山东省临沂市第一中学高一数学期中考试试题_新课标人教A版必修1
2021-2022学年山东省临沂一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年山东省临沂一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（）A．6个B．7个C．8个D．15个2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=−1x B．y＝﹣x3C．y＝x+1D．y＝x|x|3．已知x∈R且x≠0，则“x2＜1”是“1x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中与函数y＝x2是同一函数的是（）A．u＝v2B．y＝x•|x|C．y=x3x D．y=(√x)45．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m2+m−3是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．36．已知函数f（x）={−x2−ax−5(x≤1)ax(x＞1)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立，则a的范围是（）A．﹣3≤a＜0B．﹣3≤a≤﹣2C．a≤﹣2D．a≤07．已知a，b，c满足c＜b＜a，且a+b+c＝0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．a＞0，c＜0B．c（b﹣a）＞0C．cb2＜ab2D．ab＞ac8．已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（）A．1B．2C．3D．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述中正确的是（ ）A ．命题“∃x ∈R ，x 2+1＝0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≠0”B ．“xy ＞0”是“x +y ＞0”的充要条件C ．已知a ∈R ，则b a ＜a b 是a ＜b ＜0的必要不充分条件D ．若“1＜x ＜3”的必要不充分条件是“m ﹣2＜x ＜m +2”，则实数m 的取值范围是[1，3]10．已知不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x |﹣2≤x ≤1}，则（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b +c ＞0C ．c ＞0D ．a +b ＝011．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ），下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的值域为[0，1]B ．f （x ）的定义域为RC ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1D ．任意一个非零有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立12．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1L 汽油，乙车最多可行驶5kmB ．甲车以80km /h 的速度行驶1h 消耗约8L 汽油C ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）．13．函数y =√x+2+(x −3)0的定义域为 ．14．若正数x ，y 满足xy ＝x +y +3，则x +y 的取值范围是 ．15．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．16．对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x，则集合{x|f（x）＝g（x）}＝；min{f（x），g（x）}的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|﹣13≤2x﹣1≤7}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}．（1）a＝3时，求A∪B及（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝B时，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f(x)=x−1x+2，x∈[3，5]．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）求函数f（x）的值域．19．（12分）已知f （x ）={−x(x +4)，x ≤0x ，x ＞0． （1）求f （f （﹣2））；（2）若f （a ）＞3，求a 的取值范围；（3）若其图像与y ＝b 有三个交点，求b 的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，a∈R．（1）若f（x）在[1，2）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求关于x的不等式f（x）≤0的解集．21．（12分）春兰公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P．当△ADP 的面积最大时最节能．（1）设AB＝x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？22．（12分）已知函数h（x）＝x+1 x．（1）直接写出h（x）在[12，2]上的单调区间（无需证明）；（2）求h（x）在[12，a](a＞12)上的最大值；（3）设函数f（x）的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：∀x1∈A，∃x2∈∁U A，使得f（x1）＝f（x2），则称区间A为f（x）的“Γ区间”．已知f（x）＝x+1x（x∈[12，2]），若A=[12，b)是函数f（x）的“Γ区间”，求实数b的最大值．2021-2022学年山东省临沂一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足∅⫋M ⊆{1，2，3}的集合M 共有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解：满足∅⫋M ⊆{1，2，3}的集合M 有：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，[2，3}，{1，2，3}， 共7个．故选：B ．2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．y =−1xB ．y ＝﹣x 3C ．y ＝x +1D ．y ＝x |x |解：A ．函数为奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上分别为增函数，但在定义域上不是单调函数，不满足条件．B ．函数为奇函数，函数在定义域上是减函数，不满足条件．C ．y ＝x +1不过原点，不是奇函数，不满足条件．D ．设y ＝f （x ）＝x |x |，则f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2，为增函数，且f （x ）≥0，当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2，为增函数，且f （x ）＜0，则在R 上f （x ）为增函数，满足条件， 故选：D ．3．已知x ∈R 且x ≠0，则“x 2＜1”是“1x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：已知x ∈R 且x ≠0，由x 2＜1，可得﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1，由1x ＞1，可得0＜x ＜1， 因为（0，1）⫋（﹣1，0）∪（0，1），所以“x 2＜1”是“1x ＞1”的必要不充分条件． 故选：B ．4．下列函数中与函数y ＝x 2是同一函数的是（ ）x 3解：A．y＝x2的定义域为R，u＝v2的定义域为R，定义域和对应关系都相同，是同一函数；B．y＝x2与y＝x•|x|的对应关系不同，不是同一函数；C.y=x3x的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；D.y=(√x)4的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数．故选：A．5．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m2+m−3是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．3解：由题意得：m2﹣m﹣1＝1，解得：m＝2或m＝﹣1，m＝2时，f（x）＝x3，递增，不合题意，m＝﹣1时，f（x）＝x﹣3，递减，符合题意，故选：A．6．已知函数f（x）={−x2−ax−5(x≤1)ax(x＞1)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立，则a的范围是（）A．﹣3≤a＜0B．﹣3≤a≤﹣2C．a≤﹣2D．a≤0解：对任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立，则函数f（x）={−x2−ax−5(x≤1)ax(x＞1)在R上为增函数，∴{−a2≥1a＜0a≥−1−a−5，∴﹣3≤a≤﹣2．故选：B．7．已知a，b，c满足c＜b＜a，且a+b+c＝0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．a＞0，c＜0B．c（b﹣a）＞0C．cb2＜ab2D．ab＞ac解：对于A，∵a，b，c满足c＜b＜a，且a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，故A正确，对于B，∵b＜a，∴b﹣a＜0，又∵c＜0，∴c（b﹣a）＞0，故B正确，对于C，令a＝1，b＝0，c＝﹣1时，满足c＜b＜a，且a+b+c＝0，但cb2＝ab2，故C错误，对于D，∵b﹣c＞0，∴ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，即ab＞ac，故D正确．故选：C．8．已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（）A．1B．2C．3D．7解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝ab，即1b +2a=1，所以2a+b＝（2a+b）（1b +2a）＝5+2ba+2a b≥5+2√2b a⋅2a b=9，当且仅当2ba=2ab且1b+2a=1，即a＝b＝3时取等号，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则（2a+b）min≥2m2﹣9，所以9≥2m2﹣9，解得﹣3≤m≤3，m的最大值为3．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述中正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2+1＝0”的否定是“∀x∈R，x2+1≠0”B．“xy＞0”是“x+y＞0”的充要条件C．已知a∈R，则ba ＜ab是a＜b＜0的必要不充分条件D．若“1＜x＜3”的必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，则实数m的取值范围是[1，3]解：对于A：命题“∃x∈R，x2+1＝0”的否定是“∀x∈R，x2+1≠0，故A正确；对于B：“xy＞0”是“x+y＞0”既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：由ba ＜ab不能推出a＜b＜0，但是由a＜b＜0⇒ba＜ab，故ba＜ab是a＜b＜0的必要不充分条件，故C正确；对于D：若“1＜x＜3”的必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，则{m−2≤1m+2≥3，解得1≤m≤3，故D正确．故选：ACD．10．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，则（）A ．a ＜0B ．a ﹣b +c ＞0C ．c ＞0D ．a +b ＝0解：∵不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x |﹣2≤x ≤1}，∴﹣2，1是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根，且a ＜0，∴﹣2+1=−b a ，﹣2×1=c a，∴a ＝b ，c ＝﹣2a ＞0，∴a ﹣b +c ＝﹣2a ＞0，a +b ＝2a ＜0，因此ABC 正确，D 不正确．故选：ABC ．11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ），下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的值域为[0，1]B ．f （x ）的定义域为RC ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1D ．