最新北师大版九年级数学上册专项训练：图形的相似综合测试题(精品试题).docx
北师大版九年级上数学《第四章图形的相似》专题练习（含答案）
图形的相似专题练习1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是()A．1∶9 B．1∶25C．9∶25 D．3∶52．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB∶OB′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()图2A．4∶9 B．2∶5C．2∶3 D．2∶ 33．如果3A＝2B(AB≠0)，那么下列比例式中正确的是()A．ab＝32B．ba＝23C．a2＝b3D．a3＝b24．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥B C．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为()图4A．3 B．6C．9 D．125．在下面的图形中，相似的一组是(),A) ,B),C) ,D)图56．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(),A) ,B),C) ,D)图67．为测量某河的宽度，小在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于()图7A．120 m B．67.5 mC．40 m D．30 m8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(),A) ,B),C) ,D)图89．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB ＝32，AC ＝10，那么EC ＝________．图910．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．图1011．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC )，然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若CD ＝3.2 cm ，则AB 的长为_________ cm.图1112．如图，已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，剪去正方形ABEF ，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为__________．图1213．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(－1，2)，B(－1，0)，A′(－2，4)，则B′的坐标为___________．图1314．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．图1415．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC ＝90°.(1)求证：△ADE∽△BEC；(2)若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．图1516．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．图1617．如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.图1718．如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．图1819．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米．测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度．图1920．如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC＝120°)的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC 相交于点P，Q.写出图中的相似三角形__△APD∽△CDQ__(直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．,图1),图2),图3)图20参考答案【过关训练】1．C2．A3．C4．B5．C6．A7．A8．D 9．__4__10．__10__11．_9.6__12．_1＋52__13．(－2，0)_14．解：(1)如答图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为(4，2)，(2，－4)；(2)如答图，△O2A2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为(0，2)，(－1，－1)；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形，如答图，点M为所，位似中心M的坐标为(－4，2)．15．[解：(1)证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BE C．(2)∵△ADE∽△BEC，∴BEAD＝BCAE，即BE1＝32，∴BE＝3 2，∴AB＝AE＋BE＝7 2.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCG＝90°.∵BF⊥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∠CBG＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，∴△ABF∽△GB C．(2)∵△ABF∽△BG C．∴ABBG＝AFBC.∵AB＝2，G是CD的中点，四边形ABCD是正方形，∴BC＝2，CG＝1，∴BG＝BC2＋CG2＝5，∴25＝AF2，解得AF＝45 5.17．证明：(1)∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠BDC＝∠DGC＝90°，∴∠DBC＋∠DCG＝∠GDC＋∠DCG，∴∠GDC＝∠DBC，∴△BDG∽△DCG，∴BG∶DG＝DG∶CG，即DG2＝BG·CG.(2)同(1)中的方法，同理可证△BGH∽△FGC，∴BG∶GF＝GH∶CG，∴BG·CG＝GF·GH.18．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC＝ADAB，即AE1.5＝1.22，解得AE＝0.9 m，∴EC＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 19．解：设AH＝x，BH＝y，由题意知，△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，∴BFHF＝CBAH，DGHG＝DEAH，∴3x＝1.5×(y＋3)，5x＝1.5×(y＋30＋5)，解得x＝24.则旗杆AH的高度为24 m.20．__△APD∽△CDQ__解：(2)成立，如答图．理由如下：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BC A．∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°.∵∠EDF＝30°，∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，∴∠APD＝∠CDQ，∴△APD∽△CDQ. (3)△APD∽△DPQ.理由如下：∵△APD∽△CDQ，∴APCD＝DPDQ.∵点D为AC的中点，∴CD＝AD，∴APAD＝DPDQ，即APDP＝ADDQ.又∵∠P AD＝∠PDQ＝30°，∴△APD∽△DPQ.(4)△DEF满足∠EDF＝α，△ABC满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可．理由：∵∠ABC＝180°－2α，∴∠A＝∠C＝α.∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，∴∠APD＝∠CDQ.又∵∠A＝∠C，∴△APD∽△CDQ.。
北师大版九年级数学(上)图形相似复习题集完整版.doc
图形的相似复习题 一、填空题1.如果四条线段m ，n ，x ，y 成比例,若m=2，n=8，y=20.则线段x 的长是__________.2.如果M 是2，3，6的第四比例项，则M=______ _。
