二次函数图象和性质练习题(1)
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题A1(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题1（附答案详解）1．将二次函数2y x 的图像向上平移1个单位，则所得的二次函数表达式为（ ） A ．2(1)y x =- B ．21y x =+ C ．2(1)y x =+ D ．21y x =-2．如图，二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则ABC的面积为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3） 4．将二次函数y=x 2-4x+2化为顶点式，正确的是（ ）A ．2y (x 2)2=--B ．2y (x 2)3=-+C ．2y (x 2)2=+-D ．2y (x 2)2=-+5．二次函数2y 3x 4=-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点()3,4C ．抛物线的对称轴是直线x 1=D ．抛物线与x 轴有两个交点6．抛物线y ＝－2x 2经过平移后得到抛物线y ＝－2x 2－4x －5，平移方法是（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x的大致图象是( ) A ． B ． C ． D ．8．若点()111,P y -，()222,P y -，()331,P y ，都在函数223y x x =-+的图象上，则（ ）A ．213y y y << B ．123y y y << C ．213y y y >>D ．123y y y >>9．已知二次函数y=x 2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），当b 从﹣2逐渐增加到2的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动10．如图，抛物线与x 轴交于点()1,0-和()3,0，与y 轴交于点()0,3-则此抛物线对此函数的表达式为（ ）A ．223y x x =++B ．223y x x =--C ．223y x x =-+D ．223y x x =+- 11．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是__________。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同 C ．图像形状相同D ．最低点相同 2y ax =213y x =2y x =23y x =3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ≠0D ．x ≥05．对于抛物线与下列命2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-题中错误的是（ ）A ．两条抛物线关于轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线各自关于轴对称D ．两条抛物线没有公共点6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x y 2x 21(2)2xx 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
8．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3） 9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．y=3－2 B ．y=3＋222(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2 D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a＋3 B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a－311．抛物线的顶点坐标是（ ）2(1)x +2(1)x +2y ax =2(2)x -2(2)x -2(2)x +2(2)x +244y x x =--A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像22(2)x -22(2)x -2x是图中的（ ）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
人教版九年级上《22.1二次函数的图象和性质》练习题含答案
二次函数图象与性质（1）1. 二次函数的定义：一般地，形如()20y ax bx c a b c a =++≠，，为常数，且的函数叫做二次函数，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2. 当b ＝0且c ＝0时：二次函数变为()20y ax a =≠， （1）当a ＞0时，其图象如下：xyy = 2∙x 2y = x 2y = 12∙x 2y =110∙x 2O（2）当a ＜0时，其图象如下：可以看到：对于抛物线2y ax =，a 越大，开口越小。
3. 二次函数()20y axa =≠的图象与性质()20y ax a =>()20y ax a =<开口方向上下例题1 已知函数42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大。
（1）求k 的值；（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴。
思路分析：由二次函数的定义，求出k 的值，然后写出顶点坐标和对称轴。
答案：（1）由二次函数的定义，得242k k +-=，解得13k =-，22k =；当3k =-时，原函数为2y x =-，当0>x 时，y 随x 的增大而减小，故3k =-不合题意，舍去； 当2k =时，原函数为24=y x ，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，符合题意； 故2k =。
（2）抛物线24=y x 的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴。
点评：注意对k 的值进行合理的取舍。
例题2 （1）已知A （1，y 1）、B （－2，y 2）、C （－2，y3）在函数y ＝241x 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 。
（2）（潍坊）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－ 12x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x的取值范围是 。
思路分析：（1）最直接的思路是将自变量的值代入函数表达式，求出每个点的相应的纵坐标，然后进行比较；当然也可以利用数形结合、以形助数的方法。
