任意角定义和同角关系
任意角的三角函数的符号
（2）此关系式是对于同角而言的．
2 如： sin cos 1, 2 2
2
sin 3 tan 3 cos3
（3）注意某些变式的运用． 2 2 2 2 1 如： sin cos , sin 1 cos ,
思考： 请计算
sin cos
2 2
的值．
由三角函数定义我们可以看到：
y x y2 x2 r 2 2 2 sin cos 2 1 2 r r r r
2
2
同角三角函数关系式的推导 ？
当 思考： k 且 k
2
k Ζ 时sin 、 cos
及 tan 之间有什么关系？
y y r sin tan x x cos r
同角三角函数的基本关系式
(1) sin cos 1 （平方关系） sin (2) tan （商数关系） cos
2 2
几点说明：
y sin a r
y
x a cos r
y
( )
y a tan x
y
( )
(+ ) ( )
（+ ）
( )
-
(+ )
-
(+ )
-
-
x
( )
x
x
(+ ) ( )
-
(+ )
-
符号口诀：
y
（一全正 二正弦 三正切 四余弦）
正 弦 正 切
全 正 余 弦
x
（二）同角三角函数关系式的推导
？
y tan x
第5章 三角函数与解三角形公式
三角函数与解三角形公式总结【预备知识点】一、任意角与弧度制（一）任意角1.任意角的概念：规定一条射线绕其端点任意方向旋转所形成的角。
2.任意角的分类：（1）正角：规定一条射线绕其端点逆时针方向旋转所形成的角。
（2）负角：规定一条射线绕其端点顺时针方向旋转所形成的角。
（3）零角：规定一条射线绕其端点无任意方向旋转所形成的角，始边与终边重合的角。
口诀：正逆负顺零重合3.相等角、相反角与角的运算（1）相等角：旋转方向相同且旋转量相等。
（2）相反角：旋转方向相反且旋转量相等。
（3）角的运算：线性加减运算与数乘运算。
4.常见误区：（1）锐角是第一象限角，但是第一象限角不一定是锐角，因为有周期。
例如420°。
（2）钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角，因为有周期。
例如495°。
（3）直角不是任意象限角，属于y轴的特殊角。
（4）平角、周角属于轴线角，它不属于任何一个象限角。
（二）弧度制1.弧长公式及其意义（1）弧长公式：l=nπr180⟺lr=n∗π180=|α|⟺l=|α|r（2）弧长公式的意义：（i）圆心角α所对的弧长与半径r的比值，只与α大小有关。
（ii）弧长长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用rad表示，读作弧度。
其中rad可省略。
（3）一般地，正角的弧度数是正数，零角的弧度数是0，负角的弧度数是一个负数。
2.角度制与弧度制的互换依据：180°=π rad{1°=π180rad≈0.01745 rad 1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′（三）常见的角度制与弧度制互换表示二、三角函数常用特殊值【大重点，熟练背诵】【必考知识点】一、三角函数概念（1）定义式【熟记理解】（2）同角三角函数的基本关系【大重点题型：化弦为切经常用到，结合诱导公式与恒等变换】（i）平方关系【重点记第一个】sin2x+cos2x=11+cot2x=csc2x1+tan2x=sec2x（ii）商数关系【重点记第一个】tanx=sinx cosxcotx=cosx sinx（iii）倒数关系tanx∗cotx=1sinx∗cscx=1cosx∗secx=1（3）三角函数在各象限的符号【大重点并背诵】二、诱导公式【大重点，以下表格全背】诱导公式的基本思路【以第1组~第4组为例】：（1）首先，任意负角的三角函数转化成任意正角的三角函数【用公式3或1】（2）其次，任意正角的三角函数转化成0∼2π的三角函数【用公式1】（3）最后，0∼2π的三角函数转化成锐角三角函数【用公式2或4】三、三角恒等变换【大重点，所有公式都要背】1.两角和与差的正弦、余弦、正切Cα−β:cos(α−β)=cosα∗cosβ+sinα∗sinβCα+β:cos(α+β)=cosα∗cosβ−sinα∗sinβSα−β:sin(α−β)=sinα∗cosβ−cosα∗sinβSα+β:sin(α+β)=sinα∗cosβ+cosα∗sinβTα−β:tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα∗tanβTα+β:tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα∗tanβ扩展：三角和公式Cα+β+γ:cos(α+β+γ)=cosα∗cosβ∗cosγ−cosα∗sinβ∗sinγ−sinα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗cosγSα+β+γ:sin(α+β+γ)=sinα∗cosβ∗cosγ+cosα∗sinβ∗cosγ+cosα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗sinγTα+β+γ:tan(α+β+γ)=tanα+tanβ+tanγ−tanα∗tanβ∗tanγ1−tanα∗tanβ−tanα∗tanγ−tanβ∗tanγ2.二倍角的正弦、余弦、正切C2α: cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1; cos2α=1+cos2α2,sin2α=1−cos2α2S2α: sin2α=2sinα∗cosαT2α: tan2α=2tanα1−tan2α扩展1：半角公式Cα2: cosα2=±√1+cosα2Sα2: sinα2=±√1−cosα2Tα2: tanα2=sinα1+cosα=1−cosαsinα=±√1−cosα1+cosα注意：正负由α2所在的象限决定！其中Cα: cosα=cos2α2−sin2α2=1−2sin2α2=2cos2α2−1=1−tan2α21+tan2α2Sα: sinα=2sin α2∗cosα2=2∗tanα21+tan2α2Tα:tanα=2∗tanα2 1−tan2α2扩展2：三倍角公式S3α: sin3α=3sinα−4sin3α=4sinα∗sin(π3−α)∗sin(π3+α)C3α: cos3α=4cos3α−3cosα=4cosα∗cos(π3−α)∗cos(π3+α)T3α: tan3α=3tanα−tan3α1−3tan3α=tanα∗tan(π3−α)∗tan(π3+α)扩展3：四倍角公式S4α: sin4α=−4∗[cosα∗sinα∗(2sin2α−1)]C4α: cos4α=1−8∗cos2α∗sin2αT4α: tan4α=4tanα−4tan3α1−6tan2α+tan4α扩展4：五倍角公式S5α: sin5α=16sin5α−20sin3α+5sinαC5α: cos5α=16cos5α−20cos3α+5cosαT5α: tan5α=5−10tan2α+tan4α1−10tan2α+5tan4α3.和差化积公式sin α+sin β=2sin α+β2∗cosα−β2sin α−sin β=2cos α+β2∗sinα−β2cos α+cos β=2cos α+β2∗cosα−β2cos α−cos β=−2sin α+β2∗sinα−β2tan α+tan β=sin(α+β) cosα∗cosβtan α−tan β=sin(α−β) cosα∗cosβcot α+cot β=sin(α+β) sinα∗sinβcot α−cot β=−sin(α−β) sinα∗sinβtan α+cot β=cos(α−β) cosα∗sinβtan α−cot β=−cos(α+β) cosα∗sinβsin2α−sin2β=sin(α+β)∗sin(α−β)cos2α−cos2β=−sin(α+β)∗sin(α−β)sin2α−cos2β=−cos(α+β)∗cos(α−β)cos2α−sin2β=cos(α+β)∗cos(α−β)记忆口诀：同名和差三角积，（sin α±sin β或cos α±cos β：等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------⎧⎪⎨⎪⎩正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.角α（弧度）(,)∈-∞+∞.（2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等） （3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则lrα=（弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{}2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略（5）两制互化：一周角=036022rrππ==（弧度），即0180π=. 1（弧度）00018057.35718π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180π=两个换算单位即可：如：005518015066π=⨯=；036361805ππ=⨯=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈， 扇形面积公式：21122S lr r α==. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有11=22S lr =底高，如图4-1所示.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点O ），则P到原点O的距离0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r xααα===.此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y ↔，邻x ↔，斜r ↔， 如图4-2所示.2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例.角α的终边交单位圆于P ，PM 垂直x 轴于M ， α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT 于T ，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sin α=MP>0, cos α=OM<0, tan α=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中1r ==，则：（1）sin yy rα==，即α终边与单位圆交点的纵坐标y 即为α的正弦值sin α. 如图4-4（a ）所示，sin α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩上正、下负；上（90），下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到 （2）cos xx rα==，即α终边与单位圆交点的横坐标x 即为的余弦值cos α. 如图4-4（b ）所示，cos α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩右正、左负；右（0），左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到 （3）tan yxα=.如图4-4（c ）所示，tan α的特征为： 0.⎧⎪⎨⎪⎩一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；逆时针方向旋转，各象限全增三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα=2. 诱导公式（1）sin ()sin()sin ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数cos ()cos()cos ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数tan()tan ()n n απα+=为整数.（2）奇偶性.