3.已知△ABC ∽△DEF ，AB ＝6，DE ＝8，则:ABC DEF S S ∆∆＝________.4.已知三个数1,2,2,请你再添一个数,写出一个比例式________.5.点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线(不与直线AB 重合)截△ABC,使截得三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线最多________条.6.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台上的黄金分割点处最自然得体, 若舞台AB 长为20cm,试计算主持人大约走到离A 点至少___________m 处.7.一个4米高的电线杆的影长是6米,它临近的一个建筑物的影长是36米. 则这个建筑的高度是_________.8.如图,若DE ∥BC,FD ∥AB,AD ∶AC ＝2∶3 ,AB ＝9,BC ＝6,则四边形BEDF 的 周长为________.10.果如=-+=++==z y x z y x zy x 那么且,5,432 。
11.若△ABC ∽△DEF ，△ABC 的面积为81cm 2，△DEF 的面积为36cm 2， 且AB=12cm,则DE= cm12.如图，BD 平分∠ABC ，且AB ＝4，BC ＝6，则当BD ＝_________时， △ABD ∽△DBC 。
二、选择题1.若果mn ab =,则下列比例式中不正确的是( ) A.a n m b = B.a m n b = C.m n a b = D.m ba n = 2.已知:如图2,在△ABC 中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是( ) A.AD AE AB AC = B.AE ADBC BD = C.DE AE BC AB = D.DE ADBC DB= 3.已知正五边形ABCDE 与正五边形'''''A B C D E 的面积比为1:2，则它们的相似比为（ ）A.1:2B.2:1C.1:2D.2:1 4.如图,两个位似图形△ABO 和△'''C B A ，若OA:'OA ＝3:1,则正确的是( )A.AB:''A B ＝3:1B.'AA :'BB ＝AB:'ABC.OA:'OB =2:1D.∠A ＝∠'B5.比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离是( )A.1250kmB.125kmC.2.5kmD.1.25km6.下列判断正确的是( )A.不全等的三角形一定不是相似三角形B.不相似的三角形一定不是全等三角形C.相似三角形一定不是全等三角形D.全等三角形不一定是相似三角形7.如图, D 、E 是AB 的三等分点, DF ∥EG ∥BC , 图中三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( )A.1:2:3B.1:2:4C.1:3:5D.2:3:4 8.在同一时刻的阳光下,小明的影子比小强的影子长,那么在同一路灯下( )A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长 9.已知:2:3x y =，则下列各式中不正确的是（ ）A.52x y y += B.12x y y -= C.35x x y =+ D.3xy x=- 10.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（粗线）与左图中△ABC 相似的是（ ）A11.两个相似三角形对应边上的中线的比为3:4,而它的周长和为35,则较小的周长为( )A.25B.15C.10.D.20 12.如图所示，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出光线照射桌 面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图，已知桌面的直径为1.2 桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分面积是 ( )A.0.36π平方米B.0.81π平方米C.2π平方米D.3.24π平方米三.解答题1.如图,在△ABC 中,∠C=90°,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F.求证: △DEH ～△BCA2.已知：如图，AC AE AB AD ⋅=⋅，求证：FDB ∆∽FEC ∆．3.如图,平行四边形ABCD 中,点E 是DC 中点,连AE 并延长与BC 延长线交于点F,若CEF S ∆＝10,求四边形ABCE 的面积.4.已知如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB ＝1:2.(1)求AE:DC 的值. (2)△AEF 与△CDF 相似吗?若相似,请说明理由,并求出相似比.(3)如果AEF S∆＝6cm 2,求CDF S ∆5.如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点，EF⊥DE 交BC 于点F ．（1）求证： ∆ADE∽∆BEF ；（2）设正方形的边长为4，AE=x ，BF=y ，写出y 与x 的函数关系式。
最新北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合题练习
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似综合题练习1、在如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：2AE2=AC•AP；（3）若AE=8cm，△ABF的面积为9cm2，求△ABF的周长．2、如图，射线AM平行于射线BN，AB⊥BN，且AB=3，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且CD=AC，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为t．（1）AC长为，△ACD的面积为（用含有t的代数式表示）；（2）求点D到射线BN的距离（用含有t的代数式表示）；（3）是否存在点C，使△ACE为等腰三角形？若存在，请求出此时BC的长度；若不存在，请说明理由．3、已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点P由B出发沿BA 方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．4、在△ABC 中，∠C=Rt ∠，AC=4cm ，BC=5cm ，点D 在BC 上，并且CD=3cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动．过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连接EQ ，设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设△EDQ 的面积为y （cm 2），求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当x 为何值时，△EDQ 为直角三角形？5、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在Y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折叠CE=55，且43 DA EA （1）判断OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线L，使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△CDE相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．6、如图，已知直线l的函数表达式为483y x=-+，且l与x轴，y轴分别交于A B，两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q P，移动的时间为t秒．（1）求出点A B，的坐标；（2）当t为何值时，APQ△与AOB△相似？（3）求出（2）中当APQ△与AOB△相似时，线段PQ所在直线的函数表达式．7、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x．1）当x=2秒时，射线DE经过点C；2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y，求y与x的函数关系式；3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．8、等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．9、已知如图，▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．（1）求证：AB=BH；（2）若GA=10，HE=2．求AB的值．10、已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．