25.2 用列举法求概率(1)分析
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25.2 用列举法求概率(第1课时)九年级上册数学人教版
一个因素所包含的可能情况
另一个 因素所 包含的 可能情 况
两个因素所组合的所 有可能情况,即n
说明
如果第一个 因素包含2种 情况；第二 个因素包含3 种情况；那 么所有情况
n=2×3=6.
探究新知 素养考点 1 利用列表法解答掷骰子问题
例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件
的概率： （1）两个骰子的点数相同.
.
（3,3）
课堂检测
拓广探索题
在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后 放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够 整除第二次取出的数字的概率是多少？
第二第张一 张
1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
1 第第 二一个个 2 3 4 5 6 1
（2）两个骰子的点数之和
2
是9.
3
4
（3）至少有一个骰子的点数 5
为2.
6
探究新知
分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能掷
出1、2、···6中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出1,2，···，
6中的每一种情况.可以用“列表法”列出所有可能的结果如下：
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次
第一次
白
白
红1
红2
（白，红1） （白，红2）
红1
（红1，白）
（红1，红2）
红2
（红2，白） （红2，红1）
探究新知
注意
通过例2及拓展延伸的讲解，放回与不放回 列举的过程是不同的，解答问题时，注意明确， 若无明确，具体问题具体分析.
另一个 因素所 包含的 可能情 况
两个因素所组合的所 有可能情况,即n
说明
如果第一个 因素包含2种 情况；第二 个因素包含3 种情况；那 么所有情况
n=2×3=6.
探究新知 素养考点 1 利用列表法解答掷骰子问题
例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件
的概率： （1）两个骰子的点数相同.
.
（3,3）
课堂检测
拓广探索题
在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后 放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够 整除第二次取出的数字的概率是多少？
第二第张一 张
1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
1 第第 二一个个 2 3 4 5 6 1
（2）两个骰子的点数之和
2
是9.
3
4
（3）至少有一个骰子的点数 5
为2.
6
探究新知
分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能掷
出1、2、···6中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出1,2，···，
6中的每一种情况.可以用“列表法”列出所有可能的结果如下：
解：利用表格列出所有可能的结果：
结果 第二次
第一次
白
白
红1
红2
（白，红1） （白，红2）
红1
（红1，白）
（红1，红2）
红2
（红2，白） （红2，红1）
探究新知
注意
通过例2及拓展延伸的讲解，放回与不放回 列举的过程是不同的，解答问题时，注意明确， 若无明确，具体问题具体分析.
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
A.
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
25.2用列举法求概率(1)
知识回顾：
盒子里装有3个红球和1个白球，它们除颜 色外完全相同，你从盒子中任意摸出一球。 (1)你认为摸出的球可能是什么颜色？ （2）如果将每个球都编上号码，分别记为 红1、红2、红3、白1，那么摸到每一个球 的机会均等吗？ （3）摸到红球的概率是多大？
学习目标:
1.掌握列举法求概率的条件。 2.理解“包含两步，并且每一步的结 果为有限多个情形”的意义。 3.掌握用列举法求事件的概率。
自学指导:
看课本p133-134例1例2及练习前面的内容， 注意： 1、分清例1中A区B区中小方格数目及含地 雷的数目，再分别求出在A区B区的概率。 2、例2中“同时掷两枚硬币”与先后掷硬币 两次“的结果是否相同？ 自学的过程中，如有不懂，可小声请教同桌 或老师。
自学展示：
8 1、A区域共有 ____个方格， 其中有地雷____个，所以 3 在A区域遇到地雷的概率是 3/8 72 ______，B区域共有____ 个 小方格，B区域内共有___ 7 个地雷，所以在B区域内遇 到地雷的概率是______,由 7/72 3/8>7/72 于________ ，所以第二部 应踩在______ 区域。 B
课堂小结:
一、等可能性事件的两个特征：
1.出现的结果有限多个； 2.各结果发生的可能性相等； 二、列举法求概率． 1.列举法就是把要数的对象一一列举出来分析 求解的方法． 2．利用列举法求概率的关键在于正确列举出试 验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直 接分类列举、列表、画树形图（下节课时将学 习）等。
A区域
3
B区域
2、同时掷两枚硬币所产生可能性共有4 正正、正反、反正、反反 种，它们是___________________， 其中两枚全部正面朝上的可能性只有 1 ______种ห้องสมุดไป่ตู้我们把两枚硬币全部正面 1/4 朝上记着事件A，则P(A)= ______。
人教版数学九年级上册25.2.1《用列举法求概率》教案
人教版数学九年级上册25.2.1《用列举法求概率》教案一. 教材分析《用列举法求概率》是人教版数学九年级上册第25章第二节的第一课时，本节课主要内容是让学生掌握用列举法求概率的方法，并能够运用列举法解决一些简单的实际问题。
教材通过引入实际问题，引导学生用列举法列出所有可能的结果，再找出符合条件的结果，从而计算概率。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过大量的练习来理解和掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了概率的基本概念，如随机事件、必然事件等，并掌握了用树状图法求概率的方法。
