对应思想在函数与方程中的渗透和发展

对应思想在函数与方程中的渗透和发展——由函数概念教学想到的214411 江苏省江阴长泾中学戴延庆关键词函数方程数学教学对应思想摘要函数和方程是中学数学教材中是在不断丰富和发展的两个概念，这两个概念以及两者之间的关系，都在不断的渗透着一个重要的数学思想——对应思想.知识是明线，数学思想是暗线.数学教师要深刻体悟这种数学思想，在数学教学中，要深入浅出的不断渗透这样的数学思想，在有意无意之中引导学生感悟、感知，直至理解.对应思想作为中学数学教材中的一条暗线，无时无刻不渗透在中学数学教材的各个角落.比如学习数轴的时候，首先研究了整数与数轴上的点（整点或称为格点）之间的对应关系，这个对应是整数集与整点集之间的一一对应的关系；我们也可以用数轴来表示正数和零（这在小学数学中就已经学习过了）；接下来在研究有理数时，明确了有理数也可以用数轴上的点表示，这个对应是有理数集与数轴上的点之间的对应关系（这是一个映射，但不是一一映射）；在研究实数集以后我们明确了实数集与数轴上所有的点是一一对应的关系.作为中学数学的灵魂的函数与方程中，更是始终贯穿着对应思想.1．对应思想在函数概念中的渗透、发展1.1 初中函数概念中的对应思想引例1：从甲地到乙地，坐在匀速行驶的列车上，小明、小丽、小亮和小华谈论着车速、路程和时间，谈论着数量的变化和位置的变化.这是义务教育课程标准实验教科书八年级（上）中，为引入“常量”、“变量”和“函数”概念而设计的例子.教材中接下来通过3个例子引入了函数的概念2：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数（function），其中，x是自变量，y是因变量.这里的关键词是“变化过程”、“每一个”、“唯一”，在这里着重强调的就是“这个变化过程中对于每一个变量x，有唯一的y与之对应”，揭示了函数关系就是一种对应关系.但是在初中阶段，我们不要求过分强调这种对应关系，而是“称y是x的函数”，对应思想渗透在数学概念里，教师要把这种对应的思想渗透在教学过程中，让学生在有意或无意之中体验到对应思想.体现了润物细无声的意境.当然，作为上面的引例，在初中教材中，函数的概念揭示之后，似乎就没有被再度提到，我觉得这未免是一个遗憾，作为教师在处理这段教材的时候，应该引导学生回顾这个引例，可以让学生思考：在引例中，有几个量？哪些是变量？哪些是常量？你能用符号表示它们吗？哪个量是另外一个量的函数？1义务教育课程标准实验教科书数学八年级（上册）第140页主编杨裕前董林伟2义务教育课程标准实验教科书数学八年级（上册）第141页主编杨裕前董林伟不仅如此，这个引例在高中函数概念引出之后，也应该被再次提出来讨论！学生应该会有意想不到的发现：原来在初中，速度不是时间的函数，但是在高中速度也是时间的函数！这样进入高中之后对函数概念的理解也会有格外的惊喜和深入，也体现了初高中数学的衔接和过度，同样的对应思想也是逐步渗透其中.1.2 高中函数概念中的对应思想在高中阶段，我们是在学习了集合的有关概念之后，研究函数概念的，这为新的函数概念的揭示提供了非常重要的思想基础，因为高中阶段是从“集合与对应”的角度揭示函数的概念3：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数（function ），通常记为)(x f y =，A x ∈.其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数)(x f y =的定义域（domain ）.从初中那个似乎看得见、摸得着的函数概念，到高中的这个从集合与对应的角度揭示出的函数概念，抽象程度更高，对应思想更加明显而深刻：明确提出“这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，同时首次提出定义域的概念，进而提出了函数的三要素（定义域、值域、对应法则），这也预示着对于函数的学习将步入一个新的阶段.