二次函数的图象和性质练习题(含参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质部分练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题10分,共30分）1. 将抛物线2x y =向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得新抛物线对应的函数表达式为 【 】 （A ）()122++=x y （B ）()122-+=x y（C ）()122+-=x y （D ）()122--=x y2. 将抛物线()312+-=x y 向左平移1个单位,得到的抛物线与y 轴的交点坐标是 【 】（A ）（0 , 2） （B ）（0 , 3） （C ）（0 , 4） （D ）（0 , 7）3. 抛物线321532-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x y 的顶点坐标是 【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,21 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3,214. 抛物线322++=x x y 的对称轴是 【 】 （A ）直线1=x （B ）直线1-=x （C ）直线2-=x （D ）直线2=x5. 在平面直角坐标系中,将抛物线221x y -=先向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为 【 】（A ）23212---=x x y （B ）21212-+-=x x y （C ）23212-+-=x x y （D ）21212---=x x y6. 关于抛物线()212--=x y ,下列说法错误的是 【 】（A ）顶点坐标为()2,1- （B ）对称轴是直线1=x（C ）开口向上 （D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小7. 如图所示,把抛物线2x y =沿直线x y =向右平移2个单位后,其顶点在直线上的A 处,平移后的抛物线解析式是 【 】（A ）()112-+=x y （B ）()112++=x y（C ）()112+-=x y （D ）()112--=x y第 7 题图8. 关于二次函数1422-+=x x y ,下列说法正确的是 【 】 （A ）图象与y 轴的交点坐标为（0 , 1） （B ）图象的对称轴在y 轴的右侧 （C ）当0<x 时,y 的值随x 值的增大而减小 （D ）y 的最小值为3-9. 抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 【 】 （A ）（7,2-） （B ）（2 , 7） （C ）（2 ,25-） （D ）（2 ,9-）10. 已知二次函数()12+-=h x y ,在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为 【 】 （A ）1或5- （B ）1-或5 （C ）1或3- （D ）1或3 二、填空题（每小题3分,共30分）11. 抛物线()5232+-=x y 的顶点坐标为_________.12. 将抛物线2x y =向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为________________.13. 用配方法将二次函数982--=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为________________.14. 抛物线132+-=x x y 的顶点坐标为_________. 15. 抛物线x x y 92+-=的最大值为_________.16. 将抛物线()2432+-=x y 向右平移1个单位,再向下平移3个单位,平移后抛物线的解析式是________________. 17. 已知点()1,4y A ,()2,2y B,()3,2y C -都在二次函数()122--=x y 的图象上,则321,,y y y 的大小关系是__________.18. 抛物线m x x y +-=22与x 轴只有一个交点,则m 的值为_________.19. 已知点()11,y x A ,()22,y x B 为函数()3122+--=x y 图象上的两点,若121>>x x ,则21,y y 的大小关系是__________.20. 如图,把抛物线221x y =平移得到抛物线m ,抛物线m 经过点()0,8-A 和原点O （0 , 0）,它的顶点为P ,它的对称轴与抛物线221x y =交于点Q ,则图中阴影部分的面积为_________.三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴;（2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式.22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标.23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.yxDC BA O25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; （2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标;（3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值.26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. （2 , 5） 12. ()522-+=x y 13. ()2542--=x y 14. ⎪⎭⎫⎝⎛-45,2315.481 16. ()1532--=x y 17. 312y y y << 18. 1 19. 21y y < 20. 32三、解答题（共60分） 21.（10分）已知抛物线()31432--=x y . （1）写出抛物线的开口方向、对称轴; （2）函数y 有最大值还是最小值?并求出这个最值;（3）设抛物线与y 轴的交点为P ,与x 轴的交点为Q ,求直线PQ 的函数表达式. 解:（1）开口向上,对称轴为直线1=x ; ……………………………………………2分 （2）函数y 有最小值,最小值为3-=y ; ……………………………………………4分 （3）令0=x ,则()49310432-=--⨯=y ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ……………………………5分令0=y ,则()031432=--x 解之得:3,121=-=x x∴()0,1-Q 或Q （3 , 0）……………………………………………6分 设直线PQ 的函数表达式为b kx y +=当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P ,()0,1-Q 时⎪⎩⎪⎨⎧=+--=049b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4949b k∴直线PQ 的函数表达式为4949--=x y ; ……………………………………………8分当⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,0P , Q （3 , 0）时⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0349b k b 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4943b k∴直线PQ 的函数表达式为4943-=x y …………………………………………10分 综上所述,直线PQ 的函数表达式为4949--=x y 或4943-=x y . 22.（10分）已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B . （1）求该函数的关系式;（2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标. 解:（1）由题意可设该函数的关系式为()k h x a y +-=2∵其顶点为()4,1-A ∴4,1-==k h……………………………………………2分 ∴()412--=x a y把()5,2-B 代入()412--=x a y 得:()54122-=--⨯a解之得:1-=a……………………………………………4分 ∴该函数的关系式为()412---=x y ;（2）令0=x ,则()54102-=---=y∴该函数的图象与y 轴的交点为()5,0-;……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=---x∴()412-=-x∴方程无实数解∴该函数的图象与x 轴无交点.…………………………………………10分 23.（10分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为()1,4-,与y 轴交于点（0 , 3）,求这条抛物线的函数表达式.