任意一个非零有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立解：因为函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数， 所以f （x ）的定义域为R ，值域为{0，1}，故A 错误，B 正确；当x 为有理数时，f （x ）＝1，f （f （x ））＝f （1）＝1；当x 为无理数时，f （x ）＝0，f （f （x ））＝f （0）＝1，所以∀x ∈R ，f （f （x ））＝1，故C 正确；由于非零有理数T ，若x 是有理数，则x +T 是有理数；若x 是无理数，则x +T 也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对x 任意∈R 恒成立，故D 正确． 故选：BCD ．12．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1L 汽油，乙车最多可行驶5kmB ．甲车以80km /h 的速度行驶1h 消耗约8L 汽油C ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解：对于A ，由图可知，当乙车速度大于40km /h 时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km ，故A 错误，对于B ，甲车以80km /h 的速度行驶时，燃油效率为10km /L ，则行驶1h 消耗约8L 汽油，故B 正确， 对于C ，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，故C 错误，对于D ，在机动车最高限速80千米/小时相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，故更省油，故D 正确．故选：BD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）．13．函数y =|x−2|√x+2+(x −3)0的定义域为 （﹣2，3）∪（3，+∞） ． 解：要使原函数有意义，则{x +2＞0x −3≠0，即x ＞﹣2且x ≠3． ∴函数y =√x+2+(x −3)0的定义域为（﹣2，3）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣2，3）∪（3，+∞）．14．若正数x ，y 满足xy ＝x +y +3，则x +y 的取值范围是 [6，+∞） ．解：因为正数x ，y 满足x +y +3＝xy ≤（x+y 2）2，当且仅当x ＝y ＝3时取等号，解得，x +y ≥6或x +y ≤﹣2（舍），故答案为：[6，+∞）．15．若命题“∃x ∈R ，使得ax 2+ax +1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为 [0，4） ．解：∵命题“∃x ∈R ，使得ax 2+ax +1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a＝0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则{a＞0Δ=a2−4a＜0，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）16．对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x，则集合{x|f（x）＝g（x）}＝{﹣2，1}；min{f（x），g（x）}的最大值是1．解：由题作出函数f（x），g（x）的图象，令f（x）＝g（x），即2﹣x2＝x，解得x＝﹣2，x＝1，则集合{x|f（x）＝g（x）}＝{﹣2，1}，由题意得min{f（x），g（x）}={2−x2，x＜−2 x，−2≤x≤1 2−x2，x＞1，由图象知，当x＝1时，min{f（x），g（x）}最大，最大值是1，故答案为：1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|﹣13≤2x﹣1≤7}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}．（1）a＝3时，求A∪B及（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝B时，求实数a的取值范围．解：（1）∵a ＝3由a ﹣1≤x ≤2a +3得B ＝{x |2≤x ≤9}由可知A ＝{x |﹣6≤x ≤4}∴（∁R A ）＝{x |x ＜﹣6或x ＞4}∴A ∪B ＝{x |﹣6≤x ≤9}∴（∁R A ）∩B ＝{x |4＜x ≤9}（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，分两种情况考虑：①B ＝∅时，a ﹣1＞2a +3，解得：a ＜﹣4；②B ≠∅时，则{a ≥−4a −1≥−62a +3≤4，解得：﹣4≤a ≤12，综合①②得，a 的取值范围为{a |a ≤12}．18．（12分）已知函数f(x)=x−1x+2，x ∈[3，5]． （1）判断函数f （x ）的单调性，并证明；（2）求函数f （x ）的值域．解：（1）函数f(x)=x−1x+2=1−3x+2，x ∈[3，5]，函数f （x ）是定义域[3，5]上的单调增函数，证明如下：任取x 1、x 2∈[3，5]，且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＝（1−3x 1+2）﹣（1−3x 2+2）=3(x 1−x 2)(x 1+2)(x 2+2)， 因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1﹣x 2＜0，x 1+2＞0，x 2+2＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）是定义域[3，5]上的单调增函数；（2）因为函数f （x ）是定义域[3，5]上的单调增函数，且f （3）=3−13+2=25， f （5）=5−15+2=47；所以f （x ）的值域是[25，47]． 19．（12分）已知f （x ）={−x(x +4)，x ≤0x ，x ＞0． （1）求f （f （﹣2））；（2）若f （a ）＞3，求a 的取值范围；（3）若其图像与y ＝b 有三个交点，求b 的取值范围．解：（1）根据题意，f(x)={−x(x +4)，x ≤0x ，x ＞0，则f （﹣2）＝﹣（﹣2）×（﹣2+4）＝4，则f （f （﹣2））＝f （4）＝4；（2）对于f （a ）＞3，当a ＞0时，f （a ）＝a ＞3，即a ＞3，符合题意；当a ≤0时，a 2+4a +3＞0，解得﹣3＜a ＜﹣1；综上可得a ∈（﹣3，﹣1）∪（3，+∞）．（3）f(x)={−x(x +4)，x ≤0x ，x ＞0，其草图如图若其图像与y ＝b 有三个交点，必有0＜b ＜4，即b 的取值范围为（0，4）．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1，a ∈R ．（1）若f （x ）在[1，2）上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求关于x 的不等式f （x ）≤0的解集．解（1）因为函数f （x ）的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x =a 2，当f （x ）在[1，2）上单调递增时，所以a 2≤1，∴a ≤2； 综上a ∈（﹣∞，2]，（2）由f （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1≤0得：（x +1）[x ﹣（a +1）]≤0，x 1＝﹣1或x 2＝a +1．①当a ＜﹣2时，a +1＜﹣1，不等式的解集是[a +1，﹣1]；②当a ＝﹣2时，a +1＝﹣1，不等式的解集是{﹣1}；③当a ＞﹣2时，a +1＞﹣1，不等式的解集是[﹣1，a +1]．综上，①当a ＜﹣2时，不等式的解集是[a +1，﹣1]；②当a ＝﹣2时，不等式的解集是{﹣1}；③当a＞﹣2时，不等式的解集是[﹣1，a+1]．21．（12分）春兰公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能．（1）设AB＝x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，AB＝x，BC＝2﹣x．因x＞2﹣x，故1＜x＜2，设DP＝y，则PC＝x﹣y．因△ADP≌△CB'P，故P A＝PC＝x﹣y．由P A2＝AD2+DP2，得（x﹣y）2＝（2﹣x）2+y2，即有y＝2（1−1x），1＜x＜2，（2）记△ADP的面积为S1，则S1＝（1−1x）（2﹣x）＝3﹣（x+2x）≤3﹣2√2，当且仅当x=√2∈（1，2）时，S1取得最大值．故设计薄板的长为√2，宽为2−√2时，最节能．22．（12分）已知函数h（x）＝x+1 x．（1）直接写出h（x）在[12，2]上的单调区间（无需证明）；（2）求h（x）在[12，a](a＞12)上的最大值；（3）设函数f（x）的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：∀x1∈A，∃x2∈∁U A，使得f（x1）＝f（x2），则称区间A 为f （x ）的“Γ区间”．已知f （x ）＝x +1x （x ∈[12，2]），若A =[12，b)是函数f （x ）的“Γ区间”，求实数b 的最大值．解：（1）h （x ）在区间[12，1]上单调递减；h （x ）在区间[1，2]上单调递增．（2）由题意知，ℎ(12)=ℎ(2)=52，①若12＜a ≤1，则h （x ）在[12，a]上单调递减，∴h （x ）的最大值为ℎ(12)=52； ②若1＜a ≤2，则h （x ）在[12，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增， ∵ℎ(a)≤ℎ(2)=ℎ(12)=52，∴h （x ）的最大值为ℎ(12)=52；③若a ＞2，则h （x ）在[12，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，∵ℎ(a)≥ℎ(2)=ℎ(12)，∴h （x ）的最大值为ℎ(a)=a +1a ，综上，若12＜a ≤2，则h （x ）的最大值为52；若a ＞2，则h （x ）的最大值为a +1a ． （3）由（1）（2）知①当12＜b ≤1时，f （x ）在[12，b)上的值域为(b +1b ，52]， f （x ）在[b ，2]上的值域为[2，52]，∵b +1b ≥2，∴(b +1b ，52]⊆[2，52]满足∀x 1∈[12，b)，∃x 2∈[b ，2]，使得f （x 1）＝f （x 2），∴此时[12，b)是f （x ）的“Γ区间”；②当1＜b ≤2时，f （x ）在[12，b)上的值域为[2，52]，f （x ）在[b ，2]上的值域为[b +1b ，52]，∵当x 1∈[1，b ）时，f(x 1)＜f(b)=b +1b ，∴∃x 1∈[1，b ），使得f(x 1)∉(b +1b ，52]，即∃x 1∈[1，b ），∀x 2∈[b ，2]，f （x 1）≠f （x 2）∴此时[12，b)不是f （x ）的“Γ区间”∴实数b 的最大值为1．。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(56)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷3（共30题）一、选择题（共10题）1. 下列命题中真命题的个数是 ( ) ①函数 y =sinx ，其导函数是偶函数；②“若 x =y ，则 x 2=y 2”的逆否命题为真命题； ③“x ≥2”是“x 2−x −2≥0”成立的充要条件；④命题 p:“存在 x 0∈R ，x 02−x 0+1<0”，则命题 p 的否定为：“对任意的 x ∈R ，x 2−x +1≥0”． A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 32. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x +1)=f (x −1)，且当 x ∈[0,1] 时，f (x )=x 2，则关于 x 的方程 f (x )=12∣x ∣ 在 [−1,2] 上根的个数是 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 83. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④4. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]5. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关6. 集合 {x ∈N ∗∣ x −2<3} 的另一种表示形式是 ( ) A ． {0,1,2,3,4} B ． {1,2,3,4} C ． {0,1,2,3,4,5} D ． {1,2,3,4,5}7. 要得到函数 y =cos2x 的图象，只需将函数 y =cos (2x −π) 的图象 ( )A ．向左平移 π3个单位长度B ．向右平移 π3个单位长度C ．向左平移 π6 个单位长度D ．向右平移 π6 个单位长度8. 给出下列命题：①如 a >b ，则 ac 2>bc 2； ② sinx +1sinx ≥2； ③ x 2+2+1x 2+2≥2；④若 a >b >0，则 a −1a >b −1b ； ⑤若 x ≥0，则 t =2x x 2+1的最大值为 1．