()()()sin -=-sin cos -=cos tan -=-tan αααααα，，.（3）1sin -=cos cos -=sin tan -=222tan πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭,因为+22ππαπ<<，所以sin +>02πα⎛⎫⎪⎝⎭，即sin +=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭， （2）()sin +πα，因为3+2ππαπ<<，所以()sin +<0πα，即()sin +=-cos παα， 简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.题型归纳及思路提示题型1终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（ ） A. {},k k Zααπ=∈ B. ,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C. ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k N παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭分析 表示终边相同的角的集合，必有k Z ∈，而不是k N ∈.解析 解法 一：排除法.终边在坐标轴上的角有4种可能，x 轴正、负半轴，y 轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k =可知只有选项B占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.终边在坐标轴上的角的集合为3113",2,,,,0,,,,2,",2222ππππππππ----可以看作双向等差数列，公差为2π，取初始角0α=，故0()2k k Z πα=+∈，故0()2k k Z πα=+∈⇒,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭故选B. 评注 终边在x 轴的角的集合，公差为π，取初始角0α=⇒{},k k Z ααπ=∈；终边在y 轴的角的集合，公差为π，取初始角2πα=⇒,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析 本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.解析 （1）如图4-5（a ）所示阴影部分的角的集合表示为22,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）如图4-5（b ）所示阴影部分的角的集合表示为222,63k k k N ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （3）如图4-5（c ）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； （4）如图4-5（d ）所示阴影部分的角的集合表示为,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 评注 任一角α与其终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2π，即集合的周期概念，是解决本题的关键.变式1设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ⊆N B ． N ⊆M C ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅例4.3 下列命题中正确的是（ ）A. 第一象限角是锐角B. 第二象限角是钝角C.()0,απ∈，是第一、二象限角D. ,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，α是第四象限角，也叫负锐角 解析 第一象限角的集合为022,2k k k Z παπαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，锐角的集合是是其真子集（即当0k =时）故选项A 错；同理选项B 错；选项C 中(0,)2ππ∈，但2π不是象限角，选项C 也错，故选D. 题型2 等分角的象限问题 思路提示先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示. 例4.4 α 是第二象限角，2α是第 象限角解析 解法一：α与终边相同的角的集合公差为2π，该集合中每个月的一半组成的集合公差为π，取第二象限的一个初始集合,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α的初始集合,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，对比集合以π公差旋转得2α的分布，如图4-6所示，得2α是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，α是第二象限角，2α是第一、三象限角，又若α是第四象限角，2α是第二、四象限角.解法三：取α=0120，000012036060,2402α+⇒=，即2α是第一、三象限角.评注 对于2α是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出2α的分布. 对于3α是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“nα是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n 部分，并从x 轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（α终边所在象限）所在象限即为nα终边所在象限.例如：3α的象限分布图示如图4-8所示，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角.变式1 若α是第二象限角，则3α是第 象限角；若α是第二象限角，则3α的取值范围是 题型3 弧长与扇形面积公式的计算 思路提示（1） 熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2） 掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小. 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α（弧度），扇形面积S.依题意0024r l r l >⎧⎪>⎨⎪+=⎩，12S lr =，则12S lr =11(42)(42)224r r r r =-=-32π 2π4π O yx 54π 图 4-62 3 1 4 x 4 13 2 y图 4-7O21422()142r r -+≤=，（当且仅当422r r -=时，即1r =时取“=”，此时2l =）故扇形的面积最大值为1，此时lrα==2（弧度）.评注本题亦可解作21112212442l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22l r ==，即2l =，1r =时“=”成立，此时lr α==2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，2C l r =+≥且112lr =得2lr =，故4C ≥（当且仅当22l r ==时“=”成立），扇形周长的最小值为4.变式1 扇形OAB 的圆心角∠OAB=1（弧度），则AB =（） A. 1sin2 B. 6π C. 11sin 2D. 21sin 2变式2 扇形OAB ，其圆心角∠OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为 题型4 三角函数定义题 思路提示（1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2） 诱导公式；（3） 理解并掌握同角三角函数基本关系.例4.6 角α终边上一点(2sin 5,2cos5)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ） A. 52π-B. 35π-C. 5D.5+2π 解析 解法一：排队法. 005557.3286.5≈⨯=，是第四象限角，2sin50x =<，2cos50y =-<，2r ==，α是第三象限角.选项C 中，5是第四象限角，选项D 中，5+2π是第一象限角，故排除C 、D ；选项B 中， ()cos cos 35cos5απ=-=-，与cos sin 5xrα==矛盾，排除B ，故选A.解法二：推演法.由解法一，35,2πθαπθ'=+=+，,(0,)2πθθ'∈（这样设的原因是cos sin5α=），cos cos()απθ'=+=cos θ'-，3sin 5sin()cos 2πθθ=+=-⇒cos cos θθ'-=-⇒cos cos θθ'=，,(0,)2πθθ'∈⇒352πθθ'==-， ⇒35522ππαπ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选A.变式1 已知角α终边上一点(2sin 2,2cos 2)P -，(0,2)απ∈，则α=（ ）A.2B.-2C.22π-D. 22π- 变式2 已知角α终边上一点22(2sin ,2cos )77P ππ-，则α=变式3 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A. 45-B. 35-C. 35D. 45题型5 三角函数线及其应用 思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线 一，利用三角函数线证明三角公式 例4.7 证明（1）()sin -=sin παα， （2）sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）31tan =-2tan παα⎛⎫+⎪⎝⎭解析 （1）如图4-9所示，角-πα与α的终边关于y 轴对称，MP MP '=⇒()sin -=sin παα. （2）如图4-10所示，角-2πα与α的终边关于直线y x =对称.OM M P ''=⇒sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3） 如图4-11所示，.2311tan =k =--2tan tan OT πααα⎛⎫+=⎪⎝⎭评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在(),,2ππααα±-±.在（1）证明中易得()cos -=-cos παα，，相除得()tan -=-tan παα，，在（2）证明 中易得cos -=sin 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，相除得1tan =2tan παα⎛⎫-⎪⎝⎭.角α与-πα的终边关于终边（即y 轴）对称，角-2πα与α的终边关于终边所在的直线y x =轴对称.一般地，角α,β的终边关于终边所在直线2αβ+轴对称二.利用三角函数线比较大小 例4.8 ,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小. 解析 如图4-12所示，,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，在单位圆中作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，显然有OM<MP<A T,故cos sin tan ααα<<.评注 由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题变式1 求证：（1）当角α的终边靠近y 轴时，cos sin αα<及tan 1α>； （2）当角α的终边靠近x 轴时，cos sin αα>及tan 1α<；变式2 （1）α为任意角，求证：cos sin 1αα+>； （2）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小 变式3 比较大小 （1）sin 2,sin 4,sin 6 （2）cos 2,cos 4,cos6（3）tan 2,tan 4,tan 6 变式4 1sin tan ()tan 22ππαααα>>-<< ，则α∈（） A. ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、利用三角函数线求解特殊三角方程例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程： （1）1sin 22x =；（2）2cos 22x =；（3）tan 23x =.解析 （1）在单位圆中作为正弦为12的正弦线，如图4-13所示，得正弦为12的两条终边，即16πα=，256πα=，故226x k ππ=+或5226x k ππ=+，k Z ∈. 解得12x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈.（2）如图4-14所示14πα=，24πα=-，故224x k ππ=+或224x k ππ=-+，k Z ∈，解得8x k ππ=+或8x k ππ=-+，k Z ∈.（3）如图4-15所示，得13πα=，243πα=，公差为π，故23x k ππ=+，k Z ∈. 解得6x k ππ=+，k Z ∈.评注（1）sin 1α≤ ，cos 1α≤，tan x R ∈；（2）当1k <时，方程sin ,cos x k x k ==在[0,2)π有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立 的角的集合. （1）1sin 2x ≤；（2）2cos 2x ≥；（3）tan 1x ≤.分析 这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集.解析 （1）如图4-16所示，作出正弦线等于12的角：5,66ππ，根据正弦上正下负，得在图4-16中的阴影区域内的每一个角均满足1sin 2x ≤，因此所求的角x 的集合为 51322,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-17所示，由余弦左负右正得满足2cos 2x ≥的角的集合为 22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）如图4-18所示，在[0,2]π内，作出正切线等于1的角5,44ππ：则在如图4-18所示的阴影区域内（不含y 轴）的每一个角均满足tan 1x ≤，因此所求的角的集合为,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.评注 解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在[0,2]π内找出符合条件的角，再利用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小.例4.11利用单位圆解下列三角不等式： （1）2sin 10α+>； （2）23cos 30α+≤； （3）sin cos αα>；（4）若02απ≤<，sin 3cos αα>，则则α∈（） A. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析 （1）由题意1sin 2α>-，令1sin 2α=-，如图4-19所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负，取α终边上面的部分，按逆时针从小到大标出16πα=-，2766ππαπ=+=，故不等式的解集为 722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-20所示，3cos α≤标出3cos α=的角在单位圆中第二、三象限的两条终边，这两条终边将单位圆分成左，右两部分，根据余弦左负右正，取α终边在左侧的部分，按逆时针从小到大标出1566ππαπ=-=，2766ππαπ=+=，.故不等式的解集为 5722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）sin cos αα>y x y x r r ⇒>⇒>.如图4-21所示，在单位圆中作出y x =所对的两个角14πα=，254πα=.这两个角的终边将单位圆分成上、下两部分.在上面的部分取2πα=，sin cos 22ππ>成立 ，故不等式的解集为522,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 注 本题也可通过线性规划的知识直接判断出表示y x >的平面区域为如图4-21所示的阴影部分.（4）sin 3cos αα>，得33y x y x r r>⇒>，如图4-22所示，在单位圆中标出3y x =所对的角13πα=，243πα=.，.这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为02απ≤<，在上面的部分取2πα=，sin 3cos αα>成立 ，所以取α终边上面的部分，故不等式的解集为433ππαα⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，故选C.评注 三角函数线的应用(1)证明 三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式. 变式1 已知函数()3cos ,,()1f x x x x R f x =-∈≥若,则x 的取值范围（） A. ,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C. 5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D. 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭题型6 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；. 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；. 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.例4.12（1）若()0,2απ∈，sin cos 0αα<，则α的取值范围是 ； （2）3tan 0sincos sincos 222ππππ+---= ； 解析：（1）由sin cos 0αα<得sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩或sin 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，得α为第二象限角或第四象限角⇒α的取值范围是3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）01(1)(1)12+-----=.变式1 sin 0α>是α为第一、二象限的（ ）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 变式2 ，43sin,cos 2525αα==-,2α是第 象限角，α是第 象限角. 变式3若sin cos 1=-，则α的取值范围是 .变式4 已知tan cos 0αα<，则α是第（ ）象限角.A.一或三B. 二或三C.三或四D.一或四 变式5 若α为第二象限角，则tan2α的符号为变式6 若点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限角变式7 函数cos sin tan sin tan x x xy x cox x=++的值域为 . 题型7 同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的思路提示（1） 若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值.（2） 若无象限条件，一般“弦化切”. 例4.13 （1）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=-，cos α= , tan α=（2）已知tan α=2， 1. 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α= , cos α= 2.2sin cos 3sin 4cos αααα-+= ,3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--= , （3）已知2sin cos αα-= 1. sin cos tan ααα+= ； 2. sin cos αα-= . 解析 （1）因为3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,cos 0,tan 0αα><,故cos α==.sin tan cos ααα==（2）1.因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα<<，22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得21cos 5α=.cos 5α=-,sin 5α=-2.无象限条件，弦化切.2sin cos 3sin 4cos αααα-+=2tan 122133tan 432410αα-⨯-==+⨯+3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--=2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα--=+22tan 2tan 3tan 1ααα--=+35- （3）无象限条件，弦化切.，两边平方，得()()2222sin cos 5sin cos αααα-=+222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )0αααααα⇒++⇒+=sin 2cos 0αα⇒+=,tan 20α+=⇒tan 2α=-.1. sin cos tan ααα+=22sin cos tan sin cos ααααα+=+2tan 12tan tan 15ααα+=-+2. 2sin cos αα-=()αϕ+=可知当x α=时，2sin cos x x -取最小值.()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.2sin cos sin 2cos 0αααα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩⇒cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，sin cos αα-=5-. 评注 本题给出同角求值的几种基本题型..（1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）；（2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略.（3）中无象限条件，2sin cos αα-=()αϕ+=表示函数2sin cos y x x =-在处取得极小值，导数0x y α='=，故有更简便做法：()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.如已知sin cos αα-=()0,απ∈，则tan α= .答案为-1，与本题（3）同理可解.变式1 若tan α=2，则2212sin cos cos sin αααα+=-=（ ） A. 13 B.3 C. 13- D.-3变式2 当x θ=时，函数sin 2cos y αα=-取得最大值，则cos θ= ； 例4.14 已知1sin cos 5αα+=-时，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A. 34-B. 43-C. 34D.