2012高中数学 第十章 N次独立重复试验恰有K次发生的概率教学案 苏教版
新高考数学一轮复习第十章计数原理与古典概率7第7讲n次独立重复试验与二项分布教学案
第7讲 n 次独立重复试验与二项分布1．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立． 2．独立重复试验与二项分布独立重复试验 二项分布定 义在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率 计 算 公 式用A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )答案：(1)× (2)× (3)× [教材衍化]1．(选修23P55练习T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．解析：设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为AB ＋AB ， 所以P (AB ＋AB )＝P (AB )＋P (AB )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38. 答案：0.382．(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.答案：12[易错纠偏](1)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误； (2)独立重复试验公式应用错误．1．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为45，23，在操作考试中“合格”的概率依次为12，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．解析：甲获得“合格证书”的概率为45×12＝25，乙获得“合格证书”的概率是23×56＝59，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是25×⎝⎛⎭⎪⎫1－59＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×59＝2345.答案：23452．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝________． 解析：因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.答案：516相互独立事件的概率(2020·丽水模拟)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．【解】 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B －)P (B －)＝116，于是P (B －)＝14或P (B －)＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B －)＝34.(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝34.法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C 12P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.独立重复试验与二项分布(1)(2020·浙江省名校协作体高三联考)箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．(2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．①设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． ②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【解】 (1)由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C 26＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，所以摸一次中奖的概率是615＝25，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次获奖的概率是25，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625.故填96625. (2)①X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18.所以X 的分布列为X 10 20 100 －200 P38381818i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．1．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56 B.45 C.3132D.12解析：选C.因为函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点，所以Δ＝16－4X ≥0，所以X ≤4.因为X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，所以P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132. 2．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲每次投进的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X ～B (6，23)，P (X ＝k )＝C k6·(23)k ·(13)6－k (k ＝0，1，2，3，4，5，6)．所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 6 P1729424320243160729802436424364729则P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.[基础题组练]1．(2020·东北四市高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫P ≥1516，则n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选A.由题意得P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥1516，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≤116，所以n ≥4，故n 的最小值为4.2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B.12 C.712D.34解析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.3．(2020·绍兴调研)设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：选B.因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127.4．(2020·杭州七校联考)如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．3或4解析：选D.观察选项，采用特殊值法．因为P (X ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412， P (X ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144⎝ ⎛⎭⎪⎫3411， P (X ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410， 经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)， 故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.5．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且每棵大树是否成活互不影响，则移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率是( )A.13B.23C.887900D.899900解析：选D.设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1，2；B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1，2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45，则至少有1棵大树成活的概率为1－P (A 1·A 2·B 1·B 2)＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝899900. 6.如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开和关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________． 解析：设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AC B －，且A ，B －，C 之间彼此独立，P (A )＝P (B －)＝P (C )＝12.所以P (A B －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝18.答案：187．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数1040805020在30天以上的概率为____________．解析：由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2732.答案：27328．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为13，用X 表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，即有P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k×⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.故P (X ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243.答案：102439．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ， 则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427，P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.X 的分布列为10.已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为3.某小组为了研究连续服用该药物后出现A 症状的情况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A 症状与上次用药无关．