解斜三角形的应用
直角三角形与斜三角形的应用题解题方法
直角三角形与斜三角形的应用题解题方法直角三角形和斜三角形是在几何学中常见的两种三角形形态。
它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍直角三角形和斜三角形的应用题解题方法，并给出几个实例来加深理解。
一、直角三角形的应用题解题方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
以下是一些常见的直角三角形应用题解题方法：1. 利用正弦、余弦和正切函数三角函数是解决直角三角形问题的关键工具。
可以利用正弦、余弦和正切函数来计算三角形的各边长和角度。
例如，若已知一个直角三角形的两条边长，可以使用正弦函数来计算夹角的度数。
同样地，可以使用余弦函数或正切函数来计算其他未知数。
2. 使用勾股定理勾股定理是解决直角三角形边长关系的基本原理。
根据勾股定理，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
在解题时，如果已知两个边长，可以通过勾股定理计算第三边的长度；反之，如果已知斜边和一个直角边的长度，可以通过勾股定理求解未知的直角边长。
3. 利用特殊直角三角形的性质特殊直角三角形如45° - 45° - 90°和30° - 60° - 90°三角形有一些独特的性质，可以方便地解决与它们相关的问题。
例如，在一个45° - 45° - 90°三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。
如果已知一个角度为45°的直角三角形的某条边长，可以轻松地求解其他未知边长。
二、斜三角形的应用题解题方法斜三角形是指没有直角的三角形。
由于缺少直角特性，应用题解题方法与直角三角形有所不同。
以下是一些常见的斜三角形应用题解题方法：1. 使用正弦、余弦和正切函数与直角三角形类似，正弦、余弦和正切函数在解决斜三角形问题中也起到关键作用。
可以使用这些函数计算三角形的边长和角度。
需要注意的是，由于斜三角形没有固定的90°角，所以需要根据已知信息选择合适的三角函数。
解斜三角形应用举例(中学课件201908)
5.7解斜三角形应用举例
高一平面向量7（解斜三角形应用举例）
1、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已到达的高度，李明在学校操场的某一直线上选择A 、B 、C 三点，60==BC AB 米，且在A 、B 、C 三点观察塔的最高点，测得仰角分别为45°，54.2°，60°．已知李明身高1.5米，试问建造中的电视塔已到达的高度（结果保留一位小数）．
2．在一个很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小
船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为 2.5km/h ．同时岸
上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度
为 4km/h ，在水中游的速度为 2km/h ．问此人能否追上小船？
若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
3．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50米．求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ．
4、某部队行军中遇到一条河，河的两岸平行．现有米尺和︒60、︒45测角仪．如何才能测量计算出河宽？
5．如图，某城市有一条公路从正西方OA 能过市中心O 后转向东北方OB L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段现要求市中心O 与AB 的距离为10公里，问把B A 、分别设在公路上距中心O 多远处才能使AB 最短，并求其最短距离（不要求作近似计
算） B
O A 45︒15︒A
B
D E C。
解斜三角形的应用题目
解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。
2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。
3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。
4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。
5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。
7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。
8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。
16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：
sin A BC sinC 85 sin80 0.2462
AB
340
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
B arcsin5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin5 3）. 14
5.10 解斜三角形应用举例
总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28]
考点13 解斜三角形及应用举例
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考点13 解斜三角形及应用举例1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A）3-（B）3 （C（D）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB.【规范解答】选C.由正弦定理知sin sin a b A B = 知sin sin b AB a=10215==32<，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键.2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115， 则此人能（ ）（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则S a =⨯13121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形.【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．【规范解答】选 C .由正弦定理可得13:11:5::=c b a ，设t a 5=，则t b 11=，t c 13=，由余弦定理得110231152)13()11()5(2cos 222222-=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C ，所以C 为钝角． 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.【思路点拨】由已知可得cosB ，利用两角和的正弦公式可得sin ∠BAD 。
101943_解斜三角形的应用举例_谢印智
试 试 看
课本习题 .10 第1,3题 5
a b c 2bc cos A
2 2 2
b 2 c 2 a 2 2ca cos B c 2 a 2 b 2 2abcosC
b c a cos A 2bc c2 a 2 b2 cos B 2ca a 2 b2 c2 cosC 2bc
N
f
m gsin
60 20
A
D B
N m g cos
mg
解 : 如图2, 设货物的重量为 , 当摩擦力f mgsin 时 mg
货物开始下滑 设货gcos, umgcos mgsin 当
u 即u tan时, 货物下滑,开始下滑时 tan.