但是，由于九年级学生的逻辑思维能力和空间想象能力还在发展阶段，对于用列举法求概率的方法可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要耐心引导，让学生逐步理解和掌握列举法求概率的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用列举法求概率的方法，并能够运用列举法解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：用列举法求概率的方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握用列举法求概率的方法，以及如何解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.互动教学法：通过学生之间的合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现列举法求概率的步骤和方法，培养学生自主学习的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相关例题和练习题。
2.练习题：准备一些实际问题，让学生课后练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，如抛硬币、抽奖等，引导学生思考如何求解这些问题。
让学生意识到用列举法求概率的重要性。
2.呈现（10分钟）教师展示一些简单的例题，如抛硬币两次，求正正、正反、反正、反反的概率。
人教版九年级数学上册25.2用列举法求概率教案
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解概率的基本概念。概率是反映事件发生机会的大小的量。它是进行不确定事件预测和分析的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过抛硬币实验，展示概率在实际中的应用，以及如何利用列举法求解概率。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调列表法与树状图法的应用，以及如何确定所有可能结果这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例子和步骤分解来帮助大家理解。
（2）树状图法求概率；
（3）实际应用问题。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理和数学抽象的核心素养，通过列举法对事件概率进行严谨的推理和分析。
2.培养学生数据分析的核心素养，能运用列表法或树状图法对事件进行整理和分析，从而求解概率问题。
3.培养学生数学建模的核心素养，将实际问题转化为数学模型，运用概率知识解决生活中的问题。
-对概率的直观理解与抽象表达之间的转换。学生需将现实问题抽象成数学模型，并用概率论的语言进行描述。
-在实际问题中，如何确定所有可能的结果，并从中找出满足条件的结果。
举例：
a.在掷两个骰子的实验中，学生可能会在列出所有可能结果时遗漏或重复，难点在于如何确保列表的完整性和准确性。
b.对于一个具体问题，如“从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃A的概率”，学生需要理解“随机抽取”意味着每张牌被抽中的机会是均等的，难点在于如何将这一理解转化为数学计算。
首先，学生在列举所有可能结果时，容易遗漏或重复。这让我意识到，在教授列举法时，需要更注重培养他们的细心和耐心。或许可以通过一些有趣的游戏或活动，让学生在实践中逐步掌握列举的方法，从而提高他们的准确性。
其次，我发现部分学生在面对实际问题时，不知道如何将问题转化为数学模型。这说明我们在教学中，不仅要关注知识点的讲解，还要培养学生将实际问题抽象成数学模型的能力。在今后的教学中，我会尝试引入更多生活实例，让学生学会如何从现实问题中提炼出数学模型。
1.理论介绍：首先，我们要了解概率的基本概念。概率是反映事件发生机会的大小的量。它是进行不确定事件预测和分析的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过抛硬币实验，展示概率在实际中的应用，以及如何利用列举法求解概率。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调列表法与树状图法的应用，以及如何确定所有可能结果这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例子和步骤分解来帮助大家理解。
（2）树状图法求概率；
（3）实际应用问题。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理和数学抽象的核心素养，通过列举法对事件概率进行严谨的推理和分析。
2.培养学生数据分析的核心素养，能运用列表法或树状图法对事件进行整理和分析，从而求解概率问题。
3.培养学生数学建模的核心素养，将实际问题转化为数学模型，运用概率知识解决生活中的问题。
-对概率的直观理解与抽象表达之间的转换。学生需将现实问题抽象成数学模型，并用概率论的语言进行描述。
-在实际问题中，如何确定所有可能的结果，并从中找出满足条件的结果。
举例：
a.在掷两个骰子的实验中，学生可能会在列出所有可能结果时遗漏或重复，难点在于如何确保列表的完整性和准确性。
b.对于一个具体问题，如“从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃A的概率”，学生需要理解“随机抽取”意味着每张牌被抽中的机会是均等的，难点在于如何将这一理解转化为数学计算。
首先，学生在列举所有可能结果时，容易遗漏或重复。这让我意识到，在教授列举法时，需要更注重培养他们的细心和耐心。或许可以通过一些有趣的游戏或活动，让学生在实践中逐步掌握列举的方法，从而提高他们的准确性。
其次，我发现部分学生在面对实际问题时，不知道如何将问题转化为数学模型。这说明我们在教学中，不仅要关注知识点的讲解，还要培养学生将实际问题抽象成数学模型的能力。在今后的教学中，我会尝试引入更多生活实例，让学生学会如何从现实问题中提炼出数学模型。
25.2_用列举法求概率(1)
1. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数 字的概率. 组数开始
百位 十位
1 1 2 3 1
2 2 3 1
3 2 3
个位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个.
