江苏省宿迁市宿豫中学2015届高三数学小题训练06
徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学与答案(WORD)
、、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学Ⅰ参考公式：棱柱的体积公式：,Sh V =其中S 是棱柱的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知复数i i i z )(43(+=是虚数单位），则z 的模为 ▲ . 2.已知集合},4,2{],3,1(=-=B A 则=B A ▲ .3.如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准，污染指数在区间)51,0[，空气质量为优；在区间)101,51[，空气质量为良；在区间)151,101[，空气质量为轻微污染；. 由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.4.执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值是 ▲ .5.已知集合},4,3,2{},1,0{==B A 若从B A ,中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为 ▲ .6.设等差数列}{n a 的前n 项为,28,26,453==+S a a S n 则10a 的值为 ▲ .7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为 ▲ .8.已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线y x 82=的焦点，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .9.已知函数),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f 若,1)32(=πf 则函数)(x f y =的最小正周期为 ▲ .10.在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 平面,1,111=AA C AB 底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 ▲ .注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项与各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
江苏省宿迁市宿豫中学届高三数学小题训练14.docx
高三数学小题训练（14）姓名 学号 得分1、复数31()i i-=_________ 2、已知命题1cos ,:≤∈∀x R x p ,则命题p 的否定p ⌝是 ______3、偶函数)0](,0[)(>a a x f 在上是单调函数，且0)(,0)()0(=<⋅x f a f f 则方程在],[a a -，内根的个数是________4、设p q x x q a x p 是若,0121:,|12:|>-->+的充分非必要条件，则实数a 取值范围是_______ 5、函数)2(211ln)(≠++=a xax x f 为奇函数，则实数a= . 6、已知(,)2παπ∈,且3sin 5α=,求2sin tan()24απα+-的值为________________ 7、]2,2[)(62)(23-+-=，在为常数m m x x x f 上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为______________8、若变量x 、y 满足20,40,0,x y x y y ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ 则22x y +的最小值为 ．9、已知向量a=(x,3),b =(2,1),若a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是10、若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =_______11、对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数22)1(1)(++=x x x f 的下确界为____________12、若函数.)(23c bx ax x x f +++=在区间[－1，0]上是单调递减函数，求22b a +的 最小值为_________13、{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =__________。
宿迁市高三数学期中联考试卷(含答案).doc
2015—2016学年第一学期宿迁市高三年级期中联考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知全集{}5,4,3,2,1,0=U ，集合{}5,3,1=A ，{}2,1=B ，则()Cu A B =U （ ▲ ） A ．{}4 B ．{}0 C ．{}4,0 D ．{}5,3,2,1 2.已知55cos -=α，且α为第三象限角，则αtan 为 （ ▲ ） A ．2 B ．－2 C ．21D ．21- 3.已知函数x x f x -+-=4)93lg()(，则该函数的定义域为 （ ▲ ） A ． ()4,2 B ． [)4,2 C ．[]4,2 D ．(]4,24.三数5.02、2log 5、2log 5.0大小关系为 （ ▲ ） A.2log 5＜2log 5.0＜5.02 B.2log 5.0＜2log 5＜5.02 C.2log 5.0＜5.02＜2log 5 D. 2log 5＜5.02＜2log 5.05.已知等比数列{}n a 的首项为1，若321,2,4a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前5项和为 （ ▲ ） A ．321 B ．16 C ．31 D ．1616.若直线024=-+y mx 与直线052=+-n y x 垂直，且两直线的交点为),1(k ， 则=+-k n m （ ▲ ） A ．-4 B ．20 C ．30 D ．247.已知函数2)2(log )(-+=x x f a (0,1a a >≠)的图象恒过定点A ，且点A 在直线10mx ny ++=上，若0m >，0n >，则12m n+的最小值为 （ ▲ ） A.8 B.4 C.9 D.168.已知函数1)32()20)(6sin()(=<<+=πωπωf x x f ，若，则函数)(x f 的最小正周期为 （ ▲ ）A.π2B. π4C.2πD.4π 9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则p 的值为( ▲ ) A.4B.-4C.8D.-810.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=2,2,2)(2x a x x a x f x在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 （ ▲ ） A.〔-1,2〕 B. (-∞,-1〕U 〔2，+∞) C. 〔-2，1〕 D. (-∞,-2〕U 〔1,+∞) 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.将十进制数53换算成二进制数，即=10)53( ▲ ． 12．题12图是一个程序框图，运行输出的结果y = ▲ ．13.某项工程的流程图如下(单位：天)：完成该工程的最短总工期的天数为 ▲ ．14.数组a ),4,0,3(-=b ),1,2,3(=c )0,1,2(=计算：c b a ⋅+)( ▲ ．15.若圆016222=+-++y y x x 上相异两点P Q 关于直线042=-+y kx 对称，则k 的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共8题，共90分）16.(8分)已知复数,6)(,2=--=+-i z z z z 其中为i 为虚数单位, （1）求复数z ；（2）若复数z 是实系数一元二次方程02=++c bx x 的根，求c b ,的值．17.（10分）已知)1,3(),sin ,(cos -==b a θθ， （1）若⊥，求θθ2sin cos 22-的值； （2的最大值．18.（10分）已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a 的值.19.（12分）已知函数21cos sin 3sin )(2-+=x x x x f（1）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值；（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆的内角C B A 、、的对边，其中A 为锐角，1)(4,32===A f c a 且,求的面积及ABC b ∆.20.