向量课件
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《向量概念》课件
混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合 积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无 关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为 向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量 的空间关系。具体来说，当三个向量 构成一个右手坐标系时，它们的混合 积为正；如果构成左手坐标系，则混 合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换 律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺 序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具 有重要的作用。
《向量的线性运算》课件
02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终 点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平 行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过 乘以一个标量来改变向量的长度和方 向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的 量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任 意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘， 得到的结果是原向量的长度按比例缩 放，同时方向可能改变。数乘满足结 合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原 来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合 律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
中职向量课件ppt
向量是具有大小和方向的量，通常用矢量箭头表示。在二维空间中，一个向量可以表示为起点和终点的有序对， 例如$overrightarrow{AB}$表示从点A到点B的向量。在三维空间中，一个向量可以表示为起点、方向和大小的 有序三元组，例如$overrightarrow{OP}(x, y, z)$表示从点O指向点P的向量。
向量的模
总结词
向量的模是指向量的长度或大小，表示为 $|overrightarrow{v}|$。向量的模可以通过勾股定理计算得 出。
详细描述
向量的模是指向量的长度或大小，通常用 $|overrightarrow{v}|$ 表示。向量的模可以通过勾股定理 计算得出，即 $|overrightarrow{v}| = sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间中）或 $|overrightarrow{v}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间中）。其中，$x, y, z$ 是向量的坐标分量。
中职向量课件
目录
CONTENTS
• 向量基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01 向量基本概念
向量的定义与表示
总结词
向量的定义是指具有大小和方向的量，表示为矢量箭头。在二维空间中，向量可以用有序对表示，而在三维空间 中，向量可以用有序三元组表示。
详细描述
向量数乘运算
要点一
总结词
数乘运算是指将一个标量与一个向量相乘，结果仍为一个 向量。
要点二
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量相乘，其结果是一个 新的向量。标量可以是正数、负数或零。当标量为正数时 ，结果向量与原向量方向相同；当标量为负数时，结果向 量与原向量方向相反；当标量为零时，结果向量为零向量 。数乘运算在向量分析中具有重要意义，可以用于改变向 量的长度和方向。
向量的模
总结词
向量的模是指向量的长度或大小，表示为 $|overrightarrow{v}|$。向量的模可以通过勾股定理计算得 出。
详细描述
向量的模是指向量的长度或大小，通常用 $|overrightarrow{v}|$ 表示。向量的模可以通过勾股定理 计算得出，即 $|overrightarrow{v}| = sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间中）或 $|overrightarrow{v}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间中）。其中，$x, y, z$ 是向量的坐标分量。
中职向量课件
目录
CONTENTS
• 向量基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01 向量基本概念
向量的定义与表示
总结词
向量的定义是指具有大小和方向的量，表示为矢量箭头。在二维空间中，向量可以用有序对表示，而在三维空间 中，向量可以用有序三元组表示。
详细描述
向量数乘运算
要点一
总结词
数乘运算是指将一个标量与一个向量相乘，结果仍为一个 向量。
要点二
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量相乘，其结果是一个 新的向量。标量可以是正数、负数或零。当标量为正数时 ，结果向量与原向量方向相同；当标量为负数时，结果向 量与原向量方向相反；当标量为零时，结果向量为零向量 。数乘运算在向量分析中具有重要意义，可以用于改变向 量的长度和方向。
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
《空间向量的应用》课件
向量的向量积运算性质
总结词：反交换律
详细描述：空间向量的向量积满足反交换律，即对于任意向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
向量的向量积运算性质
总结词
与数量积的分配律不兼容
数乘的性质
结合律和分配律成立，即k(a+b)=(ka)+(kb)和(k+l)a=ka+la。
向量的模与向量的数量积
向量的模的性质
非负性、正定性、齐次性、三角不等式成立 。
向量的数量积
两个向量的数量积表示它们的夹角，记作 a·b，计算公式为$|a||b|cosθ$。
数量积的性质
交换律和分配律成立，即a·b=b·a和(k a)·b=k(a·b)。
04
空间向量的坐标表示
向量的坐标表示方法
固定原点
选择一个固定的点作为原点，并确定三个互相垂直的 坐标轴。
向量表示
将向量表示为坐标系中的有序实数组，例如向量A可 以表示为[a, b, c]。
长度和方向
