高等数学2-1
高等数学一(1)完整答案
（6）令 ，则
原式=
（7）令 ，则
原式=
（8）令 ，则
原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）令 ，则 ，
原式=
（15）令 ，则
原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
2、（1）原式=
（2）原式=0（因为 在 上为奇函数）
（3）原式=0（因为 在 上为奇函数）
原式= 发散
，而事实上 矛盾
方程 只有正根。
5.解： 为一元三次方程， 为一元二次方程，
故只有两个实根。
又
由罗尔定理知，两实根区间分别为 。
习题3-2
1.（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
（7）原式
（8）原式
（9）原式
（10）原式
（11）原式
（12）原式
2.解：
3.解：
若用洛必达法则，则无限循环，即
（4）原式=
3、（1）证明：令 ，则
所以
（2）证明：令 ，则 ，
所以
（3）证明：令 ，则 ，
所以
6、（1）原式=
（4）原式=
（6）原式=
（8）令 ，则原式=
（9）原式=
（10）原式=
习题5—4
1、（1）
（3） ，发散
2、（1） 为函数 的无穷间断点，所以原式= 发散
（3） 为函数 的无穷间断点，所以
故 ，
，得唯一驻点： 。
当 ， 时，圆柱体积最大。
15.解：设生产 台，利润最大。
则目标函数为
高等数学(2-1)专科 复习题及答案32
《高等数学》复习题1一、判断题（每题3分，共15分） 1. f(x)=x 是偶函数 （ ）2． f(x)=2x+1在x=0处连续。
（ ）3. u(x) 、v(x)可导，则v u v u v u '+'='+)( （ ）4.⎰⎰+=vdu uv udv （ ）5. x=0是函数y=cosx 的驻点 （ ）。
二、选择题 (每题3分，共15分)1．=→xxx sin lim0（ ）①.1 ②.2 ③.21④. 0 2． f(x)=392+-x x 的间断点（ ）①.1 ②.2 ③.-3 ④. -43. 函数3x y =在x=0点的切线方程__________. ①.x=0 ②. y=0 ③. x=1 ④. y=1 4.⎰=dx x 2( )①.c x+22ln 1 ②.2x +c ③. x x ln 2+c ④. 2ln 2x 5. =+⎰-dx x xx 2224cos ( ) ①.0 ②.1 ③. 2 ④. 3三、填空题(每题3分，共15分)1. x y 2sin =是由函数2u y =与_____复合而成。
2. =+/)1(sin x __________ 3． d(tanx)=_____________. 4.⎰xdx =______________.5. 设f(x)连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则 (x)baf dx =⎰____________.四、（10分）叙述拉格朗日微分中值定理 五、综合计算（每题5分，共30分）1. 求极限（1）1231x 4lim 222-++→x x x （2）xx x3)11(lim +∞→2. 求下列函数的导数（1）y=x 2 -3x 4 +2 （2）y=sinx 23. 求积分（1）dx x x x)2sin 2(3⎰+-(2)⎰2cos πxdx x六、（15分）求函数y=19623-+-x x x 的单调区间、极值。
高等数学2
高等数学2
高等数学2是为大学生准备的一门学科，也是一门非常重要的基础课程。
它涉及到各种数学技术，如计算机科学、微积分、线性代数、概率论和统计方法。
高等数学2的课程内容不仅涉及到微积分的基础理论，还包括各种复杂的函数、积分计算、区域计算以及曲线分析等方面的内容。
学习高等数学2时，首先要明白各种数学技术的基本思想，建立起对各种术语的正确理解和数学概念之间的关系。
同时，还要学习数学公式和证明，以及数学计算的基本方法。
此外，还要掌握基本的计算机语言、软件技术和计算机编程，以及基本的数据分析技术，为今后的工作做好准备。
学完高等数学2学生还要掌握基本的统计理论和方法，以及概率论的基本思想和设计及数据处理的基本原理。
学生还要学习如何用计算机来解决数学问题，包括数学建模、分析和解决实际问题等。
最后，学习完高等数学2学生还要有一定的研究能力，掌握数学技术，熟悉数据分析和统计技术，进行数学模型分析，解决实际问题。
总之，高等数学2不仅涉及到微积分的基本理论，还与计算机科学、数据分析和统计技术有关。
学习高等数学2不仅要学习数学理论，还要有利用理论解决实际问题的能力。
通过艰苦的学习，学生们将能够掌握高等数学2中的基本知识，深入了解各种数学技术，为将来的学习和工作做好充分的准备。
- 1 -。
高等数学2-1
∆x
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即 类似有
(sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x
正弦余弦 求导公式
例 7 求 f(x) = loga x （a > 0，a ≠1）的导数。 ， ）的导数。 解
log a ( x + ∆ x ) − log a x ∆y f ′( x ) = lim = lim ∆ x→0 ∆ x ∆ x→0 ∆x
单 侧 导 数
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim 0 ∆x→ + ∆x
判断函数在某一点可导的充分必要条件： 判断函数在某一点可导的充分必要条件：
′ ′ 数 函 f (x)在x0 点 导 ⇔ f−(x0) = f+(x0)。 可
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处的可导性。 例 3 讨论函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处的可导性。
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则比值
∆y y − y0 f (x) − f (x0) = = x − x0 ∆x x− x0 就是割线 MN 的斜率 tanϕ 。当∆x → 0(即 x → x0) 即
沿曲线C 趋于点M 时，N 沿曲线 趋于点 ，从而可以得到切线的 斜率为
f (x) − f (x0) ∆y k = tanα = lim = lim x→x 0 ∆x→ ∆x x − x0
由此可见，前面两个引例说明， 由此可见，前面两个引例说明，曲线 y = f(x) 在点 (x0 , f(x0)) 处切线的斜率就是函数 f(x) 在点 x0 处的导数，即 处的导数，
k = f ′( x 0 )
而直线运动 s = s(t) 在时刻 t0 的瞬时速度就是 的导数， 函数 s(t) 在点 t0 的导数，即
高等数学 第二章 极限和导数2-1导数的概念
2. 曲线的切线问题 曲线 点处的切线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 当 时) 割线 M N 的斜率 f ( x ) − f ( x0 ) ta n ϕ = x − x0 切线 MT 的斜率
= lim ta n ϕ = lim
ϕ→ α
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
(1)
存在, 存在 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 并称此极限 可导, 处的导数 导数， 值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作 在
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x
f ′ ( x 0 ) = lim
∆ x→ 0
也可记作: 也可记作
y′
x = x0
;
处的导数为无穷大 此时，导数不存在； 在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在； 2°在 一 点 的 导 数 是 因 变 量在 点 x 处 的 变 化 率 , ° 0
它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化而 变 化 的 快 慢 程 度.