如果我们对于初中教材比较熟悉，就应该把上面的引例再次提出来讨论：你认为该引例中，哪个对应是函数？为什么？你能指出它们的定义域吗？对于这样的问题，在今天这个时刻提出来，毫无疑问是可以激发起学生的学习热情和兴趣的，也会让学生对函数概念的学习和理解更上一层楼：路程是时间的函数，速度也是时间的函数（常函数，也是首次提出这个概念！），时间也是路程的函数！时间不是速度的函数！同一个问题，在初中和高中两个不同的阶段来理解，结果却不尽相同，为什么？那是因为理解的标准不同了，函数的概念发展了，对应关系的本质改变了，意义不同了.函数概念发展到高中阶段，看起来似乎完美了 ，其实不然.作为教师是否可以继续抛出诱饵，激励学生更加深入的学习呢，有兴趣的同学，进入到大学学习，你们会发现，现在的函数概念还是很初级的，你们会继续学习和研究更加完善的函数的定义！许多学生肯定会受到激励，从此更加热爱数学的学习哦！因为数学看似很抽象，其实也很具体和具有深刻的奇异美嘛！函数概念在中学数学中的发展，中学数学中丰富的资源，也为我们培养学生的数学思想提供了非常丰富的材料，作为教师，应该努力熟悉初高中阶段的教材衔接，挖掘深刻内涵，即使有些数学思想暂时不必要教给学生（不把它们明确揭示出来），也可以根据实际情况，逐步渗透在教学中，让学生在不知不觉中感知、感悟，慢慢的体验，这样也能使我们的教学更加有的放矢的进行，也必将使我们的教学工作事半而功倍.2 对应思想在函数与图像、曲线与方程中的渗透、发展2.1 函数与图像中的对应思想每一个函数y =f (x )都可以做出它们的图像，这里包含了什么样的对应思想呢？我们是否可以从两个方面来理解，3 普通高中课程标准实验教科书 数学 必修1 第22页 主编 单墫一个是每一个函数y =f (x )都有它的图像，每一个图像（不是任意的曲线！）都是某一个函数的图像，即一个函数的集合与一个图像的集合之间存在着对应关系，这个对应关系也应该是一个一一对应；另一个是满足函数关系的一个数对（x ，y ）与图像上的点之间一一对应，即满足函数关系y =f (x )的数对所对应的点都在该函数的图像上，图像上的点的坐标（x ，y ）都满足该某一函数关系y =f (x ).函数关系是变量间对应关系的代数表达，而函数的图像则是变量间对应关系的几何表示.在初中，初二上学期学习了一次函数，下学期学习了反比例函数，初三下学期学习了二次函数，可见，在教学内容的安排上可谓是费了不少的心思，把三种函数，根据难易和要求的不同，分别安排在初二、初三的三个学期来学习；而在内容的设置和具体要求上，都包括四个方面的内容，即函数的概念、函数的图像、函数的性质和函数的应用，但是对于一次函数的研究，在教材中始终没有出现“一次函数的性质”这样的字样，反比例函数和二次函数的教材安排上也只是在标题中提出了“反比例函数（二次函数）的图像和性质”这样的字样，在教材内容的具体研究过程中，则都只是以“有什么规律”“有什么特点”“有什么相同点”“有什么不同点”等等这样较为直观浅显的词汇来代替“性质”二字，个人觉得这样咬文嚼字的苦心积虑的设计教材内容，主要是考虑学生的可接受性和按照初中课程标准的要求尽量淡化理论上的抽象性的叙述.进入到高中阶段后，随着学生数学语言能力的提高和抽象思维能力的提高，教材处理的抽象程度也随之提高，比如在对“指数函数”、“对数函数”、“幂函数”、“三角函数”等的研究学习中，不仅不再有意回避理论化的总结函数的性质，而且在逐步提高要求，甚至有更多具体函数的性质被明确的提出研究和学习，比如函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性，甚至对于每一个y ，有多少个x 与之对应的问题也有所提及.2.2 函数与方程中的对应思想初中教材中通过具体的一次函数和二元一次方程的实例，揭示了一次函数与二元一次方程的一般关系（其中0≠k 4）：一般地，一次函数b kx y +=图像上任意一点的坐标都是二元一次方程0=+-b y kx 的一个解；以二元一次方程0=+-b y kx 的解为坐标的点都在一次函数b kx y +=的图像上.