解:由题意可设该抛物线为()k h x a y +-=2∵其顶点坐标为()1,4- ∴1,4-==k h……………………………………………4分 ∴()142--=x a y把（0 , 3）代入()142--=x a y 得:()31402=--⨯a……………………………………………6分 解之得:41=a …………………………………………10分 ∴这条抛物线的函数表达式为()14412--=x y . 24.（10分）如图,在平面直角坐标系中,把抛物线2x y =向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线()k h x y +-=2.所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）,与y 轴交于点C ,顶点为D . （1）求k h ,的值; （2）判断△ACD 的形状.解:（1）平移后,抛物线的解析式为()412-+=x y……………………………………………3分 ∴4,1-=-=k h ;……………………………………………5分 （2）令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x ∵点A 在点B 的左边 ∴()0,3-A ,B （1 , 0）……………………………………………6分 ∴3=OA令0=x ,则()34102-=-+=y∴()3,0-C……………………………………………7分 ∴3=OC∴OC OA =∴△AOC 为等腰直角三角形∴︒=∠45ACO∵点D 为抛物线()412-+=x y 的顶点∴()4,1--D……………………………………………8分 过点D 作y DE ⊥轴 ∴4,1==OE DE∴134=-=-=OC OE CE ∴CE DE =∴△DCE 为等腰直角三角形∴︒=∠45DCE∴︒=︒-︒-︒=∠904545180ACD ∴△ACD 为直角三角形.…………………………………………10分 25.（10分）已知抛物线22212-+-=x x y . （1）写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2）求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标; （3）在（2）中,设抛物线与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,若以点A 为顶点的抛物线经过点B ,请你求出这条抛物线的解析式,并指出其开口方向和函数的最值. 解:（1）()222212221--=-+-=x x x y ……………………………………………1分 开口向下,对称轴为直线2=x ,顶点坐标为（2 , 0）;……………………………………………4分 （2）令0=y ,则()02212=--x 解之得:2=x∴抛物线与x 轴的交点为（2 , 0）……………………………………………5分 令0=x ,则()220212-=-⨯-=y ∴抛物线与y 轴的交点为()2,0-;……………………………………………6分 （3）由题意可设抛物线的解析式为k ax y +=2∵其顶点为A ()2,0- ∴2-=k……………………………………………7分 ∴22-=ax y把B （2 , 0）代入22-=ax y 得:024=-a 解之得:21=a……………………………………………8分∴2212-=x y开口向上,函数的最小值为2-.…………………………………………10分 26.（10分）已知二次函数m x x y ++=22的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点. （1）求1C 的顶点坐标;（2）将1C 向下平移若干个单位后,得抛物线2C ,如果2C 与x 轴的一个交点为()0,3-A ,求2C 的函数关系式,并求2C 与x 轴的另一个交点坐标;（3）若()1,y n P ,()2,2y Q 是1C 上的两点,且21y y >,求实数n 的取值范围.解:（1）()11222-++=++=m x m x x y∵其图象1C 与x 轴有且只有一个公共点 ∴01=-m ∴1=m……………………………………………3分∴()21+=x y∴1C 的顶点坐标为()0,1-;……………………………………………4分（2）设2C 的函数关系式为()k x y ++=21把()0,3-A 代入()k x y ++=21得:()0132=++-k解之得:4-=k∴2C 的函数关系式为()412-+=x y……………………………………………7分 令0=y ,则()0412=-+x解之得:1,321=-=x x∴2C 与x 轴的另一个交点坐标为（1 , 0）; ……………………………………………8分 （3）2>n 或4-<n .…………………………………………10分。
二次函数的图像与性质-同步练习(含解析)
二次函数的图像与性质同步练习一、单选题1．已知点(3，1y ),(4，2y ), (5，3y )在函数y=2x 2+8x+7的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A 、y 1>y 2>y 3B 、y 2> y 1> y 3C 、y 2>y 3> y 1D 、y 3> y 2> y 1 2．已知二次函数y=2x2+8x+7的图象上有有点A ，B ，C ，则y1、y2、y3的大小关系为( )A ． y1 > y2> y3B ． y2> y1> y3C ． y2> y3> y1D ． y3> y2> y13．已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有三个点（﹣1，y 1）、（1，y 2）、（3，y 3），若y 1=y 3，则（ ）A ．y 2＞c ＞y 1B ．y 2＜c ＜y 1C ．c ＞y 1＞y 2D ．c ＜y 1＜y 24．已知抛物线y=-（x+1）2上的两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），如果x 1＜x 2＜-1，那么下列结论一定成立的是( ) A ．y 1＜y 2＜0B ．0＜y 1＜y 2C ．0＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜0．5．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，反比例函数ay x=与正比例函数y=(b+c)x 在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）1(2)y -，21(5)3y -，31(1)5y -，A ．B ．C ．D ．7．反比例函数ky x=与一次函数()1y k x =-在同一坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．8．在同一坐标系中，函数x k y =和3+=kx y 的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是（ ）xxxxyyyyOOOO10．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，对称轴是直线13x =．则下列结论中，正确的是（ ）A ．a ＜0B ．c ＜﹣1C ．a ﹣b+c ＜0D ．2a+3b=011．二次函数2y x bx c =++中（b ，c 是常数）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：下列结论正确的是：A ．当2x =时，y 有最大值1B ．当2x <时，y 随x 的增大而增大C ．点(5,9)在该函数的图像上D ．若1(,)A m y ，2(1,)B m y +两点都在该函数的图象上，则当32m >时，12y y <. 12．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①2y ax =；①2y bx =；①2y cx =；①2y dx =，则a b c d ,,,的大小关系为A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>13．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0），则的值为（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．