- 43解析 解法一：已知角的象限条件，将方程两边平方得112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα⇒=-<，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan 0α<，排除C 和D.， sin 0,cos 01sin cos 05αααα<>⎧⎪⎨+=-<⎪⎩⇒sin cos ,αα>tan 1α>，故排除A ，故选B. 解法二：将方程两边平方得，()22221sin 2sin cos cos sin cos 25αααααα++=+ 2212sin 25sin cos 12cos 0αααα⇒++=212tan 25tan 120αα⇒++=43tan 34α⇒=--或由解法一知tan 1α>，得4tan 3α=-，故选B. 变式1 已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 变式2 已知3sin cos 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-=（ ）A. 12B. 12-C. 14D. 14-题型8 诱导求值与变形 思路提示（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. （2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化例4.15 求下列各式的值.（1）0sin(3000)-； （2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭； （3）51tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭解析 （1）0sin(3000)-=0sin(8360120)sin120-⨯+=-000sin(18060)sin 602=--=-=-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=411cos cos 14cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）5151tan tan tan(13)tan 14444πππππ⎛⎫-=-=--== ⎪⎝⎭. 评注 利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”.变式1 若()cos 2-3πα=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()sin -πα= ； 变式2 若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，()3tan 74απ-=，则cos sin αα+=（ ） A. 15± B. 15- C.15 D. 75- 变式3 若cos-80°= k ,则tan 100°的值为（ ）A.B. D.变式4 已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin ()63x x ππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭= ； 最有效训练题A. 15± B. 15- C. 15 D. 75-2.已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角θ的终边上，且[]0,2θπ∈，则θ的值为（ ）A. 4πB. 34πC. 54πD. 74π3.若角α的终边落在直线0x y +==（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 0 4.若角A 是第二象限角，那么2A 和2A π-都不是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.已知sin -=cos ,cos -=sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，对于任意角α均成立.若(sin )cos 2f x x =，则(cos )f x =（ ）A. cos2x -B. cos2xC. sin 2x -D. sin 2x6.已知02x π-<<，1cos sin 5αα+=-，则sin cos 1αα-+=（ ） A. 25- B. 25 C. 15 D. 15-7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y = .8.函数2lgsin 29y x x =+-的定义域为 .9.如图4-23所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于1P ，然后以B 为圆心，1BP 长为半径画弧，交CB 的延长线于2P ，再以C 为圆心，2CP 长为半径画弧，交DC 的延长线于3P ，再以D 为圆心，3DP 长为半径画弧，交AD 的延长线于4P ，再以A 为圆心，4AP 长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是 ，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧度之和为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，将点3,1)A 绕点O 逆时针旋转090到点B ，那么点B 的坐标为 ；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 . 11.一条弦的长度等于半径r ，求： （1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所围成的弓形的面积.12.已知001tan(720)3221tan(360)θθ++=+--. 求2221cos ()sin()cos()2sin ()cos (2)πθπθπθπθθπ⎡⎤-++-++⎣⎦--的值.。
15 任意角与同角三角函数的基本关系
第15课时 三角函数的概念与同角三角函数的关系【教学目标】了解任意角的概念、角的弧度制，掌握任意角的三角函数的定义，理解三角函数值的符号与角的象限之间的关系；掌握同角三角函数之间的两种基本关系——-平方关系和商数关系，掌握同角正弦、余弦和正切之间的基本关系，并能在这三者中“知一求二”，掌握同角三角函数基本关系的变形，掌握“弦化切”的基本思想的应用，并能利用相关公式解决同角三角函数的基本问题. 【教学重难点】任意角的三角函数与同角三角函数的基本关系 【考点分析】从近几年的高考题来看，任意角的三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系、切弦互化都是高考中的重点，其中对三角函数基本概念的考查着重于三角函数的概念的理解，注重结合三角函数图象及几何图形的考查，在同角三角函数中，一般是结合二倍角或和差角公式的综合求值以及同角三角函数公式变形的应用，弦化切思想的考查主要是考察由弦如何化成切，主要是注意弦化切的两种基本题型. 【课前热身】1.（山东省广饶一中2012届高三10月月考）若sin 0α<且tan 0α>，则α是（ ） .A 第一象限角 .B 第二象限角 .C 第三象限角 .D 第四象限角2.（山东省广饶一中2012届高三10月月考）若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为 （ ） 21.c o s 1A 21.s i n 1B 22.c o s 1C 22.s i n 1D3.（辽宁省抚顺高中2011-2012学年度高三上学期第一次月考）已知tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为 （ ）.0A 3.4B .1C 5.4D4.（2009年高考辽宁卷文）已知tan 2α=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ） 4.3A -5.4B 3.4C -4.5D5.（山东省广饶一中2012届高三10月月考）已知1sin cos 8αα=，且42ππα<<，则cos sin αα-= .6.（江西省上高二中2012届高三第一次月考）化简()111cos sin tan ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的结果是 .7.（2010年高考全国2卷文）已知α是第二象限的角，1tan 2α=，则cos α= . 8.（2010年高考全国1卷文）已知α为第一象限的角，3sin 5α=，则tan α= .【答案】1.C 2.B 3.B 4.D 5.2-6.sin α7. 5- 8.34【知识点梳理】第一部分：任意角与弧度制1.任意角的概念：按逆时针旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；一条射线没做任何旋转，称它形成了一个零角.2.终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：{}360,k k Z ββα=+⋅∈或{}2,k k Z ββαπ=+∈.3.象限角与轴线角的表示（1）弧度制的概念及其表示把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记为1rad . （2）弧度与角度的换算关系()3602rad π=，()180rad π=，()()10.01745180rad rad π=≈，()180157.305718rad π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭. 5.与扇形有关的公式：设半径为r 且圆心角为()02ααπ<<所对的弧长为l ，其中扇形的第二部分：任意角的三角函数1.任意角的三角函数的概念：如图1，设角α的终边与单位圆的交点为(),P x y ，那么 （1）y 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin y α=； （2）x 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos x α=； （3）yx 叫做角α的正切，记作tan α，即()ta n 0y x x α=≠定义推广：设α是任意角，α终边上一点P 的坐标为(),x y ，且r =（1）比值y r叫做角α的正弦，记作sin α，即sin y r α=（2）比值x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值yx叫做角α的正切，记作tan α，即()tan 0y x xα=≠.图21.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：22sin cos 1αα+=；（2）商数关系：sin tan ,cos 2k k Z απααπα⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭.推论：222tan sin tan 1ααα=+，221cos tan 1αα=+，()2sin cos 12sin cos αααα±=±，()()22sin cos sin cos 2αααα++-=.【典型例题与变式】题型一：任意角与弧度制【例1】（2005年高考全国3卷）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）.A 第一或第二象限 .B 第二或第三象限 .C 第一或第三象限 .D 第二或第四象限 【解析】D解法一：α 为第三象限角，3222k k πππαπ∴+<<+，k Z ∈，得3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，若k 为偶数，设2k n =，n Z ∈，则322224n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α为第二象限角；若k 为奇数，设21k n =+，n Z ∈，则3722224n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α为第四象限角.解法二：象限法.如图3所示，将每个象限角平分为两份，按逆时针方向依次在对应区域内表上数字1至4，由于3所在的区域为第二或第四象限，故2α为第二或第四象限角.