福建省长乐第一中学高中数学选修4《球坐标系与柱坐标系》教案
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。
通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。
本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。
•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。
•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。
课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。
•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。
课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。
•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。
•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。
课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。
在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。
这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。
四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。
球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。
在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。
球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。
人教A版高中数学选修4-4-1.4 柱坐标系和球坐标系简介-学案
柱坐标系与球坐标系简介【学习目标】了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化。
【学习过程】一、温故而知新1．如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？2．如何确定一个球面上的点的位置？回顾：二、典型问题【问题1】（1）点A 的柱坐标是)7,6,2(π，则它的直角坐标是 ；（2）点B 的直角坐标是)4,3,1(，则它的柱坐标是 。
练一练：3．点P 的柱坐标是)2,3,4(-π，则它的直角坐标是 。
4．点Q 的直角坐标是)2,3,1(-，则它的柱坐标是 。
【问题2】：（1）点A 的球坐标是)4,4,2(ππ，则它的直角坐标是 ； （2）点B 的直角坐标是)222,2(，-，则它的球坐标是 。
【问题3】：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点。
三、技能训练5．将下列各点的柱坐标化为直角坐标：)3,32,4(),1,6,2(-ππQ P 。
6．将下列各点的球坐标化为直角坐标：)23,,5(),35,2,4(ππππB A 。
7．将下列各点的直角坐标化为球坐标：)24,0,24(),6,1,1(--N M 。
8．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点。
9．设M 的球坐标为)45,4,2(ππ，则它的柱坐标为 。
10．在球坐标系中， )4,6,3(ππP 与)43,6,3(ππQ 两点间的距离是 。
11．球坐标满足方程3=r 的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程。
【学习小结】应该记住的内容：重点内容：个人心得：【达标检测】12．点A 的柱坐标是)4,6,2(π-，则它的直角坐标是 。
13．点M 的球坐标是)65,3,8(ππ，则它的直角坐标是 。
14．点P 的直角坐标是)3,3,3(--，则它的柱坐标是 。
15．在球坐标系中，)6,4,4(ππM 与)32,4,4(ππN 两点间的距离是 。
答案【问题1】解：（1）∵7,6,2===z πθρ， ∴7,1sin ,3cos =====z y x θρθρ，∴点A 的直角坐标是)7,1,3(；（2）∵4,3,1===z y x ，∴4,3tan ,222====+=z x y y x θρ， ∵0,0>>y x ，∴3πθ=， ∴点B 的柱坐标是)4,3,2(π。
福建省长乐第一中学高中数学《直角坐标系》新人教A版选修4
直角坐标系教学目的：知识与技术：回忆在平面直角坐标系中刻画点的位置的方式进程与方式：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观看、探讨、发觉的制造性进程，培育创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够成立适当的直角坐标系,解决数学问题讲课类型：新讲课教学模式：启发、诱导发觉教学.教学进程：一、温习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按打算完成科学考察任务后，平安、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机械运动的轨迹。
情境2：运动会的揭幕式上常常有大型集体操的表演，其中不断转变的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布组成的。
要显现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系一、数轴它使直线上任一点P都能够由惟一的实数x确信二、平面直角坐标系在平面上，当取定两条相互垂直的直线的交点为原点，并确信了气宇单位和这两条直线的方向，就成立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都能够由惟一的实数对（x,y）确信3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确信了气宇单位和这三条直线方向，就成立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P 都能够由惟一的实数对（x,y,z ）确信三、讲解新课：1、 成立坐标系是为了确信点的位置，因此，在所建的坐标系中应知足： 任意一点都有确信的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能够确信那个点的位置2、 确信点的位置确实是求出那个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的极点。
*变式训练如何通过它们到点O 的距离和它们相关于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确信点的位置？例2 已知B 村位于A 村的正西方1千米处,原打算通过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发觉一古代文物遗址W.依照初步勘探的结果,文物治理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的打算需要修改吗?*变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时刻比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，而且现在的声速为340m/s,求曲线的方程2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，成立适当的坐标系，求以M ，N 为核心并过点P 的椭圆方程例3 已知Q （a,b ）,别离按以下条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）*变式训练用两种以上的方式证明：三角形的三条高线交于一点。
选修4――4坐标系教案