时刻的瞬时速度 运动质点的位置函数 运动质点的位置函数 s = f ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
LLL
二、导数的概念 内 1. 定义 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. 有定义
若
x0 + ∆x ∈ U ( x0 )
∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x → 0 ∆ x ∆x→ 0 ∆x
dy d f (x) ; d x x = x0 d x x = x0
2_1_4 反函数和隐函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
例2. 求由方程 y5 2 y x 3x7 0 确定的隐函数
y
y(x)
在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
d dx
(
y
5
2
y
x
3x
7
)
0
得
5y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy 1 21x6 dx 5y4 2
因x=0时y=0,
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
(loga
x)
1 x ln a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
ห้องสมุดไป่ตู้1 1 x2
(arc cot
x)
1
1 x
2
Page
11
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(arctan x)
1 1 x2
,
利用 arccos x
arcsin
x
2
(arccot
x)
1 1 x2
Page 3
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
(a x )
1 (loga
y)
1
1
y ln a a x ln a
y ln a
Page 16
4.
设
y (sin x)tan x y1
高等数学(同济大学)课件上第2_1导数的概念
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
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例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
2014年9月份考试高等数学(II-1)第二次作业
错
20. 设，则与相同.
(本题分数：2 分，本题得分：0 分。)
A、正确 B、错误
题目信息
难度： 2
正确答案： B
解题方案： 定义域不同
错
难度： 4
正确答案： B
解题方案： 分别求一阶导数和二阶导数，然后根据这些信息解题
选B
13. 函数在[-2,2]上的最大值为（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、 ０
B、 １
C、 ２
D、 -２
题目信息
难度： 4
正确答案： C
解题方案： 先求极值，再求端点的函数值，将极值和端点的函数值进行比较，大的为最大值，小的为最小值
选C
14. 满足的x的取值范围是（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
D、
题目信息
难度： 4
正确答案： D
解题方案： 利用反三角函数定义解题
B、
C、
D、
题目信息
难度： 4
正确答案： C
解题方案： 无穷大的倒数是无穷小
选 C
12. 曲线( )
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、有四个极值
B、有两个极值
C、有三个拐点
D、对称原点
题目信息
难度： 5
正确答案： D
解题方案：
19. 函数的反函数是（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
D、
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2.1 极限
定义 设函数
f (x)在点 x0 的右(左)侧某个区间内有定义. 如果存在常数A
，当 x 从 x0 的右(左)边趋近于 x0 时，即
x x0 ( x x0 )时，函数 f (x) 的值无限接近于一个确定的常数 A
，则称常数
A 为函数 f (x) 当 x x0 时的右(左)极限，记作
lim tan x x
2
lim arc cot x
x
lim ln x
x0
lim arc cot x
x
2.1 极限
1. 数列极限的概念 如果当项数 n 时，数列 an 的通项 an 无限接近于一个确定的常数 A
，则称常数 A 为数列 an 的极限，也称数列 an 收敛于 A
，否则，称数列an 发散。 记作
lim
n
an
A
an A(n )
或
2.1 极限
2. 函数极限 自变量 x 趋于无穷大时函数的极限
2.1 极限
自变量 x 趋于确定值 x0 时函数的极限
定义
设函数 f (x) 在点 x0 附近( x0 点可除外)有定义，当x x0 时,函数 f (x) 的值无限接近于一个确定的常数A ，则称常数 A 为函数 f (x)
当
x x0 时的极限，记作
lim f (x) A
xx0
或 f (x) A (x x0 )
定理
lim f (x) A
x x0
.
lim f (x) A
xx0
的充要条件是
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
2.1 极限
作业 判断下列函数极限是否存在，若极限存在，则求Hale Waihona Puke 其极限.lim (x2 1)
x
lim tan x
x 4
定义 设函数 f (x) 定义在 [a, ) 上，当 x 时，函数 f (x)
的值无限地接近于一个确定的常数 A ，则称常数
为A函数 f (x) 当 x 时的极限，记作
lim f (x) A 或
x
f (x) A (x )
类似的可以给出自变量 x 和 x 时函数极限的定义：