(1)若出现A 症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率； (2)若在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．解：(1)法一：记试验持续i 天为事件A i ，i ＝1，2，3，4，试验至多持续一个周期为事件B ，易知P (A 1)＝13，P (A 2)＝23×13，P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13，P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝6581.法二：记试验至多持续一个周期为事件B ，则B －为试验持续超过一个周期， 易知P (B －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， 所以P (B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581.(2)随机变量η的所有可能取值为1，2，P (η＝1)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19，P (η＝2)＝1－19＝89，所以η的分布列为1．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．(1)求恰有2人选修物理的概率； (2)求学生选修科目个数ξ的分布列． 解：(1)这是等可能性事件的概率计算问题． 法一：所有可能的选修方式有34种，恰有2人选修物理的方式C 24·22种， 从而恰有2人选修物理的概率为C 24·2234＝827.法二：设每位学生选修为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“选修物理”为事件A ，则P (A )＝13，从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人选修物理的概率为P＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)ξ的所有可能值为1，2，3，P (ξ＝1)＝334＝127；P (ξ＝2)＝C 23（C 12C 34＋C 24C 22）34＝1427； P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49；综上知，ξ的分布列为趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i·⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列为一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －)＝1－q 2.根据分布列知：当X ＝0时，P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －)＝0.75(1－q 2)2＝0.03，所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A － B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －)P (B )＝0.75q 2(1－q 2)×2＝0.24，当X ＝3时，P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －)＝0.25(1－q 2)2＝0.01，当X ＝4时，P 3＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48，当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －B )＋P (AB ) ＝P (A )P (B －)P (B )＋P (A )P (B )＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24.所以随机变量X的分布列为该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为P(B－BB＋B B－B＋BB)＝P(B－BB)＋P(B B－B)＋P(BB)＝2(1－q2)q22＋q22＝0.896.所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大．。
相互独立事件同时发生的概率
08相互独立事件同时发生的概率11.3 相互独立事件同时发生的概率●高考大纲了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．一、知识梳理1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1－p）n－k.3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从"一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响"来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A与B的积记作A・B，A・B表示这样一个事件，即A 与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A・B满足乘法公式P（A ・B）=P（A）・P（B），还要弄清・，的区别. ・表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有・≠，但・=.二、基础训练【例1】把n个不同的球随机地放入编号为1，2，...，m 的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.【例2】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？【例3】（全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.三、例题剖析【例1】（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率..【例3】（2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.【例4】（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；2p3－2p6（2）能进行通讯的概率. 2p3－p6【例5】（江西卷）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率. 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓四、同步练习 g3.1096相互独立事件同时发生的概率1.若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有AA.A与B.A与C. 与BD. 与2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是DA.0.12B.0.88C.0.28D.0.423.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是BA.p1p2B.p1（1－p2）+p2（1－p1）C.1－p1p2D.1－（1－p1）（1－p2）4.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为CA.0B.1C.2D.35.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）CA. B. C. D.6.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.7.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.8.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为_____0.72___.9.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.10.（全国卷Ⅱ）)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率；(Ⅱ) 本场比赛乙队以取胜的概率．11. （湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 12.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；，，（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.13.（浙江卷）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．。
高考江苏数学大一轮精准复习课件条件概率及相互独立事件n次独立重复试验模型及二项分布
射手进行n次射击，每次射击命中目标的概率为p，未命中目标的概率为q。命中目标的次数X服从二项分布B(n,p)。 通过计算期望值和方差，可以了解射手命中目标次数的平均情况和波动情况。
抽样检验问题
从一批产品中随机抽取n个样品进行检验，每个样品合格的概率为p，不合格的概率为q。合格样品的个 数X服从二项分布B(n,p)。通过计算期望值和方差，可以了解合格样品个数的平均情况和波动情况。
THANK YOU
感谢聆听
二项分布的期望E(X) = np，方差D(X) = np(1p)。这些性质可以帮助我们更好地理解和应用二 项分布。
下一步学习计划和建议
深入理解和掌握条件概率、相 互独立事件、n次独立重复试 验模型和二项分布等关键知识 点。
通过大量的练习和案例分析， 提高运用这些知识点解决实际 问题的能力。
关注与这些知识点相关的其他 数学概念和理论，如随机变量 、概率分布、数理统计等，以 便更好地理解和应用这些知识 。
80%
金融市场风险评估
在金融市场中，可以利用条件概 率对市场风险进行量化评估，然 后利用二项分布对风险事件的发 生概率进行建模和预测。
两者结合解决实际问题思路
01
02
03
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明确问题背景
首先需要明确问题的实际背景 ，了解相关条件和限制，以便 合理引入条件概率和二项分布 。
构建数学模型
根据问题背景，构建合适的数 学模型，将实际问题转化为数 学问题。在这个过程中，需要 选择合适的条件概率和二项分 布模型。
特点
03
04
05
每次试验是在同样条件下 进行的，即各次试验中成 功的概率均为p，失败的 概率均为q。
各次试验中的事件是相互 独立的，即一个试验的结 果不会影响另一个试验的 结果。
高考数学 第十章第八节 n次独立重复试验与二项分布课件 新A
a
b
24 125
(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (2)求 p，q 的值； (3)求 a，b 的值．
[自主解答] 事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩”， i＝1,2,3.由题意知 P(A1)＝45，P(A2)＝p，P(A3)＝q. (1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件 “ξ＝0”是对立的，所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 的概率是 1－P(ξ＝0)＝1－1625＝111295.