向量的长度可以通过其坐标的模计算，方向可以通过 其分量表示。
向量在坐标系中的变换
平移变换
将向量在坐标系中沿某一轴平移一定 的距离，例如向量A平移d个单位后 变为[a+d, b, c]。
工程学的应用
总结词
在工程学中，空间向量被广泛应用于解决实际问题和设计复和土木工程等领域，空间向量被用于描述物体的位置、方向和运动状态，以及进行各 种物理量（如力、速度、加速度等）的分析和计算。此外，空间向量还被用于解决实际工程问题，如结构分析、 流体动力学和控制系统等。
《向量的概念及运算》课件
THANKS
感谢观看
详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的 向量积是一个向量C，记作C=A×B， 其长度和方向可以通过外积法则来确 定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直 交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向 量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的 向量积存在时，它们之间的夹角为90度。
向量的数量积定义为两个向量的对应分量相乘，然后求和。具体公式为：$vec{A} cdot vec{B} = a times b cos theta$，其中$vec{A}$和$vec{B}$是向量，$a$和$b$分别是
向量$vec{A}$和$vec{B}$的模，$theta$是两向量的夹角。
向量的数量积的几何意义
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配 律、结合律、交换律等。此外，向量的数量 积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为 零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和 结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是Байду номын сангаас个向 量运算，其结果是一个向量。
向量的表示方法
总结词
向量可以用大写字母表示，如A、B 、C等，也可以用有向线段表示。
详细描述
在数学中，向量通常用大写字母表示 ，如A、B、C等。同时，向量也可以 用有向线段表示，起点在原点，终点 在平面内任意一点。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。
向量混合积的几何意义在于它表示三个向量的空间关 系。具体来说，当三个向量形成一个闭合三角形时， 向量混合积的值为正；当三个向量不形成闭合三角形 时，向量混合积的值为负。
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y
B
A
O
x
问题:类比“图形中的平行”,如何描述 “向量的平行” 呢？ 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 如： a b c
平行向量又叫做共线向量
记作 a ∥b ∥cLeabharlann 规定：0与任一向量平行。C
o
l A B
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
100km
解:(1)向量AB,BC,CD如图
(2)由题意，AB与CD方向相反， 又 AB = CD
C
D
45°
∴AB∥CD且AB = CD
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD = BC =200km
西
B
A 南
东
方法点拨：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定 向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点。
蹦床
伊朗导弹发射图
伊朗导弹发射
蹦 床
狗 追 野 兔
狗追野兔
§2.1平面向量的实际背景及基本概念 学习目标：
知识与技能：了解向量的实际背景,理解平面向量的一些 基本概念,能正确进行平面向量的几何表示。 过程与方法：经历类比方法学习向量及其几何表示的过 程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科 学的学习方法。
情感.态度与价值观：通过感受向量的概念、方法源于现 实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习 数学的兴趣。
问题：现实生活中还有哪些量既有大小又有
方向？哪些量只有大小没有方向？
向量：既有大小，又有方向的量。 数量：只有大小，没有方向的量。
向量的两要素：方向、大小
1、温度有零上，零下之分，那么温度是否是向量？ 为什么？ 2、向量能比较大小吗？为什么？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
D A C B A B D C
2.若a∥b, b∥c，则a∥c吗？ b=0时不成立，b≠0时成立
如图，D、E、F是⊿ＡＢＣ的三边ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ 的中点．写出与DF共线的向量．
A
D
F
B
C E
与DF共线的向量有：
FD、BE、EB、EC、CE、BC、CB
B
10N
D
A
C
2、向量的字母表示： 不要漏掉“ ”哦！ （1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作|AB|。 零 向 量: 长度为0的向量，记作0。 单位向量: 长度等于1个单位的向量。
思考：0和0一样吗？
例题：一辆汽车从Ａ点出发向西行驶了100km到达Ｂ点， 然后又改变方向，向西偏北45°走了200km到达Ｃ点， 最后又改变方向，向东行驶了100km到达Ｄ点. (1)作出向量AB,BC,CD; (2)求 AD
北
45°
西
B 南
东
例题：一辆汽车从Ａ点出发向西行驶了100km到达Ｂ点， 然后又改变方向，向西偏北45°走了200km到达Ｃ点， 最后又改变方向，向东行驶了100km到达Ｄ点. 北 (1)作出向量AB,BC,CD; (2)求 AD
跟踪练习：１．在直角坐标系ｘOy中，有三点A( 1,0 ),
B( -1,2 ), C( -2,2 ),请用有向线段分别表示A到B,B到C,C到A的 位移。
2．如图，已知两点A( -4, 0 ), B( 0, 3 ) , （1）求向量AB,BA的模， 并指出︱AB︱与︱BA︱是否相等。 （2）若C(x,y) , 且AC=0，求x , y 的值。
数量常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而 且不同的点表示不同的数量。
-2 -1 0 1 2 3
问题：向量既有大小、又有方向，那么如何直观的表示“向 量”呢？
1、向量的几何表示：用有向线段直观表示。
（终点）
B
有向线段的三要素：
（起点）
A
起点、方向、长度
画有向线段，表示一个竖直向上，大小为20N的 力（1cm长表示10N).
本节学习了向量的哪些主要概念？
本节主要用到了哪些数学思想？