高中数学一轮复习 第5讲 复数的概念及运算
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
数学一轮总复习复数运算篇
数学一轮总复习复数运算篇数学一轮总复习复数运算篇复数是数学中的重要概念之一，在各个数学分支中都有广泛的应用。
复数运算在初中和高中阶段的数学学习中扮演着重要的角色。
本篇文章将为大家总结和复习复数运算的相关知识，帮助大家巩固理解并掌握这一概念。
一、复数的定义与表示方法复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为z=a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
这里的i是虚数单位，满足i²=-1。
复数既可以用代数形式表示，也可以用几何形式表示。
在代数形式中，实部和虚部都是实数，而在几何形式中，复数可以用平面上的向量表示，向量的起点是原点，终点则是复平面上对应的点。
二、复数的四则运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实部与虚部分别相加和相减的规则来进行的。
例如，对于两个复数z1=a₁+b₁i 和z2=a₂+b₂i ，其加法和减法的公式分别如下：加法：z1+z2=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i减法：z1-z2=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i2. 复数的乘法复数的乘法是按照分配律和i²=-1的规则进行的。
对于两个复数z1=a₁+b₁i 和z2=a₂+b₂i，其乘法的公式如下：乘法：z1×z2=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂)i3. 复数的除法复数的除法涉及到共轭复数的概念。
对于一个复数z=a+bi，其共轭复数记作z*，根据共轭复数的定义，z*的实部与z的实部相同，而虚部的符号相反。
复数的除法公式如下：除法：z1÷z2=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+((b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²))i三、复数的乘方与开方1. 复数的乘方复数的乘方是指将一个复数连续乘以自身多次的运算。
复数的乘法规则可以推广到复数的乘方运算中。
例如，对于一个复数z=a+bi，其平方可以表示为：平方：z²=(a+bi)×(a+bi)=a²+2abi+b²i²=(a²-b²)+2abi同理，复数的立方、四次方等运算也可以按照相似的方式进行。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数无法涵盖的一些数值。
在本文中，我将介绍复数的定义与表示方式，并探讨复数运算的基本规则和性质。
一、复数的定义与表示方式复数是由实数和虚数共同构成的数，可以用(a+bi)的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i的平方为-1。
在复数的表示中，a和b都是实数。
二、复数的基本运算1. 加法运算两个复数的加法是将它们对应的实部和虚部分别相加。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的和为：z1+z2=(a+c)+(b+d)i2. 减法运算两个复数的减法是将被减数的实部和虚部分别与减数的实部和虚部相减。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的差为：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3. 乘法运算两个复数的乘法运算遵循分配律和虚数单位的平方性质。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的积为：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法运算两个复数的除法运算需要进行乘法运算和除法运算的综合。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的商为：z1/z2=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的性质与应用复数运算具有如下性质：1. 加法和乘法运算满足交换律和结合律。
2. 复数的乘法满足分配律和幂运算的规则。
复数的应用广泛，特别是在电学和物理学领域中。
在电路分析中，复数的使用可以简化计算，例如在交流电路的分析中，可以将电压和电流表示为复数形式，从而方便地进行计算。
总结：复数是由实数和虚数构成的数，可以用(a+bi)的形式表示。
复数的加法、减法、乘法和除法运算分别是实部和虚部的相应运算。
复数运算具有交换律、结合律和分配律。
复数在电学和物理学中有着广泛的应用。
以上就是对复数的概念与运算的介绍。
复数作为数学中一个重要的概念，其应用领域十分广泛，并且在实际问题中有着重要的作用。
复数的定义与运算规则
复数的定义与运算规则复数是数学中的一个重要概念，是由实数和虚数构成的数。
它的定义可以通过二元有序实数对来表示，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