（12分）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列．(1)求等差数列{}n a 的通项n a ；(2)设12n a n n b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21.（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；22.（12分）铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为多少？(百万元)．23.（14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为36，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点),(y x M 为椭圆上的动点，求y x 2+的最大值和最小值；（3）斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，若6=PQ ，求直线l 的方程．数学 答案一、选择题1.C2. A3.D4.B5.C6.B7.C8.B9. C 10.A 二、填空题11.2)110101( 12.4 13.23 14. 2 15.2三、解答题16.（8分）解：（1）设),(R b a bi a z ∈+=，则据题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=-++6)(2i bi a bi a bi a bi a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2622b a -------------4分 ∴i z 2622--=----------------------5分 （2）由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+cz z bz z 得 ⎩⎨⎧==22c b ------------8分17.（10分）解：（1）因为⊥， ∴0sin cos 3=-θθ即3cos sin tan ==θθθ------2分 ∴231tan 1tan 22sin cos 2sin cos 22sin cos 222222-=+-=+-=-θθθθθθθθ-----4分 （221==（3）=⋅b a )6cos(2sin cos 3πθθθ+=-------------6分)6cos(45πθ+-==---------8分∴当1)6cos(-=+πθ有最大值3-----------10分18.（10分）解 (1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3.-------------------4分 (2)设直线方程为x ＋y ＝b ，-------5分 由于直线过点A ，∴1＋a ＝b ， ∴直线方程为x ＋y ＝1＋a ， 即x ＋y －a －1＝0.又直线与圆相切，∴d ＝|a ＋1|2＝2，-----------8分 ∴a ＝±22－1.------------------10分19.（12分）解：（1）)62sin(212sin 2322cos 121cos sin 3sin )(2π-=-+-=-+=x x x x x x x f ----4分 ∴当Z k k x ∈+=-,2262πππ时，)(x f 取最大值1此时Z k k x ∈+=,3ππ-----------6分（2）1)62sin()(=-=πA A f∴Z k k A ∈+=-,2262πππ∴Z k k A ∈+=,3ππ∵为锐角A∴3π=A -----------------8分又由C C c A a sin 43sin32,sin sin ==π得解得2π=C -----------------10分∴△ABC 为直角三角形∴222=-=a c b -----------11分 ∴3221==∆ab S ABC -----------12分20.（12分）解：（1）因为125,,a a a 成等比数列所以22215111,()(4)a a a a d a a d =+=+ --------------------2分∴212d a d =∵10,1d a >= ∴2d = --------------------4分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=- -------------------6分（2） ∵122212(21)4n a n n n n b a n n +=+=-+=-+ -------7分∴123...n n S b b b b =++++=23(14)(34)(54)...(21)4n n ⎡⎤+++++++-+⎣⎦23(135...21)(444...4)n n =++++-+++++ ----------9分12(121)4(14)4421433n n n n n ++--+=+-- =----------------12分21.（12分）解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. --------------------6分(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6， 即a ≤－6或a ≥4. ------------------------6分22.（12分）解 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则 目标函数z ＝3x ＋6y ，⎩⎨⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.-----------------------4分由⎩⎨⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，-------------8分 画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15.-----------12分 23（14分）.解：（1）∵椭圆C 的离心率为36，短轴长为2 ∴22,36==b e -----------------------------2分 ∴3=a 又焦点在x 轴上∴椭圆方程为1322=+y x -----------------------------4分（2）∵点),(y x M 为椭圆上的动点∴ ⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x --------------------6分∴ )sin(7sin 2cos 32ϕθθθ+=+=+y x∴y x 2+的最大值为7，最小值为7---------------------8分（3）设直线方程为m x y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m x y 消去y 得： 0336422=-++m mx x所以2321mx x -=+，433221-=m x x -------------------------------10分又6=PQ ，所以6=2122124)(1x x x x k -++=433449222-⨯-m m ----------------------12分 解得0=m ------------------------------------------------13分所以直线方程为xy --------------------------------14分。
江苏省宿迁市宿豫中学高考数学小题训练04(无答案) (2)
高三数学小题训练（04）
1．若,i j 是互相垂直的两个单位向量，则2-i j 与2+i j 的夹角为 ． 2．点P (1,2,4)-关于点A (1,1,)a -的对称点是(,,2)Q b c -，则a b c ++= ．
3．设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x
f f x f y y =-，若(2)1f =，
则(4)f = ．
4．设全集22
,{|4},{|1}1U M x y x N x x ===-=-R ≥
都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所示的集合是
．
5．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆
222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C
是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．