2 2 2
可以解决的问题是: (1)已知三边, 求三个角 ; (2)已知两边和它们的夹角求第三边和其 ,
它两个角 .
问题的提出
例1 自动卸货汽车的车箱采用液压机构．设 计时需要计算油泵顶杆BC的长度(图5-40)．已知 车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A 之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长(保留三个 有效数字)．
抽象数学模型
C
1.40 m
600
A
1.95m
60 20
D B
已知ABC的两边AB 1.95, AC 1.40, 夹角A 66 20, 求第三边的长 .
0
C
600
ACcosA BC2= AB2+AC2-2AB· =1.952+1.4022×1.95×1.40cos66°20′ =3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．
解斜三角形的实际应用
1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的
距离大约为 385400km
上海市崇明中学
朱健
珠穆朗玛峰，位于喜马拉雅山脉之上，终年积雪。为世界 第一高峰。
解斜三角形的实际应用
公式回顾
正弦定理：
a s in A b s in B c s in C
解决什么问题： 余弦弦定理： a b c 2 bc cos A
望角，测量角度 ， 的大小和两地之间距离 AB ，从
而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.
A
O S
B
附件2 如果从地球上A点看，月球S刚好在地平线上，从地球上B
点看，S刚好在天顶处（即S在地球半径OB的延长线上），那么
∠S就叫做月球S的地平视差。 ∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A、B两点 的纬度算出。 月球S的地平视差（∠S），就是从月球S看来，垂 直于视线（SA）的地球半径（OA）所对的角。
已知地球半径R=6370千米，月球的地平视差是57ˊ，我们
就可以计算月球离我们的距离OS
OS OA sin S Nhomakorabea
6370 sin 5 7
'
6370 0 .0 1 6 5 8
3 8 4 0 0 0公 里
和A、B间的距离.请设计一个方案,测量两山顶M、N 间的距离。
课堂小结 1.明确题意，画出示意图; 2.根据所求，找出三角形; 3.根据条件，选择合适的公式; 4.实际问题, 应考虑方案的可行性.
附件1 在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与 月球之间的距离，利用几乎位于同一子午线的柏林与好
2 2 2
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解斜三角形的应用
【教学目标】
1． 运用三角形内角和定理，正余弦定理等知识解斜三角形。
2． 利用解斜三角形知识解决一些实际问题。
3． 激发学生学习的兴趣，增强用数学的意识。
【教学重点】
1． 数学模型的建立；
2． 实际问题解决中解三角形的应用。
【教学难点】
把实际问题转化为数学问题
【头脑体操】
1． 在∆ABC 中，a=3，b=2，sinB=
3
3，则A=__________ 2． 在∆ABC 中，A=︒60，b=2，32S ABC =∆，则C
sin c =__________ 【例题精讲】
例题1．上海的金茂大厦是改革开放以来的上海超高层标志性建筑。
有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的B 处测得金茂大厦顶部A 的仰角为︒66.15，再向金茂大厦前进500米到C 处，测得金茂大厦顶部A 的仰角为︒81.22。
他能否算出金茂大厦的高度呢？若能算出，请计算其高度（精确到1米）。
点评：归纳一般步骤