复数的定义与运算规则是数学学习中必须掌握的基础知识之一。
一、复数的定义复数可以看作是实数与虚数的结合体。
实数是我们平时所熟知的数字，而虚数是不能用实数来表示的数，其平方值为负数。
复数的定义主要是为了解决在实数范围内无法进行根号运算的问题。
具体而言，复数的一般形式为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，a 和b都是实数，i是虚数单位。
实部表示复数在实数轴上的位置，虚部表示复数在虚数轴上的位置。
例如，复数2+3i中，实部为2，虚部为3i。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法复数的加法和减法运算规则与实数的运算规则相似。
实部和实部相加（或相减），虚部和虚部相加（或相减）得到结果的实部和虚部。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(2+3i)-(4+5i)=-2-2i2. 复数的乘法复数的乘法运算按照乘法分配律进行。
实部和虚部分别相乘，并根据i的平方值化简。
例如，(2+3i)*(4+5i)=(-7+22i)，即(2*4-3*5)+(2*5+3*4)i=-7+22i3. 复数的除法复数的除法运算需要将除数和被除数同时乘以共轭复数的形式。
共轭复数是将虚部的符号取反得到的复数。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(23/41)+(2/41)i，即[(2*4+3*5)+(3*4-2*5)i]/[4^2+5^2]4. 复数的乘方和开方复数的乘方和开方运算可以通过将复数转化为指数形式来进行。
指数形式表示为r*(cosθ+isinθ)，其中r表示复数的模，θ表示复数的辐角。
例如，对于复数a+bi，其模r=sqrt(a^2+b^2)，辐角θ=arctan(b/a)。
复数的乘方运算按照指数运算规则进行，复数的开方运算则将指数形式转化为常规复数形式。
5. 复数的共轭和模运算复数的共轭运算是将虚部取反，复数的模运算是求复数的绝对值。
高考数学一轮总复习 第五章 5.5 复 数
∴ －x＋y＝3，
x＝1，
解得
故 x＋y＝5.
2x－y＝－2，
y＝4，
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则
z1 z2
等于
A.－8－6i
B.－8＋6i
√C.8＋6i
D.8－6i
解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴zz12＝6－－8i i＝6－－i82ii＝8＋6i.
②对角线C→A所表示的复数； 解 ∵C→A＝O→A－O→C，∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i ③B点对应的复数. 解 O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求 的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相 论即可.
A.20
B.12
√C.2 5
D.2
解析 设z＝＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
a2－b2＝12，
a＝4， a＝－4，
则
解得
或
2ab＝16，
b＝2
b＝－2，
即|z|＝ a2＋b2＝ 16＋4＝2 5.故选 C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M 数m的值为_3_或__6___.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离
人教a版高考数学(理)一轮课件：11.5复数的概念及运算
2 +
������������ -������������
2
������ 2 +������
i(c+d i≠0).
(2)复数的加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)复数的乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意 z1,z2,z3∈C,有 z1· z2=z2· z1,(z1· z2)· z3=z1· (z2· z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
-6±4i 2
)
=-3± 2i,选项 A 正确.
4 .(2012·山东卷,1 )若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( ) A .3+5i B.3- 5i C.-3+5i D.-3-5i 【答案】A 【解析】设 z=a+b i,a ,b∈R,则 z(2-i)=(a+b i)(2-i)=(2a+b )+(2b-a )i,于是有 2������ + ������ = 11, ������ = 3, 解得 2������-������ = 7, ������ = 5. 故 z=3+5i,应选 A .
2 .复数的几何意义 复数 z=a+b i 与复平面内的点 Z(a ,b )(a ,b∈R)与平面向量������������是一一对应 的关系.
