2020-2021年数学必修第一册课后试题：第四章1.1 课后课时精练(人教A版)

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湘教版高中数学选择性必修第一册课后习题第4章计数原理第2课时含限制条件的排列问题 (2)

第2课时含限制条件的排列问题A级必备知识基础练1.五名同学国庆假期相约去采风观景,结束后五名同学排成一排照相留念,若甲、乙二人不相邻,则不同的排法共有( )A.36种B.48种C.72种D.120种2.A,B,C,D,E五个字母排成一排,字母A排在字母B的左边(但不一定相邻)的排法种数为( )A.24B.12C.60D.1203.A,B,C,D,E五人站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有( )A.24种B.36种C.48种D.60种4.高三(2)班某天安排6节课,其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节.若要求物理课比生物课先上,语文课与数学课相邻,则课程编排方案共有( )A.42种B.96种C.120种D.144种5.在某场疫情视频会议中,甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言,其中甲必须排在前两位,丙、丁必须排在一起,则四位专家的不同发言顺序共有( )A.12种B.8种C.6种D.4种6.五个人排成一列,若甲、乙必须站在一起,则有24种排法.(判断对错)B级关键能力提升练7.七人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则排法共有( )A.48种B.96种C.240种D.480种8.在某校举行的秋季运动会中,有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1道,乙不在2道的不同安排方法有( )A.12种B.14种C.16种D.18种9.由1,2,3,4,5,6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数:1必须排在前两位,且2,3,4必须排在一起,则这样的六位数共有( )A.48个B.60个C.72个D.84个10.(多选题)用3,4,5,6,7,9六个数字组成没有重复数字的六位数,下列结论正确的有( )A.这样的六位数共有720个B.在这样的六位数中,偶数共有240个C.在这样的六位数中,4,6不相邻的共有144个D.在这样的六位数中,4个奇数数字从左到右、从小到大排序的共有30个11.书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法.(具体数字作答)12.有7名学生,其中3名男生,4名女生,在下列不同条件下,求不同的排法种数.(1)全体站成一排,其中甲不站在最左边,也不站在最右边;(2)男生顺序已定,女生顺序不定;(3)站成三排,前排2名同学,中间排3名同学,后排2名同学,其中甲站在中间排的中间位置;(4)7名同学站成一排,其中甲、乙相邻,但都不与丙相邻.C级学科素养创新练13.男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照,要求男女生相间且甲和乙相邻,共有种不同排法.第2课时含限制条件的排列问题1.C 根据题意,分2步进行:第一步,将除甲、乙之外的三人全排列,有A 33=6种排法;第二步,排好后有4个空位,在4个空位中任选2个,安排甲、乙2人,有A 42=12种排法.则甲乙不相邻的排法有12×6=72种.故选C.2.C 先5个字母全排列,由于字母A 不是排在字母B 的左边,就是排在字母B 的右边两种情况,且这两种情况排列数相等,故所求排列数为A 552=60.故选C.3.A A,B 必须相邻且B 在A 的右边,将A,B 作为一个整体,所以不同的排法种数为A 44=24.故选A.4.C 因为要求物理课比生物课先上,语文课与数学课相邻,所以课程编排方案共有12A 55A 22=120种,故选C. 5.C 根据题意,分2种情况讨论:当甲排在第一位时,将丙、丁看成一个整体,再与乙全排列,共有A 22A 22=4种发言顺序;当甲排在第二位时,则乙安排在第一位,将丙、丁看成一个整体,有A 22=2种发言顺序.故共有4+2=6种不同的发言顺序.故选C.6.错甲、乙必须站在一起,可将甲乙“捆绑”在一起看作一个元素,然后跟剩下的三个人进行全排列,有A 44种排法,甲乙可以交换位置,有A 22种排法,所以五个人排成一列,若甲、乙必须站在一起,共有A44A22=48种排法.7.D 第一步,先让甲从头、尾中选取一个位置,有A21种排法;第二步,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,有A22种排法;第三步,与其余四个元素全排列,有A55种排法.故共有A21A22A55=480种.故选D.8.B 分两类讨论:第一类,甲在2道,安排方法有A33=6种;第二类,甲不在2道,则甲只能在3或4道,乙不能在2道,只能在剩下的2个道中选择一个,丙丁有2种,所以甲不在2号跑道的分配方案有2×2×A22=8种.根据分类加法计数原理,共有6+8=14种方案.故选B.9.B 把2,3,4捆绑在一起,作为一个元素排列,当1排在第一位时,有A33A33=36种排法;当1排在第二位时,2,3,4作为一个元素只能排在第三、四、五位或第四、五、六位,故共有2A33A22=24种排法.由分类加法计数原理得,共有36+24=60种排法.故选B.10.ABD 对于A,符合题意的六位数有A66=720个,故A正确;对于B,若六位数为偶数,其个位数字为4或6,有2种情况,其他数位没有限制,则符合题意的偶数有2A55=240个,故B正确;对于C,将其他4个数字全排列,再将4,6安排在产生的空位中,有A44A52=480个4,6不相邻的六位数,故C错误;对于D,4个奇数数字按从左到右、从小到大的顺序排好,将4,6依次插入到空位中,有5×6=30个符合题意的六位数,故D 正确.故选ABD. 11.504 原来的6本书,加上新买的3本书,任意排列共有A 99种排法,原来的6本书任意排列共有A 66种排法,而原来特有的顺序只有1种,所以共有A 99A 66=9×8×7=504种插法.12.解(1)(方法1)先排甲,有5种排法,其余6人全排列,有A 66种排法,故不同的排法种数为5×A 66=3600.(方法2)左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人,有A 62种排法,其他位置有A 55种排法,故不同的排法种数为A 62A 55=3600.(2)7名学生站成一排,有A 77种排法,其中3名男生的排法有A 33种,由于男生顺序已定,女生顺序不定,故不同的排法种数为A 77A 33=840. (3)首先把甲放在中间排的中间位置,则剩余6人进行全排列,故不同的排法种数为A 66=720.(4)先排出甲、乙、丙3人外的4人,有A 44种排法,由于甲、乙相邻,故再把甲、乙看作一个整体进行排列,有A 22种排法;最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人产生的5个空隙中,有A 52种排法,故不同的排法种数为A 44A 22A 52=960.13.40 (1)6名同学按男女男女男女排列,若男生甲在最左侧,女生乙只能在其右侧,有1种情况,剩下的2名男生和2名女生都各有A22=2种排法,共有1×2×2=4种排法;若男生甲不在最左边的位置,则男生甲有2种排法,此时女生乙可以在其左侧或右侧,有2种排法,剩下的2名男生和2名女生都各有A22=2种排法,共有2×2×2×2=16种排法,故共有4+16=20种排法.(2)6名同学按女男女男女男进行排列,若女生乙在最左边的位置,则男生甲只能在其右侧,有1种情况,剩下的2名男生和2名女生都各有A22=2种排法,共有1×2×2=4种排法;若女生乙不在最右的位置,则女生乙有2种排法,此时男生甲可以在其左侧或右侧,有2种排法,剩下的2名男生和2名女生都各有A22=2种排法,共有2×2×2×2=16种排法,故共有4+16=20种排法.