江苏省淮安市2016_2017学年高一数学下学期期中试题

2016～2017学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．. 1、000043134313cos cos sin sin +的值等于 ▲ .322、不等式2320x x -+-≥的解集是 ▲ .{}21≤≤x x .3、在等比数列{}n a 中，已知23=a ，166=a ，则公比=q ▲ .24、下列直线中与直线l ：3x ＋2y －5＝0相交的是____▲____(填上正确的序号)．①y ＝－32x ＋5 ②3x ＋2y ＝0 ③x 3＋y 2＝1 ④x 2＋y3＝1解析：直线l 的斜率k ＝－32，要使直线与l 相交，则所求直线的斜率k ′≠－32.又①、②、④中直线的斜率都等于－32，③中直线的斜率等于－23，故填③.5、函数)1(14>-+=x x x y 的最小值为 ▲ .5 6、在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B =则ABC ∆的形状一定是 ▲ 三角形. 等腰 7、已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是___▲____.247<<-a8、若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝ ▲ ；39、等差数列{}n a 中，15087654=++++a a a a a ，则11S = ▲ .33010、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ▲ ．9311、已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝____▲____.解析：l 的斜率为k ＝tan 45°＝1，∴k l 1＝－1，k AB ＝2－－13－a＝k l 1＝－1.∴a ＝6.由l 1∥l 2，∴－2b＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝6＋2＝8.12、数列{}n a 满足1321213222n nn a a a a +-++++=，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ . ()()9162n n n a n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩13、已知1sin()33πα-=，则cos(2)3πα+=____▲___.79-14、已知数列{}n a 中，11a =且121n n a a n +=++，设数列{}n b 满足1n n b a =-，对任意正整数n 不等式22111n m b b b +++<均成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ；34m ≥ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、（本小题满分14分）已知1tan22α=（1）求αtan 的值； （2）求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

15、解：（1）2212tan2422tan 311tan122ααα⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭----------------------------------------------------7分 （2）41tan tan134tan 4471tan tan 143παπαπα--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭++ --------------------------------------14分16、（本题满分14分）等比数列{}n a 满足512543=a a a ，28543=++a a a ，且公比为大于1 的数。

（1）求{}n a 通项公式； （2）设,12-=n b n 求{}n n b a +前n 项和n S16、解（1）20,6485125353434543=+=∴=∴==a a a a a a a a a⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴1644165353a a a a 或 ，又的数是大于1q ，∴11532,1,2,164-===⎩⎨⎧==n n a a q a a 7分 （2）1221-+=+-n b a n n n ，则()()()0121222221352121n n n S n n -=+++++++++-=-+ ………………14分17．（本小题满分15分）如图所示，ACD ∆是边长为1的等边三角形，ABC ∆是等腰直角三角形，90=∠ACB ，BD 交AC 于点E .（1）求2BD 的值； （2）求线段AE 的长.17．解：（1）在BCD ∆中，1==CB CD ，1509060=+=∠DCB 15=∠=∠CBD CDB ，由余弦定理，得：32150cos 11211222+=⨯⨯⨯-+= BD ………………7分（2）在ADE ∆中，1=AD ， 60=∠DAE ，45=∠ADE则75=∠AED ，由正弦定理得75sin 145sin =AE ，则13-=AE 。