选修4――4坐标系教案【篇一：选修4矩阵与坐标系参数方程】选修4矩阵与坐标系参数方程（1）1．在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程是??x＝t＋5，?y＝－4－t(t为参数), 圆c的参数方程是面积的最大值.2．已知圆锥曲线?(1)3（1）求经过点f2且垂直地于直线af1的直线l的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线af2的极坐标方程．?1??m0?3．设矩阵a=?,若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为a?0?,属于特征值2的一个?0n?????0?特征向量为??,求实数m, n的值.1??? 33??1?? cd??1?? 3??.求矩阵a,并写出a的逆矩阵. ?－2?选修4矩阵与坐标系参数方程（1）答案4222大,最大值为2＋1. 2化为普通方程，222【答案】解：（1）圆锥曲线所以f1（﹣1，0），f2（1，0），则直线af1的斜率于是经过点f2垂直于直线af1的直线l的斜率所以直线l的参数方程是，（t为参数），即（t为参数）．……6分（2）直线af2的斜率所以直线af2的极坐标方程：??m????03【答案】由题意得???m??0??0??1??1?=1 ?0??0?,n??????0??0??0?=2 ?1??1?,n??????……10分?m=1,?0?n=0, ?m=1,?化简得?所以? 、0?m=0, n=2.??? ?n=2,?1??1?? 33??1??1?? ??=6??,? cd??1??1?? 3?? 33?? 3?? 3?,可得??? ??=??,?－2?? cd??－2??－2?21 －??32? 33??c＝2，??即3c-2d=-2,解得?即a=?. ?, a的逆矩阵是?d＝4．11? 24?? －??32?选修4矩阵与坐标系参数方程（2）??x＝3＋22t1在平面直角坐标系xoy中,直线m的参数方程为?(t为参数);在以o 为极点、2?y＝－3?2a、b两点,求线段ab的长.2．在极坐标系中,圆c是以点c(2,-)为圆心、2为半径的圆. 6(1)求圆c的极坐标方程;?x??x??x+2y?o3．已知点a在变换t:??→??=?作用后,再绕原点逆时针旋转90,得到点b.若??y??y??y?点b的坐标为(—3,4),求点a的坐标.?21??10?24矩阵与变换已知矩阵a=?,向量b=??.求向量a,使得aa=b. ? ?01??2?选修4矩阵与坐标系参数方程（2）答案1【答案】解:直线m的普通方程为x-y=6曲线c的普通方程为y2=8x由题设直线m与曲线c交于a、b两点,可令a(x1,y1),b(x2,y2). ?y2=8x联立方程?,解得y2=8(y+6),则有y1+y2=8,y1?y2=-48.[来?x-y=6于是ab===故 ab=22【答案】选修4—4:坐标系与参数方程而得到的圆,所以圆c的极坐标方6123【答案】?21??21??43?4【答案】b 解:a=???01?=?01?,01??????2设a=??,由a?x??y?2a=b得??43??x??10?=??, ????01??y??2?即??4x+3y=10?x=1?1?, 解得?,所以a=???2??y=2?y=2【篇二：选修4-4：参数方程教案】曲线的参数方程教学目标知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
福建省长乐第一中学高中数学《球坐标系与柱坐标系》新人教A版选修4
球坐标系与柱坐标系教学目的：知识与技术：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方式进程与方式：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
情感、态度与价值观：通过观看、探讨、发觉的制造性进程，培育创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方式的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用讲课类型：新讲课教学模式：启发、诱导发觉教学.教学进程：一、温习引入：情境：咱们用三个数据来确信卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如安在空间里确信点的位置？有哪些方式？学生回忆在空间直角坐标系中刻画点的位置的方式极坐标的意义和极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：一、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置能够用有序数组),,(ϕθr 表示，咱们把成立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：二、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把成立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：3、数学应用例1成立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的极点.变式训练成立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的极点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标. 变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标知足方程r=3的点所组成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.变式训练标知足方程ρ=2的点所组成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度. 试探: 在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少? 三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规那么；2．柱坐标系的作用与规那么。
人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》
人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》
人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》
1、柱坐标系和球坐标系的认识。
2、柱坐标系和球坐标系的应用。
详细请看本课视频。
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人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》。
球坐标系与柱坐标系 学案1 2016-2017学年高中数学 苏教版 选修4-4
4.1.3 球坐标系与柱坐标系1．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面．点M 的直角坐标与球坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos θ＝r sin φcos θ，y ＝|OP |sin θ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.2．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面．显然，点M 的直角坐标与柱坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z .预习交流1．在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？提示：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．2．空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？ 提示：在直角坐标系中，我们需要三个长度x ，y ，z ；而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r ，θ，z .空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．这个组数(x ，y ，z )就叫作点M 的坐标，并依次称x ，y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图所示)坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 平面上的点，y ＝0；xOy 平面上的点，z ＝0.