11、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．12、如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2=OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．13、如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P 以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．15、如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a=，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．16、如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．（1）用含有x的代数式表示CE的长．（2）求点F与点B重合时x的值．（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．17、已知：如图，矩形ABCD中，CH⊥BD于点H，P为AD上的一个动点（点P与点A、D不重合），CP与BD交于点E，若，DH：CD=5：13，设AP=x，四边形ABEP的面积为y．（1）求BD的长；（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当四边形ABEP的面积是△PED面积的5倍时，连接PB，判断△PAB与△PDC是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由．18、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=3，AB=5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BO﹣OP 于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求直线AB的解析式；（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．1、最困难的事就是认识自己。
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《第4章图形的相似》一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S 四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A．=B．=C．=D．=10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF 的长是（）A．B．C．D．二、填空题11．若，则= ．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18cm，则△A′B′C各边长分别为．15．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．16．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是．三、解答题19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．20．若=，求的值．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．24．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？《第4章图形的相似》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；网格型；数形结合．【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．【解答】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【考点】相似三角形的判定；相似多边形的性质．【专题】数形结合．【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC ∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP=∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC=∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP=AP•CB，即=，而∠PAC=∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF 是解题关键．7．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S 四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：5【考点】位似变换．【分析】四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，可知AD∥A′D′，△OAD∽△OA′D′，求出相似比从而求得S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´的值．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴AD∥A′D′，∴△OAD∽△OA′D′，∴OA：O′A′=AD：A′D′=1：3，∴S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´=1：9．故选：A．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．8．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m【考点】相似三角形的应用．【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x 的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：=，解得x=2.2，2.2﹣1.7=0.5m，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A ．= B ． =C ． =D ． =【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A 、B 的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C 、D 的正误．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴，∵=，∵=， 故A 、B 选项均错误；∵△ADE ∽△ABC ，∴==， =（）2=，故C 选项正确，D 选项错误．故选C ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．10．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB=1，CD=3，那么EF 的长是（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故选C．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．二、填空题11．若，则= ．【考点】比例的性质．【专题】常规题型．【分析】根据比例的性质求出的值，然后两边加1进行计算即可得解．【解答】解：∵，∴﹣2=，=2+=，∴+1=+1，即=．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出的值是解题的关键．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．【考点】相似三角形的性质．【分析】由一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，根据相似比等于对应边的比，即可求得答案．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，∴较小三角形与较大三角形的相似比k==．故答案为：． 【点评】此题考查了相似比的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记定义．14．在△ABC 中，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=24cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的周长为18cm ，则△A ′B ′C 各边长分别为 4cm ，6cm ，8cm ．