【练习】（山东省太原五中2011-2012学年第一学期10月月考）设α是第三象限角，且cos cos 22αα=，则角2α属于 （ ）.A 第一象限角 .B 第二象限角 .C 第三象限角 .D 第四象限角 【解析】D α 是第三象限角，由象限法知，角2α为第二或第四象限角，coscos22αα= ，cos02α∴>，故2α为第四象限角.【例2】（黑龙江省哈三中2011-2012学年高三10月月考）扇形的中心角为120，半径为3，则此扇形的面积为 （ ） .A π 5.4B π.3C2.9D【解析】A 设扇形的圆心角的弧度数为α，则21201803ππα=⨯=，22112223S r παπ∴==⨯⨯=.【练习】若半径为3cm 的扇形面积为218cm ，则扇形中心角θ= 弧度.【解析】4 212S r θ=，22221843S rθ⨯∴===.【例3】已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 【解析】216c设扇形的弧长为l ，则2l R c +=，2l c R ∴=-，则02c R <<，()21112222S lR c R RR cR ==-=-+，故当4c R =时，S 取最大值，2m ax 16cS =.【练习】已知一扇形的周长为()0C C >，当扇形的中心角为多少弧度数时？它有最大面积. 【解析】设扇形的半径为r ，中心角为()0αα>，弧长为l ，面积为S ，则2l r C +=， 2l C r ∴=-，则02C r <<，()2221112222416C C S lr C r r r C r r ⎛⎫∴==-⋅=-+=--+⎪⎝⎭，∴当4Cr =时，扇形有最大面积216C，此时22CCl C =-=，()422lCrad r C α==⋅=.【例4】下列各组角中，终边相同的角是 （ ）.2k A π与()2k k Z ππ+∈ .3B k ππ±与()3kk Z π∈().21C k π+与()()41k k Z π±∈ .6D k ππ+与()6k k Z ππ±∈ 【解析】C ()()1222k k k k Z ππππ+⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭，当k 为偶数时，两角的终边不相同；()()21333k k k k Z ππππ±⎛⎫±-=∈ ⎪⎝⎭，当2k=时，两角的终边不相同；()()()41212k k k k Z πππ+-+=∈，()()()()412121k k k k Z πππ--+=-∈，故()21k π+与()()41k k Z π±∈终边相同；()2663k k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫--+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故6k ππ+与()6k k Z ππ±∈终边不相同.【练习】设300α=-，则与α终边相同的角的集合为 （ ）{}.360300,A k k Z αα=⋅+∈{}.36060,B k k Z αα=⋅+∈{}.36030,C k k Z αα=⋅+∈{}.36060,D k k Z αα=⋅-∈【解析】B ()60300360--=，60∴ 与300-的终边相同， 故与300α=-终边相同的角的集合为{}36060,k k Z αα=⋅+∈.【例5】85π化为角度是 （ ）.278A.280B.288C.318D【解析】C8818028855π=⨯=.【练习】6730'化成弧度为 r a d .【解析】38π 3673067.567.51808ππ'==⨯=.【点评】在任意角与弧度制的相关练习中，主要考查角的一些相关概念，如象限角、终边相同的角、角的象限的判断，利用相关方法解决即可，以及弧度制下相关公式的应用，如角度与弧度的互化、扇形的相关公式的应用，所以只需要灵活应用相关公式即可.题型二：任意角的三角函数【例6】（河北省存瑞中学2012届高三第一学期第三次月考）若角α的终边上有一点(4,--，则sin α的值是 （ ）1.2A -.2B -1.2C.D【解析】Bs i n 2α-==-.【练习】（湖北省孝感高中2011届高三测试）角α的终边经过点((),0P x x ≠，且cos 6x α=，则sin α等于 （）.6A x.6B.6C x.6D -【解析】Dc o s 06x xα==⇒=，sin α∴==6=-.【例7】在直角坐标系中，角α的终边经过点()()3,40P a a a -≠，则sin α= 【解析】45±5OP a ==， 当0a >时，5O P a =，444sin 55a a O Paα===；当0a <时，5OP a =-，44sin 55a aα==--.【练习】若角θ的终边过点()3,4P t t -（0t ≠且t R ∈），则2sin cos θθ+的值是（ ） 2.5A -.1B ± 2.5C -2.5D ±【解析】B 5OP t ==，当0t >时，5OP t =，444sin 55t t O P t θ===，33cos 55t tθ-==-，2sin cos 1θθ+=； 当0t <时，5OP t =-，444sin 55t t O Pt θ===--，33cos 55t tθ-==-，2sin cos 1θθ+=-.【点评】利用任意角的三角函数的定义求解三角函数值，直接根据定义求解即可，若对应角的终边上含有参数，需注意对应参数的正负号，进而构造方程求解.题型三：同角三角函数的基本关系【例8】（四川省成都外国语学校2012届高三10月月考）若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角θ的终边所在的象限是 （ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【解析】D s i n 22s i nc o s θθθ=< ，且cos 0θ>，故sin 0θ<，θ∴为第四象限角.【练习】（广东省2008届六校第二次联考）已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边在 （ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 【解析】B 点()tan ,cos P αα在第三象限，tan 0α∴<，cos 0α<， α∴是第二象限角.【例9】（山西省太原五中2011-2012学年第一学期10月月考）已知4cos 5α=，α∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则tan α= （ ）3.4A -4.3B - 4.3C 3.4D ±【解析】A 3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，sin 0α∴<，sin α∴==35=-，sin 353tan cos 544ααα∴==-⋅=-. 【练习】（陕西省澄城县2012届高三第二次月考）若4sin 5θ=-，tan 0θ>，则cos θ=__________.【解析】35- 4s i n 05θ=-< ，tan 0θ>，θ∴为第三象限角，cos 0θ∴<，3cos 5θ∴===-.【例10】（2008年东北三校高三第一次联考）α是第一象限角，3tan 4α=，则s i n α=（ ）4.5A 3.5B 4.5C -3.5D -【解析】B α 为第一象限角，sin 0α∴>，222tan 9169sin 1tan 162525ααα==⋅=+ ，3sin 5α∴=.【练习】（广西桂林十八中2012届高三第三次月考）在A B C ∆中,已知5tan 12A =-,则sin A = （ ）12.13A - 12.13B 5.13C - 5.13D【解析】D A 为A B C ∆的内角，0A π∴<<，且5tan 012A =-<，2A ππ∴<<，sin 0A ∴>，且222tan 2514425sin 1tan 144169169AA A ==⋅=+，5sin 13A =. 【点评】利用同角三角函数的基本关系求解“知一求二”相关类型的问题时，一般先是确定角的象限或范围，确定所求三角函数值的正负（一般是确定所求角的正弦值或余弦值的正负），然后再根据三角函数的两种基本关系——平方关系和商数关系求解，最终注意所求三角函数值的符号，即遵循“定位→定号→定值”的步骤进行.题型四：弦化切基本思想的应用【例11】（重庆八中2012届高三上学期第三次月考）已知21tan =α，则3s i n 2c os 5c os 3s i nαααα+=-.【解析】1 3s i n+2c o s1323sin +2cos 3tan 2cos 215cos 3sin 15cos 3sin 53tan 53cos 2αααααααααααα⨯++====----⨯.【练习】已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=- . 【解析】3 s i n c o ss i n c o s t a n 121c o s 3s i n c o s s i n c o s t a n 121c o s αααααααααααα++++====----. 【例12】（安徽省淮南二中2012届高三第三次月考）已知1tan 4α=，则2cos2sinαα+的值为 ． 【解析】161722222222cos cos 2sin cos sin sin cos cos sin ααααααααα+=-+==+2222222cos 1116cos cos sin 1tan 1711cos 4αααααα====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【练习】（1）（山东省博兴二中2012届高三教学质量检测）若1tan 4α=，则αα2sin cos 2的值等于 （ ） .2A .3B - .4C .6D【解析】A22cos cos 1142sin 22sin cos 2tan 2αααααα===⨯=.（2）（四川省金堂中学2012届高三10月月考）若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos 2αα+= .【解析】 2- 点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，sin 2cos αα∴=-，tan 2α∴=-，2222222sin cos 2cos 2sin sin 22cos 22sin cos 2cos 2sin cos sin αααααααααααα+-∴+=+-=+()()()22222222222sin cos 2cos 2sin 222222tan 22tan cos 2cos sin 1tan 12cos ααααααααααα+-⨯-+-⨯-+-====-+++-【点评】当弦和切同时存在时，一般是利用“切化弦”的思想求解，但“弦化切”的解题思想有时也经常利用，“弦化切”的基本思想常利用于下面两种题型： （1）弦的分式齐次式：分式中，分子和分母中的弦（正弦或余弦或正余弦的乘积）均为n 次，在分子和分母中同时除以()cos n n N α*∈，直接将分子和分母化为正切，然后代数求解； （2）弦的二次整式：在整式上除以221cos sin αα=+化为弦的二次分式齐次式，然后在分子和分母上同时除以2cos α化为正切求解.题型五：cos sin θθ+、cos sin θθ-和cos sin θθ三者之间的基本关系【例13】（山东省吕梁市英杰中学2012届高三第二次月考）设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππθ，2sin cos θθ116=，则cos sin θθ-= （ ）.4A.4B -3.4C 3.4D -【解析】B ,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，cos sin θθ∴<，cos sin 0θθ∴-<， ()2115cos sin 12sin cos 11616θθθθ-=-=-=，cos sin 4θθ∴-=-.