综上,符合条件的排法有20+20=40种.第2课时含限制条件的排列问题A级必备知识基础练1.五名同学国庆假期相约去采风观景,结束后五名同学排成一排照相留念,若甲、乙二人不相邻,则不同的排法共有( )A.36种B.48种C.72种D.120种2.A,B,C,D,E五个字母排成一排,字母A排在字母B的左边(但不一定相邻)的排法种数为( )A.24B.12C.60D.1203.A,B,C,D,E五人站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有( )A.24种B.36种C.48种D.60种4.高三(2)班某天安排6节课,其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节.若要求物理课比生物课先上,语文课与数学课相邻,则课程编排方案共有( )A.42种B.96种C.120种D.144种5.在某场疫情视频会议中,甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言,其中甲必须排在前两位,丙、丁必须排在一起,则四位专家的不同发言顺序共有( )A.12种B.8种C.6种D.4种6.五个人排成一列,若甲、乙必须站在一起,则有24种排法.(判断对错)B级关键能力提升练7.七人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则排法共有( )A.48种B.96种C.240种D.480种8.在某校举行的秋季运动会中,有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1道,乙不在2道的不同安排方法有( )A.12种B.14种C.16种D.18种9.由1,2,3,4,5,6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数:1必须排在前两位,且2,3,4必须排在一起,则这样的六位数共有( )A.48个B.60个C.72个D.84个10.(多选题)用3,4,5,6,7,9六个数字组成没有重复数字的六位数,下列结论正确的有( )A.这样的六位数共有720个B.在这样的六位数中,偶数共有240个C.在这样的六位数中,4,6不相邻的共有144个D.在这样的六位数中,4个奇数数字从左到右、从小到大排序的共有30个11.书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法.(具体数字作答)12.有7名学生,其中3名男生,4名女生,在下列不同条件下,求不同的排法种数.(1)全体站成一排,其中甲不站在最左边,也不站在最右边;(2)男生顺序已定,女生顺序不定;(3)站成三排,前排2名同学,中间排3名同学,后排2名同学,其中甲站在中间排的中间位置;(4)7名同学站成一排,其中甲、乙相邻,但都不与丙相邻.C级学科素养创新练13.男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照,要求男女生相间且甲和乙相邻,共有种不同排法.第2课时含限制条件的排列问题1.C 根据题意,分2步进行:第一步,将除甲、乙之外的三人全排列,有A 33=6种排法;第二步,排好后有4个空位,在4个空位中任选2个,安排甲、乙2人,有A 42=12种排法.则甲乙不相邻的排法有12×6=72种.故选C.2.C 先5个字母全排列,由于字母A 不是排在字母B 的左边,就是排在字母B 的右边两种情况,且这两种情况排列数相等,故所求排列数为A 552=60.故选C.3.A A,B 必须相邻且B 在A 的右边,将A,B 作为一个整体,所以不同的排法种数为A 44=24.故选A.4.C 因为要求物理课比生物课先上,语文课与数学课相邻,所以课程编排方案共有12A 55A 22=120种,故选C. 5.C 根据题意,分2种情况讨论:当甲排在第一位时,将丙、丁看成一个整体,再与乙全排列,共有A 22A 22=4种发言顺序;当甲排在第二位时,则乙安排在第一位,将丙、丁看成一个整体,有A 22=2种发言顺序.故共有4+2=6种不同的发言顺序.故选C.6.错甲、乙必须站在一起,可将甲乙“捆绑”在一起看作一个元素,然后跟剩下的三个人进行全排列,有A 44种排法,甲乙可以交换位置,有A 22种排法,所以五个人排成一列,若甲、乙必须站在一起,共有A44A22=48种排法.7.D 第一步,先让甲从头、尾中选取一个位置,有A21种排法;第二步,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,有A22种排法;第三步,与其余四个元素全排列,有A55种排法.故共有A21A22A55=480种.故选D.8.B 分两类讨论:第一类,甲在2道,安排方法有A33=6种;第二类,甲不在2道,则甲只能在3或4道,乙不能在2道,只能在剩下的2个道中选择一个,丙丁有2种,所以甲不在2号跑道的分配方案有2×2×A22=8种.根据分类加法计数原理,共有6+8=14种方案.故选B.9.B 把2,3,4捆绑在一起,作为一个元素排列,当1排在第一位时,有A33A33=36种排法;当1排在第二位时,2,3,4作为一个元素只能排在第三、四、五位或第四、五、六位,故共有2A33A22=24种排法.由分类加法计数原理得,共有36+24=60种排法.故选B.10.ABD 对于A,符合题意的六位数有A66=720个,故A正确;对于B,若六位数为偶数,其个位数字为4或6,有2种情况,其他数位没有限制,则符合题意的偶数有2A55=240个,故B正确;对于C,将其他4个数字全排列,再将4,6安排在产生的空位中,有A44A52=480个4,6不相邻的六位数,故C错误;对于D,4个奇数数字按从左到右、从小到大的顺序排好,将4,6依次插入到空位中,有5×6=30个符合题意的六位数,故D 正确.故选ABD. 11.504 原来的6本书,加上新买的3本书,任意排列共有A 99种排法,原来的6本书任意排列共有A 66种排法,而原来特有的顺序只有1种,所以共有A 99A 66=9×8×7=504种插法.12.解(1)(方法1)先排甲,有5种排法,其余6人全排列,有A 66种排法,故不同的排法种数为5×A 66=3600.(方法2)左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人,有A 62种排法,其他位置有A 55种排法,故不同的排法种数为A 62A 55=3600.(2)7名学生站成一排,有A 77种排法,其中3名男生的排法有A 33种,由于男生顺序已定,女生顺序不定,故不同的排法种数为A 77A 33=840. (3)首先把甲放在中间排的中间位置,则剩余6人进行全排列,故不同的排法种数为A 66=720.(4)先排出甲、乙、丙3人外的4人,有A 44种排法,由于甲、乙相邻,故再把甲、乙看作一个整体进行排列,有A 22种排法;最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人产生的5个空隙中,有A 52种排法,故不同的排法种数为A 44A 22A 52=960.13.40 (1)6名同学按男女男女男女排列,若男生甲在最左侧,女生乙只能在其右侧,有1种情况,剩下的2名男生和2名女生都各有A22=2种排法,共有1×2×2=4种排法;若男生甲不在最左边的位置,则男生甲有2种排法,此时女生乙可以在其左侧或右侧,有2种排法,剩下的2名男生和2名女生都各有A22=2种排法,共有2×2×2×2=16种排法,故共有4+16=20种排法.(2)6名同学按女男女男女男进行排列,若女生乙在最左边的位置,则男生甲只能在其右侧,有1种情况,剩下的2名男生和2名女生都各有A22=2种排法,共有1×2×2=4种排法;若女生乙不在最右的位置,则女生乙有2种排法,此时男生甲可以在其左侧或右侧,有2种排法,剩下的2名男生和2名女生都各有A22=2种排法,共有2×2×2×2=16种排法,故共有4+16=20种排法.综上,符合条件的排法有20+20=40种.。

