2019高考数学二轮复习课时跟踪检测九空间几何体的三视图表面积与体积及空间线面位置关系的判定小题练理

课时跟踪检测（九） 空间几何体的三视图、表面积与体积及空间线面位置关系的判定（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1.(2018·广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为D.2．(2018·陕西模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ­ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D 由三棱锥C ­ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ­ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥C ­ABD 的侧视图的面积为14，故选D.3．(2018·郑州一模)已知两条不重合的直线m ，n 和两个不重合的平面α，β，m ⊥α，n ⊂β.给出下列四个命题：①若α∥β，则m ⊥n ；②若m ⊥n ，则α∥β； ③若m ∥n ，则α⊥β；④若α⊥β，则m ∥n .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m ⊥β，又n ⊂β，因此m ⊥n ，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β＝n ，在平面β内作直线m ⊥n ，则有m ⊥α，因此②不正确；对于③，由m ∥n ，m ⊥α得n ⊥α，又n ⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m ⊥α，α∩β＝n ，α⊥β时，直线m ，n 不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的个数为2，故选C.4.(2018·唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．3 B.113 C ．7D.233解析：选B 由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积V ＝4－13＝113.5．(2018·长郡中学模拟)某几何体的三视图如图所示，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是( )A ．192＋96πB ．256＋96πC ．192＋100πD ．256＋100π解析：选C 题中的几何体是由一个直三棱柱和一个半圆柱构成的几何体，其中直三棱柱的底面是两直角边分别为8和6的直角三角形，高为8，该半圆柱的底面圆的半径为5，高为8，因此该几何体的体积为12×8×6×8＋12π×52×8＝192＋100π，选C.6.(2018·贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．15πB ．16πC ．17πD ．18π解析：选 C 由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D 1­BCD ，将其放在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为9＋4＋4＝17，球O 的直径为17，所以球O 的表面积S ＝17π，故选C.7．(2018·石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )A.83 B ．43 C.823D ．423解析：选A 记由三视图还原后的几何体为四棱锥A ­BCDE ，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D ，E 分别为所在棱的中点，分析知平面ABE ⊥平面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即四棱锥的高，设为h ，在△ABE 中，易知AE ＝BE ＝5，cos ∠ABE ＝55，则sin ∠ABE ＝255，所以h ＝455，故四棱锥的体积V ＝13×2×5×455＝83，故选A.8．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15 B.56 C.55D.22解析：选C 如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体EFBA ­E 1F 1B 1A 1.连接B 1F ，由长方体性质可知，B 1F ∥AD 1，所以∠DB 1F 为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DF ，由题意，得DF ＝12＋＋2＝5，FB 1＝12＋32＝2，DB 1＝12＋12＋32＝ 5.在△DFB 1中，由余弦定理，得DF 2＝FB 21＋DB 21－2FB 1·DB 1·cos∠DB 1F ，即5＝4＋5－2×2×5×cos∠DB 1F ，∴cos ∠DB 1F ＝55. 9．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝23，且四棱锥O ­ABCD 的体积为83，则R 等于( )A ．4B ．2 3 C.479D ．13解析：选A 如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ­ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝13×OE ×6×23＝83，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得EC ＝23，则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4，故选A.10．(2018·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．2＋42＋2 3B ．2＋22＋4 3C ．2＋6 3D ．8＋4 2解析：选A 由三视图知该几何体为三棱锥，记为三棱锥P ­ABC ，将其放在棱长为2的正方体中，如图所示，其中AC ⊥BC ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，△PAB 是边长为22的等边三角形，故所求表面积为S △ABC ＋S △PAC＋S △PBC ＋S △PAB ＝12×2×2＋12×2×22＋12×2×22＋34×(22)2＝2＋42＋2 3.故选A.11.(2018·唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架中，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A ．