214．若二次函数的x 与y 的部分对应值如下表，则当x 1=时，y 的值为( )A ．5B ．3-C ．13-D ．27-15．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表所示下列说法错误的是( ) A ．图象开口向下 B ．抛物线的对称轴是直线x 2= C ．2b 4ac 0-> D ．当1x 3<<时，y 6<二、填空题16．已知抛物线2y x x =+－６５经过点1()4a -，和1()a y -，，则y 1的值是_________． 17．将抛物线()2241y x =--先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为__________．18．将抛物线y ＝－2x 2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_____ 19．将抛物线的解析式y=向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是 ．20．如果二次函数y=（-2k+4）x 2-3x+1的图象开口向上，那么常数k 的取值范围是________三、解答题21．已知函数y=（k ﹣2）x k²﹣4k+5+2x 是关于x 的二次函数．求： （1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？22．已知函数()242mm y m x +-=+是关于x 的二次函数．()1求m 的值．()2如果这个二次函数的图象经过点()18P -，求m 的值；()3对于()2中二次函数，函数有无最大值？若有，此时的x 为何值．23．求抛物线217322y x x =--+的对称轴、顶点坐标. 24．阅读下面文字:求代数式24x 7x -+的最值，我们可以这样做：()()2224x 74x 4323x x x -+=-++=-+,因为()22x -≥0，所以当x=2时，该代数式有最小值，最小值为3.仿照以上方法，求（1）28a 3a +-的最值.（2）222y y -++的最值.25．把函数y=3x 2+6x+10转化成y=a （x-h ）2+k 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．26．如图，已知抛物线y=2x -+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．参考答案1．D【解析】解：抛物线的对称轴为2482-=-=-=a b x ，又02φ=a ，抛物线开口向上，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，345φφΘ，123y y y φφ∴，故选D 。
二次函数的图象与性质(练) (1)
第13课时二次函数的图象与性质基础过关1. (2017长沙)抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是( )A. (3，4)B. (-3，4)C. (3，-4)D. (2，4)2. (2017来宾)设M＝-x2+4x-4，则（）A. M＜0B. M≤0C. M≥0D. M＞03. （2017金华）对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x=1,最小值是2B. 对称轴是直线x=1,最大值是2C. 对称轴是直线x=-1,最小值是2D. 对称轴是直线x=-1,最大值是2在同一个平面4. （2017菏泽）一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )第4题图5. (2017崇左)对于函数y =-2(x -m )2的图象，下列说法不正确的是() A. 开口向下 B. 对称轴是x=m C. 最大值为0 D. 与y 轴不相交6. （2017眉山）若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y =ax 2-ax ( ) A. 有最大值4a B. 有最大值-4a C. 有最小值4a D. 有最小值-4a 7. (2017杭州)设直线x =1是函数y =ax 2+bx +c (a,b,c 是实数，且a <0)的图象的对称轴( ) A. 若m >1，则(m -1)a +b >0 B. 若m >1，则(m -1)a +b <0 C. 若m <1，则(m +1)a +b >0 D. 若m <1，则(m +1)a +b <08. （2017攀枝花）二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则下列命题中正确的是( )第8题图A. a ＞b ＞cB. 一次函数y =ax +c 的图象不经过第四象限C. m (am +b )+b ＜a (m 是任意实数)D. 3b +2c ＞09. （2017泰安）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x =1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于4.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10. （2017荆门）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A. a <0,b <0,c >0 B. -2ba=1 C. a +b +c <0D. 关于x 的方程ax 2+bx +c =-1有两个不相等的实数根第10题图11. (2017湘西州)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)如图所示，则下列6个代数式：ac ,abc ,2a +b ,a +b +c ,4a -2b +c ,b 2-4ac ,其中值大于0的个数为（）第11题图A. 2B. 3C. 4D. 512. （2017天津）已知抛物线y =x 2-4x +3与x 轴相交于点A,B (点A 在点B 左侧)，顶点为M .平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A. y =x 2+2x +1B. y =x 2+2x -1C. y =x 2-2x +1D. y =x 2-2x -113. （2017乐山）已知二次函数y =x 2-2mx (m 为常数)，当-1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为-2，则m 的值是( )A.32B.C.32 D. -3214. （2017阿坝州）如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =1,与x 轴的一个交点坐标为（－1，0）,其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac ＜b 2;②方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1=-1，x 2＝3;③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x≤3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第14题图15. (2017上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，-1)，那么这个二次函数的解析式可以是.(只需写一个)16. （2017盐城盐都区一模）二次函数y=x2+6x+5图象的顶点坐标为.17. （2017衡阳）已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1y2(填“＜”、“＞”或“=”).18. (2017广州)当x=时，二次函数y=x2-2x+6有最小值.19. (2017青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.20. (2017兰州)如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为.