高等数学上册知识点

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高等数学上册知识点文件编码(008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256)高等数学上册第一章 函数与极限(一) 函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);2、 反函数、复合函数、函数的运算;3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;4、 函数的连续性与间断点;函数)(x f 在0x 连续)()(00x f x f x=→第一类:左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

(二) 极限 1、 定义 1) 数列极限 2) 函数极限左极限:)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限:)(lim )(00x f x f xx +→+= 2、 极限存在准则1) 夹逼准则:1))(0n n z x y n n n ≥≤≤2)a z y n n n n ==→∞→∞lim lima x n n =∞→lim2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限。

3、 无穷小(大)量1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量。

2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在,则(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则;3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限:a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5) 无穷小代换:(0→x )a) x e x ~1- (a x a xln ~1-) b) x x ~)1ln(+ (a x x a ln ~)1(log +)第二章 导数与微分(一) 导数1、 定义:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义:)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高等数学上册函数部分知识点

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2) = ln 1 − 2 +
解:
1
2+1
2
1


>1

2 + 1 > 0
1
⇒ (− , 1)
2
四、求极限,分段函数,分段点处的极限
• 充分必要条件:
• lim 存在 ↔ 左右极限存在且相等 lim− = lim+
→0
→0
• 例题、求下列函数的在x趋于0的极限
• =ቊ
>
+ <
• lim− = lim− + 1 = 1
→0
→0
• lim+ = lim+ = 0
→0
→0
• 由于左右极限不相等,所以不存在极限。
→0
• 二、函数的定义域
• 函数的定义域:指所ห้องสมุดไป่ตู้可输入函数中的自变量的集合
• 函数的值域:指函数能输出的所有因变量的集合。
• 三、初等函数
• 基本函数的有限次的四则运算和函数复合步骤所构成的
求下列的定义域
1) = 2 − 2
解:
2 ≤1
0

2



2 − 2 ≥ 0
⇒ − 2, −1 ∪ [1, 2]
函数
• 一、基本初等函数





指数函数:y = > 0且 ≠ 0
三角函数: y = sinx,y = cosx,y = tanx
幂函数: y = x
对数函数: y = log , y =
反三角函数:y = , y = , y =

高等数学(上册)重点总结

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第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数:y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( );若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1)<f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( );若f(x 1)>f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数: y=c , (c 为常数)2.幂函数: y=x n, (n 为实数)3.指数函数: y=a x, (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限: ⑴当∞→x时,)(x f 的极限:Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时,)(x f 的极限:A x f xx =→)(lim 0左极限:A x f x x =-→)(lim 0右极限:A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件: 定理:A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1.无穷大量:+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

高数上册知识点总结

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高数重点知识总结1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(xa y =),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小:高阶+低阶=低阶 例如:1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限:()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式:当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ,[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如:()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续,连续未必可导。

例如:||x y =连续但不可导。

6、导数的定义:()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导:[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如:xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx例如:yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ,则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==,其二阶导数:()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如:计算 ︒31sin11、函数间断点的类型:(1)第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:xxy sin =(x=0是函数可去间断点),)sgn(x y =(x=0是函数的跳跃间断点)(2)第二类:振荡间断点和无穷间断点;例如:⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 1sin )((x=0是函数的振荡间断点),x y 1=(x=0是函数的无穷间断点)12、渐近线:水平渐近线:c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线:.)(lim 是铅直渐近线,则若,a x x f ax =∞=→斜渐近线:[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如:求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点:令函数y=f(x),若f'(x0)=0,称x0是驻点。

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1. 极限呐,这可太重要啦!就像你跑步要跑到终点一样,极限就是函数接近的那个值哟。

