=1．当y=1时，=1，此方程无解．故原方程无解．点评：（1）移项时注意符号的变化．（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即：=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
初三数学一元二次方程复习与总结江苏科技版
初三数学一元二次方程复习与总结某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程复习与总结学习目标：1. 加深理解一元二次方程的有关概念2. 熟练地应用不同的方法解方程3. 能应用方程的思想和方法解决实际问题4. 体会“降幂法”在解方程中的含义二. 重点、难点：重点：一元二次方程的解法与应用难点：一元二次方程的综合应用课堂教学（一）知识要点（1）本章知识结构（2）中考主要考点①利用一元二次方程的意义解决问题②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）④一元二次方程的解法⑤一元二次方程根的近似值⑥建立一元二次方程模型解决问题⑦利用根的判别式求方程中的字母系数的值⑧与一元二次方程相关的探索或说理题⑨与其他知识结合，综合解决问题【典型例题】例1. 写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1 _____________________________________________________解：答案不唯一，例如：x2＝0x2－x＝0例2. 用换元法解方程x 2－2x ＋xx 272-＝8，若设x 2－2x ＝y ，则原方程化为关于y 的整数方程是（ ） A. y 2＋8y －7＝0 B. y 2－8y －7＝0 C. y 2＋8y ＋7＝0D. y 2－8y ＋7＝0解：D 。
换元法的实质是整体思想的应用。
例3. 用配方法解方程：x 2－4x －1＝0解：利用配方法解一元二次方程的一般步骤是移项，二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式、利用平方的意义求解。
例4.判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）一个解x 的X 围是（ ） A. 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x解：一元二次方程根近似值是深层次地理解方程的重要概念，在实际应用中，作用很大。
整体换元法
整体换元法换元法上一篇讲到了因式解的四个基本方法，但有的时候碰到一些比较难的题目，基本方法用不上，这时候就要考虑进阶方法了，比如我们今天要讲的换元法。
换元法换元法又称变量替换法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
-----引自百度百科上面的文字看起来有点懵，我们通俗一点讲就是，把某个式子看成一个整体用一个变量（字母）去替代它，从而使问题简化，这就叫换元法。
换元法是整体思想的体现，是非常重要的数学思维，也是高中阶段常用的数学方法，希望大家能好好研究一下。
数学解题思想之整体思想，快看看你家孩子会不会一、整体换元例1：乍一看，好像能提公因式，但是当我们尝试后发现，提完公因式就没法继续下一步了，后面的括号里也不满足十字相乘法，所以，我们今天使用换元法。
整体换元法通常把相同的部分设为一个字母。
整体换元我们可以看到，在综合练习中，一般不会只使用一种方法就解分解完全，一定是几个方法来回不断地使用，所以我们一定要记住每一种方法，并养成检查的习惯。
二、均值换元顾名思义，均值换元法就是求出两个部分的平均值，然后把这个平均值设为字母。
例2：仔细观察，两个括号中式子相差2，很容易求出他们的平均值：所以，我们可以这样做：均值换元三、双换元有时候根据题目需要，我们可以用双换元法，把其中的两个部分，分别设为两个字母，然后再根据和差关系推导出另外的部分，再代入原式进行分解。
例3：很明显，c-a、a-b、b-c这三个式子是首尾相连的，很容易得到他们的关系。
双换元还有两种比较罕见的换元法，正常的考试中碰到这类题的机率很小了，但是可以做一个了解，增加一下自己的认知度。
四、倒数换元例4：倒数换元这个题目没有太多需要讲的，基本上是比较佛系的题了，随缘，能碰到对的思路就对了，碰不到，可能想破脑袋都难想出思路。
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
什么是整体思想？难不难？如何才能学好此类数学思想方法？
什么是整体思想？难不难？如何才能学好此类数学思想方法？在数学学习过程中，我们除了要学习大量的数学知识和方法技巧之外，更要掌握好一些重要数学思想方法，如整体思想。
数学思想方法大家接触过很多，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，不同的思想方法有不同的应用法则，或不同的数学思想方法可以一起“共用”，共同解决问题等。
像数形结合这些思想方法是大家接触较多的，而对于整体思想的了解和应用，相对会少一些，因此为了能更好帮助大家提高对整体思想的了解，今天我们就一起来讲讲此类思想方法的“用法”。
什么是整体思想呢？整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后得出结论。
更加直白的讲整体思想就是指从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
我们先一起来看一道具体的例子：分解因式（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21解：设x2+5x-3=t，则x2+5x+1=t+4原式=t（t+4）-21=t2+4t-21=（t+7）（t-3）再将x2+5x-3=t代入上式原式=（x2+5x-3+7）（x2+5x-3-3）=（x2+5x+4）（x2+5x-6）=（x+1）（x+4）（x+6）（x-1）题干分析：若把两个二次三项式（x2+5x-3）与（x2+5x+1）相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。
但若把（x2+5x-3）（或x2+5x）视为一个整体，即把（x2+5x-3）看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。
解题反思：由这道典型例题我们可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。
《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练(后附答案)
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得x=3或x=6；
（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0
即（x﹣3）（x﹣4）=0
解得x=3或x=4．
例4．阅读下面材料：解答问题
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=± ，故原方程的解为x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣ ．
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练
【知识要点】