2020-2021学年高中数学北师大版必修1课后练习：1.1 集合的含义与表示

§1集合的含义与表示课后篇巩固提升A组基础巩固1.下列各组对象能组成一个集合的是()①某中学高一年级所有聪明的学生;②在平面直角坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;③所有不小于3的正整数;④√3的所有近似值.A.①②B.③④C.②③D.①③解析:①④不符合集合中元素的确定性.故选C.★答案★:C2.下列集合中为⌀的是()A.{0}B.{⌀}C.{x|x2+4=0}D.{x|x+1≤2x}解析:集合{0}中有一个元素0;集合{⌀}中有一个元素⌀;集合{x|x+1≤2x}表示满足不等式x+1≤2x的x的集合,不是空集;集合{x|x2+4=0}表示方程x2+4=0的解集,而该方程无解,故该集合为⌀.★答案★:C3.(改编题)下列集合的表示方法中,不同于其他三个的是()A.{x|x=2 018}B.{2 018}C.{x=2 018}D.{y|(y-2 018)2=0}解析:A,B,D对应的集合中只有一个元素2 018,故它们是相同的集合,而C中虽只有一个元素,但该元素是用等式作为元素,而不是实数2 018,故选项C与其他三个选项不同.★答案★:C4.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.1B.-2C.6D.2解析:当a=1时,由a2=1,2-a=1,4组成一个集合A,A中含有2个元素;当a=-2时,由a2=4,2-a=4,4组成一个集合A,A中含有1个元素;当a=6时,由a2=36,2-a=-4,4组成一个集合A,A中含有3个元素;当a=2时,由a2=4,2-a=0,4组成一个集合A,A中含有2个元素.故选C.★答案★:C5.定义集合运算A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的所有元素之和为()A.0B.6C.12D.18解析:根据A☉B的定义,当x=0时z=0;当x=1时,若y=2,则z=6,若y=3,则z=12.因此集合A☉B的所有元素和为18.★答案★:D6.由下列对象组成的集体属于集合的是(填序号).①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.解析:①④中的对象是确定的,可以组成集合,②③中的对象是不确定的,不能组成集合.★答案★:①④7.用列举法写出集合{33-x∈Z|x∈Z}=.解析:∵33-x ∈Z,x∈Z,∴3能被3-x整除,即3-x为3的因数.∴3-x=±1或3-x=±3.∴33-x =±3或33-x=±1.综上可知,-3,-1,1,3满足题意.★答案★:{-3,-1,1,3}8.已知集合A={x|mx 2+2x+2=0}中有两个元素,则实数m 满足的条件为 .解析:由题意知m ≠0且Δ=4-8m>0,解得m<12,且m ≠0.★答案★:m<1,且m ≠09.用另一种方法表示下列集合:(1){-3,-1,1,3,5};(2){1,22,32,42,…};(3)已知M={2,3},P={(x ,y )|x ∈M ,y ∈M },写出集合P ;(4)集合A={x ∈Z |-2≤x ≤2},B={x 2-1|x ∈A },写出集合B.解:(1){x|x=2k-1,k ∈Z ,且-1≤k ≤3}.(2){x|x=n 2,n ∈N +}.(3)P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.(4)因为A={-2,-1,0,1,2},所以B={3,0,-1}.10.导学号85104002已知集合A 由3个元素:a 2,a+1,0构成,且1∈A ,试求实数a 的值. 解:因为1∈A ,所以a 2=1或a+1=1.若a 2=1,则a=±1.当a=1时,集合A 中的元素是1,2,0,符合要求;当a=-1时,集合A 中的元素是1,0,0,不符合元素的互异性.若a+1=1,则a=0,集合A 中的元素是0,1,0,不符合元素的互异性.综上可知,实数a 的值为1. B 组能力提升1.若{b }={x|ax 2-4x+1=0}(a ,b ∈R ),则a+b 等于( )A .92B .92或14C .85D .14或85解析:∵{b }={x|ax 2-4x+1=0},∴ax 2-4x+1=0只有一个实数根. 当a=0时,{b }={14},此时a+b=14;当a ≠0时,Δ=16-4a=0, ∴a=4,此时b=12.∴a+b=4+12=92.故a+b=14或a+b=92.★答案★:B 2.已知集合A 的元素满足条件:若a ∈A ,则1+a 1-a ∈A (a ≠1),当13∈A 时,则集合A 中元素的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:∵1∈A ,∴1+131-13=2∈A. ∵2∈A ,∴1+2=-3∈A.∵-3∈A ,∴1-31+3=-12∈A.