(2)“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情 况：一种是甲击中乙未击中(即 A B )，另一种是甲未击中乙 击中(即 A B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能 同时发生，即事件 A B 与 A B 是互斥的，所以所求概率为
P＝P(A B )＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝0.8×(1－0.8) ＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32. (3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为 P＝P(AB)＋[P(A B )＋P( A B)]＝0.64＋0.32＝0.96.
(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i＝1,2,3,4,5)； “射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击 中目标”为事件 A，则 P(A) ＝ P(A1A2A3 A 4 A 5) ＋ P( A 1A2A3A4 A 5) ＋ P( A 1 A 2A3A4A5)(4 分) ＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2×(23)3 ＝881.………………………………………………………(6 分)
高考数学 第十章第八节 n次独立重复试验与二项分布课件 新A
1．某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率-北京习题集-教师版
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2011春•通州区期末）甲同学回答4个问题，每小题回答正确的概率都是23，且不相互影响，则甲同学恰好答对3个题的概率是( ) A ．881B ．1681C ．3281D ．64812．（2010春•西城区期末）将一枚均匀硬币 随机掷20次，则恰好出现10次正面向上的概率为( ) A ．10110()2⨯B ．1010201()2CC ．20110()2⨯D ．1020201()2C3．（2010春•朝阳区期末）在100件产品中有10件次品，从中任取4件，其中恰有3件次品的概率为( ) A ．33491()()1010CB ．110C ．391()1010D ．3110904100C C C4．（2010春•海淀区校级期中）某城市101次公交车的准时到站率为90%，某人在5次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站的概率是( ) A ．0.328B ．0.288C ．0.358D ．0.4135．（2009春•朝阳区期末）某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是( ) A ．40.80.2⨯B ．4450.8C ⨯C ．4450.80.2C ⨯⨯ D ．450.80.2C ⨯⨯6．（2009春•朝阳区期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.648B ．0.504C ．0.432D ．0.288二．填空题（共6小题）7．（2016秋•西城区校级期中）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率为 （用数字作答）．8．（2016春•北京校级期末）位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率为 ．（用数字作答） 9．（2013•宣武区校级模拟）设随机变量~(2,)X B p ，~(3,)Y B p ，若3(1)4P X =，则(1)P Y ．10．（2011春•朝阳区期末）接种某疫苗后，经过大量的实验后发现，出现发热反应的概率为15．现有3人接种该疫苗，恰有1人出现发热反应的概率为．11．（2010春•西城区期末）设甲、乙两套方案在一次实验中通过的概率均为0.3，且两套方案在实验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次实验中至少有一套通过的概率为．12．（2008秋•海淀区校级月考）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34,45，且各次射击相互独立．若甲、乙各射击一次，则甲命中但乙未命中目标的概率是；若按甲、乙、甲 的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是．三．解答题（共3小题）13．（2011•朝阳区一模）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？14．（2010秋•房山区期末）某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．()I求一次摸奖中一等奖的概率；()II求一次摸奖得分的分布列和期望．15．（2009•崇文区二模）某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．()I在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率；（Ⅱ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率．n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2011春•通州区期末）甲同学回答4个问题，每小题回答正确的概率都是23，且不相互影响，则甲同学恰好答对3个题的概率是( ) A ．881B ．1681C ．3281D ．6481【分析】根据题意，该问题可转化为是求4次独立重复实验中，恰有3次发生的概率，由其公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，甲同学回答4个问题，问题之间不相互影响， 若甲同学恰好答对3个题，则4次独立重复实验中，恰有3次发生， 则其概率3342232()(1)3381P C =⨯⨯-=； 故选：C ．【点评】本题考查n 次独立重复实验中恰有k 次发生的概率计算，注意分析题意，将原问题转化为n 次独立重复实验中恰有k 次发生的概率计算问题．