例题2．修建铁路时要在一个山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D 、E 之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C ，因有障碍物，无法测得CE 、CD 的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=︒3.56；又测得A 、B 两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米（A 、D 、E 、B 在同一直线上）。
求隧道DE 的长（精确到1米）。
点评：难点是画出示意图
例题3．缉私艇在A 处发现在北偏东︒45方向，距离12海里的海面C 处有一艘走私船正以10海里每小时的速度沿东偏南︒15方向逃窜。
若缉私船以14海里每小时的速度沿直线追击，问缉私艇应按什么方向（精确到︒1），需多长时间才能最快追上该走私船？
点评：关键是画出示意图，把实际问题转化为数学问题
【课堂小结】（师生共同小结）：略
【跟踪训练】
1、课本P75 1，2，3，4 练习册P27 11，13
2、某观测站C 在城A 的南偏西20 的方向上，由A 城出发有一条公路走向是南偏东40
，在C 处测得距C 为31km 处的公路上B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20km 后到达D 处，此时C,D 间距离为21km ，问这人还需要走多少路程到达A 城（假设这人是匀速走动的）？
【拓展研究】
根据指令)180180,0r )(,r ( ≤θ≤-≥θ，机器人在平面上能完成下列动作：
先原地旋转角度0(>θθ时，按逆时针方向旋转θ；0<θ时，按顺时针方向旋转θ-），再朝其面对的方向沿直线行走r 米。
现机器人在直角坐标系的原点，且面对x 轴的正方向，机器人先后执行以下两个指令：（5，︒7.80）、（25，︒160）。
请你将这两个指令换成一个指令，使机器人到达同一位置。
（结果精确到0.1，动作完成后不考虑机器人的方向）
【教案说明】
本节课是二期课改教材高中一年级第二学期第五章第三节第三课时的内容。
三角比是中学数学的重要内容之一，为学习解析几何、向量、复数等有关知识打好基础，同时也为处理物理问题提供必要的工具。
就本章而言，本节内容是运用正弦定理和余弦定理解决一些测量和几何计算的实际问题，加强数学的应用意识。
学生在现实生活中已接触到很多有关解斜三角形的模型，在初中时解直角三角形的问题已相当熟悉，而本节课是通过学习解斜三角形，使学生理解数学来源于实践，又反过来作用于实践的道理。
由于本节课之前已上过二节解斜三角形，因此我们的学生已初步具备了解斜三角形的能力。
头脑体操部分作为预习作业，在课前完成。
如此设计本着落实基本知识点，基本解题思想方法，使学生加深对将要学习的、最重要和最基本的知识方法的理解，为提高学习效率打下扎实的基础。
例题精讲部分的选择充分体现最基本知识、最基本方法的覆盖，即狠抓通性通法的落实。
本课中的例题设计旨在使学生明确如何将实际问题转化为数学问题的基本思想方法，体现建模思想，紧紧围绕解斜三角形的几类基本问题展开。
例1是教材上的例题，背景与学生的生活相关，能激发学习的兴趣，也弘扬了爱国主义精神。
本题的数学模型较清晰，是已知三角形两角和一边的问题，学生可以较快地用正弦定理解决问题。
但是部分学生用解直角三角形的方法解决，通过方法的对比，使学生意
识到用正弦定理的优势。
在小结时，归纳运用解三角形的知识解决实际问题的一般步骤。
通过归纳，使学生明白解决问题的途径，初步落实重点，突破难点。
并使学生更深切地体会到解斜三角形知识在现实中的实际意义。
例2也是教材上的例题，类似于已知三角形两边一夹角的问题，使学生体验利用余弦定理解决实际问题。
该题的模型没有例1清晰，难点是如何正确地画出示意图，从而转化为数学问题，这里强调数形结合的思想方法，而且有研究的实际价值，进一步落实重点，突破难点。
例3是自选的例题，因为它是解斜三角形的典型问题，是正弦定理、余弦定理的综合应用，还有方程的思想，所以我把它选为例3，使学生掌握这类常见题的通性通法，提高学生解决问题的能力，提升本节课的思维容量。