3 .复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 V 设 z1=a+b i,z2=c+d i(a ,b ,c,d ∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d )i; ②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d )i; ③乘法:z1· z2=(a+b i)(c+d i)=(ac-bd )+(ad+bc)i; ④除法: 1 =
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5
高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.5 复 数考试要求 1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 是实部，b 是虚部，i 为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0其中，当a ＝0时为纯虚数.(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.常用结论1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)(a ，b ∈R )．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． 4．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )． 5．复数z 的方程在复平面上表示的图形(1)a ≤|z |≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z －(a ＋b i)|＝r (r >0)表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a －b i(a ，b ∈R )中，虚部为b .( × ) (2)复数可以比较大小．( × )(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( × )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 教材改编题1．已知复数z 满足(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D2．复数z ＝(3＋i)(1－4i)，则复数z 的实部与虚部之和是________． 答案 －4解析 z ＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i ＋i ＋4＝7－11i ，故实部和虚部之和为7－11＝－4. 3．若z ＝(m 2＋m －6)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 －3题型一 复数的概念例1 (1)(2021·浙江)已知a ∈R ，(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位)，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 方法一 因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i ，所以－a ＝3，解得a ＝－3. 方法二 因为(1＋a i)i ＝3＋i ，所以1＋a i ＝3＋i i ＝1－3i ，所以a ＝－3.(2)(2022·新余模拟)若复数z 满足z 1＋i i 32－i ＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 答案 C解析 ∵z 1＋i i 32－i＝1－i ，∴z (1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)， ∴z (1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z ＝2－i ， ∴z ＝2＋i ，∴z 的虚部为1. 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i 答案 D解析 因为z ＝1－i 1＋i ＝1－i 21＋i 1－i＝－i ，所以z ＝i.2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 答案 D解析 方法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2， |z 2－2z |＝|－2|＝2.方法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)| ＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练1 (1)(2022·衡水中学模拟)已知x 1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由x1＋i ＝1－y i ，得x 1－i 1＋i 1－i ＝1－y i ，即x 2－x2i ＝1－y i ， ∴⎩⎨⎧x2＝1，x2＝y ，解得x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i ， ∴其共轭复数为2－i.(2)已知z ＝1－3i ，则|z －i|＝________. 答案5解析 ∵z ＝1－3i ，∴z ＝1＋3i ， ∴z －i ＝1＋3i －i ＝1＋2i ， ∴|z －i|＝12＋22＝ 5. 题型二 复数的四则运算例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知z ＝2－i ，则z (z ＋i)等于( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2i D ．4＋2i答案 C解析 因为z ＝2－i ，所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.(2)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0.给出下列命题： ①若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3； ②若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3；③若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|； ④若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2. 其中所有正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B解析 由|i|＝|1|，知①错误；z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又z 1≠0，所以z 2＝z 3，故②正确； |z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，又z 2＝z 3，所以|z 2|＝|z 2|＝|z 3|，故③正确，令z 1＝i ，z 2＝－i ，满足z 1z 2＝|z 1|2，不满足z 1＝z 2，故④错误． 