以上命题正确命题的个数为 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 19. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣,x ≤1log 2(x −1),x >1，若 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)（x 1，x 2，x 3 互不相等）则x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,8) B ． (1,3) C ． (3,4] D ． (1,8]10. k 为整数，化简 sin [(k+1)π+θ]⋅cos [(k+1)π−θ]sin (kπ−θ)⋅cos (kπ+θ)的结果是 ( )A ． ±1B ． −1C ． 1D ． tanθ二、填空题（共10题）11. 方程 ∣∣cos (x +π2)∣∣=∣log 18x ∣ 的解的个数为 （用数字作答）．12. 已知 k 为常数，函数 f (x )={x+2x+1,x ≤0∣lnx ∣,x >0，若关于 x 的方程 f (x )=kx +2 有且只有四个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为 ．13. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2sin (π4x),2≤x ≤10，若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4 满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1x 2+x 3+x 4= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣sinx1x 131∣∣∣，若 f (a )=2021，则 f (−a )= ．15. 已知 tanα，tanβ 是一元二次方程 x 2+3√3x +4=0 的两根，α,β∈(−π2,0)，则 cos (α+β)= ．16. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为 ．17. 如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 α，则 tanα= ．18. 若函数 f (x )={−x +6,x ≤23+log a x,x >2（a >0 且 a ≠1）的值域为 [4,+∞)，则 f (1)= ；实数a 的取值范围为 ．19. 已知命题 p ：∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0，若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={log 2(−x ),x <0x −2,x ≥0，若函数 g (x )=a −∣f (x )∣ 有四个零点 x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则 ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 已知命题 p ：集合 M ={x∣ x <−3或x >5}，q ：集合 N ={x∣ −a ≤x ≤8}．(1) 若 M ∩N ={x∣ 5<x ≤8}，求实数 a 的取值范围； (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=ln (x −1+a )．(1) 设 f −1(x ) 是 f (x ) 的反函数．当 a =1 时，解不等式 f −1(x )>0；(2) 若关于 x 的方程 f (x )+ln (x 2)=0 的解集中恰好有一个元素，求实数 a 的值；(3) 设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值与最小值的差不超过 ln2，求 a 的取值范围．23. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，值域为 f (D )，即 f (D )={y∣ y =f (x ),x ∈D }．若 f (D )⊆D ，则称 f (x ) 在 D 上封闭．(1) 试分别判断函数 f (x )=2017x +log 2017x ，g (x )=x 2x+1 在 (0,1) 上是否封闭，并说明理由． (2) 函数 f (x )=√x +1+k 的定义域为 D =[a,b ]，且存在反函数 y =f −1(x )．若函数 f (x )在 D 上封闭，且函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上也封闭，求实数 k 的取值范围．(3) 已知函数 f (x ) 的定义域是 D ，对任意 x ，y ∈D ，若 x ≠y ，有 f (x )≠f (y ) 恒成立，则称 f (x ) 在 D 上是单射．已知函数 f (x ) 在 D 上封闭且单射，并且满足 f n (D )⫋D ，其中 f n+1(x )=f(f n (x ))，(n ∈N ∗)，f 1(x )=f (x )．证明：存在 D 的真子集 D n ⫋D n−1⫋⋯⫋D 3⫋D 2⫋D 1⫋D ，使得 f (x ) 在所有 D i (i =1,2,3,⋯n ) 上封闭．24. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在正实数 a ，使得对于任意 x ∈D ，有 x +a ∈D ，且f (x +a )>f (x )，则称 f (x ) 是 D 上的“a 距增函数”．(1) 判断函数 f (x )=2x −x 是否为 (0,+∞) 上的“1 距增函数”？说明理由；(2) 写出一个 a 的值，使得 f (x )={x +2,x <0√x x ≥0 是区间 (−∞,+∞) 上的“a 距增函数”；(3) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x >0 时，f (x )=∣x −a ∣−a ．若 f (x ) 为R 上的“2021 距增函数”，求 a 的取值范围．25. 已知关于 x 的方程 x 2−2x +a =0．当实数 a 为何值时，(1) 方程的一个根大于 1，另一个根小于 1？(2) 方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内？ (3) 方程的两个根都大于零？26. 解答：(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象如何变化得到的？ (2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象．(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2，设M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，请判断 M 的符号．27. 已知 −π<x <0，且 cos (π2+x)−cosx =−15．(1) 求 sinx −cosx 的值； (2) 求 tanx 的值．28. 已知函数 f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x ．(1) 求 f (x ) 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 f (x ) 在 [π6,2π3] 上的单调性．29. 已知二次函数 y =x 2−(a +1a)x +1．(1) 当 a =12 时，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集； (2) 若 a >0，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集．30. 设 x >y >0，求证：x 2x y 2y >(xy )x+y ．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】①正确；因为函数 y =sinx ，所以 yʹ=cosx 是偶函数；②正确；因为命题“若 x =y ，则 x 2=y 2”是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③错误；当 x ≥2 时，x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 成立；当 x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 时，有 x ≥2 或 x ≤−1．④正确；依据特称命题的否定的格式可知正确．【知识点】命题的概念与真假判断、全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定2. 【答案】B【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的周期性3. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即1x 2=2−1x 1，当 x 1=12时，2−1x 1=2−2=0，此时1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件．故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质4. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．5. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】B【解析】由x−2<3，得x<5，又x∈N∗，所以x=1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}，故选B．【知识点】集合的表示方法7. 【答案】C【解析】y=cos(2x−π3)=cos2(x−π6)的图象，向左平移π6个单位长度可得函数y=cos2x的图象．【知识点】三角函数的图象变换8. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】C【解析】设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a，作出函数f(x)的图象与直线y=a，如图．由图可知0<a≤1，不妨设x1<x2<x3，则x1+x2=1，log2(x3−1)=a，因此x3=2a+1，故x1+x2+x3=2+2a，又0<a≤1，所以1<2a≤2，因此3<x1+x2+x3≤4．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，则原式=sin[(2n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(2nπ−θ)⋅cos(2nπ+θ)=sin(π+θ)⋅cos(π−θ)−sinθ⋅cosθ=−sinθ⋅(−cosθ)−sinθ⋅cosθ=−1.当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，则原式=sin[(2n+2)π+θ]⋅cos[(2n+2)π−θ]sin[(2n+1)π−θ]⋅cos[(2n+1)π+θ]=sin[2(n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(π−θ)⋅cos(π+θ)=sinθ⋅cosθsinθ⋅(−cosθ)=−1.综上，原式的值为−1．【知识点】诱导公式二、填空题（共10题）11. 【答案】12【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】{1e3}∪(−e,−1)【解析】作函数y=f(x)和y=kx+2的图象，如图所示，两图象除了(0,2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y=f(x)（x>1）相切，设切点(x0,lnx0)，则切线斜率为k=1x0，又 k =lnx 0−2x 0，则 1x 0=lnx 0−2x 0，解得 x 0=e 3，此时 k =1e 3，当 k <0 时，当 y =kx +2 与曲线 y =x+2x+1相切于点 (0,2) 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2的图象只有三个公共点，不符合题意，此时 k =−1，当 −1<k <0 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2 的图象只有三个公共点，不符合题意， 当直线 y =kx +2 与 y =f (x )（0<x <1）相切时，两图象只有三个公共点， 设切点 (x 0,−lnx 0)，则切线的斜率 k =−1x 0，又 k =−lnx 0−2x 0，则 −1x 0=−lnx 0−2x 0，解得 x 0=e −1，此时 k =−e 不符合题意， 当 k <−e 时，两图象只有两个公共点，不合题意， 而当 −e <k <−1 时，两图象有 4 个公共点，符合题意， 所以实数 k 的取值范围是 {1e 3}∪(−e,−1)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程13. 【答案】 13【解析】作出函数 y =f (x ) 的图象如图所示：由于 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1，x 2，x 3，x 4 可视为直线 y =k 与曲线 y =f (x ) 有四个交点时，四个交点的横坐标．