人教版九年级上册数学 24.2.2 第3课时 切线长定理 优秀教案

第3课时 切线长定理
1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．
2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．
一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．
二、合作探究
探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的
周长
如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于
点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点
E 、
F ，切点C 在AB ︵
上．若PA 长为2，则△PEF
的周长是________．
解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.
【类型二】
利用切线长定理求角的大小
如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切
点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB
＝70°，那么∠OPA 的度数是
________度．
解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠
OPA ＝1
2
∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB .
【类型三】切线长定理的实际应用
为了测量一个圆形铁环的半径，
某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA ＝5cm ，
则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
解：过O 作OQ ⊥AB 于Q ，设铁环的圆心为O ，连接OP 、OA .∵AP 、AQ 为⊙O 的切线，∴AO 为∠PAQ 的平分线，即∠PAO ＝∠QAO .又∠BAC ＝60°，∠PAO ＋∠QAO ＋∠BAC ＝180°，∴∠PAO ＝∠QAO ＝60°.在Rt △OPA 中，PA ＝5，∠POA ＝30°，∴OP ＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.
探究点二：三角形的内切圆
【类型一】求三角形的内切圆的半径
如图，⊙O 是边长为2的等边
△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．
解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝1
2BC ，OC
＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，
根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2
＋12
＝(2OD )2
，所以OD ＝
3
3
.即⊙O 的半径为33
. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．
【类型二】求三角形的周长
如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两
直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵
(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )
A ．r B.32r C ．2r D.5
2
r
解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC
的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.
三、板书设计
教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.。