【考点】相似三角形的性质．【分析】由△A ′B ′C ′∽△ABC ，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△A ′B ′C ′∽△ABC ，∴△A ′B ′C ′的周长：△ABC 的周长=A ′B ′：AB ，∵在△ABC 中，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=24cm ，∴△ABC 的周长为：54cm ，∵△A ′B ′C ′的周长为18cm ，∴A ′B ′：AB=A ′C ′：AC=B ′C ′：BC=，∴A ′B ′=4cm ，B ′C ′=6cm ，A ′C ′=8cm ．故答案为：4cm ，6cm ，8cm ．【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．如图，一束光线从点A （3，3）出发，经过y 轴上点C 反射后经过点B （1，0），则光线从点A 到点B 经过的路径长为 5 ．【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．16．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC=2，OD=3，AC ∥BD ，EF 是△ODB 的中位线，且EF=2，则AC 的长为 ．【考点】三角形中位线定理．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB ，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵EF 是△ODB 的中位线，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC ∥BD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴=，即=，解得AC=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， =，△ADE 的面积是8，则△ABC 的面积为 18 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是9：11 ．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE=x，S△BEF=a，∵CE=x，BE：CE=2：1，∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，又∵∠BFE=∠DFA；∴△EBF∽△ADF∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a．∵S△BCD﹣S△BEF=S四边形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，∴x2﹣a=9x2﹣×3x•2x﹣，化简可求出x2=；∴S△AFD：S四边形DEFC=：=：=9：11，故答案为9：11．【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．三、解答题19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．【考点】比例线段．【分析】根据比例线段的定义得出=，即=，解之可得c．【解答】解：根据题意，=，即=，解得：c=3，答：线段c的长度为3dm．【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键．20．若=，求的值．【考点】比例的性质．【分析】首先由已知条件可得x=，然后再代入即可求值．【解答】解：∵=，∴8x﹣6y=x﹣y，x=，∴==．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】探究型．【分析】令=k．根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．【解答】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【点评】此题能够利用方程求得k的值，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．24．（10分）（2012•富顺县校级模拟）某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】（1）易得△AMD∽△BMC，根据BC=2AD可得S△BMC=4S△AMD，据此可得种满△BMC的花费；（2）根据每平方米8元来看，△AMD面积为20平米方米，△BMC面积为80平方米，因此可以得出梯形的高也就是两三角形高的和为12米，那么可得梯形面积为180平方米，还有80平方米未种，800元未用，所以要选择每平方米十元的茉莉花．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMD：S△BMC=（10：20 ）2=1：4．∵种植△AMD地带花费160元，单价为8元/m2，∴S△AMD=20m2，∴S△CMB=80m2，∴△BMC地带所需的费用为8×80=640（元）；（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h．∵S△AMD=×10h1=20，∴h1=4，∵S△BCM=×20h2=80，∴h2=8，∴S梯形ABCD=（AD+BC）•h=×（10+20）×（4+8）=180．∴S△AMB+S△DMC=180﹣20﹣80=80（m2），∵160+640+80×12=1760（元），160+640+80×10=1600（元），∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及应用；求得梯形的高是解决本题的难点；用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方．25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比即可得到结论；（2）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论；【解答】解：（1）∵，∴△ABC∽△DBE，∴△ABC的周长：△EBD的周长=，设△ABC的周长为5k，△EBD的周长为2k，∴5k﹣2k=60，∴k=20，∴△ABC的周长=100cm，△EBD的周长=40cm；（2）∵，∴△ABC∽△DBE，∴=（）2=，∵△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，∴S△ABC=812×=700．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？【考点】相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：由题意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．答：河宽BD是13.6米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．。
最新北师大版九年级数学上册 图形的相似综合复习题
图形的相似综合复习题一、选择题(每小题6分，共24分)1．(重庆)如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，若BC ＝1，则EF 的长是( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(泰安)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题：①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A ＝∠A 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；③若∠A＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1；④若AC ：A 1C 1＝CB ：C 1B 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1.其中真命题的个数为( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．(宁波)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D .2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB ＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA ∽△ACD ，BC AC ＝AC AD＝AB DC ，AB ＝2，DC ＝3，∴BC AC ＝AC AD ＝AB DC ＝23，∴BC AC ＝23，∴cos ∠ACB ＝BC AC ＝23，cos ∠DAC ＝AC DA ＝23，∴BC AC ·AC DA ＝23×23＝49，∴BC DA ＝49，∵△ABC 与△DCA 的面积比＝BC DA，∴△ABC 与△DCA 的面积比＝49，故选：C 4．孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( D ) A ．(－2，1) B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)解析：如图二、填空题(每小题6分，共24分)5．(邵阳)如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答案不唯一)__． ,第5题图) ,第6题图)6．(滨州)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB ＝__22__． 7．(2013·安徽)如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，若S ＝2，则S 1＋S 2＝__8__．解析：过点P 作PQ∥DC 交BC 于点Q ，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，∴S △PDC ＝S △CQP ，S △ABP ＝S △QPB ，∵EF 为△PCB 的中位线，∴EF ∥BC ，EF ＝12BC ，∴△PEF ∽△PBC ，且相似比为1∶2，∴S △PEF ∶S △PBC ＝1∶4，S △PEF ＝2，∴S △PBC ＝S △CQP ＋S △QPB ＝S △PDC ＋S △ABP ＝S 1＋S 2＝8,第7题图) ,第8题图)8．(娄底)如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为__9__m .三、解答题(共52分)9．(10分)(2013·巴中)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE⊥BC，垂足为点E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE ＝∠B，∴∠AFD ＝∠C.在△ADF 与△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD＝∠C，∠ADF ＝∠DEC，∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵▱ABCD ，∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴AD DE ＝AF CD ，∴DE ＝AD·CD AF＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝6 10．(10分)(巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2；(3)求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比，即S △A 1B 1C 1：S △A 2B 2C 2＝____(不写解答过程，直接写出结果)．解：(1)如图所示：△A 1B 1C 1即为所求(2)如图所示：△A 2B 2C 2即为所求(3)∵将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为1∶2，∴S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1∶411．(10分)(德宏州)如图，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MN AB ＝LC LD.(1)∵像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，∴3550＝4.9LD，解得LD ＝7，∴拍摄点距离景物7米 (2)拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，∴35LC ＝24，解得LC ＝70，∴相机的焦距应调整为70 mm12．(10分)(遵义)如图，▱ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A ＝45°，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且BE ＝DF ，连接EF 交BD 于点O.(1)求证：BO ＝DO ；(2)若EF⊥AB，延长EF 交AD 的延长线于点G ，当FG ＝1时，求AD 的长．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB ，DC ∥AB ，∴∠ODF ＝∠OBE，在△ODF 与△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODF＝∠OBE，∠DOF ＝∠BOE，DF ＝BE ，∴△ODF ≌△OBE(AAS)，∴BO ＝DO(2)解：∵BD⊥AD，∴∠ADB ＝90°，∵∠A ＝45°，∴∠DBA ＝∠A ＝45°，∵EF ⊥AB ，∴∠G ＝∠A＝45°，∴△ODG 是等腰直角三角形，∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴DF ⊥OG ，∴OF ＝FG ，△DFG 是等腰直角三角形，∵△ODF ≌△OBE(AAS)，∴OE ＝OF ，∴GF ＝OF ＝OE ，即2FG ＝EF ，∵△DFG 是等腰直角三角形，∴DF ＝FG ＝1，∴DG ＝DF 2＋FG 2＝2，∵AB ∥CD ，∴AD DG ＝EF FG，即AD 2＝21，∴AD ＝2 2 13．(12分)(衢州)(1)提出问题如图①，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点(不含端点B ，C)，连接AM ，以AM 为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.(2)类比探究如图②，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN 还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸如图③，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点(不含端点B ，C)，连接AM ，以AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN.试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．(1)证明：∵△ABC，△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN，∵在△BAM 和△CAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAN，AM ＝AN ，∴△BAM ≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN(2)解：结论∠ABC＝∠ACN 仍成立．理由如下：∵△ABC，△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN，∵在△BAM 和△CAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAN，AM ＝AN ，∴△BAM ≌△CAN(SAS)，∴∠ABC ＝∠ACN (3)解：∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA＝BC ，MA ＝MN ，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC ∽△AMN ，∴AB AM ＝AC AN，又∵∠BA M ＝∠BAC－∠MAC，∠CAN ＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM ＝∠CAN，∴△BAM ∽△CAN ，∴∠ABC ＝∠ACN1．如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过M 点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( C )A．1条B．2条C．3条D．4条,第1题图) ,第2题图)2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为__(2，4－22)__．。
北师大版九年级数学上册测试题：4图形的相似
