8.2 正项级数敛散性的判别
8.2正项级数敛散性的判别
∞
证 ： ≤1 级 发 ； >1 级 收 。 明 p 时 数 散 p 时 数 敛 ∞ 1 解: (1) p = 1时, 调和级数 ∑ 发散 . n =1 n ∞ ∞ 1 1 1 ( 2) p < 1时， ≤ p Q ∑ 发散，∴ ∑ 1 发散. 发散， p n n n =1 n n =1 n ( 3) p > 1时， 方向：证原级数 某一收敛级数 方向：证原级数<某一收敛级数 ∞ 1 1 1 1 1 1 1 ∑ np = 1 + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p + 7p +L n =1 1 1 1 1 1 1 < 1 + ( p + p ) + ( p + p + p + p ) + L 几何级数 2 2 4 4 34 4 2 n ∞ 1 1 1 1 收敛！ < 1 + p −1 + p−1 + p −1 + L = ∑ p−1 收敛！ 2 n=0 2 2 2 +∞ 1 此 论 广 积 ∫ dx的 散 相 。 敛 性 同 ∴ 原级数收敛。 结 与 义 分 原级数收敛。 p 1 x
的敛散性。 例2.判定∑ 2 sin n的敛散性。 3 n =1 解: 由于当 x > 0时， < sin x < x 0 n π 2 n n π 故0 < 2 sin n < 2 n = π ( n = 1,2L) 3 3 n 3 ∞ 2 2 Q ∑ π 为公比是 的几何级数， 收敛 的几何级数， n =1 3 ∞3 π n ∴由比较判别法知 ∑ 2 sin n收敛。 收敛。 3 n =1
高数二 8.2数项级数的审敛性
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
b.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un
un1
(n
1,2,3,)
;(ⅱ)lim n
un
0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn 的绝对值
rn un1.
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 , 又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
审敛法
2、正项级数及其审敛法
(1).定义如: 果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
(2).正项级数收敛的充要条件s:1 s2 sn
部分和数列{sn }为单调增加数列.
定理
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
(3).比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
第2节正项级数敛散性的判别
n1
2 3
n
,
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
综上所述,当 0 < x < a 时, 原级数收敛; 当 x a 时, 原级数发散.
n
an 1 a2n
lim a n n 1 a2n
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
1,
故 a 0 且 a 1时, 原级数收敛.
例8
判别
n1
x a
n
的敛散性.
(
x
>
0,
a
>
0
为常数)
解
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
第二节 正项级数敛散性的判别
v n n
u n n
由(2)即得结论.
12
例8.9 判别下列级数的敛散性
1 n2
(1).
n1
1
n3
解
由于 1 n2 1 n3
~
1 (n ), n
选
1作为参照级数，且
n1 n
1 n2
lim 1 n3 n 1
n n3
lim
n
1
n3
1
n
又调和级数
lim 2( n )n n n 1
lim 2( 1 n 1 1
)n
2 e
1
n
由比值判别法知，级数
n1
2n n
n
n
!收敛.
根据收敛的必要条件可知
lim
n
2n n nn
!
0
23
定理7（Cauchy根值判别法）:
设
un 是正项级数,
如果 limn n
un
则Tn无上界. 由定理 2知 vn发散.
n1
3
定理4 设 un和vn均为正项级数， 如果存在常数 c 0
n1
n1
和自然数 N ,当n N时满足un cvn ，则：
则 (1) 若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
(2) 若 un 发散，则 vn 发散.
6n n!
lim n 1 n 6
由定理 6知，级数
n!发散.
6n
n1
18
例8.11 判别下列级数的敛散性
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。
正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。
在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。
这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。
我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。
对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。
本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。
希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。
1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。
正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。
正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。
深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。
1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。
关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。
在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。
目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。
这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。
8.2数项级数敛散性判定(一)
(上界)
正项级数 un收敛
它的部分和数列 Sn有界.
n1
否则,
若数列
Sn
无界, 则
lim
n
Sn
,
从而
正项级数 un发散, 记为 un .
n1
n1
二、正项级数的敛散性判别法
正项级数敛散性的判别法较多， 只介绍几个最基本、
最常用的判别法。
定理(比较判别法1) 设 un和 vn均为正项级数，
且 un
vn(n
1, 2,
),
n1
n1
(1)若 vn 收敛,则 un 收敛； （大敛则小敛）
n1
n1
(2)若 un 发散，则 vn 发散. （小散则大散）
证明
n1
(1) 设 Sn
n
n1
uk , Tn
n
vk , un vn ,
且 Sn u1
第二节
数项级数 敛散性判别法
一、比较判别法
第七章 无穷级数
二、比值判别法
三、根值判别法
四、绝对收敛与条件收敛
复习
（一）数项级数的基本概念
un u1 u2 u3 un
n1
前n项部分和Sn u1 u2 un , 部分和数列 Sn
（二）级数的基本性质
23
n
1 (1)n1
1 01 0
均为正项级数
...
n1
2
一、正项级数及其敛散性
由正项级数的定义,可得正项级数的性质
性质 如果正项级数 un的部分和为 Sn , 则 n1
关于矩阵幂级数敛散性的几个简易判别法
关于矩阵幂级数敛散性的几个简易判别法判定正项级数的敛散性：1．先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）。
若不趋于零,则级数发散；如果趋于零，则考虑其它方法。
2．再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数。
3．用比值判别法或根值判别法进行判别。
4．再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等。
判定交错级数的敛散性：5．利用莱布尼茨判别法进行分析判定。
6．利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定。
7．一般情况下，若级数发散，级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散。
8．有时可把级数通项拆分成两个，利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定。
求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域：9．若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由或求出，进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域。
10．对于缺项幂级数或x的函数的幂级数，可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数，再求收敛半径。
求幂级数的和函数与数项级数的和：11．求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式，再求和。
12．求数项级数的和，可利用定义求出部分和，再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值。
将函数展开为傅里叶级数：13．将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数，这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算，然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。
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1 1 0 (n ) un n n n
n n
故级数收敛.