由图象可知，∣log 2x 1∣=∣log 2x 2∣，由于 0<x 1<1<x 2<2，则 log 2x 1<0，log 2x 2>0， 所以，−log 2x 1=log 2x 2，即 log 2x 1+log 2x 2=log 2(x 1x 2)=0，得 x 1x 2=1， 由图象知，曲线 y =sin πx 4(2≤x ≤10) 的图象关于直线 x =6 对称，所以，x 3+x 4=12， 因此，x 1x 2+x 3+x 4=13， 故答案为 13．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 −2021【解析】 f (x )=sinx −x 13，为奇函数， 所以 f (−a )=−f (a )=−2021． 【知识点】函数的奇偶性15. 【答案】 −12【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦16. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象17. 【答案】 34【解析】由题意得大正方形的边长为 10，小正方形的边长为 2， 所以 2=10cosα−10sinα， 即 cosα−sinα=15 ⋯⋯ ①， 两边同时平方得 (cosα−sinα)2=125，即 cos 2α+sin 2α−2sinαcosα=125，又因为 cos 2α+sin 2α=1， 所以 2sinαcosα=2425， 所以(cosα+sinα)2=cos 2α+sin 2α+2sinαcosα=1+2425=4925,已知 α 为锐角，所以 cosα+sinα=75 ⋯⋯ ②， 由①②得 cosα=45，sinα=35，所以 tanα=34．【知识点】同角三角函数的基本关系18. 【答案】 5 ； (1,2]【知识点】函数的值域的概念与求法19. 【答案】 [0,1)【解析】因为“∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0”为假命题， 所以其否定“∀x ∈R ，ax 2+2ax +1>0”为真命题． 当 a =0 时，显然成立；当 a ≠0 时，ax 2+2ax +1>0 恒成立可化为：{a >0,4a 2−4a <0,解得 0<a <1．综上实数 a 的取值范围是 [0,1)．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断20. 【答案】 [4,+∞)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) −5≤a≤3．(2) a≥3．【知识点】交、并、补集运算、充分条件与必要条件22. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=ln(x−1+1)，由y=ln(x−1+1)得x−1+1−=e y，所以x=1e y−1，因为f−1(x)是f(x)=ln(x−1+a)的反函数，所以f−1(x)=1e x−1，x≠0，由f−1(x)>0得1e x−1>0，所以：e x−1>0，解得：x>0，即不等式f−1(x)>0的解集为{x∣ x>0}；(2) 方程f(x)+ln(x2)=0即ln(x−1+a)+ln(x2)=0，所以x+ax2=1，① a=0，则x=1，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；② a≠0时，（i）若Δ=1+4a=0，解得a=−14，代入x+ax2=1，解得x=2，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；(ii)若Δ=1+4a>0，则a>−14；当a>0时由1x +a>0解x>0或x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(−∞,−1a)∪(0,+∞)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为x=−1+√1+4a2a >2√a2a>0，所以为使关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素，只需−1−√1+4a2a ≥−1a，即1+√1+4a≤1，显然不成立；当−14<a<0时，由1x+a>0解得：0<x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(0,−1a)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为a<0，所以−1−√1+4a2a >0，−1+√1+4a2a>0，且−1+√1+4a2a >−1−√1+4a2a，因此只需−1+√1+4a2a <−1a<−1−√1+4a2a，即1−√1+4a2<1<1+√1+4a2，即{−√1+4a<1,√1+4a>1,解得：a>0，与−14<a<0矛盾，也不满足题意；综上，实数a的值为0或−14；(3) 由对数函数的单调性可得y=lnx单调递增，根据幂函数单调性可得y=x−1+a在(0,+∞)上单调递减，因为a>0，t∈[12,1]，所以，根据复合函数单调性，可得f(x)=ln(x−1+a)在区间[t,t+1]上单调递减，因此f(x)max=ln(t−1+a)，f(x)min=ln(1t+1+a)，又函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，所以ln(t−1+a)−ln(1t+1+a)≤ln2，即(at+1)(t+1)t(at+a+1)≤2，整理得a≥1−tt2+t即a≥1−tt2+t对任意的t∈[12,1]恒成立，令g(t)=1−tt2+t ，t∈[12,1]，任取12≤t1<t2≤1，则g (t 1)−g (t 2)=1−t 1t 12+t 1−1−t2t 22+t 2=(1−t 1)(t 22+t 2)−(1−t 2)(t 12+t 1)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 22+t 2−t 1t 22−t 1t 2)−(t 12+t 1−t 12t 2−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2),因为 12≤t 1<t 2≤1，所以 t 2−t 1>0，t 2+t 1+1−t 1t 2>0，(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，因此 g (t 1)−g (t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，即 g (t 1)>g (t 2)；所以 g (t )=1−t t 2+t 在 t ∈[12,1] 上单调递减， 所以 g (t )max =g (12)=23，因此，只需 a ≥g (t )max =23，故 a 的取值范围为 [23,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、反函数23. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可），所以f (x ) 在 (0,1) 上不封闭． t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D . 函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )， 得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 两不等实根． g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1=0({x ≥−1,x ≥k,)故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得k∈(−54,−1]．另解：⇔f(x)=√x+1+k=x在[−1,+∞)两不等实根．令t=√x+1(t≥0)，k+1=t2−t在t∈[0,+∞)有两个不等根，画图，由数形结合可知，k+1∈(−14,0]，解得k∈(−54,−1]．(3) 如果f(D)=D，则f n(D)=D，与题干f n(D)⫋D矛盾．因此f(D)⫋D，取D1=f(D)，则D1⫋D．接下来证明f(D1)⫋D1．因为f(x)是单射，因此取一个p∈D∖D1，则p是唯一的使得f(x)=f(p)的根，换句话说f(p)∉f(D1)．考虑到P∈D∖D1，即D1∉D∖{p}．因为f(x)是单射，则f(D1)⫋f(D∖{p})=f(D)∖{f(p)}=D1∖{f(p)}⫋D1．这样就有了f(D1)⫋D1．接着令D n+1=f(D n)，并重复上述论证证明D n+1⫋D n．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质、反函数24. 【答案】(1) 函数f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”，任意x∈(0,+∞)，有x+1∈(0,+∞)，且2x>1，所以f(x+1)−f(x)=2x+1−(x+1)−(2x−x)=2x−1>0，因此f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”．(2) a=10（答案不唯一，不小于4即可）(3) f(x)={∣x−a∣−a,x>0 0,x=0−∣x+a∣+a,x≤0因为f(x)为R上的“2021距增函数”，∪）当x>0时，由定义∣x+2021−a∣−a>∣x−a∣−a恒成立，即∣x+2021−a∣>∣x−a∣恒成立，由绝对值几何意义可得a+a−2021<0，a<20212；∪）当x<0时，分两种情况：当x<−2021时，由定义−∣x+2021+a∣+a>−∣x+a∣+a恒成立，即∣x+2021+a∣<∣x+a∣恒成立，由绝对值几何意义可得−a−a−2021>0，a<−20212；当−2021≤x<0时，由定义−∣x+a∣+a<∣x+2021−a∣−a恒成立，即 ∣x +2021−a ∣+∣x +a ∣≥∣2021−2a ∣>2a 恒成立， 当 a ≤0 时，显然成立， 当 a >0 时，可得 0<a <20214； 综上，a 的取值范围为 (−∞,20214)．【知识点】函数的单调性25. 【答案】(1) 已知方程的一个根大于 1，另一个根小于 1，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），当 x =1 时的函数值小于 0，即 12−2+a <0，所以 a <1． 因此 a 的取值范围是 {a∣ a <1}．(2) 由方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），x 取 −1，3 时函数值为正，x 取 1，2 时函数值为负．即 {1+2+a >0,1−2+a <0,4−4+a <0,9−6+a >0,解得 −3<a <0．因此 a 的取值范围是 {a∣ −3<a <0}．(3) 由方程的两个根都大于零，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），判别式不小于 0，图象的对称轴在 y 轴右侧，且当 x =0 时，函数值为正，即 {Δ=4−4a ≥0,−−22>0,a >0,解得 0<a ≤1．因此 a 的取值范围是 {a∣ 0<a ≤1}． 【知识点】函数的零点分布26. 【答案】(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象向右平移 1 个单位得到的．(2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象，如图所示；(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2， 所以 M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=(x 1−2)(x 2−2)<0．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、函数的图象变换27. 【答案】(1) 由已知，得 sinx +cosx =15，两边平方得 sin 2x +2sinxcosx +cos 2x =125， 整理得 2sinxcosx =−2425．因为 (sinx −cosx )2=1−2sinxcosx =4925，由 −π<x <0 知，sinx <0，又 sinxcosx =−1225<0， 所以 cosx >0，所以 sinx −cosx <0， 故 sinx −cosx =−75．(2) 故此 sinx =−35，cosx =45， 所以 tanx =−34．【知识点】同角三角函数的基本关系28. 【答案】(1)f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x=cosxsinx −√32(1+cos2x )=12sin2x −√32cos2x −√32=sin (2x −π3)−√32,所以 f (x ) 的最小正周期为 π，最大值为 2−√32．(2) 当 x ∈[π6,2π3] 时，0≤2x −3≤π，所以当 0≤2x −π3≤π2，即 π6≤x ≤5π12时，f (x ) 单调递增，当π2≤2x −π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x ) 单调递减．综上，可知 f (x ) 在 [π6,5π12] 上单调递增，在 [5π12,2π3] 单调递减．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) 当 a =12 时，有 x 2−52x +1≤0，即 2x 2−5x +2≤0，解得 12≤x ≤2，故不等式y≤0的解集为{x∣ 12≤x≤2}．