本题的关键是根据题意准确地画出示意图，其次是引进变量，找到等量关系，建立方程。
让学生体验解决问题的过程，加强数学的应用意识。
落实重点，突破难点。
本节课，采用“探究发现式”教学模式为学生创设探究知识的情景，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主发现知识、创造性地解决问题的时间、空间。
在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念。
在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。
重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。
同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。
通过对学生学习数学的行为、态度和取得的进展的判断，使学生正确认识自己，增强学习数学的自信心，获得真实的成就感；引导和鼓励学生继续努力学习，切实改善学习态度，改进学习方法，在个性方向上充分发展、不断进步；同时使教师更好地了解学生的数学学习程度和需要，进行正确的教学决策，切实改进教学。
【教后感】
应用能力是被作为一个重要能力来培养，那么如何落实难点？我们要一步步从头来，不能把学生估计太高。
怎样解应用题？很关键的是，在课堂上要让学生做。
头脑体操，从数学知识上为本节课做了铺垫。
例1的亮点：总结出解应用题的一般步骤；例2在教师引导下，学生逐步思考，解题策略：画出图形，标上已知条件，从目标出发，归结到哪个三角形，再回到实际问题去检验；例3的难点是如何理解题意，让学生体验解决问题的过程。
从而言之，例题的选择，功能明确。
存在的问题，在本节课中应进一步揭示解题规律，在归纳解应用题的一般步骤时，应强调解斜三角形的一般规律。
这样处理，可能学生会掌握得更好。
点评
应用题历来是学生比较害怕的题型，但解应用题又是数学知识应用的重要途径，也是高考必考的内容。
1、无论从课程标准、教材内容还是学生的学习基础、思维特点来看，本节课的教学目标定位比较适当，而且成为教学设计与教学实施的出发点和归宿点。
2、教学重点（数学模型的建立；解三角形在实际问题中的应用）得到了充分的落实，教学难点（把实际问题转化为数学模型）也得到了突破。
难点突破的关键是学会如何审题。
教师能够从“作示意图和标注已知条件”，让学生领悟如何进行审题，以及审题时应该如何具体操作。
3、新课前“头脑体操”这一环节的设计，有效地复习了解三角形的两种基本题形，即“已知两边一对角，应用正弦定理”和“已知两边一夹角，应用余弦定理”，为本节课作了很好的铺垫。
4、例题进行了精心选择。
例1、例2属于同一层次，但侧重点不同：例1属于“两边一对角”题型，应用正弦定理，例2属于“两边一夹角”题型，应用余弦定理；例1有两个三角形，例2只有一个三角形；例1计算高度，例2计算长度。
例3属于第二层次，需要通过应用余弦定理构建方程求解时间，再运用正弦定理或余弦定理求角。
解题过程中，教师能够进行解题规律的揭示，总结了解应用题的数学建模方法。
5、根据本节课的内容及学生情况，教师选择了引导、启发、师生合作探究的教学方法，以学生自主探究和合作交流为主，教师进行适时点拨，课堂气氛融洽，学生思维活跃。
课堂教学过程中，教师能结合教学内容，比较自然地进行德育渗透。
教师基本功比较扎实，讲解清楚有序、板书设计合理。
当然，本节可也存在着一些不足。
虽然总结了解应用题的一般方法与步骤，但就三角形应用题的具体解题规律没有进行很好地总结与提炼。
如“审题环节”应强调作图，在图上标明已知条件；“分析环节”应强调寻找可解三角形，寻找欲求结论与可解三角形之间的关系，从而得到解题思路；“求解环节”应强调判断三角形的类型，选择正弦定理还是余弦定理求解；“作答环节”应强调答案是否符合实际问题的要求。
数学知识今后或许会遗忘，但数学思想方法或许会影响一个人的一生。
希望通过我们的数学课，能够让学生领悟、掌握和运用这些数学思想方法。