第20题图21. （2017百色）经过A（4，0），B（-2，0），C（0，3）三点的抛物线的解析式是.22. （2017武汉）已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3，则a的取值范围是.23. （2017南京二模）已知二次函数y1=a(x-2)2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表：(1)求该二次函数的表达式；（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m,n1）,B(m+1,n2)，试比较n1与n2的大小.24. （2017北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x 轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC 交于点N(x3,y3).若x1＜x2＜x3,结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.25. (2017南京二模)已知二次函数y=-x2+2mx-2m2-3（m为常数）. （1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，试求m的值.26. （2017南通一模）已知二次函数y=-2x2+4x+6.（1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标;（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？（3）当x在什么范围内时，y≤6?27. (2017荆州)已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中k 为常数.(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根;(2)已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.28.（2017杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，-2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上,若m<n，求x0的取值范围.满分冲关1. (2017河北)如图，若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=k(x＞0)的图象是（）x第1题图2. （2017绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为( ) A. y=x2+8x+14 B. y=x2-8x+14C. y=x2+4x+3D. y=x2-4x+33. (2017来宾)已知函数y=|x2-4|的大致图象如图所示，如果方程|x2-4|=m(m为实数)有4个不相等的实数根，则m的取值范围是.第3题图4. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(-1，0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：第4题图①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点(4，y1)与点(-3，y2),则y1＞y2;,0);④无论a,b,c取何值，抛物线都经过同一个点(-ca⑤am2+bm+a≥0.其中所有正确的结论是.(m2+1)=0 5. （2017天门）已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+12有实数根.(1)求m的值；(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所(2)先作y=x2-(m+1)x+12作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2-4n的最大值和最小值.答案基础过关1. A 【解析】由抛物线顶点式为y ＝a (x －h )2＋k 可知抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标为(3，4)．2. B 【解析】∵M ＝－(x 2－4x ＋4)＝－(x －2)2，又∵(x －2)2≥0，∴M ≤0.3. B 【解析】由二次函数y ＝－(x －1)2＋2可知，对称轴为直线x ＝1，排除C 、D ，函数开口向下，有最大值，当x ＝1时，y 取最大值，为2.4. A 【解析】由图象可知a <0，b >0，c <0，结合选项可知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，对称轴在y 轴右侧，且交于y 轴的负半轴，故选A.5. D 【解析】逐项分析如下：6. B 【解析】∵一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，∴⎩⎨⎧==+001a a ，解得－1＜a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2－ax ＝a (x －12)2－14a ，又∵－1＜a ＜0，∴二次函数y ＝ax 2－ax 有最大值，且最大值为－14a .7. C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a ＝1，b ＝－2a ；①当m >1时，则m －1>0，∴(m －1)a ＋b ＝ma ＋a ＋b ＝ma －a －2a ＝a (m －3)，∵a <0，而m －3的正负性无法确定，∴a (m －3)的正负性无法确定，所以A ，B 错误；②当m <1时，则m －1<0，∴(m ＋1)a ＋b ＝ma ＋a ＋b ＝ma －a －2a ＝a (m －1)，∵a <0，m －1<0，∴a (m －1)>0，所以C 正确，D 错误．8. D 【解析】由题意知，抛物线对称轴为x ＝－b 2a ＝－1，即a ＝21b ，又∵a ＞0，∴a ＜b ，故A 错误；∵a ＞0，c ＜0，∴一次函数y ＝ax ＋c 的图象不经过第二象限，故B 错误；∵m (am ＋b )＋b ＝am 2＋bm ＋b ＝am 2＋2am ＋2a ＝a (m ＋1)2＋a 且a ＞0，∴a (m ＋1)2＋a 有最小值，最小值为a .∴m (am ＋b )＋b ≥a (m 为任意实数)，故C 错误；当x＝1时，y ＝a ＋b ＋c >0，∴12b ＋b ＋c >0，即3b ＋2c >0，故D 正确．9. B 【解析】逐序号分析如下：综上所述，正确结论的个数为2.【一题多解】根据题意，将点(0，1)，(1，3)，(3，1)代入抛物线得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=13931c b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===131-c b a ，则所求抛物线解析式为y ＝－x 2＋3x ＋1，则a ＜0，开口向下，①正确；对称轴为x ＝32≠1，②错误；由抛物线图象可知，当x ＜32时，y 随x 的增大而增大，则当x ＜1时，y 随x的增大而增大，③正确；解方程－x 2＋3x ＋1＝0得x 1＝3－132，x 2＝3＋132，∵3＜13＜4，∴3＋132＜3＋42＜4，④错误．10. D 【解析】二次函数开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与y 轴交于负半轴，所以a ＜0，b ＞0，c ＜0，故A 错误；对称轴为x ＝－b 2a ＞1，故B 错误；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，故C 错误；y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝－1有两个交点，故ax 2＋bx ＋c ＝－1有两个不相等的实数根，故D 正确．