比如说,1/x 当 x 趋近于无穷大时,它的极限不就是 0 嘛!
2. 导数呀,不就是变化率嘛!就好比汽车的速度,速度快变化就大呀。

像求曲线 y=x^2 的导数,得到 2x,这就能知道它在各个点的变化快慢喽。

3. 连续可不能小瞧哦!可以想想水流,一直不间断就是连续呀。

比如函数 y=sinx 就是连续的嘛。

4. 微分呢,就有点像把一个东西拆得更细致呀。

比如说一个面包,微分就是把它分成很小很小的部分。

像 y=x^2 的微分就是 2xdx 呀。

5. 积分呀,不就是把那些小部分又合起来嘛!类似把面包碎块再拼成一个完整面包哟。

求曲线下的面积不就是用积分嘛。

6. 无穷小和无穷大就像两个极端呀!无穷小接近 0,无穷大就超级大嘛。

想想 1/x,当 x 很大很大时,不就接近无穷小啦。

7. 函数的单调性和极值也很有趣呀!就好像爬山,有上坡有下坡,还有山顶这个极值点。

比如 y=x^3-3x,就能找到它的极值点呐。

我觉得呐,高数上册的这些知识点真的很神奇,能让我们看到数学世界里好多奇妙的现象呢!。

(完整版)高数上册知识点

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高等数学上册知识点第一章 函数与极限、、、函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);2、反函数、复合函数、函数的运算;3、初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;4、函数的连续性与间断点;函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类:左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类:左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限: 右极限:)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则:1))(0n n z x y n n n ≥≤≤2)a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则:单调有界数列必有极限。

3、无穷小(大)量1、定义:若则称为无穷小量;若则称为无穷大量。

0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 (无穷小代换)αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则;2、夹逼准则;3、极限运算准则及函数连续性;4、两个重要极限:a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换:()0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)()x e x ~1-a x axln ~1-d)()x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章 导数与微分、、、导数1、定义:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数:00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义:为曲线在点处的切线的斜率。

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高等数学上册第一章 函数与极限 (一) 函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);2、 反函数、复合函数、函数的运算;3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数; 4、 函数的连续性与间断点;函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类:左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

(二) 极限 1、 定义 1) 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2) 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时,当左极限:)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限:)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤2)a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限。

3、 无穷小(大)量1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量。

2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在,则(无穷小代换)4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则;3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5) 无穷小代换:(0→x ) a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- (a x a xln ~1-)d) x x ~)1ln(+ (a xx a ln ~)1(log +)e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 (一) 导数1、 定义:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义:)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

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高等数学(上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义(以数列为例),,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时,ε<-||a x n2、性质(1) )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。

(2)(保号性)若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时,0)(>x f 。

(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ (2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法常用替换:当0→∆时(1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan(5)∆∆+~)1ln( (6)∆-∆~1e (7)221~cos 1∆∆- (8)nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价1、连续的定义*)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型(来回波动))无穷型(极限为无穷大第二类但不相等)跳跃型(左右极限存在可去型(极限存在)第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线:铅直渐近线:若则存在渐近线:水平渐近线:若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义*a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义*k a f a x f y a x 处的切线斜率在点(曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度)速度)则若运动方程:()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系: 连续,反之不然。

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高等数学上册第一章 函数与极限 (一) 函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);2、 反函数、复合函数、函数的运算;3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数; 4、 函数的连续性与间断点;函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类:左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

(二) 极限 1、 定义 1) 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2) 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时,当左极限:)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限:)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤2)a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限。

3、 无穷小(大)量1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量。

2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在,则(无穷小代换)4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则;3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5) 无穷小代换:(0→x ) a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- (a x a xln ~1-)d) x x ~)1ln(+ (a xx a ln ~)1(log +)e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 (一) 导数1、 定义:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数:000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义:)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

3、 可导与连续的关系:4、 求导的方法1) 导数定义; 2) 基本公式; 3) 四则运算;4) 复合函数求导(链式法则); 5) 隐函数求导数; 6) 参数方程求导; 7) 对数求导法。

5、 高阶导数1) 定义:⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2) Leibniz 公式:()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( (二) 微分1) 定义:)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆,其中A 与x ∆无关。