6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
E 、
F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1； （2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．
7．已知△ABC 中，向量(1,3),(cos ,sin )A A =-=m n ，且1⋅=m n ．
（1）求角A ；
（2）若角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且3=a ，求△A BC 的面积的最大值．
B D A B 1
C 1
D 1 E
12．如图，在四棱锥P－ABCD中PD⊥底面ABCD，底面为正方形，PD=DC，E、F分别是CD、PB的中点．
（1）求证：EF//平面PAD；
（2）求证：EF⊥AB；
（3）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
江苏省宿迁市宿豫中学高考数学小题训练06(无答案)
高三数学小题训练（06）
1．若α是第二象限角，其终边上一点(,5)P x ，且2cos 4x α=，则sin α= ． 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若首项13a =，前三项之和为21，则345a a a ++= ．
3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线2
2y x =上，则这个正三角形的边长是 ． 4．若双曲线22
218x y b
-=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合，则双曲线的离心率为 ．
5．若向量2(,)3
x x =+a 与向量(2,3)x =-b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是 ．
6．若函数()()y f x x =∈R 满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，()||f x x =，则函数()y f x =的图象与函数4log ||y x =的图象的交点的个数为 个．
7．已知直线1:1l y ax =-+，直线2:1l y ax =-，圆22:1C x y +=．若 12,,l l C 共有三个交点，则a 的值为 ．
8．球面上有A ，B ，C 三点，23,26,6AB BC CA ===，若球心到平面ABC 的距离为4，则球的表面积为 ．
9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，
侧棱长为2，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点．
（1）求证：A 1F ⊥平面BEF ；
10．设数列{a n }的前n 项和,n S 且方程20n n x a x a --=有一根为1(*)n S n -∈N ．
（1）求证：数列1{}1
n S -为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．。
2015届高三模拟考试试卷(宿迁)
2015届高三模拟考试试卷(宿迁)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2015．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上．1. 已知i 是虚数单位，若a ＋3ii＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________．2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．(第3题)4. 若集合A ＝{}－1，0，1，B ＝{}y|y ＝cos （πx ），x ∈A ，则A ∩B ＝________． 5. 方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件是k ∈________．6. 在△ABC 中，已知cosA ＝45，tan(A －B)＝－12，则tanC 的值是________．7. 已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2－2x 的最小值是________．8. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前20项和为________．9. 已知三棱锥P － ABC 的所有棱长都相等，现沿PA 、PB 、PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P － ABC 的体积为________．10. 已知O 为△ABC 的外心，若5OA →＋12OB →－13OC →＝0，则∠C 等于________．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是________．12. 若a>0，b>0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1.若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．14. 已知曲线C ：f(x)＝x ＋ax (a>0)，直线l ：y ＝x ，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B.再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点M 、N ，O 是坐标原点．若△ABP 的面积为12，则△OMN 的面积为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF ∥CE.求证： (1) 平面BCEF ⊥平面ACE; (2) 直线DF ∥平面ACE.16. (本小题满分14分)已知△ABC 的面积为S ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，AB →·AC →＝32S.(1) 求cosA 的值；(2) 若a 、b 、c 成等差数列，求sinC 的值．17. (本小题满分14分)已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，OC ＝12r ，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB ︵上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．甲乙如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A 1、A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q.(1) 求直线OP 的方程；(2) 求PQ QA 1的值；(3) 设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点B 、C ，分别交圆A 2于点M 、N ，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S 1、S 2，求S 1·S 2的最大值．已知数列{a n}满足：a1＝a＋2(a≥0)，a n＋1＝a n＋a2，n∈N*.(1) 若a＝0，求数列{a n}的通项公式；(2) 设b n＝||a n＋1－a n，数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n<a1.已知函数f(x)＝lnx－ax2－x，a∈R.(1) 若函数y＝f(x)在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；(2) 设函数y＝f(x)的图象被点P(2，f(2))分成的两部分为c1、c2(点P除外)，该函数图象在点P处的切线为l，且c1、c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值.2013届高三模拟考试试卷(十)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知圆A 、圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE.求证：DE·DC ＝2AD·DB.B. (选修42：矩阵与变换) 已知a 、b ∈R ，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换把直线l ：2x －y ＝3变换为自身，求M －1.C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知直线2ρcos θ＋ρsin θ＋a ＝0(a>0)被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为2，求a 的值．