11. C 【解析】由抛物线的开口向上，可知a ＞0，由对称轴在0到1之间得0<－b 2a <1，∴b ＜0，－b ＜2a ，即2a ＋b ＞0，由抛物线图象知，当x ＝1时y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c ＞0，∴ac ＞0，abc ＜0，由图象可知，当x ＝－2时，y ＞0，即4a －2b ＋c ＞0，由抛物线与x 轴有两个不同的交点，得b 2－4ac >0.故这6个代数式中值大于0的有4个．12. A 【解析】∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴令y ＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)，∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴M (2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x 轴上，需将图象向上平移1个单位，要使B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，需向左平移3个单位，∴M ′(－1，0)，则平移后二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2，即y ＝x 2＋2x ＋1，故选A.13. D 【解析】因为二次函数的对称轴为x ＝m ，所以对称轴不确定，因此需要讨论研究的范围落在对称轴哪边，①当m ≥2时，此时－1≤x≤2落在对称轴的左边，当x ＝2时y 取得最小值－2，即－2＝22－2m ×2，解得m ＝32(舍)；②当－1<m <2时，此时在对称轴x ＝m 处取得最小值－2，即－2＝m 2－2m·m ，解得m ＝－2或m ＝2，又－1<m <2，故m ＝2；③当m ≤－1时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的右边，当x ＝－1时y 取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m ×(－1)，解得m ＝－32，综上所述，m ＝－32或 2.14. B 【解析】∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2－4ac >0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，而点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点的坐标为(3，0)，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3，所以②正确；∵x ＝－b 2a ＝1，即b ＝－2a ，而x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0，∴a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＝0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当－1<x <3时，y >0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴当x <1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．综上所述，结论正确的个数为3.15. y ＝x 2－1(答案不唯一) 【解析】二次函数的图像开口向上，∴a ＞0，顶点坐标为(0，－1)，可设这个二次函数为y ＝ax 2－1，解析式可以是y ＝x 2－1.16. (－3，－4) 【解析】∵y ＝x 2＋6x ＋5＝(x ＋3)2－4，∴抛物线顶点坐标为(－3，－4)．17. ＞ 【解析】∵y ＝－(x －1)2，∴当x ＞1时，y 随着x 的增大而减小，∵a ＞2＞1，∴y 1＞y 2.18. 1；5 【解析】公式法：当x ＝－b 2a ＝－－22×1＝1时，y ＝x 2－2x ＋6有最小值，为4ac －b 24a ＝4×1×6－（－2）24×1＝5. 【一题多解】配方法：∵y ＝x 2－2x ＋6＝( x 2－2x ＋1)＋5＝(x －1)2＋5，∴当x ＝1时，y ＝x 2－2x ＋6有最小值，最小值为5.19. m >9 【解析】∵抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，∴方程x 2－6x ＋m ＝0没有实数解，即b 2－4ac ＝(－6)2－4m <0，解得m >9.【一题多解】抛物线y ＝x 2－6x ＋m 化为顶点式得y ＝(x －3)2＋m －9，其开口向上，若抛物线与x 轴没有交点，则顶点在x 轴上方，即m－9>0，解得m >9.20. (－2，0) 【解析】∵抛物线上点P 和点Q 关于x ＝1对称，P (4，0)，可设Q (m ，0)，∴24 m ＝1，解得m ＝－2，∴Q (－2，0)． 21. y ＝－38(x －4)(x ＋2) 【解析】根据题意得，设抛物线解析式为y ＝a (x －4)(x ＋2)，把C (0，3)代入上式得，3＝a (0－4)(0＋2)，解得a＝－38，故抛物线解析式是y ＝－38(x －4)(x ＋2)．22. 13<a <12或－3<a <－2 【解析】令y ＝0，即ax 2＋(a 2－1)x －a ＝0，(ax －1)(x ＋a )＝0，∴关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的交点为(a 1，0)和(－a ，0)，即m ＝a1或m ＝－a .又∵2＜m ＜3，则13<a <12或－3<a <－2.23. 解：(1)从表格看，二次函数顶点为(2，1)，则k ＝1， 把(1，2)代入y 1＝a (x －2)2＋1中得：2＝a (1－2)2＋1，a ＝1， ∴二次函数的表达式为y 1＝(x －2)2＋1；(2)由题意得：y 2＝(x －2＋2)2＋1＝x 2＋1，把A (m ，n 1)、B(m ＋1，n 2)分别代入y 1、y 2的表达式中，n 1＝(m －2)2＋1＝m 2－4m ＋5，n 2＝(m ＋1)2＋1＝m 2＋2m ＋2，n 1－n 2＝(m 2－4m ＋5)－(m 2＋2m ＋2)＝－6m ＋3，当－6m ＋3>0时，m <12，当－6m ＋3<0时，m >12，∴当m <12时，n 1－n 2>0，即n 1>n 2，当m ＝12时，n 1－n 2＝0，即n 1＝n 2，当m >12时，n 1－n 2<0，即n 1<n 2.24. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，∴令y ＝0，则有x 2－4x ＋3＝(x －3)·(x －1)＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)．∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ，∴令x ＝0，得y ＝3，C (0，3).设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将B (3，0) ，C (0，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧==+303b b k ， 解得⎩⎨⎧==31-b k ， ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3；(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线对称轴为x＝2，顶点为(2，－1)．∵l⊥y轴，l交抛物线于点P、Q，交BC于点N，x1<x2<x3，∴－1<y1＝y2＝y3<0，点P、Q关于x＝2对称，∴－1<－x3＋3<0，221xx ＝2,∴3<x3<4, x1＋x2＝4，∴7<x1＋x2＋x3<8.25. (1)证明：令y＝0，即－x2＋2mx－2m2－3＝0，则a＝－1，b＝2m，c＝－2m2－3，∴b2－4ac＝(2m)2－4×(－1)×(－2m2－3)＝－4m2－12，∵－4m2≤0，∴－4m2－12<0，即b2－4ac<0，∴一元二次方程－x2＋2mx－2m2－3＝0没有实数根，∴不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；(2)解：将二次函数y＝－x2＋2mx－2m2－3配方得：y＝－(x－m)2－m2－3，∴该二次函数图象的顶点坐标为(m，－m2－3)，∵将函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，∴－m2－3＋4＝0，解得m＝±1.26. 