如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果点M 在y 轴上，则x ＝z ＝0；如果点M 在z 轴上，则x ＝y ＝0.如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．一、球坐标与直角坐标互化设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 思路分析：利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求解，其中r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr，tanθ＝y x. 解：r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. ∵r cos φ＝z ＝2，∴cos φ＝22.由0≤φ≤π，∴φ＝π4.又∵tan θ＝y x ＝1，θ＝π4，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4.已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4，求它的直角坐标． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 3π4cos 3π4＝2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝2×22×22＝1，z ＝2cos 3π4＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－ 2.∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cosφ，求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的范围．二、柱坐标与直角坐标互化设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．思路分析：利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．解：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1.易知，θ在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，z ＝1.∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1.点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，7，求它的直角坐标． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧x ＝2cos π6＝2×32＝3，y ＝2sin π6＝2×12＝1，z ＝7.∴点M 的直角坐标为(3，1,7)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2求ρ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意该点所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标． 三、求空间一点的坐标一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．解：以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫203，17π16，2.8.建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的各个顶点的坐标．解：以正四面体的一个顶点B 为原点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为x 轴，BD 所在射线为y 轴，过O 点，与面BCD垂直的射线为z 轴，建立柱坐标系．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则|BA ′|＝323×23＝3，|AA ′|＝32－(3)2＝6， ∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A ⎝⎛⎭⎫3，π3，6，B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫3，π6，0，D ⎝⎛⎭⎫3，π2，0. 求空间中一点的柱坐标，与求平面极坐标类似，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．1．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫16，π3，5，则其直角坐标为__________． 答案：(8,83，5)解析：∵ρ＝16，θ＝π3，z ＝5，∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5， ∴点P 的直角坐标是(8,83，5)．2．点B 的直角坐标为(1，3，4)，则它的柱坐标是__________．答案：⎝⎛⎭⎫2，π3，4 解析：x ＝1＝r cos θ，y ＝3＝r sin θ，∴tan θ＝ 3.∵0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝π3，r ＝2，z ＝4，∴点B 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，4. 3．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为____________，它的柱坐标是____________．答案：(－2,2,22) ⎝⎛⎭⎫22，3π4，22 解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝4sin π4cos 3π4＝－2，y ＝4sin π4sin 3π4＝2，z ＝4cos π4＝2 2.所以点M 的直角坐标为(－2,2,22)． 设点M 的柱坐标为(r ，θ，z ′)，则r ＝x 2＋y 2＝22，tan θ＝2－2＝－1，所以θ＝3π4.又z ′＝22，所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，22. 4．将点M (1，－1，6)化成球坐标为__________．答案：⎝⎛⎭⎫22，π6，3π4 解析：设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则r ＝12＋(－1)2＋(6)2＝22，tan φ＝x 2＋y 2z ＝12＋126＝33，由0≤φ≤π，知φ＝π6，又tan θ＝y x ＝－11＝－1,0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝3π4.∴M (1，－1，6)的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π6，3π4.。
高中数学 柱坐标系与球坐标系简介(二)学案 新人教A版选修44