教师备选1．(2020·新高考全国Ⅰ)2－i1＋2i 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 D 解析2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.2．在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 －2 解析 依题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2， 且z 2＝2＋i 1－i＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ， 故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)设i z ＝4＋3i ，则z 等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i答案 C解析 方法一 (转化为复数除法运算) 因为i z ＝4＋3i ， 所以z ＝4＋3i i ＝4＋3i －i i －i ＝－4i －3i 2－i 2＝3－4i.方法二 (利用复数的代数形式) 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i z ＝4＋3i ，可得i(a ＋b i)＝4＋3i ，即－b ＋a i ＝4＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝4，a ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，所以z ＝3－4i. 方法三 (巧用同乘技巧)因为i z ＝4＋3i ，所以i z ·i ＝(4＋3i)·i ，所以－z ＝4i －3， 所以z ＝3－4i.(2)若z ＝i 2 0231－i ，则|z |＝________；z ＋z ＝________.答案221 解析 z ＝i2 0231－i ＝－i 1－i ＝1－i2，|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22，z ＋z ＝12－12i ＋12＋12i ＝1.题型三 复数的几何意义例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)复数2－i1－3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析2－i 1－3i＝2－i 1＋3i 10＝5＋5i 10＝1＋i 2，所以该复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，该点在第一象限．(2)(2020·全国Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 2 3解析 方法一 设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ， 因为z 1＋z 2＝3＋i ， 所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ， 2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4， 所以3＋a 2＋1＋b 2＝4， ①3－a2＋1－b 2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二 设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →， 则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →， 且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2， 可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝2 3. 故|z 1－z 2|＝|BA →|＝2 3. 教师备选1．(2020·北京)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z 等于( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 由题意知，z ＝1＋2i ， ∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.2．(2019·全国Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1， ∴x 2＋(y －1)2＝1.思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 跟踪训练3 (1)如图，若向量OZ →对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i答案 D解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋41＋i 1－i 1＋i ＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.(2)设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是( ) A ．3 B ．2 3 C ．1＋2 2 D ．4 答案 D解析 |z |＝1表示单位圆上的点，那么|z ＋22＋i|表示单位圆上的点到点(－22，－1)的距离，求最大值转化为点(－22，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－22，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4.在如图的复平面中，r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝b r ，tan θ＝ba(a ≠0)．任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式．其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角．我们把r (cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．对应于复数的三角形式，把z ＝a ＋b i 叫做复数的代数形式．复数乘、除运算的三角表示：已知复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 例1 (1)⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 等于( )A.32＋332iB.32－332i C ．－32＋332i D ．