∵-12∈A ,∴1-121+12=13∈A.∴集合A 中有-3,-12,13,2四个元素.★答案★:D3.已知集合A={x|x=2a ,a ∈Z },B={x|x=2a+1,a ∈Z },C={x|x=4a+1,a ∈Z }.若m ∈A ,n ∈B ,则有( )A .m+n ∈AB .m+n ∈BC .m+n ∈CD .m+n 不属于A ,B ,C 中的任意一个解析:由m ∈A ,可设m=2a 1,a 1∈Z .由n ∈B ,可设n=2a 2+1,a 2∈Z .所以得到m+n=2(a 1+a 2)+1,且a 1+a 2∈Z ,所以m+n ∈B ,故选B .★答案★:B 4.已知x ,y ,z 为非零实数,代数式x |x |+y |y |+z |z |+xyz |xyz |的值所组成的集合是M ,则M= . 解析:若x ,y ,z 都大于零,则代数式的值为4;若x ,y ,z 都小于零,则代数式的值为-4;其他情况均为0,故M={-4,0,4}.★答案★:{-4,0,4}5.定义非空数集的一种运算:A*B={x|x=x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B }.若A={1,2,3},B={1,2},则A*B 的所有元素之和为 .解析:由定义可知A*B={2,3,4,5},故A*B 的所有元素之和为2+3+4+5=14.★答案★:146.(开放题)对于一个集合S ,若a ∈S 时,有1a ∈S ,则称这样的数集为“可倒数集”,试写出一个“可倒数集”: .★答案★:{1,2,12}(★答案★不唯一)7.给定集合A ,若对于任意a ,b ∈A ,有a+b ∈A 且a-b ∈A ,则称集合A 为闭集合,给出如下四个结论:①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②正整数集是闭集合;③无理数集是闭集合;④集合A={x|x=3k ,k ∈Z }为闭集合,其中正确的是 .(填序号)解析:①中取a=-4,b=4,则a-b=-8∉A ,故①不成立;②中取a=1,b=3,此时a-b=-2不是正整数,故②不成立;③中取a=1+√2,b=1-√2,则a+b=2∉A ,故③不成立;④中取a=3k 1(k 1∈Z ),b=3k 2(k 2∈Z ),则a+b=3(k 1+k 2)∈A ,a-b=3(k 1-k 2)∈A ,故④成立.★答案★:④8.(信息题)设A 是整数集的一个非空子集,对于k ∈A ,若k-1∉A ,且k+1∉A ,则称k 是A 的一个“孤立元”.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},在由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为 .解析:题目中的“孤立元”的含义就是不相邻,所以不含“孤立元”的集合中的元素必是连续的三个数,共有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}这6个.★答案★:69.设A 是由一些实数构成的集合,若a ∈A ,则11-a ∈A ,且1∉A. (1)若3∈A ,求集合A ; (2)证明:若a ∈A ,则1-1a ∈A ;(3)集合A 能否只有一个元素?若能,求出集合A ;若不能,说明理由.(1)解:∵3∈A ,∴1=-1∈A , ∴11-(-12)=23∈A , ∴11-23=3∈A ,∴A={3,-12,23}. (2)证明:∵a ∈A ,∴11-a ∈A , ∴11-11-a =1-a -a =1-1∈A. (3)解:假设集合A 只有一个元素,记A={a },则a=1,即a 2-a+1=0有且只有一个实数解.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a 2-a+1=0无实数解.这与a 2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,∴假设不成立,即集合A 不能只有一个元素.10.导学号85104003已知集合M={x|(x-a )(x 2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a 的值,并用列举法表示集合M.解:根据集合中元素的互异性知,当方程(x-a )(x 2-ax+a-1)=0有重根时,重根只能算作集合的一个元素,又M={x|(x-a )(x-1)[x-(a-1)]=0}.当a=1时,M={1,0},不符合题意;当a-1=1,即a=2时,M={1,2},符合题意;当a ≠1,且a ≠2时,a+1+a-1=3,则a=32,M={12,1,32},符合题意.综上所述,实数a 的值为2或32,当a=2时,M={1,2};当a=32时,M={12,1,32}.。

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)