2．（2010春•西城区期末）将一枚均匀硬币 随机掷20次，则恰好出现10次正面向上的概率为( ) A ．10110()2⨯B ．1010201()2CC ．20110()2⨯D ．1020201()2C【分析】根据题意，易得将一枚均匀硬币掷1次，正面向上与反面向上的概率，而将一枚均匀硬币随机掷20次，则恰好出现10次正面向上，即20次独立重复实验中恰有10次发生，由其公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，易得将一枚均匀硬币掷1次，正面向上与反面向上的概率相等，均为12， 将一枚均匀硬币随机掷20次，则恰好出现10次正面向上，即20次独立重复实验中恰有10次发生，其概率为1020201()2P C =，故选：D ．【点评】本题考查n 次独立重复实验中恰有k 次发生的概率计算，注意先求出将一枚均匀硬币随机掷1次，正面向上与反面向上的概率．3．（2010春•朝阳区期末）在100件产品中有10件次品，从中任取4件，其中恰有3件次品的概率为( ) A ．33491()()1010CB ．110C ．391()1010D ．3110904100C C C【分析】利用组合先求出任意取出的4件产品的取法，再求出任意取出的4件产品中恰有3个次品的取法，利用古典概型概率公式求出任意取出的4件产品中恰有3个次品的概率．【解答】解：任意取出的4件产品的所有取法有4100C任意取出的4件产品中恰有3个次品的取法有139010C C 任意取出的4件产品中恰有3个次品的概率是3110904100C C C故选：D ．【点评】求等可能事件的概率公式常利用排列、组合的方法求出完成各种事件的方法数．4．（2010春•海淀区校级期中）某城市101次公交车的准时到站率为90%，某人在5次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站的概率是( ) A ．0.328B ．0.288C ．0.358D ．0.413【分析】由题意，5次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站，是一个5次独立重复实验所研究的结果发生四次的问题，又公交车的准时到站率为90%，由公式计算出概率再选出选项 【解答】解：由题意，记事件{5A =次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站}则P （A ）44450.90.10.50.90.328C =⨯⨯=⨯= 故选：A ．【点评】本题考查n 次独立重复实验中恰好发生K 次的概率，解题的关键是理解事件{5A =次乘这班车中，这班车恰好有4次准时到站}将问题归结为n 次独立重复实验模型．概率解题，将问题归结为成熟的概率模型是常用的转化思路．5．（2009春•朝阳区期末）某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是( ) A ．40.80.2⨯B ．4450.8C ⨯C ．4450.80.2C ⨯⨯ D ．450.80.2C ⨯⨯【分析】由题意知每次射击击中目标的概率是 0.8，且各次射击的结果互不影响，设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则~(5,0.8)X B ．利用二项分布的概率公式得到结果． 【解答】解：每次射击击中目标的概率是 0.8，且各次射击的结果互不影响 设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则~(5.0.8)X B ． 在5次射击中，恰有4次击中目标的概率445(4)(0.8)0.2P X C ==⨯⨯ 故选：C ．【点评】本题主要考查二项分布及其概率计算公式，互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．6．（2009春•朝阳区期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.648B ．0.504C ．0.432D ．0.288【分析】根据题意，分析可得，甲获胜有两种情况，一是甲以2:0获胜，二是甲以2:1获胜，按独立重复事件恰好发生n 次的概率的计算公式计算可得答案．【解答】解：甲获胜有两种情况，一是甲以2:0获胜，此时210.60.36p ==二是甲以2:1获胜，此时1220.60.40.60.288p C =⨯⨯=，故甲获胜的概率120.648p p p =+=，故选：A ．【点评】本题考查n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率，是高考热点，解题时，易范的错误是利用公式2230.60.40.432p C =⨯=求得答案C ，忽视了问题的实际意义，属于中档题．二．填空题（共6小题）7．（2016秋•西城区校级期中）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率为 0.027 （用数字作答）．【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式能求出结果． 【解答】解：一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9， ∴服用这种新药的3个人中恰有1人被治愈的概率：1230.9010.027p C ==．故答案为：0.027．【点评】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2016春•北京校级期末）位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率为 516．（用数字作答） 【分析】根据题意，质点P 移动5次后位于点(2,3)，则其在移动过程中向右移动2次向上移动3次，即5次独立重复试验中恰有3次发生，由其公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动5次后位于点(2,3)，在移动过程中向右移动2次向上移动3次．则其概率为2235115()(1)2216P C =-=故答案为516． 【点评】本题考查n 次独立重复试验中恰有k 次发生的概率计算，关键是明确质点P 移动5次后位于点(2,3)质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．9．（2013•宣武区校级模拟）设随机变量~(2,)X B p ，~(3,)Y B p ，若3(1)4P X =，则(1)P Y 78．