【练习】（山西省山大附中2012届高三10月月考）已知3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则x 2si n 的值为 19.25A 16.25B 4.25C 7.25D【解析】D()3sin cos sin 425x x x π⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，cos sin 5x x ∴-=， ()2187cos sin 12sin cos 1sin 2sin 22525x x x x x x ∴-=-=-=⇒=.【例14】（安徽省桐城十中2012届高三第四次月考）已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程0122=-+px x 的两根，则θ= （ ）.4A π.3B π3.4C π 5.6D π【解析】C θ 为三角形的一个内角，故0θπ<<，则sin 0θ>， sin θ ，cos θ是关于x 的方程0122=-+px x 的两根，由韦达定理得sin cos 2p θθ+=-，1sin cos 2θθ=-，()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+，则211222p ⎛⎫⎛⎫-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0p ∴=，故原方程为2210x -=，解得2x =±，sin 2θ∴=，cos 2θ=-，0θπ<< ，34πθ∴=.【练习】若sin θ、cos θ是方程2420x mx m ++=的两根，则m 的值为 （ ）.1A +.1B -.1C ±.1D --【解析】 由韦达定理得2sin cos 42m m θθ+=-=-，sin cos 4m θθ=，()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+ ，22124022m m m m ⎛⎫∴-=+⇒--= ⎪⎝⎭，1m ∴=±【点评】利用同角三角函数关系求值时，当cos sin θθ+、cos sin θθ-和cos sin θθ同时存在时，可以利用三者之间的相互关系求解，如：()2cos sin 12sin cos θθθθ±=±1sin 2θ=±，以及()()22cos sin cos sin 2θθθθ++-=求解，求解时需根据角的范围确定所求代数式的正负.题型六：三角代数式化简与证明【例15】化简tan tan sin 1sin 1tan sin cos 1sin x x x xx x x x+⎛⎫⋅+⋅⎪++⎝⎭. 【解析】tan tan sin 1sin 1tan sin cos 1sin x x x xx x x x+⎛⎫⋅+⋅= ⎪++⎝⎭()()2cos tan tan sin cos 1sin sin sin cos 1sin cos tan sin cos 1sin sin sin cos cos 1sin x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x++++=⋅⋅=⋅⋅++++ ()()sin 1sin cos 1sin sin tan sin 1cos cos 1sin cos x x x x xx x x x x x++=⋅⋅==++.【练习】已知α-.【解析】α 是第二象限角，cos 0α∴<，0sin 1α<<，01sin 1α∴<-<，，11s i n 2α<+<，∴=1sin 1sin 1sin 1sin cos cos cos cos αααααααα+-+-⎛⎫==-=--- ⎪⎝⎭1sin 1sin 2sin 2tan cos cos cos ααααααα-+=-=-=-. 【例16】求证：2212sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=--.【解析】证明：左边()()()2sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos αααααααααααααααα+++===--+- tan 1tan 1αα+==-右边.【练习】求证：()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++.【解析】证明：左边()()()()cos 1cos sin 1sin cos sin 1sin 1cos 1cos 1sin αααααααααα+-+=-=++++()()2222cos sin cos sin cos cos sin sin 1sin cos sin cos 1sin cos sin cos αααααααααααααααα-+-+--==++++++()()()()()()cos sin cos sin cos sin 2cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos 21sin cos sin cos αααααααααααααααααα-+-+-++==++++++()()()()()()()()22cos sin 1cos sin 2cos sin 1cos sin 12sin cos 2cos sin 1cos sin 2cos sin 1αααααααααααααααα-++-++==++++++++ ()()()()22cos sin 1cos sin 2cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααααα-++-===++++右边. 【点评】在利用同角三角函数的求值化简中，充分利用同角三角函数之间的平方关系和商数关系以及相关推论，综合运用切弦互化、1的代换等基本思想的应用，将问题逐步简化，同时在证明三角恒等式时，可以充分利用直接证明法、比较法、左右归一法、分析法等证明方法证明三角恒等式，同时将同角三角函数的基本关系渗透其中，将所要证明的代数式化繁为简，进而找到问题的解答.【方法技巧总结】本专题主要考查任意角的概念以及弧度制下有关扇形的相关公式的应用、同角三角函数的基本关系，在考查这些问题时，应当充分利用角的一些相关定义、概念与公式，在同角三角函数的基本关系的应用中，注意两种基本关系的使用以及一些公式的变形，以及一些变形的基本思想，如切弦互化、1的代换和一些基本技巧的使用，在问题的求解中遵循先化简的基本原则.【巩固练习】1.{}90A =小于的角，{}B =第一象限角，则A B 等于 （ ）. {}.A 锐角 {}.90B小于的角 {}.C 第一象限角 .D 以上都不对 【解析】D （特殊值法）取330A -∈ ，则{}330-∉ 锐角，排除A 选项；取390B ∈，则{}39090∉ 小于的角；取30A -∈ ，则{}30-∉第一象限角，排除C ，故选D2.集合{}9045,M x x k k Z ==⋅+∈，{}4590,N x x k k Z ==⋅+∈，则有（ ） .A M N = .B M N ⊇ .C M N ⊆ .D M N =∅ 【解析】C 解法一：{}(){}9045,2145,M x x k k Z x x k k Z ==⋅+∈==+⋅∈，{}(){}4590,245,N x x k k Z x x k k Z ==⋅+∈==+⋅∈，当k Z ∈时，21k +是奇数，2k +为整数，故M N ⊆.解法二：（列举法）{},45,135,M = ，{},45,90,135,180,N = ，故M N ⊆.3.若角α是第二象限角，则2α是 （ ）.A 第一象限角或第二象限角 .B 第一象限角或第三象限角.C 第二象限角或第四象限角 .D 第一象限角或第四象限角 【解析】B 解法一：α 为第二象限角，222k k ππαππ∴+<<+，k Z ∈，得422k k παπππ+<<+，k Z ∈，若k 为偶数，设2k n =，n Z ∈，则22422n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α为第一象限角；若k 为奇数，设21k n =+，n Z ∈，则5322422n n παπππ+<<+，n Z ∈，此时2α为第三象限角.解法二：象限法.如图3所示，将每个象限角平分为两份，按逆时针方向依次在对应区域内表上数字1至4，由于3所在的区域为第一或第三象限，故2α为第一或第三象限角.4.120- 的弧度数为 （ ）5.6A π- 4.3B π2.3C π-3.4D π-【解析】C ()21201201803r a d ππ-=-⨯=-.5.设k Z ∈，下列终边相同的角是 （ ）().21180A k +⋅与()41180k ±⋅.90B k ⋅与18090k ⋅+ .18030C k ⋅+ 与36030k ⋅± .18060D k ⋅+与60k ⋅【解析】A ()411802360180k k ±⋅=⋅±，()21180360180m m +⋅=⋅+，当 k 、m Z ∈时，()()()()41180211802360180360180k m k m +⋅-+⋅=⋅+-⋅+()2360k m =-⋅，()()()()41180211802360180360180k m k m -⋅-+⋅=⋅--⋅+()21360k m =--⋅，故选A .6.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度.1A .2B .3C .4D 【解析】B 设扇形所对的圆心角的弧度为α，则由212S r α=得()222S rad rα==.7.某扇形的面积为21cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的大小为 （ ） .2A.2B .4C.4D 【解析】B 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则2442l r l r +=⇒=-，其中02r <<，()2211422121022S lr r rr r r r ==-=-+=⇒-+=，1r ∴=，2l =，()2l rad rα==8.点(),4P b -是角α终边上的一点，且3cos 5α=-，则b 的值是 （ ）.3A .3B - .3C ± .5D【解析】A3c o s 05α==-<，00b b ∴-<⇒>，将上式两边平方得，222991625bb b =⇒=+，3b ∴=.9.（贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考）若sin cos 0θθ>且cos tan 0θθ<，则角θ的终边落在 （ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【解析】C c o st a n s i n θθθ=< ，sin cos 0θθ>，cos 0θ∴<，故角θ为第三象限角.10.（福建省2012届高三下学期普通高中毕业班4月质量检查）若α是第四象限角，且3cos 5α=，则sin α等于 （ ）4.5A 4.5B - 3.5C 3.5D -【解析】B α 为第四象限角，sin 0α∴<，sin α∴==45=-.11.（福建省厦门市翔安一中2012届高三上学期11月月考）已知1tan 2α=，且3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则sin α的值为 （） .5A -.5B.5C.5D -【解析】A 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0α∴<，222221tan 12sin 1tan 5112ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，sin 5α∴=-.12.（广西桂林十八中2012届高三第二次月考）已知tan 2x =-，,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos x= 5A.5B.5C -.5D -【解析】C ,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，cos 0x ∴<，()222111cos 1tan 512x x ===++-， cos 5α∴=-13.若tan 1α=，则2sin 3cos sin cos αααα++的值是 （ ）1.2A 3.2B 5.2C 7.2D【解析】C2s i n 3c o s2s i n 3c o s2t a n 32135c o s s i n c o ss i n c o st a n1112c o s αααααααααααα+++⨯+====++++.14.