新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习1.1.1集合的概念 (2)1.1.2集合的表示 (3)1.2集合间的基本关系 (5)1.3.1并集与交集 (7)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (11)1.4.2充要条件 (12)1.5.1全称量词与存在量词 (13)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (14)2.1等式性质与不等式性质 (16)2.2.1基本不等式 (17)2.2.2利用基本不等式求最值 (18)2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 (19)2.3.2一元二次不等式的应用 (20)3.1.1.1函数的概念 (21)3.1.1.2函数概念的应用 (22)3.1.2.1函数的表示法 (24)3.1.2.2分段函数 (25)3.2.1.1函数的单调性 (26)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (32)3.3幂函数 (36)3.4函数的应用(一) (37)4.1.1根式 (40)4.1.2指数幂及其运算 (41)4.2.1指数函数及其图象性质 (43)4.2.2指数函数的性质及其应用 (44)4.3.1对数的概念 (47)4.3.2 对数的运算 (48)4.4.1对数函数及其图象 (49)4.2.2对数函数的性质及其应用 (51)4.4.3不同函数增长的差异 (53)4.5.1函数的零点与方程的解 (54)4.5.2用二分法求方程的近似解 (57)4.5.3函数模型的应用 (58)5.1.1任意角 (60)5.1.2弧度制 (61)5.2.1三角函数的概念 (62)5.2.2同角三角函数的基本关系 (64)5.3.1诱导公式二、三、四 (66)5.3.2诱导公式五、六 (67)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (69)5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一) ...................................................................... 71 5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二) ...................................................................... 73 5.4.3正切函数的性质与图象 ........................................................................................ 75 5.5.1.1两角差的余弦公式 ............................................................................................. 76 5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 ......................................................................... 78 5.5.1.3两角和与差的正切公式 ..................................................................................... 80 5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 ..................................................................... 81 5.5.2.1简单的三角恒等变换 ......................................................................................... 83 5.5.2.2三角恒等变换的应用 ......................................................................................... 84 5.6.1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一) .......................................................................... 86 5.6.2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二) .......................................................................... 88 5.7三角函数的应用 . (90)1.1.1集合的概念1．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( ) A ． 2 B ．12 C ．－2 D ．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q ，2∈R .[答案] A2．若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝2019 C ．a ＝1D ．a ＝0或a ＝2019[解析] 若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C ． [答案] C3．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1. A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案] C4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为( )A．4 B．2C．0 D．0或4[解析] 当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，a＝4，故选A．[答案] A5．下列说法正确的是________．①及第书业的全体员工形成一个集合；②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；④x，3x3，x2，|x|形成的集合中最多有2个元素．[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案] ①④1.1.2集合的表示1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析] ∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.[答案] B2．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A[解析] ∵x∈N*，－5≤x≤5，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A，选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1，－2)，故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时，x ＝4；当t ＝2时，x ＝4；当t ＝3时，x ＝9；当t ＝4时，x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2，－1,0,1,2，共有5个元素，则用列举法表示为{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2. (3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．课内拓展课外探究集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】用列举法表示下列集合： (1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y ＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案] B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．16[解析] A ＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案] A3．已知集合A ＝{3，－1}，集合B ＝{|x －1|，－1}，且A ＝B ，则实数x 等于( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－2D ．2[解析] ∵A ＝B ，∴|x －1|＝3，解得x ＝4或x ＝－2. [答案] C4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为________．[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案] 65．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．[解] (1)当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意．当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴(如图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <－2或0≤m ≤52. (2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.1.3.1并集与交集1．设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}[解析] 因为A ∩C ＝{1,2}，所以(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，选D. [答案] D2．集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M 等于( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{x |0≤x ≤3}D ．{x |0≤x <3}[解析] 由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}，故P ∩M ＝{0,1,2}． [答案] B3．已知集合A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B[解析] ∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R .故选B.[答案] B4．设集合M ＝{x |－3≤x <7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．[解析] 因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－k 2，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.[答案] k ≤65．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．[解] (1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .∵M ＝{2}，∴2∈N . ∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.由(1)知，M∩N＝{2}＝M，适合题意，故m＝2.1.3.2补集及集合运算的综合应用1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.[答案] D2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．[答案] C3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．[答案] C4．全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|0<x<5}，则∁U A＝________.[解析] ∁U A＝{x|5≤x<10}，如图所示．[答案] {x|5≤x<10}5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁U A＝{5}，求实数a的值．[解] ∵∁U A＝{5}，∴5∈U，但5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．∴∁U A＝{5}，适合题意．∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁U A无意义，故a ＝－4应舍去．综上所述，a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A 的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或A B类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a的值组成的集合．[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，解得a <－4或a >4.此时B ⊆A .(2)若B ≠∅，则B ＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B ＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝－2， ∴(－2)2＋(－2)a ＋a 2－12＝0，即a 2－2a －8＝0. 解得a ＝4或a ＝－2.当a ＝4时，恰有Δ＝0；当a ＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a ＝4时，B ⊆A . ②若B ＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝4， ∴42＋4a ＋a 2－12＝0，解得a ＝－2，此时Δ>0，舍去．③若B ＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x ＝－2或x ＝4，由①②知a ＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．∴当a ＝－2时，B ⊆A .综上所述，满足B ⊆A 的a 值组成的集合是{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．[点评] ∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A ，皆有A ∩∅＝∅；(2)对于任意集合A ，皆有A ∪∅＝A .正因如此，如果A ∩B ＝∅，就要考虑集合A 或B 可能是∅；如果A ∪B ＝A ，就要考虑集合B 可能是∅.【典例2】设全集U ＝R ，集合M ＝{x |3a －1<x <2a ，a ∈R }，N ＝{x |－1<x <3}，若N ⊆(∁UM )，求实数a 的取值集合．[解] 根据题意可知：N ≠∅，又∵N ⊆(∁U M )． ①当M ＝∅，即3a －1≥2a 时，a ≥1. 此时∁U M ＝R ，N ⊆(∁U M )显然成立． ②当M ≠∅，即3a －1<2a 时，a <1.由M ＝{x |3a －1<x <2a }，知∁U M ＝{x |x ≤3a －1或x ≥2a }．又∵N ⊆(∁U M )，∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3≤3a －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≤－1，得a ≤－12.综上可知，a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤－12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．1.4.1充分条件与必要条件1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断[解析] 因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A.[答案] A2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3[解析] 因为x>2⇒x>1，所以选A.[答案] A3．下列命题中，是真命题的是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件[解析] A中，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故x2>0是x>0的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件．D中，|x|>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.[答案] B4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．[答案] 不必要(填必要、不必要)5．(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围．(2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．[解] (1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}．所以m ≤1.故m 的取值范围为{m |m ≤1}． (2)因为N 是M 的必要条件，所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为{a |－2≤a ≤7}．1.4.2充要条件1．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．[答案] A2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．[答案] B3．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件[解析] 由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] D4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． [解析] 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0. [答案] a <05．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[证明] 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1.5.1全称量词与存在量词1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘0都等于0 B ．自然数都是正整数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D 选项是存在量词命题． [答案] D2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案] B3．