【分析】根据随机变量服从~(2,)X B P 和(1)P X 对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P 的方程，解出P 的值，再根据Y 符合二项分布，利用概率公式得到结果．【解答】解：随机变量服从~(2,)X B P ，02(1)1(0)1P X P X C ∴=-==-23(1)4p -=，解得12p =．33(1)1(0)1P Y P Y C ∴=-==- 317(1)188p -=-=，故答案为78． 【点评】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，本题解题的关键是根据所给的X 对应的概率值，列出方程，求出概率P 的值．10．（2011春•朝阳区期末）接种某疫苗后，经过大量的实验后发现，出现发热反应的概率为15．现有3人接种该疫苗，恰有1人出现发热反应的概率为 0.384 ． 【分析】直接利用公式求解即可．【解答】解：由题意，恰有1人出现发热反应，概率等于1230.2(10.2)0.384C ⨯⨯-=． 故答案为：0.384．【点评】本题考查n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，正确利用公式是关键．11．（2010春•西城区期末）设甲、乙两套方案在一次实验中通过的概率均为0.3，且两套方案在实验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次实验中至少有一套通过的概率为 0.51 ．【分析】由题意知记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A ，则至少有一套试验成功的事件为A ．这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1p -．利用对立事件列出等式求解至少有一套通过的概率即可． 【解答】解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A ， 则至少有一套试验成功的事件为A ．由题意，0.3p =，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1p -．P ∴（A ）2(1)p =-，∴2()1(1)0.51P A p =--=．故答案为：0.51．【点评】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多．12．（2008秋•海淀区校级月考）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34,45，且各次射击相互独立．若甲、乙各射击一次，则甲命中但乙未命中目标的概率是320；若按甲、乙、甲⋯的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是．【分析】设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，甲、乙各射击一次，甲命中但乙未命中目标，分为两步，由甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为3445和，我们易得甲命中但乙未命中目标的概率()()()P A B P A P B=，代入计算即可得到结果；进而分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．【解答】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）34,()45P B==，从而甲命中但乙未命中目标的概率为343 ()()()(1)4520P A B P A P B==⨯-=；停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率为21133 45480P=⨯⨯=②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，此时的概率为311141 4545100 =⨯⨯⨯=则停止射击时甲射击了两次的概率为1233119 80100400P P P=+=+=；故答案为320，19400．【点评】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，首先要根据题意分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．三．解答题（共3小题）13．（2011•朝阳区一模）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？【分析】（Ⅰ）教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6由题意直接可知2~(6,)3X B 即可求解（Ⅱ）教师甲在一场比赛中获奖：分为三种情况（中4球，5球，6球）但都必须最后2个球都投进者，故所求的概率为224156441212232()()()()3333381C C ⨯⨯+⨯⨯+=． （Ⅲ）教师乙在某场比赛中的事件总数为：66A ，而6个球中恰好投进了4个球的事件数为：4424A A ⨯，故而教师乙在这场比赛中获奖的概率为：446246A A A ⨯根据（Ⅱ）知教师甲在一场比赛中获奖的概率为：3281，而4462432816A A A ⨯≠，故教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．【解答】解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．依条件可知~(6X B ，66221).()()()(0333kk k P X k C k -===，1，2，3，4，5，6)X 的分布列为：所以12916(01112260316042405192664)4729729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． 或因为2~(6,)3X B ，所以2643EX =⨯=．即X 的数学期望为4（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ， 则224156441212232()()()()()3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=．