单元测试(四) 图形的相似 (时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如果mn ＝ab ，那么下列比例式中错误的是( )A.a m ＝n bB.a n ＝m bC.m a ＝n bD.m a ＝b n2．(成都中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．(淮安中考)如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.若AB BC ＝23，DE ＝4，则EF 的长是( )A.83B.203C ．6D ．104．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ．12.36 cmB ．13.6 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm5．下列说法：①凡是正方形都相似；②凡是等腰三角形都相似；③凡是等腰直角三角形都相似；④位似图形都是相似图形；⑤两个相似多边形的面积比为4∶9，则它们的周长比为16∶81.其中正确的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．26．(宜昌中考)如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A ，B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12 m ，由此他就知道了A ，B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A ．AB ＝24 m B ．MN ∥ABC ．△CMN ∽△CABD ．CM ∶MA ＝1∶27．如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是( ) A ．∠E ＝2∠K B ．BC ＝2HIC ．六边形ABCDEF 的周长等于六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL8．如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB.若NF ＝NM ＝2，ME ＝3，则AN 的长是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．(南通中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( )A ．1B ．2C ．122－6D ．62－610．如图，在钝角△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝12 cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1 cm/秒，点E 运动的速度为2 cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是( )A ．3秒或4.8秒B ．3秒C ．4.5秒D ．4.5秒或4.8秒二、填空题(每小题4分，共20分)11．若x ∶y ＝1∶2，则x －yx ＋y＝____________.12．如图，已知AD AB ＝DEBC，请添加一个条件，使△ADE ∽△ABC ，这个条件可以是____________．(写出一个条件即可)13．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是____________．14．(金华中考)如图，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距离的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于点B ，E ，C ，F.若BC ＝2，则EF 的长是____________．15．(柳州中考)如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE.设△ACD ，△BCE ，△ABC 的面积分别是S 1，S 2，S 3，现有如下结论：①S 1∶S 2＝AC 2∶BC 2；②连接AE ，BD ，则△BCD ≌△ECA ；③若AC ⊥BC ，则S 1·S 2＝34S 23.其中结论正确的序号是____________．三、解答题(共50分)16．(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)． (1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2.17．(10分)(邵阳中考)如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上．已知DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5 m ，到旗杆的水平距离DC ＝20 m ，求旗杆的高度．18．(10分)(岳阳中考)如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm ，球目前在E 点位置，AE ＝60 cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置． (1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．19．(10分)(大庆中考)如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，BC ＝1，点D 在边AC 上，且BD 平分∠ABC ，设CD ＝x.(1)求证：△ABC ∽△BCD ； (2)求x 的值．20．(12分)(淄博中考)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD.连接MF ，NF. (1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论；(2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．参考答案1．C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.A 11.－13 12.答案不唯一，如：∠D ＝∠B 等 13.(9，0) 14.5 15.①②③ 16．(1)图略．(2)图略．17．根据题意，得∠DEF ＝∠DCA ＝90°，∠EDF ＝∠ADC ，∴△DEF ∽△DCA.∴EF AC ＝DEDC .已知DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，DC ＝20 m ．∴0.25AC ＝0.520.解得AC ＝10.∵四边形BCDG 是矩形，∴BC ＝DG.而DG ＝1.5 m ，∴BC ＝1.5 m ．因此AB ＝AC＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m)．答：旗杆的高度是11.5 m.18．(1)证明：在矩形ABCD 中，由对称性可得出：∠DFC ＝∠EFB ，∠EBF ＝∠FCD ＝90°，∴△BEF ∽△CDF.(2)∵△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，即130－60130＝260－CFCF.解得CF ＝169.即CF 的长度是169 cm.19．(1)证明：∵在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD＝36°.∵∠CBD ＝∠A ＝36°，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD.(2)∵∠A ＝∠ABD ＝36°，∴AD ＝BD.∵∠CBD ＝36°，∠C ＝72°，∴∠BDC ＝72°.∴BD ＝BC.∴AD ＝BD ＝BC ＝1.设CD ＝x ，则有AB ＝AC ＝x ＋1.∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC ＝BCCD ，即x ＋11＝1x ，整理，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(负值，舍去)，则x ＝5－12.经检验，x ＝5－12为方程的解．∴x ＝5－12. 20．(1)△BMN 是等腰直角三角形．∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC.∵AC ⊥BD ，∴∠AEB ＝90°.∴∠EAB ＋∠EBA ＝90°.又∵BN 平分∠ABE ，∴∠MNB ＝∠NAB ＋∠ABN ＝12(∠BAE ＋∠ABE)＝45°.∴△BMN 是等腰直角三角形．(2)△MFN ∽△BDC.理由：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，∴FM ∥AC ，FM ＝12AC.∵AC ＝BD ，∴FM ＝12BD ，即FM BD ＝12.∵△BMN 是等腰直角三角形，∴NM ＝BM ＝12BC ，即NM BC ＝12.∴FM BD ＝NM BC .∵AM ⊥BC ，∴∠NMF ＋∠FMB ＝90°.∵FM ∥AC ，∴∠ACB ＝∠FMB.∵∠CEB ＝90°，∴∠ACB ＋∠CBD ＝90°.∴∠CBD ＋∠FMB ＝90°.∴∠NMF ＝∠CBD.∴△MFN ∽△BDC.。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似含答案(必刷题)