D. (选修45：不等式选讲)已知x 、y 、z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正三棱柱ABC －A1B1C1中，已知AA1＝6，AB＝2，M、N分别是棱BB1、CC1上的点，且BM＝4，CN＝2.(1) 求异面直线AM与A1C1所成角的余弦值；(2) 求二面角M －AN －A1的正弦值．23. 已知函数f(x)＝C0n x2n－1－C1n x2n－2＋C2n x2n－3－…＋C r n(－1)r x2n－1－r＋…＋C n n(－1)n x n－1，n ∈N(1) 当n≥2时，求函数f(x)的极大值和极小值；(2) 是否存在等差数列{a n}，使得a1C0n＋a2C1n＋…＋a n＋1C n n＝nf(2)对一切n∈N都成立？并说明理由.2013届高三模拟考试试卷(十)(宿迁)数学参考答案及评分标准1. －32. 0.0323. 584. {－1，1}5. (－1，5)6. 112 7. 1 8. 55 9. 9 10. 3π411. 38 12. 23＋12 13. ⎣⎡⎭⎫54，3 14. 4 15. 证明：(1) 因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC圆O 所在的平面，所以CE ⊥BC.(2分)因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC ⊥BC.(3分) 因为AC ∩CE ＝C ，AC 、CE 平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE.(5分) 因为BC平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE.(7分)(2) 由(1)AC ⊥BC ，又CD 为圆O 的直径， 所以BD ⊥BC.因为AC 、BC 、BD 在同一平面内，所以AC ∥BD.(9分) 因为BD平面ACE ，AC平面ACE ，所以BD ∥平面ACE.(11分)因为BF ∥CE ，同理可证BF ∥平面ACE. 因为BD ∩BF ＝B ，BD 、BF 平面BDF ，所以平面BDF ∥平面ACE. 因为DF平面BDF ，所以DF ∥平面ACE.(14分)16. 解：(1) 由AB →·AC →＝32S ，得bccosA ＝32×12bcsinA ，即sinA ＝43cosA.(2分)代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，化简整理，得cos 2A ＝925.(4分)由sinA ＝43cosA ，知cosA>0，所以cosA ＝35.(6分)(2) 由2b ＝a ＋c 及正弦定理，得2sinB ＝sinA ＋sinC ，即2sin(A ＋C)＝sinA ＋sinC ，(8分)所以2sinAcosC ＋2cosAsinC ＝sinA ＋sinC.① 由cosA ＝35及sinA ＝43cosA ，得sinA ＝45，(10分)代入①，整理得cosC ＝4－sinC8.代入sin 2C ＋cos 2C ＝1，整理得65sin 2C －8sinC －48＝0，(12分) 解得sinC ＝1213或sinC ＝－45.因为C ∈(0，π)，所以sinC ＝1213.(14分)17. 解：如图甲，设∠DBC ＝α， 则BD ＝3r 2cos α，DC ＝3r2sin α，(2分)所以S △BDC ＝916r 2sin2α≤916r 2，(4分) 当且仅当α＝π4时取等号，(6分)此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为916r 2.(7分)甲乙如图乙，设∠EOD ＝θ，则OE ＝rcos θ，DE ＝rsin θ， 所以S △BDE ＝12r 2(1＋cos θ)sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2.(10分)设f(θ)＝12r 2(1＋cos θ)sin θ，则f ′(θ)＝12r 2(1＋cos θ)(2cos θ－1)，当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，f ′(θ)≤0，所以θ＝π3时，即点E 与点C 重合时，△BDE 的面积最大值为338r 2.(13分)因为338r 2>916r 2，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为338r 2.(14分)18. 解：(1) 连结A 2P ，则A 2P ⊥A 1P ，且A 2P ＝a. 又A 1A 2＝2a ，所以∠A 1A 2P ＝60°.所以∠POA 2＝60°，所以直线OP 的方程为y ＝3x.(3分) (2) 由(1)知，直线A 2P 的方程为y ＝－3(x －a)，A 1P 的方程为y ＝33(x ＋a)， 联立解得x P ＝a2.(5分)因为e ＝32，即c a ＝32，所以c 2＝34a 2，b 2＝14a 2，故椭圆E 的方程为x 2a 2＋4y 2a2＝1.由⎩⎨⎧y ＝33（x ＋a ），x 2a 2＋4y2a 2＝1，解得x Q＝－a7，(7分)所以PQ QA 1＝a 2－⎝⎛⎭⎫－a 7－a 7－（－a ）＝34.(8分)(3) 不妨设OM 的方程为y ＝kx(k>0)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2＋4y 2a 2＝1，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋4k 2，ak 1＋4k 2， 所以OB ＝a1＋k 21＋4k2.(10分)用－1k 代替上面的k ，得OC ＝a1＋k 24＋k 2. 同理可得，OM ＝2a 1＋k2，ON ＝2ak 1＋k2.(13分)所以S 1·S 2＝14·OB ·OC ·OM ·ON ＝a 4·k（1＋4k 2）（4＋k 2）.(14分)因为k（1＋4k 2）（4＋k 2）＝14⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋17≤15，当且仅当k ＝1时等号成立，所以S 1·S 2的最大值为a 45.(16分)19. 解：(1) 若a ＝0时，a 1＝2，a n ＋1＝a n2，所以2a 2n ＋1＝a n ，且a n >0. 两边取对数，得lg2＋2lga n ＋1＝lga n ，(2分) 化为lga n ＋1＋lg2＝12(lga n ＋lg2)，因为lga 1＋lg2＝2lg2，所以数列{lga n ＋lg2}是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．(4分)所以lga n ＋lg2＝2⎝⎛⎭⎫12n －1lg2，所以a n ＝222－n －1.(6分)(2) 由a n ＋1＝a n ＋a2，得2a 2n ＋1＝a n ＋a ，① 当n ≥2时，2a 2n ＝a n －1＋a ，②①－②，得2(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝a n －a n －1，(8分) 由已知a n >0，所以a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．(10分) 因为a 2＝a ＋1，且a>0，所以a 21－a 22＝(a ＋2)2－(a ＋1)＝a 2＋3a ＋3>0恒成立，所以a 2－a 1<0，所以a n ＋1－a n <0.(12分) 因为b n ＝||a n ＋1－a n ，所以b n ＝－(a n ＋1－a n )， 所以S n ＝－[(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )]＝－(a n ＋1－a 1)＝a 1－a n ＋1<a 1.(16分)20. 解：(1) f ′(x)＝1x －2ax －1＝－2ax 2＋x －1x(x>0)，(2分)只需要2ax 2＋x －1≤0，即2a ≤1x 2－1x ＝⎝⎛⎭⎫1x －122－14， 所以a ≤－18.(4分)(2) 因为f ′(x)＝1x－2ax －1，所以切线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－4a －12(x －2)＋ln2－4a －2. 令g(x)＝lnx －ax 2－x －⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－4a －12（x －2）＋ln2－4a －2，则g(2)＝0. g ′(x)＝1x －2ax ＋4a －12＝－2ax 2－⎝⎛⎭⎫4a －12x －1x .