.【自主学习】任务1：阅读教材P22—24，理解下列问题：任务2：完成下列问题： 在航空领域，人们怎样确定航天器的准确位置呢？如何建立坐标系，才能方便地的得出r ,ϕ,θ的值，并由有序实数组(r ,ϕ,θ)找到航天器的具体位置呢？选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立平面极坐标系. 一般地，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r .OP 与Oz 正向所夹的角为ϕ.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ,ϕ,θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r ,ϕ,θ)之间建立了一种对应关系. 把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序组(r ,ϕ, θ)叫做点P 的球坐标，记做P (r ,ϕ, θ)，其中r≥0，0≤ϕ≤π，0≤θ＜2π.在测量实践中，球坐标中的角θ 称为被测点P (r ,ϕ, θ)的方位角，90o －ϕ称为高低角. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,ϕ, θ)之间的变换公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 【合作探究】.)2,1,1( .1，求它的球坐标的直角坐标为设点例M【目标检测】)()2 ,1 ,1(.1B M ，则它的球坐标是的直角坐标为设点--)4,43 ,2.(D )4 ,45 ,2.(C )45 ,4 ,2.(B )4 ,4 ,2.(A ππππππππx y z P (r ,ϕ,θ)θr QϕO). 22,4 ,2(2)22 2, 2,()4,43 ,4(.2--πππ标为它的柱坐，，则它的直角坐标为的球坐标为已知点M .)90(. )90( .3度南纬纬度，则称此地的纬度是轴负向的夹角为与处南半球，设若地度北纬度，则称此地的纬度是轴正向的夹角为与北半球，高，若地处的一点如图把某地记为空间中ϕϕϕϕ--z z M【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。
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球坐标系与柱坐标系教学目的：知识与技能：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 过程与方法：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.变式训练标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度.思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则；2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16曲线的参数方程教学目标⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点：曲线参数方程的概念。
教学难点：曲线参数方程的探求。
授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：（一）曲线的参数方程概念的引入引例：2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。
并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。
如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。
问：经过t 秒，该游客的位置在何处?引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。
）（二）曲线的参数方程1、圆的参数方程的推导（1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数）结合图形，由任意角三角函数的定义可知：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==θθθr y r x θ为参数 ②（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。
对于变数t （或θ）的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上；（1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数t （或θ）建立起来的方程是圆的方程；）（4）若要表示一个完整的圆，则t 与θ的最小的取值范围是什么呢？➢ )2,0[sin cos ωπωω∈⎩⎨⎧==t t r y t r x ， )2,0[sin cos πθθθ∈⎩⎨⎧==r y r x （5）圆的参数方程及参数的定义我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。
（6）圆的参数方程的理解与认识（ⅰ）参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθθ∈⎩⎨⎧==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθθ∈⎩⎨⎧==y x 是否表示同一曲线？为什么？（ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的参数方程：①在y 轴左侧的半圆（不包括y 轴上的点）；②在第四象限的圆弧。
（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。
）（7）曲线的参数方程的定义（ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t 的函数)()()(D t t g y t f x ∈⎩⎨⎧== ③，并且对于t 的每一个允许值，由方程组③所确定的点),(y x P 都在这条曲线C 上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。
变数t 叫做参变量或参变数，简称参数。
（ⅱ）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标x 、y 间关系的方程0),(=y x F 叫做曲线的普通方程。
（8）曲线的参数方程的理解与认识（ⅰ）参数方程的形式；（横、纵坐标x 、y 都是变量t 的函数，给出一个t 能唯一的求出对应的x 、y 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标x 、y 之间的关系并不一定是函数关系。
）（ⅱ）参数的取值范围；（在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。
）（ⅲ）参数方程与普通方程的统一性；（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x 与y 之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。
）（ⅳ）参数的作用；（参数作为间接地建立横、纵坐标x 、y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。
）（ⅴ）参数的意义。
（如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。
即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。
）（三）巩固曲线的参数方程的概念例题1：（1）质点P 开始位于坐标平面内的点)1,3(0P 处，沿某一方向作匀速直线运 动。
水平分速度3=x v 厘米/秒，铅锤分速度1=y v 厘米/秒，（ⅰ）求此质点P 的坐标与时刻t （秒）的关系；（ⅱ）问5秒时质点P 所处的位置。
（2）写出经过定点)1,3(P ，且倾斜角为6π的直线l 的参数方程。
问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到什么启示呢？（第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。
）例题2：已知点),(y x A 在圆C ：422=+y x 上运动，求y x +的最大值。
（通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义。
）（四）课堂小结1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能选取适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参数的意义。
2、思想与方法：参数思想。
（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。
）（五）作业课本P26，习题2.1，第1、2题。
（六）思考（1）若圆的一般方程为222)()(r b y a x =-+-，你能写出它的一个参数方程吗？（2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。
若某游客登上转盘的时刻记为0t ，则经过时间t 该游客的位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建立相对应的参数方程，并得到游客的具体位置呢？。