甲
丙
石 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 剪 布
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
解: 由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” 由树形图可以看出 ,游戏的结果 “剪剪布” “布布石”三类 . 有27种,它们出现的可能性相等.而满足条件(记为事件A) 9 1 的结果有9种 ∴ P(A)=27= 3
乙 石剪布 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布
数学病院
用下图所示的转盘进行“配紫色” 游戏，游戏者获胜的概率是多少？
刘华的思考过程如下：
随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下： 你认为她的 蓝 （灰，蓝） 绿 （灰，绿） 灰 想法对吗， 黄 （灰，黄） 为什么？ 蓝 （白，蓝） 绿 （白，绿） 白 开始 黄 （白，黄 蓝 （红，蓝） ） 绿 （红，绿） 红 黄 （红，黄） 用树状图或列表 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能 法求概率时，各 够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏 种结果出现的可 者获胜的概率为1∕9 。 能性务必相同。
(1)利用列表的方法 表示游戏者所有可能 出现的结果. (2)游戏者获胜的概 率是多少?
红
黄 白 A盘 绿 B盘 蓝
想一想
4
252《用列举法求概率(第1课时)》教学设计
252《用列举法求概率(第1课时)》教学设计25.2《用列举法求概率（第1课时）》教学设计XXX一、教材分析1、内容分析：《用列举法求概率》是人教版材九年级上册第二十五章第二节，本节内容分四课时完成，本次课设计是第一课时的教学。
主要内容是研究用列表法求概率。
2、地位与作用：概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。
因此，初中教材增加了这部分内容。
了解和掌握一些概率统计的基本知识，是学生初中毕业后参加实际工作的需要，也是高中进一步研究概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。
二、学情分析我班学生活泼好动、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在初一，初二研究基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，研究新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但课后复巩固的效果较差。
为了加强他们的自学能力，提高课堂研究效率，根据他们的特点，本节课以学生自主探究方式完成研究,选择联系生活中的实际问题，适合学生的题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。
三、目标分析【知识与技能目标】（1）理解“包含两步，而且每一步的结果为有限多个情形”的意义。
（2）会用列表的方法求出：包含两步，而且每一步的结果为有限多个情形，如许的试验呈现的所有可能结果。
（3）研究用列表法计较概率，并经由进程比较概率大小作出合理的决议。
【进程与方法方针】（1）经历实验、列表、统计、运算等活动，学生在具体情境平分析事件，计较其发生的概率。
（2）渗入渗出数形结合，分类讨论，由非凡到一般的思想，提高分析题目和解决题目的本领。
【情感与态度目标】（1）通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的研究惯和提高学生的自学能力。
（2）在解决实际问题中提高他们解决问题的能力，发展学生应用知识的意识。
四、教学重难点【重点】正确地用列表法计算出现结果数目较多时随机事件发生的概率【难点】如何灵活地列表表示出试验所有等可能的结果五、教具准备教师准备：多媒体课件、学案、尺学生准备：尺六、活动流程《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学研究的主人。
25.2. 1用列举法求概率(t)(1)
归纳 “列表法”的意义： 列表法”的意义： 列表法
当试验涉及两个因素 例如两个转盘 当试验涉及两个因素(例如两个转盘 两个因素 例如两个转盘) 可能出现的结果数目较多时 并且可能出现的结果数目较多 并且可能出现的结果数目较多时， 为不重不漏地列出所有的结果， 为不重不漏地列出所有的结果， 通常采用“列表法”。 通常采用“列表法” 上题可以用画“树形图” 上题可以用画“树形图”的方法 列举所有可能的结果么？ 列举所有可能的结果么？
7、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 、 乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分 如果点数之积为偶数 那么乙得1分 点数之积为偶数， 之积为奇数，那么甲得 分；如果点数之积为偶数，那么乙得 分。 连续投10次 谁得分高，谁就获胜。 连续投 次，谁得分高，谁就获胜。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由； 请你想一想， 请你想一想 谁获胜的机会大？并说明理由； (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。 你认为游戏公平吗？ 你认为游戏公平吗 如果不公平，请你设计一个公平的游戏。 列出所有可能的结果： 列出所有可能的结果：
m (3)运用公式求事件 的概率：P( A) = 运用公式求事件A的概率 运用公式求事件 的概率： n