(2) y≤0⇔x2−(a+1a )x+1≤0⇔(x−1a)(x−a)≤0，①当0<a<1时，a<1a ，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；②当a=1时，a=1a=1，不等式的解集为{1}；③当a>1时，a>1a ，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；当a=1时，不等式的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．【知识点】二次不等式的解法30. 【答案】由x>y>0，x2x y2y>(xy)x+y可等价变形为x2x y2y(xy)x+y >1，即要证(xy)x−y>1．因为xy >1，x−y>0，由幂的基本不等式，可知(xy)x−y>1．【知识点】幂的概念与运算。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(35)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷6（共30题）一、选择题（共10题）1. 设集合 A ={x∣ x >1}，B ={x∣ 0≤x <3}，则 A ∩B = ( ) A ． {x∣ 0≤x <3} B ． {x∣ 1≤x <3} C ． {x∣ 1<x <3}D ． {x∣ x ≥0}2. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关3. 已知函数 f (x )=ln(√4x 2+1+2x)，则 ( ) A ． f (log 314)<f (1)<f (ln 12) B ． f (ln 12)<f (log 134)<f (1)C ． f (1)<f (ln2)<f (log 34)D ． f (ln 12)<f (1)<f (log 34)4. 在 [0,2π] 内，不等式 sinx <−√32的解集是 ( )A ． (0,π)B ． (π3,4π3) C ． (4π3,5π3) D ． (5π3,2π)5. ∀x,y,z ∈(0,+∞)，4x 2+y 2+1xy ≥−z 2+2z +m ，则 m 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2√2−1]B ． (−∞,3]C ． (−∞,2]D ． (−∞,4√2−1]6. 已知 f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，且在 (0,+∞) 内的零点有 1003 个，则 f (x ) 的零点的个数为 ( ) A ． 1003 B ． 1004C ． 2006D ． 20077. 已知 α 是第二象限角，且 cosα=−35，则 cos (π4−α) 的值是 ( ) A ． √210B ． −√210C ．7√210D ． −7√2108. 下列函数是幂函数的是 ( )A ． y =2xB ． y =2x −1C ． y =(x +1)2D ． y =√x 239. 已知函数 f(x)={−x 2+2x +1,x <22x−2,x ≥2，且存在不同的实数 x 1，x 2，x 3，使得 f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则 x 1⋅x 2⋅x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,3) B ． (1,2) C ． (0,2) D ． (1,3)10. 函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14的定义域是全体实数，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (√5−1,2) B ． (√5−1,+∞)C ． (−2,2)D ． (−1−√5,−1+√5)二、填空题（共10题）11. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x = 吨．12. 函数 y =x 2+2x −1，当 x = 时有最 值为 ． 13. 计算 cot45∘+cot30∘1−cot45∘cot30∘= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣log 2∣∣x −2x ∣∣∣∣∣−a (a >0)，其所有的零点依次记为 x 1，x 2，⋯，x i (i ∈N ∗)，则 x 1⋅x 2⋯x i = ．15. 已知 cos (α+π4)=13，则 sin2α= ．16. 求值：sin10∘−√3cos10∘cos40∘= ．17. 用二分法求图象连续不断的函数 f (x ) 在区间 [1,5] 上的近似解，验证 f (1)⋅f (5)<0，给定精度 ɛ=0.01，取区间 (1,5) 的中点 x 1=1+52=3，计算得 f (1)⋅f (x 1)<0，f (x 1)⋅f (5)>0，则此时零点 x 0∈ ．（填区间）18. 已知 f (x )={sinπx,x <0f (x −1)−1,x >0，则 f (−116)+f (116) 的值为 ．19. 设函数 f (x )=cos (ωx −π6)(ω>0)．若 f (x )≤f (π4) 对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最小值为 ．20. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB 与地面垂直，灯杆 BC 与灯柱 AB 所在的平面与道路走向垂，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知 ∠ABC =23π，∠ACD =π3，路宽 AD =24 米．设 ∠BAC =θ(π12≤θ≤π6)．(1) 求灯柱 AB 的高 ℎ（用 θ 表示）；(2) 此公司应该如何设置 θ 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到 0.01 米）22. 请回答：(1) 若 f(√x +1)=x +2√x ，试求函数 f (x ) 的解析式；(2) 若 f (x ) 为二次函数，且 f (0)=3，f (x +2)−f (x )=4x +2，试求函数 f (x ) 的解析式．23. 如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE =FB =x cm ．(1) 若广告商要求包装盒侧面积 S (cm 2)最大，试问 x 应取何值？(2) 若广告商要求包装盒容积 V (cm 3) 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．24. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进这种商品 m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．25. 已知函数 f (x )=x 2−mx +m ，m,x ∈R ．(1) 若关于 x 的不等式 f (x )>0 的解集为 R ，求 m 的取值范围；(2) 若实数 x 1，x 2 数满足 x 1<x 2，且 f (x 1)≠f (x 2)，证明：方程 f (x )=12[f (x 1)+f (x 2)] 至少有一个实根 x 0∈(x 1,x 2)；(3) 设 F (x )=f (x )+1−m −m 2，且 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，求实数 m 的取值范围．26. 已知 f (x )=log a x ，g (x )=2log a (2x +t −2)(a >0,a ≠1,t ∈R )．(1) 若 f (1)=g (2)，求 t 的值；(2) 当 t =4，x ∈[1,2]，且 F (x )=g (x )−f (x ) 有最小值 2 时，求 a 的值； (3) 当 0<a <1，x ∈[1,2] 时，有 f (x )≥g (x ) 恒成立，求实数 t 的取值范围．27. 设函数 f (x )=3x ，g (x )=√2−x ，求：(1) f (1)+g (1)； (2) f (2)+g (2)； (3) f (x )+g (x )．28. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t =f (N )，f (N )=−144lg (1−N90)，其中 t 表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），N 表示每分钟打出的字数（字/分）．(1) 计算要达到 20 字分、 40 字/分水平所需的学习时间．（精确到“时”） (2) 判断函数 t =f (N ) 的单调性，并说明理由．29. 设 x ∈R ，解方程 √10+x 4+√7−x 4=3．30. 设函数 f (x )={2x −a,x <14(x −a )(x −2a ),x ≥1．(1) 若 a =1，求 f (x ) 的最小值；(2) 若 f (x ) 恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】D【解析】函数的定义域为R，且f(−x)+f(x)=ln(√4x2+1−2x)+ln(√4x2+1+2x)=ln(√4x2+1−2x)(√4x2+1+2x)=ln(4x2+1−4x2)=ln1=0,得f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数，且f(x)在R上是增函数，因为ln12<1<log34，所以f(ln12)<f(1)<f(log34)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性4. 【答案】C【解析】画出y=sinx，x∈[0,2π]的草图如下：因为sinπ3=√32，所以sin(x+π3)=−√32，sin(2π−π3)=−√32．即在[0,2π]内，满足sinx=−√32的值为x=4π3或x=5π3，可知不等式sinx<−√32的解集是(4π3,5π3)．故选C ．【知识点】三角方程与不等式5. 【答案】B【解析】因为 x,y ∈(0,+∞)，所以 4x 2+y 2+1xy ≥2√4x 2y 2+1xy =4xy +1xy ≥2√4=4（当且仅当 {4x 2=y 2,4xy =1xy时等号成立），又 (−z 2+2z +m )max =m +1， 所以 m +1≤4，即 m ≤3．故选B ． 【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】D【解析】根据奇函数的图象关于原点对称可得 f (x ) 在 (−∞,0) 内的零点有 1003 个，又 f (0)=0，故选D ． 【知识点】函数的零点分布7. 【答案】A【知识点】两角和与差的余弦8. 【答案】D【解析】由幂函数的概念可知D 正确． 【知识点】幂函数及其性质9. 【答案】A【解析】 f(x)={−x 2+2x +1,x <22x−2,x ≥2的图象如图所示：设 x 1<x 2<x 3，又当 x ∈[2,+∞] 时，f(x)=2x−2 是增函数，当 x =3 时，f(x)=2，设f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=t ，1<t <2，即有 −x 12+2x 1+1=−x 22+2x 2+1=2x 3−2=t ，故x 1x 2x 3=(1−√2−t)(1+√2−t)(2+log 2t)=(t −1)(2+log 2t)，设 g(t)=(t −1)(2+log 2t)，1<t <2，可得 gʹ(t)=2+log 2t +t−1tln2>0，即 g(t) 在 (1,2) 上单调递增，又 g(1)=0，g(2)=3，可得 g(t) 的范围是 (0,3)． 【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14=√1mx 2+4x+m+24，因此，要使函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14 的定义域为全体实数，需满足 mx 2+4x +m +2>0 对一切实数都成立，即 {m >0,42−4m (m +2)<0, 解得 m >√5−1．故选：B ．【知识点】恒成立问题、函数的定义域的概念与求法二、填空题（共10题） 11. 【答案】 20【解析】每次都购买 x 吨，则需要购买400x次．因为运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和为 4×400x+4x 万元．因为4×400x +4x≥160，当且仅当4x=4×400x时取等号，所以x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．【知识点】均值不等式的实际应用问题12. 【答案】−1；小；−2【知识点】函数的最大（小）值13. 【答案】−2−√3【知识点】两角和与差的正切14. 【答案】16【解析】函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)的零点，即f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a=0，所以∣∣∣log2∣∣x−2x∣∣∣∣∣=a．去绝对值可得log2∣∣x−2x ∣∣=a或log2∣∣x−2x∣∣=−a，即2a=∣∣x−2x ∣∣或2−a=∣∣x−2x∣∣．去绝对值可得2a=x−2x 或−2a=x−2x，2−a=x−2x或−2−a=x−2x．