－32－332i 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2×3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝3⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6 ＝3⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－32＋332i. (2)复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( ) A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n ＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3， 由复数相等的定义，得 ⎩⎨⎧ cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3(k ∈Z )， ∴n ＝6k －1(k ∈Z )．(3)复数z ＝cosπ15＋isin π15是方程x 5－α＝0的一个根，那么α的值等于( ) A.32＋12i B.12＋32i C.32－12i D ．－12－32i 答案 B解析 由题意得，α＝⎝⎛⎭⎫cos π15＋isin π155 ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i. 例2 已知i 为虚数单位，z 1＝2(cos 60°＋isin 60°)，z 2＝22(sin 30°－icos 30°)，则z 1·z 2的三角形式是( )A ．4(cos 90°＋isin 90°)B ．4(cos 30°＋isin 30°)C．4(cos 30°－isin 30°)D．4(cos 0°＋isin 0°)答案 D解析∵z2＝22(sin 30°－icos 30°)＝22(cos 300°＋isin 300°)，∴z1·z2＝2(cos 60°＋isin 60°)·22(cos 300°＋isin 300°)＝4(cos 360°＋isin 360°)＝4(cos 0°＋isin 0°)．课时精练1．(2022·福州模拟)已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于() A．－10 B．10 C．－8 D．8答案 A解析∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z 1z 2＝－9－1＝－10.3．(2022·长春实验中学模拟)若复数z 的共轭复数为z 且满足z ·(1＋2i)＝1－i ，则复数z 的虚部为( )A.35B ．－35i C.35i D ．－35 答案 A解析 z ·(1＋2i)＝1－i ，∴z ＝1－i 1＋2i ＝1－i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝－1－3i 5＝－15－35i ， ∴z ＝－15＋35i ， ∴复数z 的虚部为35. 4．已知i 是虚数单位，则复数z ＝i 2 023＋i(i －1)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z ＝i 2 023＋i(i －1)＝－i －1－i ＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．5．(2022·潍坊模拟)在复数范围内，已知p ，q 为实数，1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则p ＋q 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1答案 C解析 因为1－i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则1＋i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的另一根，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋i ＋1－i ＝－p ，1＋i 1－i ＝q ，解得p ＝－2，q ＝2，所以p ＋q ＝0.6．(2022·苏州模拟)若复数z 满足(1＋i)·z ＝5＋3i(其中i 是虚数单位)，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为－iB ．z 的模为17C ．z 的共轭复数为4－iD ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 答案 B解析 由(1＋i)·z ＝5＋3i 得z ＝5＋3i 1＋i ＝5＋3i 1－i 1＋i 1－i＝8－2i 2＝4－i ， 所以z 的虚部为－1，A 错误；z 的模为42＋－12＝17，B 正确；z 的共轭复数为4＋i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限，D 错误．7．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝________. 答案 －i解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i ＝－3i 3＝－i.8．(2022·温州模拟)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，且z 1－i ＝3＋2i ，则a ＝________，b ＝________.答案 5 1解析 由z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则z ＝a －b i ，所以z 1－i＝1＋i 2(a －b i) ＝a ＋b 2＋a －b 2i ＝3＋2i ， 故a ＋b 2＝3，a －b 2＝2，所以a ＝5，b ＝1. 9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为①实数；②虚数；③纯虚数． 解 ①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m ≠0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10. 如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i ，∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，∴B 所对应的复数为1＋6i.11．欧拉公式e x i ＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项不正确的是( )A ．复数e 2i 对应的点位于第二象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数e x i 3＋i的模长等于12 D ．i 6e π的共轭复数为12－32i 答案 D解析 对于A ，e 2i ＝cos 2＋isin 2， 因为π2<2<π， 即cos 2<0，sin 2>0，复数e 2i 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i 2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，i 2e π为纯虚数， B 正确；对于C ，e x i3＋i ＝cos x ＋isin x 3＋i＝cos x ＋isin x 3－i 3＋i 3－i ＝3cos x ＋sin x 4＋3sin x －cos x 4i ， 于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x i 3＋i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ＋sin x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x －cos x 42 ＝12， C 正确； 对于D ，i 6e π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 其共轭复数为32－12i ，D 不正确． 