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解得y1=6，y2=﹣2（4分）
当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0
∴x1=3，x2=﹣2（6分）
当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0
∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0
∴方程无实数解（8分）
∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）
例5．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．
（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．
重视一元二次方程解法中的数学思想
重视一元二次方程解法中的数学思想作者：卢霞来源：《文理导航》2013年第23期【摘要】一元二次方程是初中数学中的重要内容，在初中代数中占有重要地位。
但是，解一元二次方程却一直被认为是一个难点。
究其原因，是未能很好的掌握解法中的数学思想。
对于学生而言，很少人能够系统的掌握。
为此，结合教学实践，将其中的四种数学思想陈列如下并配以例题说明。
【关键词】一元二次方程；转化思想；整体思想；分类讨论思想；方程思想课标要求“人人学有价值的数学”。
“有价值的数学”就是数学思想方法，数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，在解一元二次方程中，也蕴含了一定的数学思想。
一、转化思想著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
转化，是一种重要的思想方法，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
解一元二次方程的基本思路是运用了“转化”的思想，即把待解决的问题（一元二次方程），通过转化，归结为已解决的问题（一元一次方程）。
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中都渗透了这一思想。
直接开平方法：两个一元一次方程，把“未知”转化为“已知”；配方法：一元二次方程，两个一元一次方程，体现了数学形式的转化；因式分解法：一元二次方程两个一元一次方程；公式法：直接用公式把把“未知”转化为“已知”。
这些都体现了转化的思想。
例1 方程x2+4x=2的正根为（）.A.2-B.2+C.-2-D.-2+解析：x2+4x+4=2+4.因此（x+2）2=6，x+2=± .例2 若2x2-5x+ ，则2x2-5x-1的值为 .解析：把原式中2x2-5x为一个未知数，令2x2-5x=y，用换元法得到分式方程求出y，则可得到所求的值。
二、整体思想整体的思想方法，就是将注意力和着眼点放在问题的整体上或把一些相互联系的量作为整体，从而使问题巧妙的解决的方法称之为整体思想。
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一元二次方程中的整体思想（换元法）
一、内容概述
所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。
最具体的代表就是换元法的运用。
二、例题解析
初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。
何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。
（一）换元法在解方程中的应用
我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。
然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。
1.利用倒数关系换元
例1 解分式方程：224343x x x x
+=-- 分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。
但是若稍加整理成2243403x x x x -+
+=-，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。
解：移项整理得 2243403x x x x -+
+=- 设23x x y -=，则原方程可化为440y y
++= 去分母得2440y y ++=
解得122y y ==-
当2y =-时，232x x -=- 解得11x = 22x =
经检验：11x = 22x =是原方程的根
所以，原方程的根为11x = 22x =
练习1 103
=
2.利用平方关系进行换元
例2
解方程：226x x +-=
分析：代数式22x x +
y =，则原方程可化为256y y -= 解得16y =， 21y =-
当6y =
6= 解得14x = 292
x =-
当1y =-
1=-， 此方程无实数根 经检验：14x = 292
x =-
是原方程的根 所以，原方程的根为14x = 292x =- 练习2
解方程：2265x x --=
分析：如果这个方程两边平方，那么就会得到一个一元四次方程，但本题的2x 项与x 的一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程
3.利用对称关系换元
例3
解方程组：225
2616x xy y =+-=⎪⎩
分析：将第二个方程左边分解因式可得()()22316x y x y +-=，
a =
，
b =，那么原方程组可化为简单的对称方程组22516a b a b +=⎧⎨=⎩
4.均值换元
例4 分解因式()()2274784x x x x -+-++
分析：初步观察此代数式，似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨，发现两个二次三项式很“相似”，不妨可以设276x x a -+=，解题步骤如下：
解：设276x x a -+=，则
原式=()()()()()222222247616a a a x x x x -++==-+=--
当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。
5.整体代入
据已知字母的值，先求其一中间代数式的值，再将该代数式的值，整体代入式中求值。
例5
已知1x =，那么2232421
x x x x --=+-
解：因为1x =， (
)221x +=
，所以222x x += 因此，原式=
()()22322322121
21x x x x -+-∙==--+- 习题部分
1.换元法解方程：22114x x x x +
++=
2.因式分解：()()22327121x x x x -+-++
3.解分式方程组：518122312122x y y x x y x y
⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩
4.
解无理方程：226x x +-=
5.已知四个连续的整数为()()(),1,2,3m m m m +++，试说明这四个整数的积加上1， 是完全平方数
6.已知
()()()214b c a b c a -=--，且0a ≠，求b c a +的值
7.甲、乙、丙三种货物，购买甲3件，乙7件，丙1件，需要3.15元；购买甲4件，乙10件，丙1件，需要4.20元；现各购买1件，需要多少元？。