解：(1)∵y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8，∴顶点坐标是(1，8)，令y＝0，则－2x2＋4x＋6＝0，解得x1＝－1，x2＝3；∴图象与x 轴的交点坐标是(－1，0)、(3，0)；(2)∵抛物线的对称轴为x ＝1，图象开口向下，∴当x ≤1时，y 随x 的增大而增大；(3)令y ＝－2x 2＋4x ＋6＝6，解得x ＝0或x ＝2，∵抛物线的图象开口向下，∴当x ≤0或x ≥2时y ≤6.27. (1)证明：∵a ＝1，b ＝k －5，c ＝1－k ，∴b 2－4ac ＝(k －5)2－4(1－k )＝k 2－6k ＋21，∵k 2－6k ＋21＝(k －3)2＋12，其中(k －3)2≥0，∴b 2－4ac ＝(k －3)2＋12>0，∴无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)解：∵二次函数图象不经过第三象限，∴对称轴x ＝2-5k >0，且不与y 轴负半轴相交，即1－k ≥0， 联立⎪⎩⎪⎨⎧≥>0-102-5k k ，解得k≤1；(3)依题意得，对于y ＝x 2＋(k －5)x ＋1－k ，∵该抛物线图象开口向上，∴当x ＝3时，y <0，∴y ＝32＋3(k －5)＋1－k <0，即2k －5<0，k <52，∴k 的最大整数取2.28. 解：(1)∵函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的图象经过点(1，－2)， ∴把x ＝1，y ＝－2代入y 1＝(x ＋a )(x －a －1)得，－2＝(1＋a )(－a )， 化简得，a 2＋a －2＝0，解得a 1＝－2，a 2＝1，∴y 1＝x 2－x －2；(2)函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的图象在x 轴的交点为(－a ，0)，(a ＋1，0)，①当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(－a ，0)时，把x ＝－a ，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中，得a 2＝b ；②当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(a ＋1，0)时，把x ＝a ＋1，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中，得a 2＋a ＝－b ；∴实数a ，b 满足的关系式是a 2＝b 或a 2＋a ＝－b;(3)∵抛物线y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴是直线x ＝21-++a a ＝12，m<n ，∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大， ∵m<n ，∴点Q 离对称轴x ＝12的距离比P 离对称轴x ＝12的距离大，∴|x 0－12|<1－12，∴0<x0<1.满分冲关1. D【解析】在抛物线y＝－x2＋3中，令y＝0，解得x＝±3，令x＝0，则y＝3，∴抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内的整点有：(－1，1)，(1，1)，(0，1)，(0，2)，共4个，∴k＝4，∴反比例函数4，其图象经过点(1，4)，(2，2)，(4，1)，∴符合的图解析式为y＝x象如选项D.2. A【解析】由于矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2，1)，则C(－2，－1)，要使A点与C点重合，抛物线移动路径为先向下移动2个单位长度，再向左移动4个单位长度，∵原抛物线为y＝x2，∴后来的抛物线解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.3. 0<m<4【解析】∵当x＝0时，y＝|x2－4|＝4，得图象与y轴交点坐标为(0，4)，∴如解图，直线y＝4与y＝|x2－4|的图象有三个交点，∴当0<m<4时，有4个交点，即方程有4个不相等的实数根，故m的取值范围为0<m<4.第3题解图4. ②④⑤【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x ＝1，∴b＜0，∵抛物线图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)，且对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴当x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，又∵a＞0，∴10a＋3b＋c＞0，故②正确；根据抛物线的对称性可知，x ＝－2与x ＝4时y 值相同，∵抛物线开口向上，∴当x 在对称轴左侧时，y 随x 的增大而减小，且－3＜－2，∴y 1<y 2，故③错误；抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，∵抛物线对称轴为x ＝－b 2a ＝1，∴b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，即c ＝－3a ，当x ＝－c a 时，y ＝a ·(－c a )2－2a ·(－c a )＋c ＝c 2a ＋3c ＝（－3a ）2a＋3×(－3a )＝0，故④正确；∵b ＝－2a ，∴am 2＋bm ＋a ＝am 2－2am ＋a ＝a (m －1)2，∵a ＞0，(m －1)2≥0，∴am 2＋bm ＋a ≥0，故⑤正确．故正确的结论是②④⑤.5. 解：(1)∵方程有实数根，∴[－(m ＋1)]2－4×12(m 2＋1)≥0，化简得(m －1)2≤0，∴m －1＝0，∴m ＝1；(2)由(1)可知，y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，关于x 轴对称后的函数解析式为y ＝－(x －1)2，再向左平移3个单位，向上平移2个单位，得函数解析式为y ＝－(x －1＋3)2＋2，化简得y ＝－x 2－4x －2，∴变化后的函数解析式为y ＝－x 2－4x －2；(3)∵直线y ＝2x ＋n 与y ＝－x 2－4x －2有交点，令2x ＋n ＝－x 2－4x －2，化简后得x 2＋6x ＋n ＋2＝0，∴b2－4ac＝62－4×1×(n＋2)≥0，解得n≤7，∵n≥m，m＝1，∴n≥1，∴1≤n≤7，令t＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴当n＝2时，抛物线取得最小值，∴t min＝－4；∵抛物线的对称轴为n＝2，图象开口向上，∴当n＝7时，抛物线取得最大值，∴t max＝72－4×7＝21，∴n2－4n的最大值为21，最小值为－4.。
中考数学总复习课时训练(专题(13)二次函数的图象与性质(一)附详细解析参考答案
课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。
二次函数图像和性质习题精选