12．(2022·武汉模拟)下列说法中，正确的个数有( )①若|z |＝2，则z ·z ＝4；②若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0；③若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等；④“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 若|z |＝2，则z ·z ＝|z |2＝4，故①正确；设z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，可得|z 1＋z 2|2＝(a 1＋a 2)2＋(b 1＋b 2)2＝|z 1－z 2|2＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2则a 1a 2＋b 1b 2＝0，而z 1z 2＝(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝a 1a 2－b 1b 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i＝2a 1a 2＋a 1b 2i ＋b 1a 2i 不一定为0，故②错误；当z ＝1－i 时，z 2＝－2i 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故③错误；若复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数，则a 2－1≠0，即a ≠±1，所以“a ≠1”是“复数z ＝(a －1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是虚数”的必要不充分条件，故④正确．13．(2022·上外浦东附中模拟)若⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝________. 答案 1解析 ∵⎪⎪⎪⎪a －i 1 b －2i 1＋i ＝(a －i)(1＋i)－(b －2i) ＝a ＋a i －i ＋1－b ＋2i＝(a ＋1－b )＋(a ＋1)i ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1－b ＝0，a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－1， ∴a 2＋b 2＝1.14．(2022·上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数m ＋n i n ＋m i为虚数的概率为________．答案 56 解析 ∵复数m ＋n i n ＋m i ＝m ＋n i n －m i n ＋m in －m i ＝2mn ＋n 2－m 2i m 2＋n 2， 故复数m ＋n i n ＋m i为虚数需满足n 2－m 2≠0， 即m ≠n ，故有6×6－6＝30(种)情况，∴复数m ＋n i n ＋m i 为虚数的概率为306×6＝56.15．(2022·青岛模拟)已知复数z 满足|z －1－i|≤1，则|z |的最小值为( )A ．1 B.2－1 C. 2 D.2＋1答案 B解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由题意有(x －1)2＋(y －1)2≤1，∴|z |的最小值即为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z |的最小值为2－1.16．(2022·张家口调研)已知复数z 满足z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＋a ＝2，求实数a 的值． 解 (1)设z ＝c ＋d i(c <0，d <0)，则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，d ＝1(舍去)． ∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ， ∴1＋z 1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 22＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 023＝i 2 023＝i 2 020＋3＝i 505×4＋3＝－i ， ∴|a －i|＝a 2＋1＝2， ∴a ＝±3.。
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第5讲 复数的概念及运算随堂演练巩固1.若复数11z =+i 23z ,=-i,则12z z ⋅等于( )A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i【答案】 A【解析】 ∵11z =+i 23z ,=-i, ∴12(1z z ⋅=+i)(3-i)=3-i+3i-i 242=+i.故选A.2.已知2i ia b +=+i (a b ,∈R ),其中i 为虚数单位,则a +b 等于( ) A.-1B.1C.2D.3 【答案】 B 【解析】 ∵2i ia b +=+i,∴a +2i=b i+i 2.∴a +2i=-1+b i. 由复数相等知a =-1,b =2,∴a +b =1,选B.3.若a b ,∈R ,i 为虚数单位,且(a +i)i=b +i,则( )A.a =1,b =1B.a =-1,b =1C.a =1,b =-1D.a =-1,b =-1【答案】 C【解析】 由(a +i)i=b +i,得a i-1=b +i,所以a =1,b =-1.4.复数i 212i-+等于( ) A.i B.-i C.3455--i D.3455-+i 【答案】 A【解析】 ∵(i 2)(12i)5i i 212i (12i)(12i)5---===++-i,∴i 212i -=+i. 5.已知复数i ia --i 对应的点在复平面坐标系的第二、四象限的角平分线上,则实数a = . 【答案】 -2【解析】 i ia --i=-1-(a +1)i.由题意知a +1=-1, ∴a =-2.课后作业夯基基础巩固1.i 是虚数单位,复数3i 1i+-等于( )A.1+2iB.2+4iC.-1-2iD.2-i 【答案】 A【解析】 (3i)(1i)3i 33i i 1121i (1i)(1i)2+++++-===+--+i. 2.如果2(m +i)(1+m i)是实数,则实数m 等于( ) A.1 B.-1 2D.2- 【答案】 B 【解析】 方法一:2(m +i)(1+m i 23)m m =+i+i+m i 22m =-m +3(1)m +i.∵2(m +i)(1+m i)为实数,∴310m +=.∴m =-1.方法二:代入验证法.将m =-1代入检验,可知.