答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281． （Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A PB A ==． 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25． 显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等． 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，离散型随机变量及其分布列属于基础题．14．（2010秋•房山区期末）某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．()I 求一次摸奖中一等奖的概率； ()II 求一次摸奖得分的分布列和期望．【分析】()I 每次有放回地抽取，取到红球的概率为131124P ==；取到白球的概率为241123P ==；取到黑球的概率为3512P =；由此能求出一次摸奖中一等奖的概率． ()II 设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，52.(2)32P ξ==；331155(1)431224P A ξ===；由此能求出一次摸奖得分ξ的分布列和期望．【解答】解：()I 每次有放回地抽取，取到红球的概率为131124P ==；取到白球的概率为241123P ==；取到 黑球的概率为3512P =； 一次摸奖中一等奖的概率为22331315()()()44432P C =+=．()II 设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，52.(2)32P ξ==；331155(1)431224P A ξ===；61(0)1(1)(2)P P P ξξξ==-=-==∴一次摸奖得分ξ的分布列为期望为55612521032249648E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，解题时要注意离散型随机变量ξ的分布列和期望的求法． 15．（2009•崇文区二模）某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换． ()I 在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换2只灯棍的概率；（Ⅱ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率．【分析】()I 由题意知每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，且寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，所以每只灯泡能否照明看做一次独立重复试验，根据公式得到结果．()II 在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，是否需要更换是相互独立的，包含两种情况，这两种情况是互斥的，根据公式得到结果．【解答】解：()I 每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关， 寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3， 每只灯泡能否照明看做一次独立重复试验，设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为1P ，需要列换2只灯棍的概率为2p 则310.80.512P ∴==22230.8(10.8)0.096P C =-=()II 假设该盏灯需要更换灯棍的概率为p ，对该盏灯来说，设在第1，2次都更换了灯棍的概率为3p ；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为4p 则234(10.8)0.8(10.3)0.6p p p =+=-+-=【点评】本题考查独立重复试验，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个比较难读懂题意的问题，解题的关键是弄清题意，把实际问题转化为数学问题．。
独立重复实验
《名师〉10.7课后拓展迁移题
作业： 课 本P135T811P146T914
袋中有12个球,其中白球4个，
甲、乙、丙三人接连从袋中取球， 甲先取然后乙、丙,再又是甲,如此 继续下去,规定先取出一个白球者 获胜.分别求满足下列条件的甲、 乙、丙的获胜率：
(1)抽后放回;
(2)抽后不放回.(
A C1 0.03 (1 0.03)2 3
B C1 (0.03)2 (1 0.03) 3
C
C1 3
(0.03)3
D C C 1 2 3 97 C3 100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
无放回抽取
例2.甲、乙两个篮球运动员投篮 命中率为0.7及0.6,若每人各投3次, 试求甲至少胜乙2个进球的概率
解：（1）投3次，甲进3个球乙进0个球
而顺序为： 1、2、3是不合题意的，这点要特别注意.
甲 打 完5局 就 取 得 胜 利 的 概 率 为：C 4 2
（1）2 2
( 1 )2 2
1 2
3 16
（2）求按比赛规则甲获胜的概率P 1 3 3 1 . 8 16 16 2
练 习 题.甲 、 乙 两 队 排 球 比 赛 ，已 知 在 一 局 比 赛 中 ，
比赛时均能正常发挥技术水平,则
在5局3胜制中,打完4局才能取胜
的概率为( A )
A
C32
(
3)2 5
2 5
3 5
B
C2 3
(
3)2 5
2 3
C
C
3 4
(3)3 5
2 5
D C3 (2)3 1
《二项分布》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
—般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与非A，每次试验中>0。我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验（Bernoulli trials） 。
分析1 这是一个3次独立重复试验，设“射中目标”为事件A，则 ，(记为q)，用下面的树形图来表示该试验的过程和结果。(图略)由树形图可见，随机变量X的概率分布如下表所示
解 由于批量较大，可以认为随机变量，随机变量X的概率分布如下表所示。
故 由 得 标准
答 随机变量X得数学期望为0.5，方差约为0.475，标准差约为0.6892.