球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。 球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。 蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑 蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出 只黑 机会大呢 你选哪个口袋成功的机会大 球，你选哪个口袋成功的机会大呢？
1 1 2 3 4 5 6 1×1=1 × 1×2=2 × 1×3=3 × 1×4=4 × 1×5=5 × 1×6=6 × 2 2×1=2 × 2×2=4 × 2×3=6 × 2×4=8 × 2×5=10 × 2×6=12 × 3 3×1=3 × 3×2=6 × 3×3=9 × 3×4=12 × 3×5=15 × 3×6=18 × 4 4×1=4 × 4×2=8 × 4×3=12 × 4×4=16 × 4×5=20 × 4×6=24 × 5 5×1=5 × 5×2=10 × 5×3=15 × 5×4=20 × 5×5=25 × 5×6=30 × 6 6×1=6 × 6×2=12 × 6×3=18 × 6×4=24 × 6×5=30 × 6×6=36 ×
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C、两人赢的概率相等
D、无法确定
广东省怀集县岗坪镇初级中学 陈葵
训练提升
3、在6张看上去无差别的卡片，上面分别 写有1，2，3，4，5，6. 随机地抽取一张 后，放回并混在一起，再随机地抽取一张， 那么第二次取出的数字能够整除第一次取 出的数字的概率是多少？
广东省怀集县岗坪镇初级中学
陈葵
训练提升
广东省怀集县岗坪镇初级中学 陈葵
训练提升
１、同时抛掷两枚普通的正六面体骰子， 得到点数之和为2的概率为（ C ）
1 A、 6
1 C、 36
1 B、12
1 D、 72
陈葵
广东省怀集县岗坪镇初级中学
训练提升
2、有一个骰子,小明和小亮各掷一次,约定 和为6小明赢,和为7小亮赢,则（ B ）
A、小明赢的概率大 B、小亮赢的概率大
等可能事件概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有n种 可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件A包含其中的m种结果，那么
m 事件A发生的概率 P A ． n
P（A）=
事件A发生的结果数 所有可能的结果总数
知识点一 用列举法求事件的概率
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事
件的概率：
36 18
广东省怀集县岗坪镇初级中学 陈葵
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
广东省怀集县岗坪镇初级中学
陈葵
4、 点M（x,y） x,
y可以在数字－１，０，
１，２中任意选取．试求 （１）点M在第一象限内的概率． （２）点M不在直线y=-2x+3上的概率．
（1）两枚硬币全部正面朝上； （2）两枚硬币全部反面朝上；
（3）一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上.
广东省怀集县岗坪镇初级中学
陈葵
分析：掷两枚硬币，其本质就是掷一枚硬币两次，
它们都满足列举法的条件，因此，用列举法解题。
解：全部可能结果共 4
是
种，分别
，每种的可能性相等
正正，正反，反正，反反
（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为 事件A）的结果只有一个，即“正正”
现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出 列表法 _. 所有可能的结果，通常采用_____
广东省怀集县岗坪镇初级中学 陈葵
三、研学教材 解：结合列表法对列举所有可能出现的结 果的作用。
1 1 2
（2,1）
3
（3,1）
4
（4,1）
5
（5,1）
6
（6,1）
(1,1)
（1,2）
（1,3） （1,4） （1,5） （1,6）
解：依次抽取两张卡片可能出现的结果有 36个，如下表：
1 1 2 3 4 5 6 （1,1） （2,1） （3,1）源自（4,1） （5,1） （6,1）
2 3 4 5 6
（1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6）
（2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6）
（3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6）
广东省怀集县岗坪镇初级中学 陈葵
互助探究，研学教材 （1）满足两个骰子点数相同（记为事件A ） 的结果有 ６ 个，即 (1,1),(2,2),(3,3),＿ (4,4),(5,5),(6,6) , 所以 P （ A ） =
6 36
=
1 6
；
（ 2 ）满足两个骰子点数和为 9 （记为事件 B ） 4 个，即 (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) ， 的结果有＿ 所以P（B）=
y -1 0 1 2
X
1 2 （-1,-1） （0,-1） （1,-1） （2,-1） （-1,0） （0,0） （1,0） （2,0）
-1
0
（-1,1） （-1,2）
（0,1） （0,2）
（1,1） （1,2）
4 16
（2,1） （2,2）
∴ (1)P(点M在第一象限)=
1 = 4
所以 P（A）=
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陈葵
（2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝 上（记为事件B）的结果只有一个，即“反反”
所以 P（B）= 1
4