二次函数图像和性质习题精选一．选择题（共30小题）1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）4．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）5．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x 与y的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的个数为（ ）6．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） B ． 对称轴是直线x=C ． 当x ＜，y 随x 的增大而减小D ．7．如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x 2+bx+c 的顶点，则方程x 2+bx+c=1的解的个数是（ ） 8．已知二次函数y=a （x ﹣h ）2+k（a ＞0），其图象过点A （0，2），B （8，3），则h 的值可以是（ ）9．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：则该函数图象的顶点坐标为（）10．已知二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）11．如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）12．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）13．如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）14．已知二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）15．二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）16．如图，抛物线y=ax2+bx+c （a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c 的值为（）17．下列图中阴影部分的面积相等的是（）18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a ＜0）的部分图象如图所示，当y ＞0时，x的取值范围是（）19．已知：二次函数y=x2﹣4x ﹣a，下列说法错误的是（）20．下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（ A ）21．已知二次函数y=ax2+bx+c 的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）22．已知二次函数y1=ax2+bx+c （a≠0）与一次函数y2=kx+m （k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）23．在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y 1有最大值1、没有最小值； ②y 1有最大值1、最小值﹣3； ③函数值y 1随x 的增大而增大； ④方程ax 2+bx+c=2无解； ⑤若y 2=2x+4，则y 1≤y 2． 其中正确的个数是（ ）24．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）25．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB 与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）27．已知二次函数y=x2+2（a ﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）28．如图，平行于y轴的直线l 被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为）平方单位．（29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．30．如图，已知抛物线，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②使得M 大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）。
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二次函数的图象和性质同步练习
1、对于抛物线22
=-的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同．其中
y x
=+和2
y x
正确的有（）
A．0个B．1个C． 2个D．3个
2、下列关于抛物线221
=++的说法中，正确的是（）
y x x
A．开口向下B．对称轴是直线x=1
C．与x轴有两个交点D．顶点坐标是(-1，0)
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，a，b，c的取值范围（）
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c<0
C．a>0，b>0，c<0 D．a>0，b<0，c<0
4、与抛物线224
=--关于y轴对称的图象表示的函数关系式是（）
y x x
A．224
=++
y x x
y x x
=-++B．224
C．224
=-+
y x x
y x x
=+-D．224
5、若抛物线2
=-++-的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______．
y m x m x m
(1)221
6、对于抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠，当顶点纵坐标等于_________时，顶点在x轴上，此时抛物线与x 轴只有一个公共点，而a≠0，所以，抛物线与x轴只有一个公共点的条件是_________．
7、若抛物线22
y x x m
=++与x轴只有一公共点，则m=_________．
8、函数243
=+-的图象开口向_________，顶点坐标为__________
y x x
9、二次函数22
=+的图象开口_____，对称轴是________，顶点坐标是_______．
y x
10、抛物线2
=+-与x轴交点个数为________．
y x x
23
11、二次函数2
=-的图象向右平移3个单位，在向上平移1个单位，得到的图象的关系式是____．
y x
(3)
12、抛物线2
=-+-的顶点坐标为_________，对称轴为________．
y x x
261
13、已知二次函数2
y ax
=的图象经过点A(-1，1)
①求这个二次函数的关系式；
②求当x=2时的函数y的值．
14、若抛物线2221y x m x m m =-+++的顶点在第二象限，则常数m 的取值范围是（ ）
A ．12m m <->或
B ．12m -<<
C ．10m -<<
D ．1m >
15、 如右图，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞3
B ．x ＜3
C ．x ＞1
D ．x ＜1
16、 二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．1 17、抛物线24y x =-与x 轴交于B 、C 两点，顶点为A ，求△ABC 的面积。
18、若抛物线21y a x =，22y a x =的形状相同，那么（ ）
A ．12a a =
B ．12a a =-
C ．|a 1|=|a 2|
D ．a 1与a 2的关系无法确定
19、与抛物线242y x x =--关于x 轴对称的图象表示为（ ）
A ．242y x x =++
B ．242y x x =+-
C ．242y x x =-+
D ．242y ax x =-- 20、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，关于x 轴对称的图象的关系式是_______________．
21、 把抛物线22y x =向右平移一个单位，在向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是_________．
22、若点(2，-1)在抛物线2y ax =上，那么，当x =2时，y =_________
23、若抛物线2y ax bx c =++全部在x 轴的下方，那么a _________0，同时，b 2-4ac _________0．
24、抛物线22y x =和2
3y x =-中开口较大的是__________．
25、已知抛物线213y x =，另一条抛物线y 2的顶点为（2，5），且形状、大小与y 1相同，开口方向相反，则抛物线y 2的关系式为______________．。