10 3 cmB ．10 cmC ．10 2 cmD ．30 cm解析：选B 依题意，在四棱锥S ­ABCD 中，所有棱长均为20 cm ，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，则SO ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝10 2 cm ，易知点O 到AB ，BC ，CD ，AD 的距离均为10 cm ，在等腰三角形OAS 中，OA ＝OS ＝10 2 cm ，AS ＝20 cm ，所以O 到SA 的距离d ＝10 cm ，同理可证O 到SB ，SC ，SD 的距离也为10 cm ，所以球心为四棱锥底面ABCD 的中心，所以皮球的半径r ＝10 cm ，选B.12．(2018·广州模拟)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为( )A.23 B ．12 C.16D ．13解析：选D 如图所示，在线段DD1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ，同理在AA 1上靠近点A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN共面，即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13，选D.二、填空题13．(2018·南京模拟)在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则三棱锥P ­BCE 的体积为________．解析：由题意知S 底面ABCD ＝2×2sin 60°＝23，所以S △EBC ＝32，故V P ­EBC ＝13×2×32＝33. 答案：3314．(2018·内蒙古包头一模)已知直线a ，b ，平面α，且满足a ⊥α，b ∥α，有下列四个命题：①对任意直线c ⊂α，有c ⊥a ； ②存在直线c ⊄α，使c ⊥b 且c ⊥a ； ③对满足a ⊂β的任意平面β，有β∥α； ④存在平面β⊥α，使b ⊥β. 其中正确的命题有________．(填序号)解析：因为a ⊥α，所以a 垂直于α内任一直线，所以①正确；由b ∥α得α内存在一直线l 与b 平行，在α内作直线m ⊥l ，则m ⊥b ，m ⊥a ，再将m 平移得到直线c ，使c ⊄α即可，所以②正确；由面面垂直的判定定理可得③不正确；若b ⊥β，则由b ∥α得α内存在一条直线l 与b 平行，必有l ⊥β，即有α⊥β，而满足b ⊥β的平面β有无数个，所以④正确．答案：①②④15．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知三棱锥S ­ABC 的顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝4，则此三棱锥的体积为________．解析：如图，设O 1为△ABC 的中心，连接OO 1，故三棱锥S ­ABC 的高h ＝2OO 1，三棱锥S ­ABC 的体积V ＝13×2OO 1×S △ABC ，因为OO 1＝22－32＝1，所以V ＝13×2×1×34×32＝332.答案：33216．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158，∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin∠ASB ＝12×(2r )2×158＝515，解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π.答案：402πB 级——难度小题强化练1．(2018·武汉调研)已知底面半径为1，高为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A.323π27 B ．4π C.16π3D ．12π解析：选C 如图，△ABC 为圆锥的轴截面，O 为其外接球的球心，设外接球的半径为R ，连接OB ，OA ，并延长AO 交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，由题意知，AO ＝BO ＝R ，BD ＝1，AD ＝3，则在Rt △BOD 中，有R 2＝(3－R )2＋12，解得R ＝233，所以外接球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π3，故选C. 2．(2018·南京模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.23 B ．43 C ．2D ．83解析：选A 由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A ­BCD 所示，故该几何体的体积V ＝13×12×1×2×2＝23. 3．(2018·福州模拟)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4πB ．163πC.323π D ．16π解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋32＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.4．(2018·贵阳检测)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334 B ．233C.324D ．32解析：选A 如图所示，在正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．如图所示，取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22×sin 60°＝334.故选A.6．(2018·南宁模拟)如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .下列说法错误的是________(将符合题意的序号填到横线上)．①AG ⊥△EFH 所在平面； ②AH ⊥△EFH 所在平面； ③HF ⊥△AEF 所在平面； ④HG ⊥△AEF 所在平面．解析：根据折叠前AB ⊥BE ，AD ⊥DF 可得折叠后AH ⊥HE ，AH ⊥HF ，HE ∩HF ＝H ，可得AH ⊥平面EFH ，即②正确；∵过点A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴①不正确；∵AG ⊥EF ，AH⊥EF，AH∩AG＝A，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上，说法错误的序号是①③④.答案：①③④。