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3[解析] “∀x ∈R ，x 2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． [答案] C4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵对于任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8. [答案] a ≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假． (1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点． [解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ，使|x |＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题．(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x －3≤0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x －3≤0 B ．∃x ∈R ，x 2－2x －3≥0 C ．∃x 0∈R ，x 2－2x －3>0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x －3>0[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.[答案] D2．已知命题p ：∀x >0，x 2≥2，则它的否定为( )A ．∀x >0，x 2<2 B ．∀x ≤0，x 2<2 C ．∃x ≤0，x 2<2 D ．∃x >0，x 2<2[答案] D3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.[答案] C4．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A ．p ：∀x ≥3，x 2－2x －3≥0；p 的否定：∃x ≥3，x 2－2x －3<0B ．p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C ．p ：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；p 的否定：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0[解析] 若p ：有的三角形为正三角形，则p 的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误．[答案] C5．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题． (2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．(4)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”，这个命题为真命题．因为x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋14＋34＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.2.1等式性质与不等式性质1．下列说法正确的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[解析] 用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. [答案] C3．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤22.2.1基本不等式1．若ab >0，则下列不等式不一定能成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b2≥abD ．b a ＋a b≥2[解析] C 选项由条件可得到a 、b 同号，当a 、b 均为负号时，不成立． [答案] C 2．已知a >1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( ) A.a ＋12<a <2a a ＋1 B.a <a ＋12<2aa ＋1C.2a a ＋1<a <a ＋12 D.a <2a a ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 是正数时，2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12.又a >1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C.[答案] C3.b a ＋ab≥2成立的条件是________．[解析] 只要b a 与a b都为正，即a 、b 同号即可． [答案] a 与b 同号4．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. [证明] 因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc，即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6.2.2.2利用基本不等式求最值1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式1．不等式－x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}[解析] 由－x 2－5x ＋6≤0得x 2＋5x －6≥0，即(x ＋6)(x －1)≥0， ∴x ≥1或x ≤－6. [答案] D2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象可得{x |－1≤x ≤2}，故选D. [答案] D3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a，a ＝3.[答案] C4．不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为________． [解析] ∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0， ∴不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为R . [答案] R5．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________． [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0，方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． [答案] {x |x <－a 或x >1}2.3.2一元二次不等式的应用1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |x >2} C ．{x |x <－3或x >2} D ．{x |x <－2或x >3}[解析] 不等式x －2x ＋3>0⇔(x －2)(x ＋3)>0的解集是{x |x <－3或x >2}，所以C 选项是正确的．[答案] C2．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． [答案] B3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2[解析] 由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.[答案] D4．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a <－4或a >4[解析] 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A. [答案] A5．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈R )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 [解析] 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. [答案] C3.1.1.1函数的概念1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)[解析] 由题意可知，要使函数有意义，需满足{ x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.[答案] A2．函数y ＝1－x 2＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤－1}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.[答案] D 3．函数f (x )＝(x ＋2)(1－x )x ＋2的定义域为( )A ．{x |－2≤x ≤1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(1－x )≥0，x ＋2≠0，解得－2≤x ≤1，且x ≠－2，所以函数的定义域是{x |－2<x ≤1}．[答案] C4．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． [解析] 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． [答案] [－1,0)∪(1,2]5．已知矩形的周长为1，它的面积S 是其一边长为x 的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．[解析] 由实际意义知x >0，又矩形的周长为1，所以x <12，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123.1.1.2函数概念的应用1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (m )＝m(m )2[解析] A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.[答案] D2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35[解析] f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.[答案] B3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1[解析] y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．[答案] B4．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[解析] 由f (x )的定义域是[0,2]知，{ 0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，所以g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)． [答案] B5．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． [解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5} ∴f (x )＝2x －3∈{－1,1,3,5,7}． ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． [答案] {－1,1,3,5,7}3.1.2.1函数的表示法1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[解析] 设y ＝k x ，当x ＝2时，y ＝1，所以1＝k 2，得k ＝2.故y ＝2x.[答案] C2．由下表给出函数y ＝f (x )，则f [f (1)]等于( )x 1 2 3 4 5 y45321A.1 B ．2 C ．4 D ．[解析] 由题意得f (1)＝4，所以f [f (1)]＝f (4)＝2. [答案] B3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.[答案] C4．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )的解析式为__________________． [解析] (换元法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25，∴f (x )＝2x ＋25.[答案] f (x )＝2x ＋255．已知f (x )＝x ＋b ，f (ax ＋1)＝3x ＋2，求a ，b 的值． [解] 由f (x )＝x ＋b ，得f (ax ＋1)＝ax ＋1＋b . ∴ax ＋1＋b ＝3x ＋2，∴a ＝3，b ＋1＝2，即a ＝3，b ＝1.3.1.2.2分段函数1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，排除D 项． [答案] B5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.[答案] 23.2.1.1函数的单调性1．如图所示，函数y ＝f (x )在下列哪个区间上是增函数( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数． [答案] C2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2[解析] 选项A ，B 在(－∞，0)上为减函数，选项D 在(－2，0]上为减函数，只有选项C 满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.[答案] C3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 由一次函数的性质得2a －1<0，即a <12.故选D.[答案] D4．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．[解析] 因为f (x )在区间[－1,1]上为增函数，且f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明． [解] f (x )在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，由x 1>x 2>0知x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．3.2.1.2函数的最大(小)值1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2[解析] 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.[答案] C2．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 作出函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.[答案] D3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.[答案] A4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．[解析] 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．[答案] 205．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．[解] (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上是单调递减的． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上是单调递增的，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上是单调递减的，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.3.2.2.1函数奇偶性的概念1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由－1＋a ＝0，得a ＝1.选C. [答案] C2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1][解析] A 项中的函数为奇函数；C 、D 选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B 项中的函数为偶函数．故选B.[答案] B3．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称[解析] 函数f (x )＝1x－x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称．[答案] C4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.[解析] 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.[答案] 45．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式f (x )g (x )<0的解集．[解] 由题知，y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数．根据函数图象的对称性画出y ＝f (x )，y ＝g (x )在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f (x )>0⇔0<x <2或－2<x <0，g (x )>0⇔1<x <3或－1<x <0.f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0，可求得其解集是{x |－2<x <－1或0<x <1或2<x <3}．3.2.2.2函数奇偶性的应用1．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝－x －1C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x －1[解析] 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数． ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴f (x )＝－x －1(x <0)． [答案] B2．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2) [解析] ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π， ∴f (π)>f (3)<f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2)． [答案] A3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [解析] 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.。