2) 可微与可导的关系:可微⇔可导,且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=第三章 微分中值定理与导数的应用 (一) 中值定理1、 Rolle 定理:若函数)(x f 满足:1)],[)(b a C x f ∈; 2)),()(b a D x f ∈; 3))()(b f a f =;则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 中值定理:若函数)(x f 满足:1)],[)(b a C x f ∈; 2)),()(b a D x f ∈;则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理:若函数)(),(x F x f 满足:1)],[)(),(b a C x F x f ∈; 2)),()(),(b a D x F x f ∈;3)),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使(二) 洛必达法则1、尽量先化简(有理化、无穷小代换、分离非零因子)再用洛必达法则!:如:xxx x 420tan cos 1lim --→2、对于某些数列极限问题,可化为连续变量的极限,然后用洛必达法则!nnnn b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim 如:(三) T aylor 公式n 阶Taylor 公式:10)1(00)(200000)()!1()()(!)( )(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξξ在0x 与x 之间.当00=x 时,成为n 阶麦克劳林公式:1)1()(2)!1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(++++++''+'+=n n n n xn f x n f x f x f f x f ξξ在0与x 之间.常见函数的麦克劳林公式:1)12)!1(!1!211+++++++=n n x x n e x n x x e ξξ在0与x 之间,+∞<<∞-x ;2)12121753)!12(2)12(sin )!12()1(!7!5!3sin +--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--++-+-=m m m x m m m x x x x x x πξξ在0与x 之间,+∞<<∞-x ;3)m m m xm m m x x x x x 2221642)!2(22cos )!22()1(!6!4!21cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅++--++-+-=--πξξ在0与x 之间,+∞<<∞-x ;4)111432)1)(1()1()1(432)1ln(++-++-+-++-+-=+n n n n n n x n x x x x x x ξξ在0与x 之间,11<<-x5)nxn n x x x x !)1()1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32+--++--+-++=+αααααααααα11)!1()1)(()1(+--++--+n n x n n αξααα ,ξ在0与x 之间,11<<-x .(四) 单调性及极值1、 单调性判别法:],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,则若0)(>'x f ,则)(x f 单调增加;则若0)(<'x f ,则)(x f 单调减少。

2、 极值及其判定定理:a) 必要条件:)(x f 在0x 可导,若0x 为)(x f 的极值点,则0)(0='x f . b) 第一充分条件:)(x f 在0x 的邻域内可导,且0)(0='x f ,则①若当0x x <时,0)(>'x f ,当0x x >时,0)(<'x f ,则0x 为极大值点;②若当0x x <时,0)(<'x f ,当0x x >时,0)(>'x f ,则0x 为极小值点;③若在0x 的两侧)(x f '不变号,则0x 不是极值点。

c) 第二充分条件:)(x f 在0x 处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f ,则①若0)(0<''x f ,则0x 为极大值点;②若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点。

3、 凹凸性及其判断,拐点1))(x f 在区间I 上连续,若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀,则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的;若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀,则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的。

2)判定定理:)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 上有一阶、二阶导数,则a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的; b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的。

3)拐点:设)(x f y =在区间I 上连续,0x 是)(x f 的内点,如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时,曲线的凹凸性改变了,则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点。

(五) 不等式证明1、 利用微分中值定理;2、 利用函数单调性;3、 利用极值(最值)。

(六) 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理;2、 R olle 定理;3、 函数的单调性;4、 极值、最值;5、 凹凸性。

(七) 渐近线1、 铅直渐近线:∞=→)(lim x f ax ,则a x =为一条铅直渐近线; 2、 水平渐近线:b x f x =∞→)(lim ,则b y =为一条水平渐近线; 3、 斜渐近线:k xx f x =∞→)(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在,则b kx y +=为一条斜渐近线。

(八) 图形描绘 步骤 :1. 确定函数)(x f y =的定义域,并考察其对称性及周期性;2. 求)(),(x f x f '''并求出)(x f '及)(x f ''为零和不存在的点;3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点;4. 求渐近线;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .第四章 不定积分 (一) 概念和性质1、 原函数:在区间I 上,若函数)(x F 可导,且)()(x f x F =',则)(x F 称为)(x f 的一个原函数。

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