由题意可知中靶的概率为0.8,故打100发子弹有4发中靶的概率为
由题意，根据n次独立重复试验的概率计算公式，可得所求概率为。
教材第118页习题第1、2、3、5题，第119页第2、4题。
求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。
解 设X为抛掷100次均匀硬币出现正面的次数，依题意，随机变量，则 答 随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率为8%。
设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定:每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006,那么该公司会赔本吗？
分析2 在X= k时，根据试验的独立性，事件A在某指定的k次发生时，其余的(3-k)次则不发生，其概率为，而3次试验中发生k次的方式有种，故有 因此，随机变量X的概率分布如下表所示
二项分布：若随机变量X的分布列为，其中，，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作。
一般地，在n次独立重复试验中，由于试验的独立性，n 次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余次不发生的概率为。又由于在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的方式有种，所以在n重伯努利试验中，事件A恰好发生次的概率为 k=0，1，2，···n，它恰好是的二项展开式中的第项。
高三教案n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式
●课题§10.7.3 相互独立事件同时发生的概率（三）●教学目标（一）教学知识点1.独立重复试验的意义.2.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式.（二）能力训练要求1.理解独立重复试验的意义.2.会利用在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式进行计算.（三）德育渗透目标增强科学意识.●教学重点1.独立重复试验的意义在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.注：在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.2.如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：P n（k）=C kP k（1－P）n－k,其中，k=0,1,2，…,n.n●教学难点P k（1－P）n－k,其中k=0,1,2,…,n的实际应用.公式P n（k）=C kn●教学方法引导法引导学生发现在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］根据我们前面所学知识，现在，请同学们来思考这样一个问题：若将一枚硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是多少？Ⅱ.讲授新课［生甲］每一次抛掷硬币，均会出现2种等可能的结果，即正面或反面，根据等可能性事件的概率公式，可知每次出现正面的概率为0.5.［生乙］每一次出现正面或反面，相互之间没有影响，即为相互独立事件.［生丙］由相互独立事件的概率乘法公式可知：5次抛掷硬币均出现正面的概率为P=0.55.再如：某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他射击4次恰好均未击中的概率为多少？据题意可知，击中目标的概率为0.9，则未击中目标的概率为0.1,且各次射击是否击中相互之间没有影响.因此，4次均未击中的概率为P=0.14=0.00001.那么，请同学们继续思考：他在4次射击中恰好击中1次的概率为多少？若记在第1，2，3，4次射击中，这个射手击中目标为事件A1，A2，A3，A4，未击中目标为事件4321,,,A A A A .那么，射击4次，击中1次共有下面4种情况： 4321432143214321,,,A A A A A A A A A A A A A A A A .即从4个位置上取出1个写上A ，另3个写上A ，所以这些情况的种数等于从4个元素中取出1个元素的组合数C 14=4种，且这4种情况彼此互斥.根据互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的乘法公式，射击4次，击中1次的概率.14144321432143214321)9.01(9.0C )()()()(--⨯⨯=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P P=4×0.9×0.13≈0.0036进而思考，这位射手射击4次，恰好击中3次的概率为多少？经分析可知：射击4次，击中3次共有下面4种情况：A 1A 2A 34A ，A 1A 23A A 4，A 12A A 3A 4，1A A 2A 3A 4.上述每一种情况，都可看成是在4个位置上取出3个写上A ，另一个写上A ，所以这些情况的种数等于从4个元素中取出3个的组合数C 34，即4种.根据相互独立事件的概率乘法公式，前3次击中、第4次未击中的概率P （A 1·A 2·A 3·4A ）=P （A 1）·P （A 2）·P （A 3）·P （4A ）=0.9×0.9×0.9×（1－0.9）=0.93×（1－0.9）4－3同理，P （A 1·A 2·3A ·A 4）=P （A 1·2A ·A 3·A 4）=0.93×（1－0.9）4－3这就是说，在上面射击4次，击中3次的4种情况中，每一种发生的概率都是0.93×（1－0.9）4－3.因为这4种情况彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式，射击4次，击中3次的概率P =P （A 1·A 2·A 3·4A ）+P （A 1·A 2·3A ·A 4）+P （A 1·2A ·A 3·A 4）+P （1A ·A 2·A 3·A 4）=C 34×0.93×（1－0.9）4－3 =4×0.93×0.1≈0.29从以上例子，可以看出：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k （其中k =0,1,2,……,n ）注：此公式仅适用于n次独立重复试验，即在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，且在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某一事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.