2020-2021年数学必修第一册课后试题：第四章4.1 课后课时精练(人教A版)

『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．在对数式log (x －1)(3－x )中，实数x 的取值范围应该是( ) A ．1<x <3 B ．x >1且x ≠2 C ．x >3 D ．1<x <3且x ≠2答案 D解析要使对数式log (x －1)(3－x )有意义，需⎩⎨⎧3－x ＞0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ＜3且x ≠2.2．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 C解析由题意，得⎩⎨⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.3．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38 答案 B解析 ∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，∴⎩⎨⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3.故选B.4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只答案 A解析将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.5．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞答案 B解析由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立． k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎨⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54，故选B.二、填空题 6．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________．答案 {x |x ＜4且x ≠3}解析由题意，得⎩⎨⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．7．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝________. 答案 1解析依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 8．集合A ＝{1，log 2x }中的实数x 的取值范围为________．答案 (0,2)∪(2，＋∞) 解析 ∵集合A ＝{1，log 2x }，∴⎩⎨⎧log 2x ≠1，x ＞0，解得x ∈(0,2)∪(2，＋∞)．三、解答题9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2O10(单位：m/s)，其中O 表示燕子的耗氧量．。

高一数学必修1第四章测试题及答案

必修1第四章石油中学席静一、选择题1 已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（）A 函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B 函数)(x f 在(3,5)内无零点C 函数)(x f 在(2,5)内有零点D 函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点2 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为（）A 1B 2C 3D 43 已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （）A 有且仅有一个根B 至多有一个根C 至少有一个根D 以上结论都不对4 如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（）A ()6,2-B []6,2-C {}6,2-D ()(),26,-∞-+∞5若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A 若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B 若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C 若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D 若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；6 方程0lg =-x x 根的个数为（）A 无穷多B 3C 1D 07若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（）A23 B 32 C 3 D 31 8 设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（） A (1,1.25) B (1.25,1.5)C (1.5,2)D 不能确定9下列函数均有零点，其中不能用二分法求近似解的是（）．10函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（）A 41B 1-C 4D 4-11 直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（）A 4个B 3个C 2个D 1个12 若方程0x a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（）A (1,)+∞B (0,1)C (0,2)D (0,)+∞二、填空题：13 用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是14 设函数)(x f y =的图象在[],a b 上连续，若满足，方程0)(=x f在[],a b 上有实根 .15 已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -的零点是__________16 函数()f x 对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为17已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下,()x f x 对应值表：则函数()f x 在区间有零点。

2020-2021学年高中数学北师大版必修1课后练习：1.1 集合的含义与表示 Word版含解析

§1集合的含义与表示课后篇巩固提升A组基础巩固1。

下列各组对象能组成一个集合的是（）①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;③所有不小于3的正整数;④√3的所有近似值。

A.①②B.③④C。

②③ D.①③解析:①④不符合集合中元素的确定性。

故选C.答案:C2。

下列集合中为⌀的是()A。

｛0} B.｛⌀｝C。

｛x｜x2+4=0｝D。

{x｜x+1≤2x}解析：集合{0｝中有一个元素0；集合｛⌀｝中有一个元素⌀；集合{x|x+1≤2x｝表示满足不等式x+1≤2x的x的集合，不是空集；集合｛x|x2+4=0}表示方程x2+4=0的解集,而该方程无解，故该集合为⌀.答案:C3.（改编题）下列集合的表示方法中,不同于其他三个的是（) A。

{x｜x=2 018}B。

{2 018｝C.{x=2 018}D.{y｜(y-2 018）2=0}解析：A,B,D对应的集合中只有一个元素2 018,故它们是相同的集合,而C中虽只有一个元素,但该元素是用等式作为元素，而不是实数2 018，故选项C与其他三个选项不同。

答案：C4。

由a2，2—a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A。

1 B。

—2 C.6 D。

2解析:当a=1时,由a2=1，2-a=1，4组成一个集合A，A中含有2个元素;当a=-2时，由a2=4，2—a=4，4组成一个集合A，A中含有1个元素；当a=6时,由a2=36,2-a=-4，4组成一个集合A,A中含有3个元素;当a=2时,由a2=4，2-a=0，4组成一个集合A，A中含有2个元素。

故选C。

答案：C5。

定义集合运算A☉B=｛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B｝,设集合A={0，1｝,B=｛2，3},则集合A☉B的所有元素之和为()A.0 B。

6C。

12 D.18解析：根据A☉B的定义,当x=0时z=0;当x=1时，若y=2,则z=6，若y=3,则z=12。

【新教材】2020-2021学年高中数学北师大版必修第一册一课一练：模块整合 Word版含解析

新21版练数学1配北师版模块整合1.☉%764###0#%☉(复旦大学自主招生)已知函数f (x )的定义域为(0,1),则g (x )=f (x +c )+f (x -c )在0<c <12时的定义域为( )。

A.(-c ,1+c )B.(1-c ,c )C.(1+c ,-c )D.(c ,1-c )答案：D解析：要使函数式有意义,需{0<x +c <1,0<x -c <1,即{-c <x <1-c ,c <x <1+c 。