(6分)若a ＝0，则g′(x)＝2－x2x， 当x ∈(0，2)时，g ′(x)>0；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x)<0， 所以g(x)≥g(2)＝0，c 1、c 2在直线l 同侧，不合题意；(8分) 若a ≠0，g ′(x)＝－2a （x －2）⎝⎛⎭⎫x ＋14a x ，若a ＝－18，g ′(x)＝⎝⎛⎭⎫x 2－12x≥0，g(x)是单调增函数，当x ∈(2，＋∞)时，g(x)>g(2)＝0；当x ∈(0，2)时，g(x)<g(2)＝0，符合题意；(10分) 若a<－18，当x ∈⎝⎛⎭⎫－14a ，2时，g ′(x)<0，g(x)>g(2)＝0， 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)>g(2)＝0，不合题意；(12分) 若－18<a<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫2，－14a 时，g ′(x)<0，g(x)<g(2)＝0， 当x ∈(0，2)时，g ′(x)>0，g(x)<g(2)＝0，不合题意；(14分)若a>0，当x ∈(0，2)时，g ′(x)>0，g(x)<g(2)＝0，当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x)<0，g(x)<g(2)＝0，不合题意．1故只有a＝－8符合题意．(16分)2013届高三模拟考试试卷(十)(宿迁) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：由已知，AC ⊥BC ，因为∠ACD ＋∠BCD ＝90°， AC ＝AE ，BC ＝BD ，所以∠ACD ＝∠E ，∠BCD ＝∠BDC.因为∠ADE ＝∠BDC ，所以∠E ＋∠ADE ＝90°， 所以AE ⊥AB.(5分)延长DB 交圆B 于点F ，连结FC ，则DF ＝2DB ，∠DCF ＝90°， 所以∠ACD ＝∠F ，所以∠E ＝∠F ，所以Rt △ADE ∽Rt △CDF ， 所以AD CD ＝DEDF ，所以DE·DC ＝AD·DF.因为DF ＝2DB ，所以DE ·DC ＝2AD·DB.(10分)B ．解：对于直线l 上任意一点()x ，y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(x′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－x ＋ay bx ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′. 因为2x′－y′＝3，所以2(－x ＋ay)－(bx ＋3y)＝3，(4分)所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11－43，(7分) 所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－14－1.(10分) C. 解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x ＋y ＋a ＝0，(3分)圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.(6分) 因为截得的弦长为2，所以圆心(0，2)到直线的距离为4－1＝3，即||2＋a 5＝3.因为a>0，所以a ＝15－2.(10分)D. 解：由柯西不等式，得[x ＋(－2)y ＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y －3z)2≤14(x 2＋y 2＋z 2)，(5分) 即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)．所以x 2＋y 2＋z 2≥87，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(10分)22. 解：(1) 以AC 的中点为原点O ，分别以OA 、OB 所在直线为x 、z 轴，建立空间直角坐标系O － xyz(如图). 则O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(－1，0，0)，B(0，0，3)，N(－1，2，0)，M(0，4，3)，A 1(1，6，0)，C 1(－1，6，0)．所以AM →＝(－1，4，3)，A 1C 1→＝(－2，0，0)． 所以cos 〈AM →，A 1C 1→〉＝AM →·A 1C 1→||AM →||A 1C 1→＝2220＝510，所以异面直线AM 与A 1C 1所成角的余弦值为510.(5分) (2) 平面ANA 1的一个法向量为m ＝(0，0，1)．设平面AMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，因为AM →＝(－1，4，3)，AN →＝(－2，2，0), 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AM →，n ⊥AN →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4y ＋3z ＝0，－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，1，－3)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝－35＝－155，所以二面角M － AN － A 1的正弦值为105.(10分) 23. 解：(1)f(x)＝x n －1[C 0n x n －C 1n x n －1＋C 2n x n －2－…＋C r n (－1)r x n －r ＋…＋(－1)n C n n ] ＝x n －1(x －1)n ，f ′(x)＝(n －1)x n －2(x －1)n ＋x n －1·n(x －1)n －1＝x n －2(x －1)n －1[(n －1)(x －1)＋nx]，令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝n －12n －1，x 3＝1. 因为n ≥2，所以x 1<x 2<x 3.(2分)当n 为偶数时，f(x)的增减性如下表： x (－∞，0)0 错误! n －12n －1 错误! 1 (1，＋∞)f′(x)＋＋0 －＋f(x)无极值极大值极小值所以当x ＝n －12n －1时，y 极大＝（n －1）n －1·（－n ）n（2n －1）2n －1；当x ＝1时，y 极小＝0.(4分)当n 为奇数时，f(x)的增减性如下表：x (－∞，0)0 (0，n －12n －1) n －12n －1 错误! 1 (1，＋∞)f′(x) ＋0 －0 ＋0 ＋f(x)极大值极小值无极值所以当x ＝0时，y 极大＝0；当x ＝n －12n －1时，y 极小＝（n －1）n －1·（－n ）n（2n －1）2n －1.(6分)(2) 假设存在等差数列{a n }使a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C nn ＝n·2n －1成立， 由组合数的性质C m n ＝C n －m n ，把等式变为a n ＋1C 0n ＋a n C 1n ＋a n －1C 2n ＋…＋a 1C nn ＝n·2n －1，两式相加，因为{a n }是等差数列，所以a 1＋a n ＋1＝a 2＋a n ＝a 3＋a n －1＝…＝a n ＋1＋a 1，故(a 1＋a n ＋1)(C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn )＝n·2n ， 所以a 1＋a n ＋1＝n.(8分)再分别令n ＝1，n ＝2，得a 1＋a 2＝1且a 1＋a 3＝2，进一步可得满足题设的等差数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1(n ∈N )．(10分)。
江苏省宿迁市宿豫中学高考数学小题训练15(无答案) (2)
1 高三数学小题训练（15）
1．数列{}n a 的前n 项的和2(1)n S n λ=++，则数列{}n a 为等差数列的充要条件是
λ= ． 2．现有200根相同的圆钢管，把它们堆放成一个正三角形垛，如果要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余的钢管有 根．
3．函数tan()26
x y π=-的图象的一个对称中心是 ． 4．若非空集合{|2135},{|(3)(22)0}A x a x a B x x x =+-=--≤≤≤，则使
A A
B ⊆I 成立的a 的集合是 ．
5．复数12312,2,12z i z i z i =+=-+=--，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，则这个正方形的第四个顶点对应的复数是 ．
6．若[,)62
ππα∈，则直线2cos 310x y α++=的倾斜角的取值范围是 ． 7．若x 、y 满足2202,02,(1)(1)1,x y x y x y ⎧⎪-+-⎨⎪-⎩
