【高考模拟】山西省等五校2017届高三第五次联考数学试题(理)含答案

2016—2017年度第五次五校联考
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知,a b R ∈，若3
234bi
i a i
--=
+，则a b +等于 A.9- B.5 C.13 D. 9
2.已知集合{}{}
2|450,|42x m
A x Z x x
B x =∈--<=>，若A B 有三个元素，则实数
m 的取值范围是
A. [)3,6
B. [)1,2
C.[)2,4
D.(]2,4
3.已知向量()()2
,2sin ,3cos ,1,sin 23
a m
b θθθ==-= ，若//a b ，则实数m 的值为
A. -4
B. -2
C. 2
D. 4
4.已知随机变量X 满足正态分布()72,4N ，则()
7076P X X <>或等于 [附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A. 0.1815 B.0.3174 C. 0.4772 D.0.8185
5.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，右顶为A,过F 且与x 轴垂
直的直线交双曲线于B,C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为
6.我国古代数学名著《九章算术》有这样的问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，
小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？”意思是“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠相向打洞窗墙.大老鼠第一天打洞1 尺，小老鼠第一天也打洞1尺.以后大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍，小老鼠每天穿墙尺数是前一天的
1
2
，问大、小老鼠几天后相遇？”若将题中条件“墙厚5尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍”分别改为“墙厚10尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的
3
2
”，问在第几天会出现“大鼠穿墙总尺数是小鼠穿墙总尺数的4倍”情况
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是
A. ()2,4a ∀∈，输出i 的值为5
B. ()4,5a ∃∈，输出i 的值为5
C. ()3,4a ∀∈，输出i 的值为5
D. ()2,4a ∃∈，输出i 的值为5
8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A.13π B. 16π C.17π D.21π 9.将函数()2cos 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
4
π
个单位得到()g x 的图象，记函数()g x 在区间,4t t π⎡⎤
+⎢⎥⎣
⎦
内的最大值为t M ,最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若,42t ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，则函数()h t 的最小值为
1 B. 21
10.已知不等式3
2
2x e ex
x x b ex
++-≤对(]0,1x ∀恒成立，b 则实数的取值范围是
A. [)1,+∞
B. [)1,-+∞
C.[]1,1-
D.(],1-∞-
11.已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，点(
002p M x x ⎛
⎫
>
⎪⎝⎭
是抛物线C 上一
点，圆M 与线段MF 相交于点A,且被直线2p
x =MA ，若2MA AF
=，则AF 等于
A.1
B. 2
C. 3
D.4
12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()2
11n n n n a S S S ---=且11a =，设
12
log 3n n a b +=，则1234
1
n b b b n +++++ 的最小值为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.(
)5
31x ⎛
+- ⎝
的展开式中常数项为 .
14.若实数,x y 满足不等式组20
240250x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，且()()321x a y -++的最大值为5，则
a = .
15.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 是减函数，则不等式
()()22log 23log 3f x f ->⎡⎤⎣⎦的解集为 .
16.在长方体1111ABCD A BC D -中，
底面ABCD
13,AA E =是1AA 的中点，过1C 作1C F ⊥平面BDE 与平面11ABB A 交于点
F ，则CF 与平面ABCD 所成角的正切值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
2cos cos 3.ac B bc A b -=
（1）求
sin sin A
B
的值； （2）若C
角为锐角，c C ==，求ABC ∆的面积.
18.（本题满分12分）
如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，//,//,,AB DC PE DC AD DC PD ⊥⊥平面ABCD ，
2,AB PD DA PE F ===是CE 的中点.
（1）求证：//BF 平面ADP ；
（2）求二面角B DF P --的余弦值.
19.（本题满分12分）
中学阶段是学生身体发育总重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某
校为了解甲、乙两个班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时）分别从这两个班中随机抽取了6名同学进一步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数，叶表示个位数）.如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”.
（1）请根据样本数据，估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； （2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；
（3）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望.
20.（本题满分12分）已知右焦点为()2,0F c 的椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>过点
31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
作直线l 与椭圆C 交于E,F 两点，线段EF 的中点为M,点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围.
21.（本题满分12分）已知函数()ln ,.1
ax
f x x x R x =-
∈+ （1）若()2001
,,0x e f x e ⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦
，求a 的取值范围；
（2）当0a =时，函数()()2
2g x f x x kx =--，设()121
2,0x x x x <<是函数()0g x =的两个根，m 是12,x x 的等差中项，求证：()0g m '<（()g x '是函数()g x 的导函数）.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为22x t
y t
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数且t R ∈），以坐
标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为
2cos 2sin .ρθθ=
（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A,B 两点，证明：0OA OB ⋅=
.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设实数,x y 满足 1.4
y
x +
= （1）若723y x -<+，求x 的取值范围.
（2）若0,0x y >>，求证：14
3x y
+.。