因为0<c <12,所以c <x <1-c ,即定义域为(c ,1-c )。

2.☉%#*4##071%☉(全国高中数学联赛(陕西赛区)预赛)设函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c (a ,b ,c 均为非零整数)。

若f (a )=a 3,f (b )=b 3,则c 的值为( )。

A.-16B.-4C.4D.16答案：D解析：令g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c ,则由f (a )=a 3,f (b )=b 3,得g (a )=g (b )=0,所以a ,b 为方程g (x )=0的两个根,则a +b =-b a ,ab =c a 。

消去b ,得c =-a 4a+1=-(a 2+1)(a -1)-1a+1。

因为a ,b ,c 为非零整数,所以a +1=-1,即a =-2。

故c =16。

3.☉%9#611*￥@%☉(清华大学能力测试题)函数f (x )=[2x ]-2[1x ]([x ]表示不超过x 的最大整数)的值域为( )。

A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2}答案：B解析：本题等价于求函数g (x )=[2x ]-2[x ],x ≠0的值域,考虑到函数g (x )是周期为1的函数,因此只需考虑在x∈(0,1]上的值域,事实上,我们有g (x )={0,x ∈(0,0.5),1,x ∈[0.5,1),0,x =1,于是所求的值域为{0,1}。

2019-2020年数学必修第一册课后试题：第四章1.2(人教A版)

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教师独具内容)课程标准：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.理解指数幂的运算性质.3.能进行指数幂(实数幂)的运算．教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算．教学难点：无理数指数幂的意义的理解．【知识导学】知识点一无理数指数幂(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点二实数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝□01a ＋(a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝□02a (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝□03a b (a >0，b >0，r ∈R )．【新知拓展】对于实数a ＞0，r ，s 有a r÷a s＝ar －s成立．这是因为a r÷a s＝a ra s ＝a r ·a －s ＝a r －s .教材中没有给出此性质，但是它可以由已有公式推导出来．(1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的．(2)化简指数幂的几个常用技巧如下：①⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b p (ab ≠0)； ②a ＝(a 1m)m ，anm ＝(a 1m)n (a 使式子有意义)；1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β是实数，当a>0时，(aα)β＝(aβ)α.()(2)当a>0，b>0时，(a 12＋b－12)(a12－b－12)＝a－b－1.()(3)当a>0时，(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－2.()(4)[(3)－2]12＝ 3.()(5)(3－2)12×(3)－2＝19.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)化简：(3－3)3＝________.(2)已知5α＝3,5β＝2，则①5α＋β＝________；②5α－β＝________；③5－3α＝________；④5α2＝________.答案(1)127(2)①6②32③127④ 3题型一利用指数幂的运算性质化简与求值金版点睛指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.题型二条件求值问题金版点睛解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)：1.3a·6－a等于()A.－－a B．－a C.－a D.a答案 A解析3a·6－a＝a13·(－a)16＝－(－a)13·(－a)16＝－(－a)12＝－－a.。

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『高中数学』
教学课件‖
课时训练‖
讲义测试‖
A 级：“四基”巩固训练
一、选择题
1.若n a n ＋(n ＋1a )n ＋1＝0，a ≠0，且n ∈N *，则( ) A.a >0，且n 为偶数 B ．a <0，且n 为偶数 C.a >0，且n 为奇数 D ．a <0，且n 为奇数答案 B 解析由(
n ＋1
a )n ＋1＝a ，得n
a n ＝－a ，故n 为偶数且a <0.
2.若xy ≠0，那么等式 x 2y 3＝－xy y 成立的条件是( ) A.x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C.x <0，y >0 D ．x <0，y <0 答案 C
解析
依题意，得⎩⎨⎧
x 2y 3>0，
－xy >0，
y >0，
解得⎩
⎨⎧
x <0，y >0，故选C.
3.若4
a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A.[2，＋∞)
B ．[2,4)∪(4，＋∞) C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)
答案 B
解析由题意可知，a －2≥0且a －4≠0，∴a 的取值范围是a ≥2且a ≠4，故选B.
4.7＋43＋ 7－43等于( )
A.－4 B ．2 3 C ．－2 3 D ．4
答案 D 解析 7＋43＋ 7－43＝
(2＋3)2＋
(2－3)2＝(2＋3)＋(2－3)
＝4.
5.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A.2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x 答案 C
解析由2－x 有意义得x ≤2，则x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝|x －2|－|x －3|
＝(2－x)－(3－x)＝－1.
二、填空题
6.化简：b－(2b－1)(1<b<2)＝________.
答案b－1
解析原式＝(b－1)2＝b－1(1<b<2).
7.已知3a＝2,3b＝5，则32a－b＝________.
答案4 5
解析∵3a＝2,3b＝5，∴32a－b＝(3a)2·3－b＝22×1
5＝
4
5.
8.已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①6
(－2)2n；②
5
a2；③
6
(－3)2n＋1；
④9
－a4，其中没有意义的是________(只填式子的序号即可)．
答案③
解析①中，(－2)2n>0，∴
6
(－2)2n有意义；
②中，根指数为5，∴
5
a2有意义；
③中，(－3)2n＋1<0，∴
6
(－3)2n＋1没有意义；
④中，根指数为9，∴
9
－a4有意义.
三、解答题
9.已知a<b<0，n>1，n∈N*，化简
n
(a－b)n＋
n
(a＋b)n.
解∵a<b<0，∴a－b<0，a＋b<0.
当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a. ∴
n
(a－b)n＋
n
(a＋b)n＝
⎩
⎨
⎧2a，n为奇数，
－2a，n为偶数.
10.若x>0，y>0，且x－xy－2y＝0，求
2x－xy
y＋2xy
的值．
解∵x－xy－2y＝0，x>0，y>0，
∴(x)2－xy－2(y)2＝0.
∴(x＋y)(x－2y)＝0.
由x>0，y>0，得x＋y>0.。