方法三:若2(m +i)(1+m i)为实数,则2(m +i)(1+m i)=2(m -i)(1-m i),求解可知. 3.在复平面内,复数1i i+对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】 D【解析】 i(1i)1i i 11i i i 1++-===-⋅-i,对应的点为(1,-1),故选D. 4.复数5i 12i -等于( )A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i【答案】 C【解析】 5i(12i)5i 105i 212i (12i)(12i)5+-+===-+--+i.5.已知复数z z =是z 的共轭复数,则zz 等于( ) A.14 B.12 C.1D.2 【答案】 A【解析】 方法一:∵z ==∴z =.∴3114124zz +===+.方法二:∵z ==∴|z |2142===.∴zz =|z |214=.6.i 是虚数单位,若17i 2i a b +=+-i (a b ,∈R ),则ab 的值是( )A.-15B.-3C.3D.15 【答案】 B【解析】 ∵(17i)(2i)17i 132i 5+++==-+-i,∴a =-1,b =3,ab =-3.7. i 为虚数单位3571111i i i i ,+++等于 ( )A.0B.2iC.-2iD.4i【答案】 A【解析】 357244211111111i i i i i i i i i i i i +++=+++⋅⋅⋅⋅1111i i i i =-+- =0. 8.已知0<a <2,复数z 的实部为a ,虚部为1,则|z |的取值范围是( )A.(1,5)B.(1,3)C.(15),D.(13),【答案】 C 【解析】 |z |21a =+,∵0<a <2,∴2115a <+<.9.设复数z 满足z (2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 .【答案】 2【解析】 z (2-3i)=6+4i,∴(64i)(23i)64i 23i (23i)(23i)z +++==--+ 21218i 8i 12i 213+++==i. 故|z |22022=+=.10.复数z =x +y i (x y ,∈R )满足|z -1|=x ,则复数z 对应的点Z(x ,y )的轨迹方程为 .【答案】 221(0)y x x =-≥【解析】 由|z -1|=x ,得|(x -1)+y i|=x ,所以222(1)(0)x y x x -+=≥,整理,得221(0)y x x =-≥.11.(2020上海春招,14)为求解方程510x -=的虚根,可以把原方程变形为432(1)(1)0x x x x x -++++=,再变形为22(1)(1)(1)0x x ax x bx -++++=,由此可得原方程的一个虚根为 .【答案】 151025i 151025i 44--±--+±+,中的一个 【解析】 由题意可知,22432(1)(1)(1)(1)[()(2)()x x ax x bx x x a b x ab x a b x -++++=-+++++++1],比较二次项、三次项系数知 121a b ab +=,⎧⎨+=,⎩解得 1515a b ⎧+=,⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 或 1515a b ⎧-=,⎪⎪⎨+⎪=.⎪⎩由此得原方程的一个虚根为151025i 151025i 44--±--+±+,中的一个. 12.当实数m 取何值时,复数22(3z m m m =-+i)-[4+(5m +6)i]为实数?为虚数?为纯虚数? 【解】 先把复数z 整理成2(34)z m m =--+2(56)m m --i.(1)当2560m m --=,即m =-1或m =6时,z 是实数.(2)当2560m m --≠,即1m ≠-且6m ≠时,z 是虚数. (3)当 22340560m m m m ⎧--=,⎨--≠,⎩即 1416m m m m =-=,⎧⎨≠-≠,⎩或且 ∴m =4时,z 是纯虚数.13.已知复数1z 满足1(2)z -(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数2z 的虚部为2,且12z z ⋅是实数,求2z .【解】 ∵1(2)(1z -+i)=1-i,∴12z =-i.设22z a =+i a ,∈R .12(2z z ⋅=-i)(a +2i)=(2a +2)+(4-a )i.∵12z z ⋅∈R ,∴a =4,∴242z =+i.14.已知复数12z =+i 121i 2(2i 1)z z z +,=,+- (1)求2z ;(2)若△ABC 的三个内角A 、B 、C 依次成等差数列,且μ=cosA+2icos 22C ,求|2z μ+|的取值范围. 【解】 21[(2i)i]21i 2i (1)(2i 1)(2i)i 12z +++====-+-+--i. (2)在△ABC 中,由于内角A 、B 、C 依次成等差数列,∴B=60o ,A+C=120o .又2z μ+=cosA+2icos 22C -i =cosA+(2cos 21)2C -i=cosA+icosC, ∴|2z μ+|2=cos 2A +cos 21cos2A 1cos2C 22C ++=+ =cos(A+C)cos(A-C)+1=1+cos120o cos(A-C) 112=-cos(A-C). 由于A+C=120o ,∴A-C=120o -2C.∴-120o <A-C<120o .∴12-<cos ()1A C -≤. 也就是12≤|2z μ+|254<,≤|2z μ+|<拓展延伸15.设z 是虚数1z zω,=+是实数,且12ω-<<. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围;(2)设11z u z-=,+求证:u 为纯虚数; (3)求2u ω-的最小值.【解】(1)∵z 是虚数,∴可设z =x +y i x y ,,∈R ,且0y ≠, ∴1z x y z ω=+=+i 1i x y x y +=++i 22i x y x y -++ 2222()y x x y x y x y=++-++i. ∵ω是实数且0y ≠,∴220y y x y -=+. ∴221x y +=,即|z |=1.此时2x ω=.∵12ω-<<,∴-1<2x <2,从而有112x -<<. 即z 的实部的取值范围是12(1)-,.(2)证法一:2222221(i)(1i)(1x yi)12i 111i 1(1)(1)x y x y x y y y z u z x y x x y x y -+--+-----=====-++++++++i, ∵1(1)02x y ∈-,,≠,∴01y x≠+.∴u 为纯虚数. 证法二:∵z 为虚数,且|z |=1,∴z z ⋅=1,即z 1z=. 1111111u u ()1111111z z z z z z z z z z z z ------+=+=+=+++++++ 11011z z z z --=+=++. ∴u 为纯虚数.(3)22(1y u x xω-=--+i 2) 22()1y x x =+=+2x +2211222212(1)3111(1)x x x x x x x x x --=+=-+=++-,++++ ∵112x -<<,∴1+x >0. 于是222(1)31u x xω-=++-≥+ 222(1)311x x+⋅=,+ 当且仅当22(1)1x x+=,+即x =0时等号成立. ∴2u ω-的最小值为1,此时z =±i.。