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【说明】 （1）根值法条件同样是充分条件，不必要. （2）根值法常用于一般项un中含有指数为n 次幂的级数的判别. （3）比值法较根值法更常用.
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习题
• • • • 例8.6 例8.7（2） 例8.8（2） 例8.9
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3.【定理8.3】比较判别法
设 un和 vn均为正项级数， 且 un vn ( n 1, 2,)
n 1 n 1
则
(1)若
vn 收敛，必有 un n 1 n 1 un 发散，必有 vn n 1 n 1
收敛.
(2)若
发散.
(2)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
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【推论8.1】若
un 收敛(发散). 且 n 1
n1
vn kun ( n N , k 0)（或 vn kun）
则 vn 收敛 (发散).
比较判别法的不便: 须有参考级数（比较对象）.
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【例 1】 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n
np n 【解】 设 p 1,
1 1 , p n n
y
P—级数发散
n dx 1 n1 p 设 p 1, 由图可知 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n
y
1 ( p 1) xp
1 1
2
n dx dx n1 p p x x
un un 与 v n 都是正项级数 , l, 设 如果 lim n v n 1 n 1 n
则(1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 ［同敛散］ (2) 当 l 0 时，若
vn 收敛 ,则 un 收敛 n 1
n 1
［同敛］
(3) 当 l 时 , 若
则 (1) 1 时 级数收敛 ;(2) 1 时 级数发 散; (3) 1时失效.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
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【两点注意】 un1 1 时,级数可能收敛也可能发散. 1.当 lim n u n 1 1 【例】 级数 发散 , 级数 2 收敛 , ( 1) n 1 n n 1 n
vn 发散 ,则 un 发散 ［同散］ n 1 n 1
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5.推论
1 对正项级数 特别取 vn p , un , 可得如下结论 : n 0 l un 发散 lim n p un l n p 1 ,0 l un 收敛
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o
1
2
3
4
x
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1
n 1
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛 .
当p 1时, 收敛 【结论】 P 级数 当p 1时, 发散
［重要参考级数］ 几何级数, P — 级数, 调和级数. 若存在 N Z , 对一切 n N ,
1 (1) sin ; n n 1
1 (3) lim n ln 1 2 n n
2
1 lim n 2 1 n n
2
1 根据极限形式的比较判别法知 ln 1 2 收敛 . n n 1
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若将正项级数与等比级数比较，则得到两个实用中很方 便的比值判别法和根值判别法. 6.【定理4】比值判别法 (达朗贝尔判别法)： un1 ( 为数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n n 1
1 故级数 收敛 . n1 2n ( 2n 1)
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［补例］ 讨论级数
【解】
的敛散性 .
n un1 ( n 1) x lim lim x n 1 n n u nx n
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当 x 1时, 级数发散 ;
n! 故级数 n 发散 . n 1 10 un1 ( 2n 1) 2n lim ( 3 ) lim 1, n u n ( 2n 1) ( 2n 2) n
比值判别法失效, 改用比较判别法
1 1 2, ( 2n 1) 2n n
1 级数 2 收敛 , n 1 n
当 x 1时,
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7.根值判别法【定理 8.6】
(柯西判别法)：
设正项级数 un ,若 lim n un (为数或 ) ,
n 1
n
则 (1) 1 时级数收敛; (2) 1 时级数发散;
(3) 1时失效.
1 【例如】 设级数 n , n 1 n
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【例 3】 判定下列级数的敛散性:
1 1 (2) n ； ( 3) ln 1 2 n n 1 n 1 3 n 1 sin 1 【解】 (1) lim n sin lim n 1, 原级数发散. n n 1 n n 1 n 1 3 n lim 1 1, n收敛 , 故原级数收敛 ( 2 ) lim n n n 1 n 1 3 1 n n 3 3
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【例 2】 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
2 因为 n( n 1) ( n 1) 【证明】
1 n ( n 1)
而级数
1 ( n 1)2 1 发散 k 2 k
所给级数发散 .
根据比较审敛法可知,
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4.【定理8.4】极限形式的比较判别法
n! (2) n ; n 1 10
1 (3) . n 1 ( 2n 1) 2n
un1 【解】 (1) un
1 1 ( n 1)! 0 ( n ), 1 n1 n!
1 故级数 收敛 . n1 n!
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n1 un1 ( n 1)! 10n ( 2) ( n ), n 1 10 un n! 10
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四、小结
常数项级数审敛
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性(定义) 2. 利用正项级数审敛法 3. 任意项级数审敛法 绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法:
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［机动题］
判别级数的敛散性:
不是 p–级数
【解】 (1)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
8.2 正项级数敛散性的判别
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结 思考题
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一、正项级数及其审敛法
1.【定义】 若 un 0 , 则称 2.正项级数收敛的充要条件: 【定理8.2】 正项级数 收敛
un 为正项级数 . n 1
部分和数列 有上界 .
事实上，对P—级数，
un1 lim lim n u n n
但
1
( n 1) p 1 1 p n
p 1 , 级数收敛 ; p 1 , 级数发散 .
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2.比值审敛法的条件是充分的，而非必要(逆命题不成立)
【例 4】 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!