则≤≤≤≤≥的取值范围是 ．
8．定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，若(1)(2)f a f a ->-，则a 的取值范围是 ．
9．在锐角三角形ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
且3tan tan (1tan tan )A B A B -=
+⋅． （1）若ab b a c -+=222，求A 、B 、C 的大小；
（2）已知向量(sin ,cos ),(cos ,sin ),|32|A A B B ==-求m n m n 的取值范围．。
江苏省宿迁市重点中学高三数学下学期期初试卷(含解析)
江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=．2．（5分）已知（1+i）•z=﹣2i，那么复数z=．3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．（结果用数值表示）4．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．5．（5分）为了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名2015届高三男生的体重．根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是．6．（5分）如图所示的流程图，最后输出的n的值是．7．（5分）已知向量，，满足||=1，||=，+=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是．8．（5分）如图，正三棱锥P﹣ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD=PF=1，PE=2，则三棱锥P﹣DEF的体积是．9．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且，则λ1+λ2=10．（5分）已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，则tanB的最大值为．11．（5分）如图，点A，F分别是椭圆（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若=，则椭圆的离心率为．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是．14．（5分）设实数a，x，y，满足，则xy的取值范围是．二、解答题：15．（14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．17．（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．19．（16分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b=﹣1，证明对任意正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：S n2=3n2a n+S n﹣12，a n≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．分析：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案．解答：解：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，故A∩B={1}．点评：本题考查交集的运算，解题时应认真分析集合的元素特征与集合间的关系，答案注意写成集合的形式．2．（5分）已知（1+i）•z=﹣2i，那么复数z=﹣1﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据（1+i）•z=﹣2i，可得复数z====﹣1﹣i，从而得到答案．解答：解：∵（1+i）•z=﹣2i，∴复数z====﹣1﹣i，故答案为﹣1﹣i．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．（结果用数值表示）考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；分析可得，若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇1个奇数；求出这种情况下的取法情况数，相加可得两个数的和是奇数的种数，最后再除以总数即得答案．解答：解：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇数和1个偶数；有C31•C21=6种取法，符合题意的总数共C52=10种取法；这两个数的和是奇数的概率为故答案为．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，约分化简得到结果．解答：解：成等差数列，∴a3=a1+2a2，∴q2﹣2q﹣1=0，∴q=1+，q=1﹣（舍去）∴===q2=3+2故答案为：3+2点评：本题考查数列的基本量的运算，本题解题的关键是根据条件得到首项和公比之间的关系，为后面在约分整理提供依据．5．（5分）为了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名2015届高三男生的体重．根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是40．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由频率分布直方图，得出体重值在区间[56.5，64.5）的频率，从而求出对应的频数．解答：解：根据频率分布直方图，得：体重值在区间[56.5，64.5）的频率是：（0.03+0.05+0.050.07）×2=0.40；∴体重值在区间[56.5，64.5）的频数是：100×0.40=40．故答案为：40．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应从图形求出题目中所需要的数据，进行解答，是基础题．6．（5分）如图所示的流程图，最后输出的n的值是4．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足P=++…+≥0.7的最小的正整数n+1的值，利用裂项相消法求得P，通过解不等式确定n+1的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=++…+≥0.7的最小的正整数n+1的值，又P=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∵≥0.7⇒n≥，∴输出的n=3+1=4．故答案为：4．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能和确定输出的n 值是解答本题的关键．7．（5分）已知向量，，满足||=1，||=，+=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是π．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，先求出|+|与|﹣|的值，再由（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，求出夹角θ的值．解答：解：设向量+与向量﹣的夹角是θ，θ∈[0，π]；∵||=1，||=，+=（，1），∴|+|==2，∴•=0，∴|﹣|==2；又∵（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，∴1﹣3=2×2cosθ，即cosθ=﹣，∴θ=π．故答案为：π．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的数量积的概念以及向量的运算法则，进行计算即可，是基础题．8．（5分）如图，正三棱锥P﹣ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD=PF=1，PE=2，则三棱锥P﹣DEF的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂直为O，则点O是底面的中心．在正△ABC中，先由重心定理求出AO的长，进而在Rt△PAO中求出高PO，底面正△ABC的面积易求，再根据三棱锥的体积公式V三棱锥P﹣ABC，再求出三棱锥P﹣DEF的体积．解答：解：如图所示：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，则点O是底面的中心．∵点O是底面的中心，即为△ABC的重心，∴OA=．在Rt△PAO中，由勾股定理得PO=．又∵S△ABC==4，∴V三棱锥P﹣ABC=•=．∵PD=PF=1，PE=2，∴三棱锥P﹣DEF的体积是•=．