当2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2a⋅x−2=0，设方程的根为x1，x2，由韦达定理可得x1⋅x2=−2；当−2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2a⋅x−2=0，设方程的根为x3，x4，由韦达定理可得x3⋅x4=−2；当2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2−a⋅x−2=0，设方程的根为x5，x6，由韦达定理可得x5⋅x6=−2；当−2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2−a⋅x−2=0，设方程的根为x7，x8，由韦达定理可得x7⋅x8=−2．综上可得所有零点的乘积为x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6⋅x7⋅x8=(−2)4=16．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布15. 【答案】79【解析】因为cos(α+π4)=13，所以cos(α+π4)=√22cosα−√22sinα=13=√22(cosα−sinα)=13，所以cosα−sinα=√23，因为{cosα−sinα=√23,cos2α+sin2α=1⇒(cosα−sinα)2=cos2α+sin2α−2sinαcosα=1−2sinαcosα=29，所以sin2α=2sinα⋅cosα=1−29=79．【知识点】二倍角公式16. 【答案】−2【解析】sin10∘−√3cos10∘cos40∘=2(12sin10∘−√32cos10∘)cos40∘=2sin(10∘−60∘)cos40∘=−2sin50∘cos40∘=−2.【知识点】两角和与差的正弦17. 【答案】(1,3)【解析】由f(1)⋅f(5)<0，f(1)⋅f(x1)<0及f(x1)⋅f(5)>0可知f(1)与f(x1)异号，f(x1)与f(5)同号，则x0∈(1,x1)即x0∈(1,3)．【知识点】零点的存在性定理18. 【答案】−2【知识点】诱导公式19. 【答案】23【解析】结合余弦函数的图象得π4ω−π6=2kπ，k∈Z，解得ω=8k+23，k∈Z，又因为ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值，最小值为23．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(4,8)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 在△ACD中，∠CDA=θ+π6，由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA，得AC=AD⋅sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6)；在△ABC中，∠ACB=π3−θ，由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，得ℎ=AC⋅sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．(2) △ABC中，由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，得BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ，所以AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ=16sin2θ+8√3，因为π12≤θ≤π6，所以π6≤2θ≤π3，所以当θ=π12时，AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．【知识点】三角函数模型的应用22. 【答案】(1) 令t=√x+1，则t≥1，x=(t−1)2，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，所以f(x)=x2−1，x∈[1,+∞)．(2) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，所以f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c，所以f(x+2)−f(x)=4ax+4a+2b=4x+2，所以{4a=4,4a+2b=2⇒{a=1,b=−1.又f(0)=3⇒c=3，所以f(x)=x2−x+3．【知识点】函数的解析式的概念与求法23. 【答案】(1) 设包装盒的高为ℎcm，底面边长为a cm，由已知得a=√2x，ℎ=√2=√2(30−x)，0<x<30，S=4aℎ=8x(30−x)=−8(x−15)2+1800，所以当x=15时，S取得最大值．(2) 由题意，可得V=a2ℎ=2√2(−x2+30x2)，则Vʹ=6√2x(20−x)，由Vʹ=0得x=0（舍去）或x=20，当x∈(0,20)时，Vʹ>0，V在(0,20)上单调递增；当x∈(20,30)时，Vʹ<0，V在(20,30)上单调递减，所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值，此时ℎa =12，即当x=20时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12．【知识点】函数模型的综合应用、利用导数处理生活中的优化问题24. 【答案】设月份为x，由条件可得：出厂价格函数为：y1=2sin(π4x−π4)+6，销售价格函数为：y2=2sin(π4x−3π4)+8，则每期的利润函数为：y=m(y2−y1)=m[2sin(π4x−3π4)+8−2sin(π4x−π4)−6]=m(2−2√2sinπ4x)，所以，当x=6时，y max=(2+2√2)m，即6月份盈利最大．【知识点】三角函数模型的应用25. 【答案】(1) 因为f(x)>0的解集为R，所以Δ=m2−4m<0，解得0<m<4．(2) 证明：令g(x)=f(x)−12[f(x1)+f(x2)]，易知g(x)在其定义域内连续，且g(x1)⋅g(x2)={f(x1)−12[f(x1)+f(x2)]}⋅{f(x2)−12[f(x1)+f(x2)]}=−14[f(x1)−f(x2)]2<0，则g(x)=f(x)−12[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)上有零点，即方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]至少有一个实根x0∈(x1,x2)．(3) F(x)=f(x)+1−m−m2=x2−mx+1−m2，Δ=m2−4(1−m2)=5m2−4，函数F(x)的对称轴为直线x=m2，①当 Δ=0 时，5m 2−4=0，即 m =±2√55， 若 m =2√55，则对称轴为 x =√55∈[0,1]，则在 [0,1] 上不单调递增，不满足条件；若 m =−2√55，则对称轴为 x =−√55<0，则在 [0,1] 上单调递增，满足条件； ②当 Δ<0 时，−2√55<m <2√55，此时 F (x )>0 恒成立，若 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，则 x =m 2≤0，即 m ≤0，此时 −2√55<m ≤0；③当 Δ>0 时，m <−2√55或 m >2√55，对称轴为 x =m2，当 m <−2√55时，对称轴为 x =m 2<0，要使 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，则只需要 F (0)≥0 即可，此时 F (0)=1−m 2≥0，得 −1≤m ≤1， 此时 −1≤m <−2√55；当 m >2√55时，对称轴为 x =m 2>0，则要使 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，此时 F (0)=1−m 2≤0，且对称轴 m 2≥1，所以 m ≥2．此时 m ≥2； 综上，−1≤m ≤0 或 m ≥2．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的单调性26. 【答案】(1) 因为 f (1)=g (2)， 所以 0=2log a (2+t )， 所以 t +2=1，即 t =−1． (2) 因为 t =4，F (x )=g (x )−f (x )=2log a (2x +2)−log a x =log a4(x+1)2x=log a 4(x +1x +2).又因为 y =x +1x 在 x ∈[1,2] 单调递增， 所以当 a >1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递增， 所以 F (x )min =log a 16=2，解得 a =4，当 0<a <1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递减， 所以 F (x )min =log a 18=2， 解得 a =√18=3√2（舍去）， 所以 a =4．(3) f (x )≥g (x )，即 log a x ≥2log a (2x +t −2)， 所以 log a x ≥log a (2x +t −2)2， 因为 0<a <1，x ∈[1,2]， 所以 x ≤(2x +t −2)2， 所以 √x ≤2x +t −2， 所以 √x −2x +2≤t ，所以 √x −2x +2≤t ，依题意有 (√x −2x +2)max ≤t ， 而函数 y =√x −2x +2=−2(√x −14)2+178，因为 x ∈[1,2]，√x ∈[1,√2]，y max =1， 所以 t ≥1．【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质27. 【答案】(1) f (1)+g (1)=4． (2) f (2)+g (2)=6．(3) 因为 f (x ) 的定义域是 R ，g (x ) 的定义域是 (−∞,2]，交集是 (−∞,2]， 所以 f (x )+g (x )=3x +√2−x ，定义域是 (−∞,2]． 【知识点】函数的相关概念28. 【答案】(1) t =f (20)≈16（时），t =f (40)≈37（时）；所以，要达到这两个水平分别需要学习 16 小时和 37 小时．(2) 任取 0≤N 1<N 2<90，f (N 1)−f (N 2)=144lg 90−N290−N 1，因为 0≤90−N 2<90−N 1，所以 f (N 1)−f (N 2)=144lg 90−N290−N 1<0，即 f (N 1)<f (N 2)，函数 t =f (N ) 在定义域内递增．【知识点】函数模型的综合应用29. 【答案】设 {√10+x 4=u,√7−x 4=v,则 {u +v =3,u 4+v 4=17,解得 {u =2,v =1或 {u =1,v =2, 即 x =−9 或 x =6．【知识点】幂的概念与运算30. 【答案】(1) 当 a =1 时，f (x )={2x −1,x <14(x −1)(x −2),x ≥1．当 x <1 时，f (x )∈(−1,1)，无最小值； 当 x ≥1 时，f (x )=4(x −32)2−1，所以函数 f (x ) 在 [1,32] 上单调递减，在 (32,+∞) 上单调递增．所以 f (x ) 的最小值为 f (32)=−1． 综上，当 x =32 时，f (x ) 取得最小值 −1． (2) 当 x <1 时，f (x )∈(−a,2−a )．①若 g (x )=2x −a 在 x <1 时与 x 轴有一个交点则 {a >0,g (1)=2−a >0,所以 0<a <2．ℎ(x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有一个交点． 所以 2a ≥1 且 a <1， 所以 12≤a <1．②若 g (x ) 与 x 轴无交点，则 ℎ(x ) 在 x ≥1 时与 x 轴有两个交点，当 g (1)=2−a ≤0 时 a ≥2，ℎ(x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有两交点且两交点均在 [1,+∞) 内．由上可知 12≤a <1 和 a ≥2．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值。
人教版高一数学A必修1全册例题讲解及练习题(65页)
（i）若 a = 0 时，得 N = Æ ，此时， N Í M ；
（ii）若 a ¹ 0 时，得 N
1 ={ }.
若N
ÍM
,满足 1
= 2或 1
= -3 ，解得 a =
1 或a = - 1 .
a
a
a
2
3
故所求实数 a 的值为 0 或 1 或 - 1 . 23
点评：在考察“ A Í B ”这一关系时，不要忘记“ Æ ” ，因为 A = Æ 时存在 A Í B . 从而需要分情况讨
第 1～27 练 答案 …………………………（55～65）
《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲
第一章 集合与函数概念
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征.
A ¹Ì B（或 B ¹É A）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 Æ ，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质： A Í A ；若 A Í B ， B Í C ，则 A Í C ；
若 A I B = A ，则 A Í B ；若 A U B = A ，则 B Í A .