已知sin 3cos 52sin 5cos αααα-=-+，则t a n α= （ ）.2A - 25.12B 28.11C 22.9D -【解析】As i n 3c o ss i n 3c o st a n 3c o s 52s i n 5c o s 2s i n 5c o s 2t a n 5c o s αααααααααααα---===-+++，tan 3α∴-=10tan 25α--，11tan 22α∴=-，tan 2α∴=-.15.若tan 3θ=，32ππθ<<，则sin cos θθ的值为 （ ）3.10A ± 3.10B.C.D ±【解析】B 22222222sin cos sin cos tan 33cos sin cos cos sin cos sin 1tan 1310cos θθθθθθθθθθθθθθ=====++++. 16.设α是第二象限角，则sin cos αα= （ ）.1A 2.t a n B α 2.t a n C α- .1D -【解析】D α 是第二象限角，tan 0α∴<，sin cos 1tan tan tan tan cos sin tan ααααααααα∴==⋅=⋅=⋅1tan 1tan αα⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭.17.已知1cos sin 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-的值为 （ ）.2A 3.4B.2C -.2D ±【解析】C 42ππα<<，cos sin αα∴<，cos sin 0αα-<，()213cos sin 12cos sin 1284αααα-=-=-⨯=，cos sin 2αα∴-=-.18.（宁夏贺兰一中2011-2012学年高三第一学期第三次月考）设31)4sin(=+θπ，则=θ2s i n 7.9A -1.9B -1.9C 7.9D【解析】A)1sin cos sin 423πθθθ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，cos sin 3θθ∴+=，()222cos sin 12sin cos 1sin 239θθθθθ⎛+=+=+==⎪⎝⎭，7sin 29θ∴=-. 19.（广西桂林中学2012届高三11月月考）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πα，，且412c o s s i n 2=+αα，则αt a n 的值等于 （ ）.2A.3B.C.D【解析】D 222221s i n c o s 2s i n c o ss i nc o s 4αααααα+=+-==，02πα<<，cos 0α∴>，sin 0α>，1cos 2α∴=，sin 2α===，sin 1tan 2cos 222ααα∴==÷=⨯=20.（2008年四川省成都市一诊）若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点()4,3P -为其终边上一点，则cos α的值为 （ ）4.5A 3.5B -4.5C -3.5D ±【解析】C44cos 5α-==-.21.（山东省济宁市邹城二中2012届高三第二次月考）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且54sin =α，则=αtan .【解析】43- ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴<，3cos 5α===-，sin 43454tan cos 55533ααα⎛⎫⎛⎫∴==÷-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22.（福建省泉州市2012届高三3月质量检查）若角α的终边经过点()1,2P ，则sin 2α的值是 .【解析】45t a n2α=，2222222sin cos 2sin cos cos sin 22sin cos cos sin cos sin cos ααααααααααααα===++， 222tan 2241tan 125αα⨯===++.23.（山东省济宁市邹城二中2012届高三第二次月考）已知角θ的终边过点()4,3-，则cos 2θ= .【解析】7253t a n 4θ=-，222222cos sin cos 2cos sin cos sin θθθθθθθ-∴=-=+()()222222222231cos sin cos 1tan 741tan 25cossincos 314θθθθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++⎛⎫+- ⎪⎝⎭.24.（河北省存瑞中学2012届高三第一学期第三次月考）若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为 .【解析】1033s i n c o s αα+=，11sin cos tan 33ααα∴=-⇒=-， ()()222222222cos sin cos 1cos sin cos sin 2cos 2sin cos cos2sin cos cos αααααααααααααα++∴==+++22111tan 101101033112tan 9393123αα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭===÷=⨯=+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭. 25.（山西省汾阳中学2012届高三上学期第三次月考）已知7sin cos 13θθ+=，()0,θπ∈，则tan θ=__________．【解析】125- ()0,θπ∈ ，sin 0θ∴>，由227sin cos 13sin cos 1θθθθ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得12sin 135cos 13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， sin 125121312tan cos 13131355θθθ⎛⎫⎛⎫∴==÷-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26.已知1sin cos 2θθ-=，则33sin cos θθ-= .【解析】 ()2211sin cos 12sin cos 24θθθθ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，3sin cos 8θθ∴=，()()3322sin cos sin cos sin sin cos cos θθθθθθθθ∴-=-++()()1311sin cos 1sin cos 12816θθθθ⎛⎫=-+=⨯+=⎪⎝⎭. 27.化简22sin sin cos sin cos tan 1x x x x xx +---.【解析】()()222222cos sin cos sin sin cos sin sin cos tan 1sin cos cos tan 1x x x xx xx x xx x xx x ++-=-----()()()()222222cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x x xx x x x ++=-=-----+2222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x xx xx x-=-==+---.28.求证：2222tan sin tan sin θθθθ-=.【解析】证明：左边()2222222222sin 1cos sin sin cos tan sin cos cos cos θθθθθθθθθθ-=-=-=22222sin sin tan sin cos θθθθθ⋅===右边.29.已知3sin 5α=-，求cos α和tan α的值.【解析】3sin 05α=-< ，α∴为第三或第四象限角，（1）若α为第三象限角，则cos 0α<且4cos 5α===-，sin 34353tan cos 55544ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-÷-=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）若α为第四象限角，则cos 0α>且4cos 5α===，sin 34353tan cos 55544ααα⎛⎫⎛⎫∴==-÷=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 30.已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈，求：（1）sin cos 11tan 1tan θθθθ+--的值；（2）求方程的两根及此时θ的值.【解析】（1）sin θ 、cos θ为关于x的方程)2210x x m -++=的两根，由韦达定理得1sin cos 2θθ++=，sin cos 2m θθ=，sin cos sin cos sin sin cos cos 1cos sin cos sin 1tan 111sin 1cos 1tan sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅⋅+=+=+-⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ-=+=-=-----，1sin cos 2θθ+=+=；（2）由（1）知1sin cos 2θθ+=，sin cos 2m θθ=，()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+ ，故有22111212222mm ⎛⎫⎛⎫=+⨯⇒=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故原方程为)22102x x -+=，解此方程得112x =。
三角函数概念与规律
三角函数概念与规律一．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.二．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：sin 上为正、cos 右为正、tan 一三为正． (3)三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但p （x,y ）是终边上任意一点，它到原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .(4)．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线(5)特殊角的三角函数值： sin 00= 0 cos 00= 1 tan 00= 0sin300=21cos300=23tan300=33sin 045=22cos 045=22tan 045=1sin600=23cos600=21 tan600=3sin900=1 cos900=0 tan900无意义三.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。
任意角_弧度制_任意角的三角函数_同角三角函数关系(共7课时)
任意角，弧度制，及同角三角函数关系复习学案知识点1 任意角【学习目标】：1.使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角2.能在0︒到360︒到范围内,找到一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合【学习重点】：任意角的概念及终边相同的角的【学习难点】：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来 1，角的定义： 说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α 2，角的分类 （1）正角： 负角： 零角：说明：零角的始边和终边重合。
（2）象限角：非象限角（也称轴线角）：,3，终边相同的角一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