这段话，比较深刻地揭示了一次函数和二元一次方程（虽然这个方程不是最一般意义上的二元一次方程）之间的关系，使一次函数和二元一次方程直接建立了联系，不仅为二元一次方程组的图解法提供了依据，也为后续学习和学生深入理解函数与方程之间的一般关系作了铺垫，甚至为高中的数学学习做好了准备.其实，无论是初中高中，我们学习的任何一个函数关系，都可以看作是一个二元方程，而任何二元方程在适当加以条件限制的情况下（我们研究的都是单值函数，因此往往要限制y 的取值范围），也都可以转化为函数关系.正因为一次函数与二元一次方程之间具有这样的对应关系，从而决定了二元一次方程组有一个图像解法5：一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.实际上还应该有一句话：两个二元一次方程组的解为坐标的点，就是相应的两个一次函数的交点.教材中没有说这4义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级（上册）主编 杨裕前 董林伟 第161页 5 义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级（上册）主编 杨裕前 董林伟 第162页句话，是因为学生的理解能力还没有达到这个层次，因此教学要求不需要教材和教师把这层涵义揭示出来.这个问题到了高中数学选修2-1才得以揭示.这是学生第一次通过图像解决代数问题（方程的解的问题），在他们将来的学习中还有许多类似的问题要解决，这都是对应思想（代数与几何的对应、点与数对的对应等）在起作用.2.3 曲线与方程中的对应思想函数的图像是一条曲线（直线），一条曲线未必是一个函数的图像，因此一条曲线未必对应着一个函数关系，但是一条曲线却对应着一个方程.这就是函数、方程、曲线之间的关系.这里的方程指的都是二元方程.那么在方程和曲线之间究竟有怎样关系呢，这在高中数学中有所阐述，尽管这方面的要求也是点到为止，没有作过多的理论上的探讨.在新课标教材选修2-1（选择物理的考生选修）中明确了曲线与方程的对应关系6：一般地，如果曲线C 上点的坐标),(y x 都是方程0),(=y x f 的解，且以方程0),(=y x f 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程0),(=y x f 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x f 的曲线.而对于选修历史的考生来说，尽管在教材的各部分内容上（直线与直线的方程、圆与圆的方程、圆锥曲线与圆锥曲线的方程等）对上述关系都通过具体的直线（曲线）和方程作了分析探讨，但是都没有像上面这样系统的理论化的阐述两者之间的对应关系，因此对于曲线与方程的对应关系的处理还是非常审慎和有针对性的.我觉得这是合理的，符合学生实际的.需要说明的是有些学生对函数的图像和方程的曲线有一些误解，为什么函数的图像可以是一条曲线，但是曲线的方程未必是一个函数关系呢？这就是函数与方程的区别了.我们研究的函数都是单值函数，即每一个x 有唯一的y 与之对应，但是在曲线上的点，往往是一个x 有多个y 与之对应（比如二次曲线中的圆、椭圆、双曲线及有些抛物线等），这就不满足我们中学教材中所给出的函数的定义，要想构成函数关系就必须限制y 的取值范围.中学数学教材中知识、方法是明线（主线），数学思想是暗线，隐含在数学知识的发生、发展过程中.随着学生学习的深入，这条暗线也在逐渐明显化、清晰化，这条暗线是数学的精髓和灵魂，需要教师在教学中深刻把握，慢慢渗透，就像“屋漏痕”一样体现着教者的功力和素养.因此我们在备课过程中，要吃透教材，就是要好好把握这种数学思想，在润物细无声中让学生体验到数学思想的魅力.6 普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-1 主编 单墫 第54页。