={x |
x
=
2n +1,n 2
Î Z} ，易知
B ¹Ì
A，故答案选
A．
{ } 【例 3】若集合 M = x | x2 + x - 6 = 0 , N = {x | ax - 1 = 0} ，且 N Í M ，求实数 a 的值.
山东省临沂市重点中学高一数学上学期期中试题新人教A版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1.已知集合{}{}2|lg(4),|1,A x y x B y y ==-=>则A B =A ．{|21}x x -≤≤B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x >D ．{|212}x x x -<<>或 2. 下列函数中,是偶函数又在区间(0,)+∞上递增的函数为 A ．3y x =B ．2log y x =C ．||y x =D ．2y x =-3．函数x x y 26ln +-=的零点一定位于的区间是 A ．（2，3）B ．（3，4）C ．（1，2）D ．（0，1）4. 已知12log 5=a ，2log 3=b ，1c =，0.53-=d ，那么A.<<<d a c bB.d c a b <<<C.a b c d <<<D.a d c b <<<5.已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且(1)f x +为偶函数，则实数a 的值可以是 A.23B.2C.4D.6 6. 如果幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值范围是A ．21≤≤-m B.1=m 或2=m C.1-=m 或2=m D.1=m7. 函数()412x xf x +=的图象A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称8.已知函数31()()log 2xf x x =-，若实数0x 是方程0()0f x =的解，且100x x <<，则1()f x 的值A.等于0B.恒为负值C.恒为正值D.不能确定9.函数2()2x f x x =-的图象为10．设()f x 是R 上的偶函数, 且在[0+)∞，上递增, 若1()02f =，14(log )0f x <那么x的取值范围是 A ．122x << B ．2x > C ．112x << D ．1212x x ><<或 11.已知函数(31)4,(1)()log ,(1)aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是A.[11,)73B.1(0,)3C.11(,)73D.[1,1)712.定义域与值域相同的奇函数称为“八卦函数”，下列函数中是“八卦函数”的是A ．201320132x x y -+=B ．2014ln 2014x y x-=+ C ．13y x -= D ．y x =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上，直接答在试题卷上无效． 2．答题前将答题纸密封线内的项目填写清楚．二、填空题：（本大题共4个小题.每小题4分；共16分．）13．设,R a b ∈，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则 =-a b ________． 14. 已知3()25f x x x =--，(2.5)0f >，用 “二分法”求方程0523=--x x 在区间(2,3)内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 .15.已知01a a >≠且，函数2)1(log +-=x y a 的图象恒过定点P ， 若P 在幂函数()f x 的图象上，则()8f =_________.16. 若对任意x A ∈,y B ∈, (A .R B ⊆)有唯一确定的(f x ,)y 与之对应,称(f x ,)y 为关于x ,y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x .y 的广义“距离”.(1)非负性:(,)0,f x y x y ≥=当且仅当时取等号； (2)对称性:(,)(,)f x y f y x =；(3)三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x .y 的广义“距离”的序号:①(,)||f x y x y =-； ②2(,)()f x y x y =-； ③(,)f x y =能够成为关于的x .y 的广义“距离”的函数的序号是___________.三、解答题：本大题共6个小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分） 已知集合}24{<<-=x x A ,{}15>-<=x x x B 或，}11{+<<-=m x m x C .（1）求B A ,R ()AB ；（2）若∅=C B ，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）(1) 计算：421033)21(25.0)21()4(--⨯+--；(2) 解关于x 的方程：1)3(log )1(log 515=--+x x .19.（本小题满分12分）已知函数)(log )(3b ax x f +=的图象经过点A (2，1)、 B （5，2）.20.（本小题满分12分）已知函数229(0)8()log (1)mx x m f x x m x m ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩满足2()1f m =- （1）求常数m 的值；（2）解关于x 的方程()20f x m +=，并写出x 的解集.21.（本小题满分13分）为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16t a y -=（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．22. （本小题满分13分）已知函数2()131xf x =-+. （1）求函数()f x 的定义域并判断函数()f x 的 奇偶性；（2）用单调性定义证明:函数()f x 在其定义域上 都是增函数；（3）解不等式:()2(31)230f m m f m -++-<.高一数学参考答案 2013.11一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．BCADB BDCDA AC 二、填空题：本大题共4个小题.每小题4分；共16分． 13. 2 14. (2,2.5) 15. 22 16.① 三、解答题：本大题共6个小题. 共74分．17.解：（1）}24{<<-=x x A ,{}15>-<=x x x B 或，∴{|5A B x x =<-或}4->x ，又R {51}B x x =-≤≤，……………………4分 ∴(){41}U AB x x =-<≤；………………………6分（2）若BC =∅，则需 ⎩⎨⎧≤+-≥-1151m m ，解得⎩⎨⎧≤-≥04m m ， …………………10分 故实数m 的取值范围为]0,4[-.…………………………………………………12分 18. 解：(1)原式=41412--+⨯=－3；………………………………………6分 （2）原方程化为 5log )3(log )1(log 555=-++x x ，从而5)3)(1(=-+x x ,解得2-=x 或4=x ，经检验，2-=x 不合题意， 故方程的解为4=x .………………………………………………………………12分 19. 解：∵函数)(log )(3b ax x f +=的图象经过点A (2，1)、 B （5，2）， ∴ (2)1(5)2f f =⎧⎨=⎩ ，……………2分即 33log (2)1log (5)2a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴ 2359a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得21a b =⎧⎨=-⎩，……………6分∴ 3()log (21)f x x =-，定义域为1(,)2+∞.……………………………………8分（2）1(14)2f f ⎛⎫÷=⎪⎪⎝⎭3log 27log ÷1362÷=.……………………12分20．解：（1）∵01m <<，∴20m m <<，即2()1f m = 得 2918m m ⋅-=- ∴12m =. ………………４分 （2）由（1）22191(0)282()1log (2)(1)2x x f x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，方程()20f x m +=就是()10f x +=，即10,2191028x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩或22112log (2)10,x x ⎧≤<⎪⎨⎪+=⎩解得1142x x ==或，…………11分 ∴方程()20f x m +=的解集是1142⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. ……………12分21．解：（1）依题意：当[0,0.1]t ∈时，设 (y kt k =为常数），由图可知，图象过点（0.1, 1），∴1=0.1k ， ∴10k =， ∴10y t = []0,0.1t ∈ ……3分 当()0.1,t ∈+∞时，1()16t a y-=（a 为常数）. 由图可知，图象过点（0.1,1），∴0.111=16a-（）， ∴0.1a =，综上：0.110[0,0.1]1()(0.1,)16t t t y t -∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ ………………8分（2）依题意),1.0[+∞∈t ∴10.1211()0.25()1616t -<= ∵1()16xy =在R 上是减函数，∴0.10.5 t ->，即0.6t >∴至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室. …………13分22.解：（1）30x >，310x +≠，∴函数()f x 的定义域为R ，…………2分()f x 的定义域为R ，又231231()1313131x x x x x f x +--=-==+++ 1331133()()1331133xx x x x x xxf x f x -----∴-====-+++，∴()f x 是定义在R 上的奇函数.…4分（2）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则()12()f x f x -=12131x --+22(1)31x -+ =2231x -+1231x +()()()()12122312313131x x x x +-+=++()()()12122333131x x x x -=++，…………………6分 12x x < ，∴1233x x <,∴12330x x -<,又12310,310x x +>+>,∴()12()0f x f x -<,即()12()f x f x <∴函数()f x 在其定义域上是增函数. ………………8分 （3）由()2(31)230f m m f m -++-<,得()2(31)23f m m f m -+<--,………………………………………………………9分 函数()f x 为奇函数，∴()()2332f m f m --=-，()()23132f m m f m -+<- 由（2）已证得函数()f x 在Ｒ上是增函数， ∴()()23132f m m f m -+<-23132m m m ⇔-+<-. ………………………………………………………12分即2320m m +-<，(32)(1)0m m -+<，∴21.3m -<<不等式()2(31)230f m m f m -++-<的解集为21.3m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭………………13分。
高一数学必修一期中考试试题及答案
考试时间:100分钟,满分100分.一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．下列关系正确的是：A ．Q ∈2B ．}2{}2|{2==x x x C ．},{},{a b b a = D ．)}2,1{(∈∅2．已知集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}5,4,2{=A ，}5,4,3,1{=B ，则)()(B C A C U U ⋃A ．}6,3,2,1{B ．}5,4{C ．}6,5,4,3,2,1{D ．}6,1{ 3．下列函数中，图象过定点)0,1(的是A ．x y 2=B ．x y 2log =C ．21x y = D ．2x y =4．若b a ==5log ,3log 22，则59log 2的值是： A ．b a -2B ．b a -2C ．b a 2D ．ba25．函数3log )(3-+=x x x f 的零点所在的区间是A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞） 6．已知函数ax x x f +=2)(是偶函数，则当]2,1[-∈x 时，)(x f 的值域是： A ．]4,1[ B ．]4,0[ C ．]4,4[- D ．]2,0[8．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林 A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩9.设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<10．已知函数()log a f x x =（0,1a a >≠），对于任意的正实数,x y 下列等式成立的是A ．()()()f x y f x f y +=B ．()()()f x y f x f y +=+C ．()()()f xy f x f y =D ． ()()()f xy f x f y =+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷中的横线上.11．若幂函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()9f = _________12．函数()f x =的定义域是13． 用二分法求函数)(x f y =在区间]4,2[上零点的近似解，经验证有0)4()2(<⋅f f 。
山东省临沂第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题及答案
r rr r
A. 若 a / /b,b / /c ，则 a / /c
B. 若 PA PB PB PC PC PA 则 P 是三角形 ABC 的垂心
C. 两个非零向量 a,b ，若 a b a b ，则 a 与 b 共线且反向
D.