故答案为：．点评：理解正三棱锥的定义及体积的计算方法是解题的关键．9．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且，则λ1+λ2=考点：相等向量与相反向量．专题：计算题．分析：根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．解答：解：∵由题意可知==，∴，∴两个数字之和是，故答案为：．点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的10．（5分）已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，则tanB的最大值为．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：先利用两角和的公式把tanB=tan（A+B﹣A）展开，把tan（A+B）=2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB的值，即可得出结果．解答：解：∵tanB=tan（A+B﹣A）====∵A为锐角，∴tanA＞0≥2当且仅当2tanA=时取“=”号，即tanA=∴0＜tanB≤∴tanB最大值是故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题．考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力．11．（5分）如图，点A，F分别是椭圆（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若=，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：设出AB，CD的方程，分别与椭圆方程联立，求导|CD|，|AB|，利用=，即可求得椭圆的离心率．解答：解：由题意，设AB的方程为：，则CD的方程为AB的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2﹣2a2cx=0，∴x=0或x=∴|AB|=×=CD的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2=a2c2，∴x=±∴|CD|=×=∵=∴∴∴故答案为．点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出|CD|，|AB|，属于中档题．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是+1．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质．专题：综合题．分析：设正方形边长为a，∠OBA=θ，从而在△OBC中，计算OC的长，利用三角函数，可求OC的最大值．解答：解：如图，设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=，θ∈[0，）．在△OBC中，a2+1﹣2acos（+θ）=OC2，∴OC2=（2cosθ）2+1+2•2cosθ•sinθ=4cos2θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2sin（2θ+）+3，∵θ∈[0，），∴2θ+∈[，），∴2θ+=时，OC2的最大值为2+3∴线段OC长度的最大值是+1故答案为：+1点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数的化简，解题的关键是构建OC关于θ的三角函数，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．解答：解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有 21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．14．（5分）设实数a，x，y，满足，则xy的取值范围是[﹣，+]．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：通过已知条件化简求出xy的表达式，然后利用圆心与直线的距离小于等于半径，求出a的范围，利用二次函数的最值，求出xy最值即可．解答：解：实数a，x，y，满足，①2﹣②解得：2xy=3a2﹣6a+4，∵a2+2a﹣3≥0，∴a≥1或a≤﹣3．又，可得，综上令g（x）=（3a2﹣6a+4），对称轴为a=1，1∉，∴a=是g（x）最小：﹣，∴a=是g（x）最大：+．xy∈[﹣，+]；故答案为：[﹣，+]；点评：本题考查函数与方程的综合应用，直线与圆的位置关系，二次函数闭区间是的最值的应用，是中档题．二、解答题：15．（14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．解答：解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．…3分又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．…6分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN 是关键．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；探究型．分析：（1）证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD．因为O、D分别是A1B、BC的中点，所以A1C∥OD．所以A1C∥平面AB1D．（2）由题意得：四边形BCC1B1是正方形．因为M为CC1的中点，D是BC的中点，所以△B1BD≌△BCM，所以∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．所以BM⊥B1D．因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为AD⊥平面BB1C1C．且BM⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BM．利用线面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB1D．解答：证明：（1）连接A1B，交AB1于点O，连接OD．∵O、D分别是A1B、BC的中点，∴A1C∥OD．∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（2）M为CC1的中点．证明如下：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=BB1，∴四边形BCC1B1是正方形．∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．又∵，，∴BM⊥B1D．∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．∵AD∩B1D=D，∴BM⊥平面AB1D．∵AB1⊂平面AB1D，∴MB⊥AB1．点评：证明线面平行关键是在面内找到与已知直线平行的直线即可，解决探索性找点问题一般用检验的方法先检验线段的端点与中点再证明即可，也可以利用空间向量来解决这种探索性问题．17．（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11（10分）||•||=×=×==由θ∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题设知a=2，e==，由此能求出a=2，b=1．（2）（i）由（1）得，椭圆C的方程为+y2=1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，得x2﹣2mx+m2﹣1=0．|AB|=•，点O到直线l的距离d=，由此求出S△OAB取得最大值1．（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．将直线l与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的．解答：（本小题满分16分）解：（1）由题设知a=2，e==，所以c=，故b2=4﹣3=1．因此，a=2，b=1．…（2分）（2）（i）由（1）可得，椭圆C的方程为+y2=1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得x2﹣2mx+m2﹣1=0．解得x1=，x2=，从而有，x1+x2=，x1•x2=，而y1=x1﹣m，y2=x2﹣m，因此，|AB|===•=•，点O到直线l的距离d=，所以，S△OAB=×|AB|×d=×|m|，因此，S2△OAB=（ 5﹣m2）×m2≤•（）2=1．