………………14分18、（本题满分15分）已知函数()()ab a x b ax x f ---+=82，当()2,3-∈x 时，()0>x f ，当()()∞+-∞-∈.23, x 时，()0<x f . ()1求()x f 的解析式；()2若不等式02≤++c bx ax 的解集为R ，求c 的取值范围； ()3当1->x 时，求()121+-=x x f y 的最大值.18、（1）由当()2,3-∈x 时，()0>x f ，当()()∞+-∞-∈.23, x 时，()0<x f 得-3，2是方程()280ax b x a ab +---=的两实根，所以83232b a a ab a -⎧-+=-⎪⎪⎨--⎪-⨯=⎪⎩，解得35a b =-⎧⎨=⎩，所以()23318f x x x =--+-------------------------------------------------------------------------5分（2）由（1）知不等式02≤++c bx ax 化为2350x x c -++≤，其解集为R ，所以240b ac ∆=-≤，即25120c +≤，所以2512c ≤-，c 的取值范围为25,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦----------10分（3）()121+-=x x f y =2331821131111x x x x x --+-⎛⎫=-++- ⎪++⎝⎭， ---------13分 因为1->x ，所以10x +>，()113113211311x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≤-+⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当111x x +=+，即0x =取等号，所以()121+-=x x f y 的最大值为3-.----------------------------15分19．（本小题满分16分）某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用共计12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元. （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：第一种方案：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； 第二种方案：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.19、解：（1）每年的维修、保养费用组成一个以12为首项，4为公差的等差数列， 使用x 年的总费用为 x x x x x 10242)1(122+=⨯-+万元 -------------------------------2分98)102(502-+-=x x x y =984022-+-x x . （*∈N x ）---------------------------------5分（2）解不等式 984022-+-x x ＞0,得 5110-＜x ＜5110+. ------6分 ∵ x N ∈， ∴ 3 ≤x ≤ 17.故从第3年工厂开始盈利. ------------------------------------8分（3）方案一：∵ ）xx x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- ----10分 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立. ------------------------------------------ ----------11分∴ 经过7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. - ----------12分方案二： ()2224098210102y x x x =-+-=--+，∴x =10时， max 102y =---------------------------------------------------- -----13分故经过10年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. -----------------------14分由于获利相同，第一种方案经营时间较短，故按第一种方案处理较好。

- ------------------16分20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点（n ，S n n ）在直线y ＝12 x ＋112上．数列{b n }满足b n +2－2b n +1＋b n ＝0（n ∈N *），且b 3＝11，前9项和为153．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{}(5)2n a n a -⋅的前n 项和n T（3）设n ∈N *，f （n ）＝ ⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数．问是否存在m ∈N *，使得f （m ＋15）＝5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20．解：（Ⅰ）∵点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ，所以1a =6，当2n ≥时，1n n n a S S -=-=n ＋5．且1a =6也适合，所以5n a n =+------------------------------ 3分(首项不验证扣1分,得2分)∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1．∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n＝3n ＋2． -----------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）令5(5)22322n a n n n n c a n n +=-⋅=⋅=⋅ 12332(1222322)n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ……………………………………………………6分 2341232(1222322)n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ……………………………… …………………7分则23132(22222)n n n T n +-=++++-⋅ ………………………………………………………8分132(1)264n n T n +∴=-+ …………………………………………………………………………10分 （Ⅲ） n ∈N *，f (n )＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数．------------------ 11分当m 为奇数时，m ＋15为偶数，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)，解得m ＝11------------------------------------------------------------------ 13分当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f (m ＋15)＝5f (m )成立， m ＋15＋5＝5（3m ＋2），此时不成立---------------------------------------------------------------15分所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )． -------------------------------------------------------------16分高一数学答题纸一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1、_________ ___;2、___________;3、__________;4、_________;5、_________;6、____________;7、____________;8、__________;9、_________; 10、________;11、____________; 12、____________; 13、____________; 14、____________;15.16.18.高一数学答案一、填空题1、32； 2、{}21≤≤x x .； 3、 2 ； 4、③.；5、5； 6、等腰； 7、247<<-a8、3； 9、330 ； 10、93； 11、8.； 12、()()9162n nn a n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ；13、79-；14、34m ≥ 二、解答题： 15、解：（1）2212tan2422tan 311tan122ααα⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭----------------------------------------------------7分 （2）41tan tan134tan 4471tan tan 143παπαπα--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭++ --------------------------------------14分16、解（1）20,6485125353434543=+=∴=∴==a a a a a a a a a⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴1644165353a a a a 或 ，又的数是大于1q ，∴11532,1,2,164-===⎩⎨⎧==n n a a q a a 7分 （2）1221-+=+-n b a n n n ，则()()()0121222221352121n n n S n n -=+++++++++-=-+ ………………14分17．解：（1）在BCD ∆中，1==CB CD ， 1509060=+=∠DCB ， 15=∠=∠CBD CDB ，由余弦定理，得：32150cos 11211222+=⨯⨯⨯-+=BD ………………7分（2）在ADE ∆中，1=AD ，60=∠DAE ，45=∠ADE则75=∠AED ，由正弦定理得75sin 145sin =AE ，则13-=AE 。