（3）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上， 一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有2 个，即“正反”“反正” 1 2 所以 P（C）= = 4 2
2 3
共有12种不同结果，每种结果出现的可能性 相同，其中数字和为偶数的有 6 种 ∴P（数字和为偶数）=
6 1 = 12 2
1、在一次试验中,如果可能出现的结果只有 那么我们可以通过 列举 试验结果的方法求
有限 个,且各种结果出现的可能性大小相等 ，
事件的概率。
2、当一次试验涉及 两个 因素，并且可能出
训练提升
不透明袋子中装有红、绿小球各一个， 除颜色外无其他差别。随机摸出一个小球后， 放回并摇匀，再随机摸出一个。求下列事件 的概率： （1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球； （2）两次都摸到相同颜色的小球； （3）两次摸到的球中一个绿球，一个红球。
广东省怀集县岗坪镇初级中学 陈葵
解：全部可能结果有4种，分别有红红，红绿，绿 红，绿绿，4种出现的可能性相等 （1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球（记为事 1 件A）有一种，所以 P(A)= 4 （2）两次的颜色相同（记为事件B）有2种，所以
P(B)=
2 1 4 2
（3）两次摸到的球中一个绿球，一个红球（记为 事件C）有2种，所以
P(C)=
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2 1 4 2
陈葵
聚焦问题，互助探究
知识点二
件的概率：
用列表法求事件的概率
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事 （1）两枚硬币全部正面朝上； （2）两枚硬币全部反面朝上； （3）一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上
可用列表法求概率吗
解：
第二次 第一次
正
反
正 反
（正，正） （正，反） （反，正） （反，反）
全部可能结果共4种，每种的可能性相等
1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事
件A）的结果只有一个，即“正正” 所以 P（A）=
当试验涉及两个因素(例如两个转盘) 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不 漏地列出所有的结果，通常采用“列表法” 。
如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数 字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别 写有数字4、5、6、7。现分别转动两个转 盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。
甲
1
3
2
乙
4 7
5
6
解：
甲
乙
4
5
6
7
1
(1，4) (1，5) (1，6) (1，7) (2，4) (2，5) (2，6) (2，7) (3，4) (3，5) (3，6) (3，7)
1、学习运用列举法、列表法计算事 件的概率； 2、能根据不同情况选择恰当的方法 进行列举，解决较复杂事件概率的 计算问题。
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回答下列问题，并说明理由． （1）在我们班中任意抽取1人做游戏，你被 抽到的概率是多少？ （2）掷一枚硬币，正面向上的概率是_____； （3）袋子中装有 5 个红球，3 个绿球，这 些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出 一个球，它是红色的概率为________；
4 36
=
1 9
；
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为 11 事件C）的结果有 11 个，所以P（C）= 36 .
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互助探究，研学教材 思考 如果把例2中的“同时掷两枚质地均 匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷 两次”，所得到的结果有变化吗？为什么？ 解：所得到的结果没有变化。因为它们出 现的可能性是相等的，改动后也可以取同 样的试验的所有可能结果，因此作此改动 对所得结果没有影响。
2
3 4 5 6
(2,2)
（2,3） （2,4） （2,5） （2,6）
（3,2）
（4,2）
（4,3）
（5,2）
（5,3）
（6,2）
(3,3)
（3,4） （3,5）
(6,3)
（6,4） （6,5）
(4,4) (5,4) (4,5) (5,5)
（4,6） （5,6）
(3,6)
(6,6)
由上表可以看出，同时投掷两个骰子，可 36 能出现的结果有＿＿个，他们出现的可能 性 相等 .
（4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6）
（5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6）
陈葵
（6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6）
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训练提升
由上表可得,第二次取出的数字能够整除第 一次取出的数字的结果有14个,即 (1,1),(1,2),(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2),(2,4),(2,6), (3,3),(3,6), (4,4),(5,5),(6,6). ∴第二次取出的数字能够整除第一次取出的 14 7 数字的概率 P(A)=