…（6分）又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]．所以，当5﹣m2=m2，即m2=，m=±时，S△OAB取得最大值1．…（8分）（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．将直线l与椭圆C的方程联立，即．将y消去，化简得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，解得，x1+x2=，x1•x2=．…（10分）所以PA2+PB2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x12+x22）﹣2m（x1+x2）+2m2+2=（*）．…（14分）因为PA2+PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有﹣8k4﹣6k2+2=0，解得k=±．所以，k的值为±．…（16分）点评：本题考查椭圆方程中的参数的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．19．（16分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b=﹣1，证明对任意正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义及函数最值的意义得出f′（1）=0，求得b值；（2）由函数f（x）在定义域上是单调函数，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，转化为利用导数求函数的最值问题解决即可；（3）构造函数h（x）=f（x）﹣x3，利用导数判断且单调性，得出f（x）＜x3取x=x=，则有f（）＜（k∈N+），即得结论成立．解答：解：（1）由x+1＞0得x＞﹣1，∴f（x）的定义域为（﹣1，+∞），对x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥f（1），∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，f′（x）=2x+，∴2+=0，解得b=﹣4．经检验，合题意；（2）∵f′（x）=2x+=，又函数f（x）在定义域上是单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．若f′（x）≥0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即b≥﹣2x2﹣2x=﹣2+恒成立，由此得b≥；若f′（x）≤0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≤0，即b≤﹣（2x2+2x）恒成立，因﹣（2x2+2x）在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．综上所述，实数b的取值范围是[，+∞）．（3）当b=﹣1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1），令函数h（x）=f（x）﹣x3=x2﹣ln（x+1）﹣x3，则h′（x）=﹣3x2+2x﹣=﹣，∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＜0所以函数h（x）在x∈[0，+∞）上是单调递减．又h（0）=0，∴当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，即x2﹣ln（x+1）＜x3恒成立．故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．∵k∈N+∴∈（0，+∞），取x=，则有f（）＜，∴f（）＜1+++…+，故结论成立．点评：本题考查了导数的几何意义及函数的最值意义以及利用导数判断函数的单调性及求最值等知识，考查不等式恒成立的条件等价转化思想、分类讨论思想的．综合应用较强，属难题．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：S n2=3n2a n+S n﹣12，a n≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．考点：等差关系的确定；数列的函数特性；数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）分别令n=2，n=3，及a1=a，结合已知可由a表示a2，a3，结合等差数列的性质可求a，（2）由=3n2a n+，得﹣=3n2a n，两式相减整理可得所以S n+S n﹣1=3n2，进而有S n+1+S n=3（n+1）2，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求a解答：解：（1）在=3n2a n+中分别令n=2，n=3，及a1=a得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，因为a n≠0，所以a2=12﹣2a，a3=3+2a．…（2分）因为数列{a n}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2（12﹣2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）经检验a=3时，a n=3n，S n=，S n﹣1=满足=3n2a n+．（2）由=3n2a n+，得﹣=3n2a n，即（S n+S n﹣1）（S n﹣S n﹣1）=3n2a n，即（S n+S n﹣1）a n=3n2a n，因为a n≠0，所以S n+S n﹣1=3n2，（n≥2），①…（6分）所以S n+1+S n=3（n+1）2，②②﹣①，得a n+1+a n=6n+3，（n≥2）．③…（8分）所以a n+2+a n+1=6n+9，④④﹣③，得a n+2﹣a n=6，（n≥2）即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，…（10分）因为a2=12﹣2a，a3=3+2a．∴a n=…（12分）要使数列{a n}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，a n＜a n+1，且当n为偶数时，a n＜a n+1，即a＜12﹣2a，3n+2a﹣6＜3（n+1）﹣2a+6（n为大于或等于3的奇数），3n﹣2a+6＜3（n+1）+2a﹣6（n为偶数），解得＜a＜．所以M=（，），当a∈M时，数列{a n}是递增数列．…（16分）点评：本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的单调性的应用，属于知识的综合应用．。
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高三数学小题训练（06）
1．若α是第二象限角，其终边上一点(P x ，且cos α，则sin α= ． 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若首项13a =，前三项之和为21，则345a a a ++= ．
3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22y x =上，则这个正三角形的边长是 ．
4．若双曲线22
218x y b
-=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合，则双曲线的离心率为 ．
5．若向量2(,)3x x =+a 与向量(2,3)x =-b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是 ．
6．若函数()()y f x x =∈R 满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时， ()||f x x =，则函数()y f x =的图象与函数4log ||y x =的图象的交点的个数为 个．
7．已知直线1:1l y ax =-+，直线2:1l y ax =-，圆22
:1C x y +=．若 12,,l l C 共有三个交点，则a 的值为 ．
8．球面上有A ，B ，C 三点，6AB BC CA ===，若球心到平面ABC 的距离为4，则球的表面积为 ．
9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，
侧棱长为2，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点．
（1）求证：A 1F ⊥平面BEF ；
10．设数列{a n }的前n 项和,n S 且方程20n n x a x a --=有一根为1(*)n S n -∈N ．
（1）求证：数列1{}1
n S -为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．。