若
r a
/
r /b
，则存在唯一实数
使得
r a
r b
10.将函数 f (x) sin(x ) 的图像向左平移 个单位。若所得图象与原图象重合，则 的值 2
即 g(m) 的最大值为 1.
那么 B，C 两点间的距离是（ ）海里．
A．10 2
B． 20 3
C．10 3
D． 20 2
第1页共5页
8.设 a，m，n 是三条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，给定下列命题：
①
m nm
n
/
/
；②
a m, m, n
a
n
a
；③
m m
/
/
；
④
m n / /
m
/
/
由题意可得 AB = BD = 2 BC，所以 AD2= AB2+ BD2，所以 BD ⊥ AB.
因为 PA ∩ AB = A，所以 BD ⊥ 平面 PAB.
（Ⅱ）解：在棱 PD 上存在点 M ，使 CM ∥ 平面 PAB，且 M 是 PD 的中点.
证明：取 PA 的中点 N ，连接 MN ， BN ， 因为 M 是 PD 的中点，所以 MN ∥ 21 AD. 因为 BC ∥ 21 AD，所以 MN ∥ BC. 所以 MNBC 是平行四边形，所以 CM ∥ BN .
（Ⅰ）求证：CD⊥PD； （Ⅱ）求证：BD⊥平面 PAB； （Ⅲ）在棱 PD 上是否存在点 M，使 CM∥平面 PAB，若存在，确定 点 M 的位置，若不存在，请说明理由. （答．题．时．请．将．图．形．做．到．答．题．纸．上．）
人教A版高中数学必修1全册练习题
人教A版高中数学必修1全册练习题高中数学必修1练习题集第一章、集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示例1.用符号和填空。
⑴设集合A是正整数的集合，则0_______A，________A，______A；⑵设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1+______B；⑶设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A，美国_____A，印度_____A，英国____A例2.判断下列说法是否正确，并说明理由。
⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵1，，，，这些数组成的集合有五个元素；⑶由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。
例3.用列举法表示下列集合：⑴小于10的所有自然数组成的集合A；⑵方程x=x的所有实根组成的集合B；⑶由1～20中的所有质数组成的集合C。
例4.用列举法和描述法表示方程组的解集。
典型例题精析题型一集合中元素的确定性例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A.2B.3C.4D.5题型二集合中元素的互异性与无序性例2.已知x{1，0，x}，求实数x的值。
题型三元素与集合的关系问题1.判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。
若aA，bB，试判断a+b与A，B的关系。
2.求集合中的元素例4.数集A满足条件，若aA，则A，（a≠1），若A，求集合中的其他元素。
3.利用元素个数求参数取值问题例5.已知集合A={x∣ax+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一个元素，求a的取值。
⑵若A中至多有一个元素，求a的取值范围。
题型四列举法表示集合例6.用列举法表示下列集合⑴A={x∣≤2，xZ}；⑵B={x∣=0}⑶M={x+y=4，xN，yN}.题型五描述法表示集合例7.⑴已知集合M={xN∣Z}，求M；⑵已知集合C={Z∣xN}，求C.例8.用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。
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高一数学上学期期中考试试题
一．选择题（本大题共12小题. 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.） 1.已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={2，3}，则（C U A ）∩B 是
A ．{2}
B ．{3}
C ．{1，2，3，4}
D ．{2，3，5} 2.设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=
A.［0,2］
B.［1,2］
C.［0,4］
D.［1,4］ 3.下列函数中，是奇函数且在区间),0(+∞上为减函数的是
A.x y -=3
B. 3x y =
C. 1-=x y
D.x
y )2
1
(= 4.
函数()lg(2)f x x =+的定义域为
A.(2,1)-
B.(2,1]-
C.[2,1)-
D.[2,1]-- 5.己知函数y=x 2
的值域是［1，4］，则其定义域不．可能是 A.［1，2］ B.［－
2
3
，2］ C.［－2，－1］ D.[－2，－1]∪｛1｝ 6.
与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 A.V=log 2t B.V=-log 2t C. V=2t-2 D. V=12
(t 2
-1)
[]()7.⇔⋅2下列说法不正确的是( )
A.方程f(x)=0有实根函数y=f(x)有零点
B.-x +3x+5=0有两个不同实根
C.y=f(x)在a,b 上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在a,b 内有零点
D.单调函数若有零点,则至多有一个
8.函数log (1)a y x =-(0<a <1)的图象大致是（ ）
A B C D 9.已知x 满足方程x x lg )2lg(2=-，则x 的值是（ ）
A . 1 B. 2 C. 1，2 D. -1，2 10.已知函数)2(lg
)(>+-=a x a x a x f ，现有2
1
)1(-=f ，则)1(-f = A. 2 B. -2 C. 12
- D. 12
11.若()1,10
lg lg ≠≠=+b a b a 则函数x a x f =)(与x b x g =)(的图象
A.关于直线y=x 对称
B.关于x 轴对称
C.关于y 轴对称
D. 关于原点对称
12.阅读下列一段材料，然后解答问题:对于任意实数x ，符号[x ]表示 “不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数，[x ]就是x ,当x 不是整数时，[x ]是点x 左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss ）函数.如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2. 求2
222222111
[log ][log ][log ][log 1][log 2][log 3][log 4]432
++++++的值为 A. 0 B. -2 C. -1 D. 1
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.已知8
.09
.07
.02
.1,8.0,8.0===c b a ，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为 ____
. 14. 函数2
2(0)
()1(0)x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩
，则[(2)]f f -= ___ ；若()10f x =，则x= ______ .
15．已知：集合{023}A =，，，定义集合运算A ※A={|,.}x x a b a A b A =+∈∈，则A ※A=_______ . 16．下列四个命题中正确的有 .
① 函数y x
=-
32
的定义域是{0}x x ≠; ②lg(2)x =-的解集为{3};
③1320x
--=的解集为3{1log 2}x x =-; ④lg(1)1x -<的解集是{11}x x <. 三．解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.（本小题满分12分）（1
）计算4132
0.753
4
40.0081(4)16-
-
-++-的值.
（2）计算21
1log 52
2
lg 5lg 2lg 502+++的值.｛提示22lg 5(lg5)=,log a N
a
N =｝
18.（本小题满分12分）已知函数21
()1
f x x =
+，令1()g x f x =（）
． （1）如图，已知()f x 在区间[)0+∞，的图象，请据此在该坐标系中补全函数()f x 在定义域内的图象，并在同一坐标系中作出函数()g x 的图象．请说明你的作图依据；
（2）求证：()()1(0)f x g x x +=≠.
19.（本小题满分12分）已知偶函数y=f (x )定义域是[-3，3]，当x ≤0时，f (x )=-x 2-2x . （1）写出函数y=f (x )的解析式； （2）写出函数y=f (x )的单调递增区间.
20.（本小题满分12分）求函数的值域.
21.（本小题满分12分）国家购买某种农产品的价格为120元/担，某征税标准为100元征8元，计划可购m 万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加x 2个百分点.
⑴ 写出税收)(x f （万元）与x 的函数关系式；
⑵ 要使此税收在税率调节后达到计划的78%，求此时x 的值.
22.函数2()1ax b f x x +=
+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且12
()25
f =．
（1）求实数,a b ，并确定函数()f x 的解析式； （2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；
（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值？如有，写出最
大值或最小值（本小问不需说明理由）．
数学答案
13. b<a<c ;14. 17 、3或-5 ;
15.{0,2,3,4,5,6}; 16. ②③ 三．解答题：
17.解:（1）原式4133424(0.75)34
22
(0.3)
(2)(2)
2-⨯-
⨯-=++-
3230.32220.30.250.55---=++-=+=.
（2） 原式21
log 52
2
1
2
lg 52lg 2lg5lg 222
=+++⋅
log 21(lg5lg 2)221=++⋅=+18.（1）图像如右图. 根据函数是偶函数，图像关于
y 轴对称作图. （2）证明：
22
22
2211(),1111()() 1.
11
x g x f x x x x f x g x x x ⎛⎫
=== ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∴+=+=++ 19. (1) ⎩
⎨⎧≤-->+-=0,20
,22
2x x x x x x y (2) y ∈[-3,1] (3) 递增区间[-3,-1],[0,1]. 20. 解：设2
23t x x =--+，则
2212
23(1)4,04,log 2,
2,
t x x x t t y =--+=-++∴<≤∴≥-∴≥-
即函数的值域为[2,)-+∞.
21解：（1）调节税率后税率为（8-)x %，预计可收购%)21(x m +万担，总为
%)21(120x m + 万元，可得)%8%)(21(120)(x x m x f -+= )80(≤<x
（2） 计划税收为%,78%8120⨯⨯m 即088422
=-+x x )80(≤<x 解得2=x。