［师］请看此例某气象站天气预报的准确率为80%，计算：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率.分析：记“预报1次，结果准确”为事件A，预报5次相当于作5次独立重复试验.解：（1）根据n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式，5次预报中恰有4次准确的概率P5（4）=C45×0.84×（1－0.8）5－4=5×0.84×0.2≈0.41∴5次预报中恰有4次准确的概率为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即P=P5（4）+P5（5）=C45×0.84×（1－0.8）5－4+C55×0.85×（1－0.8）5－5=5×0.84×0.2+0.85≈0.74∴5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74.Ⅲ.课堂练习课本P134练习1、21.生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件，其中恰有1件次品，恰有2件次品，至多有1件次品的概率是多少？分析：记“生产1件产品，为次品”为事件A，生产4件相当于作4次独立重复试验.解：记“生产1件产品，为次品”为事件A，生产4件相当于作4次独立重复试验.其中恰有1件次品，相当于事件A在4次独立重复试验中恰好发生1次，根据n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式，其中恰有1件次品的概率P4（1）=C14×0.04×（1－0.04）4－1≈0.14其中恰有2件次品，相当于事件A在4次独立重复试验中恰好发生2次，其概率P4（2）=C24×0.042×（1－0.04）4－2≈0.009.至多有1件次品包括两种情况：恰有1件次品或没有次品（次品数为0，即事件A在4次独立重复试验中发生0次）.因此其概率为：P4（1）+P4（0）=C14×0.041×（1－0.04）4－1+C04×0.040×（1－0.04）4－0≈0.14+0.85=0.99∴其中恰有1件次品的概率为0.14,恰有2件次品的概率为0.009,至多有1件次品的概率为0.99.评述：正确分析事件的“独立重复”性，然后准确使用P n（k）=C knP k（1－P）n－k（其中k=0,1,2,…,n）2.解：（0.9+0.1）4=0.94+C34×0.93×0.11+C24×0.92×0.12+C14×0.91×0.13+0.14P4（4）=C44×0.94×（1－0.9）4－4=0.94P4（3）=C34×0.93×（1－0.9）4－3=C34×0.93×0.11P4（2）=C24×0.92×0.12P4（1）=C14×0.91×0.13P4（0）=0.14比较可得恰好击中4次，3次，2次，1次，0次的概率依次等于（0.9+0.1）4的展开式中的各项.Ⅳ.课时小结通过本节学习，应掌握n次独立重复试验的意义，并能准确使用在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式，即：P n（k）=C knP k（1－P）n－k（k=0,1,2,…,n）.Ⅴ.课后作业（一）课本P1357、9（二）1.预习课本P138~P1412.预习提纲：怎样正确应用所学知识解决问题？●板书设计。
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N次独立重复试验恰有K次发生的概率
例1变式
甲乙丙三人各射击一次，三人击中目标的概率都是0.6，求其中恰有一人击中目标的概率和目标被击中的概率。
（0.288）（0.936）
例2变式1
如图，每个开关闭合的概率都为0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。
0.6811
变式2
如图，每个开关闭合的概率都是0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。
(提示：反向思考较为简单。
（0.847）)
3、甲乙两战士向同一目标各射击一次
设A={甲战士射中目标} B={乙战士射中目标}
（1）甲乙两战士同时射中；
（2）甲乙两战士中至少有一人射中；
（3）甲乙两战士中恰有一个射中。
强化训练
1、一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得颜色相同的球的概率是多少？（1/2）
2、从甲乙丙三种零件中各取1件组成某产品所有三零件必须都是正品，所得产品才是合格品，已知三种零件的次品率分别是2%、3%、5%，求产品的次品率？（结果保留四位有效数字）（0.0969）
3、某战士射击中靶的概率为0.99，若连续射击两次，求：
（1）两次都中靶的概率；（0.9801）
（2）至少有一次中靶的概率； (0.9999)
（3）至多有一次中靶的概率。
(0.0199)
4、甲乙两高射炮同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率是0.6，乙击中敌机的概率
为0.5，求
（1）求敌机被击中的概率；（0.8）
（2）已知甲乙两炮都击中敌机时，敌机才坠毁，求敌机坠毁的概率。
（0.3）5、甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少于10年的概率是2/5，乙厂生产的脱柴油机，每
台连续使用不少于10年的概率是3/5，将一台脱粒机与一台柴泪机配套使用，求下列各事件的概率：
（1）A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年）； 6/25
（2）B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年） 4/25
（3）C（至少有一台机器的连续使用期不少于10年 19/25
6、有4名学生参加体育达标测验，4人各自合格的概率分别是1/3，1/4，1/5，1/6，求以
下的概率：
（1）四人中至少有二人合格的概率； 43/180
（2）四人中恰好只有二人合格的概率。
71/360。