【新知应用】：例1.写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在00360~0间的角写出来，并分别判断它们是第几象限角：︒60 (1) ︒21- (2) '︒14633 (3)例2.已知α与2400角的终边相同，试判断2α是第几象限角？例3.（1）终边落在x 轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x 轴上的角的集合如何表示？（2）终边落在y 轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在y 轴上的角的集合如何表示？ （3）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？ 【当堂训练】： 一.限时作业1、已知集合=A {第一象限的角}，=B {锐角}，=C {小于90o 的角}，下列四个命题： ①C B A == ②C A ⊆ ③A C ⊆ ④B C A =⊆ 其中正确命题的序号为2、在00360~0间中与-120°角终边相同的角是3、若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；B ＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝； C ＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则A,B,C 三者的关系为4、终边在第二象限的角的集合是5．已知α与1200角的终边相同，判断2α是第几象限角？二，课下作业：1、已知角α的终边与角300的终边关于直线x y =对称，且00720720<<-α，求α的值。
同角三角函数的基本关系
x A(1,0)
根据三角函数的定义，当
k
2
(k Z )时， 有
即
y tan x sin tan cos
……商数关系
(3) (4) 擦亮眼睛，找出下列成立的等式________ (5) (6)
(1) sin cos 1
2 2
(2) sin 1 cos 1 1
回顾1：任意角的三角函数的定义
（1）y叫做 的正弦，记作
sin y
sin ，即
α的终边 P(x,y)
y
x叫做 的余弦，记作 （ 2）
cos x
cos ，即
1
M O
A(1,0) x
y （3） 叫做 的正切，记作 tan ，即 y x ( x 0) tan
x
回顾2：函数值在各象限内的符号
y
(+ ) ( ) （+ ） ( )
y
y
(+ ) ( )
-
-
(+ )
-
o
( )
-
x
( )
-Hale Waihona Puke o(+ )
x
(+ )
o
( )
-
x
sin y
cos x
y tan x
合作探究
sin 30 45 60
1 2
2 2
3 2
cos
3 2
2 2
sin （
想一想
且 为第三象限角 ， 已知 tan 2 ，
求 sin , cos 的值。
作 业
必做题 P21 选做题 P22
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式（第课时）任意角的三角函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±--︒±︒+︒•⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧的函数关系与以及的函数关系与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。
难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。
1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。
任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；1．角的定义⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。
射线顺时针旋转而成的角叫负角。
射线没有任何旋转所成的角叫零角。
2．弧度制⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。
注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与︒1sin 、︒2sin 不是一回事。
⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
⑶ 设一个角的弧度数为α，则 rl=α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。
⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。
⑸ 1π=︒弧度，1弧度︒=)180(。
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1.2.1任意角三角函数
一任意角三角函数的定义及其定义域：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的
坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(2
2
>+=
y
x r r 。
（1）比值_____叫做α的正弦，记作__________，即___________，定义域为__________。
（2）比值_____叫做α的余弦，记作__________，即___________，定义域为__________。
（3）比值_____叫做α的正切，记作__________，即___________，定义域为__________。
二、各象限内三角函数值的符号。
a c s a t n
a
练习1、已知角α终边经过点)12,(--x P ，且cos α=
13
5，则x =_________。
2、若0cos <α，且0tan <α，则α为第_______象限角。
3、已知角α终边在直线2y x =上，则=αsin ______，=αcos _____，=αtan _________。
4、=︒+︒-︒+︒180cos 10270sin 30sin 290sin 5____________。
四.（诱导）公式一：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=， tan(2)tan k απα
+=，其中k Z ∈．
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
例1.确定下列三角函数值的符号：
（1）sin 1020
；（2）tan (672)- ； ⑶11tan
3
π；⑷9co s
4
π；⑸23cos()6
π-
x
y O
x
y O
x
y O
三角函数定义的几何表示——三角函数线。
1．有向线段：
有向线段：带有方向的线段。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
长度为线段长度，书写时有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
2．三角函数线的定义：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,O M x M P y ==，于是有
sin 1
y y y M P
r α=
===， cos 1
x x x O M
r α=
===，
tan y M P A T A T
x O M
O A
α=
===
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
例2.作出下列各角的正弦线，余弦线、正切线。
（1）6
11π （2）－
3
2π
课后训练
1、已知角α的终边经过点(8,6)--，则=αs i n
______，=αcos _____，=αtan _________。
2、已知角α终边经过点)12,(--x P ，且cos α=13
5，则x =_________。
3、=+--
-2
sin
cos 6
tan
3
1cos 4
cos
6sin
2
2
π
ππ
ππ
π
_____________。
4确定下列各式的符号 （1）7cos
12
π；（2）sin(465)-
； ⑶)108tan(310cos ︒-︒ ；⑷πππ6
11tan
5
4cos
4
5sin
5、根据下列条件，确定θ是第几象限角或是哪个坐标轴上的角 （1）0sin <θ且0cos >θ （2）0cos sin >θθ （3）
0tan sin >θθ
且0cos >θ （4）θθsin |sin |= ⑸0cos <α，且0tan <α
6.已知角α的始边为x 轴的正半轴，终边在直线y kx =
上，若sin α=，且cos 0α<，
试求实数k 的值。
1.2.2同角三角函数的基本关系 一.同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：22sin cos 1a a +=； （2）商数关系：sin tan co s a a a
=
⑶ tan cot 1αα⋅=，（了解即可）
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如2
2
sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
sin tan cos a a a
=
；,2a k k Z π
π⎛
⎫
≠
+∈ ⎪⎝
⎭
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos α=，22
sin 1cos αα=-， s i n c o s
t a n ααα
=等。
例题分析： 二、求值问题 例1．（1）已知12sin 13
α=，求cos ,tan αα
（2）已知4co s 5α=-，求sin ,tan αα.
⑶已知1tan 3
a =
，求sin ,cos a a
已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。
在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。
有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
特别题型：
例2已知tan 2a =，求①sin cos sin cos a a a a
+- ；②22
sin sin cos 2cos a a a a -⋅+
例3．已知1sin co s 5
a a +=，()0a π<<，求tan a
三、证明恒等式 例4．求证：
co s 1sin 1sin co s x x x
x
+=
-．
证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． ∴左边=
2
cos (1sin )cos (1sin )
(1sin )(1sin )
cos x x x x x x x
++=
-+1sin co s x x
+=
=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． 又∵
2
2
(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x
-+=-==⋅，
∴
cos 1sin 1sin cos x x x x
+=
-．
证法三：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
cos 1sin 1sin cos x x x x +-
-cos cos (1sin )(1sin )
(1sin )cos x x x x x x
⋅-+-=
-22
cos 1sin 0
(1sin )cos x x x x
-+=
=-，
∴
cos 1sin 1sin cos x x x x
+=
-．
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
1.．
2、已知是第四象限角，
α+-=
α+-=
α,
5
3cos ,
5
24sin m m m m 求
的值。
αtan。