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合.设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为（）A. B. C. D.2、如图，下列四个三角形中，与相似的是（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C.D.4、小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.45、如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（）A.5B.5C.D.6、如图，△ABC 内接于⊙ O ，AD 是△ABC 边 BC 上的高，D 为垂足.若 BD = 1，AD = 3，BC = 7，则⊙O 的半径是（）A. B. C. D.7、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝3，则CD的长是( )A. B. C. D.8、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A.1B.2C.3D.49、如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.10、如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（）A. B. C. D.11、已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为（）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm12、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（）A.72B.18C.12D.2013、如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（）A. B.1 C.2 D.314、如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，且把三角形ABC分成面积为S1， S2， S3三部分，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：4：9C.1：3：5D.无法确定15、已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相邻两条直线的距离相等.若直线l8分别与l1， l2， l5， l7相交于点A，B，C，D，则AB：BC：CD为________.17、在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=________．18、已知，则的值为________.19、把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为________．20、上午某一时刻,身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米,则影长26米的旗轩高度为________米21、如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD 于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：________．22、如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm, OB=15 cm，则火焰的长度为________.23、将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：（ 1 ）如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；（ 2 ）如图2，再将纸片分别沿EC，BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O.那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是________.24、如图，在直线l上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC ＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的面积依次是S1， S2， S3，若S1+S3＝20，则S1＝________，S2＝________．25、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程.534%－2x=0.5627、李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．28、如图，两根电线杆相距Lm，分别在高10m的A处和15m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH．29、如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，△APC 与△BPD相似吗？为什么？30、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C4、D5、B6、C7、D8、D9、D10、B11、C12、B13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
新课标-最新北师大版九年级数学上学期专项训练：图形的相似综合测试题-精品试题
图1 图 2 图 3 图 4 C A D B A D E BC（满分120分 时间100分钟）一、选择题(每题3分，共30分)1．已知x:y=2:3，则(x+y):y 的值为（ ）Ａ．2:5 Ｂ．5:2 Ｃ．5:3 Ｄ．3:52．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A ．菱形的各角扩大为原来的2倍B ．菱形的边长扩大为原来的2倍C ．菱形的对角线扩大为原来的2倍D ．菱形的面积扩大为原来的4倍3．下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；③两个等边三角形一定相似；④任意两个矩形一定相似．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别是1和3，如果△ABC 与△A ′B ′C ′相似，那么△A ′B ′C ′的第三边长应该是( )A ．2B ．22 C ．26 D ．33 5．地图上的比例尺为1：200000，小明家到单位的图距为20cm ，小明骑自行车从单位到家用了4小时，他骑自行车的平均速度为每小时( )A ．40000米B ．4000米C ．10000米D ．5000米6．两个相似三角形的最长边分别是35和14，它们的周长差是60，则大三角形的周长为（ ）A ．80B ．36C ．40D ．1007．如图1，已知D 、E 分别是△ABC 的的AB 、AC 边上的一点，DE ∥BC ，且△ADE 与四边形DBCE 的面积之比为1:3，则AD: AB 为（ ）A ．1:4B ．1:3C ．1:2D ．2:38．如图2，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，腰BA 、CD 的延长线相交于M ，图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对9．如图3，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面半径为0.6米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ -）A ．0.36π米2B ．0.81π米2C ．2π米2D ．3.24π米2 10．如图4，△ACD ∽△ABC ，则下列式子：①CD 2= AD ·DB ；②AC 2= AD ·AB ；③CD AC =BDAB ．其中一定成立的有（ ）A ．3个B ．1个C ．2个D ．0个图7 A B C D E A C O D B 图 5Ａ Ｅ Ｂ Ｃ Ｄ图6 图8 A B E C D 图9A E DF CB 图10 二、填空题（每小题3分，共24分）11．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍．12．已知两个数2、12，请再写一个数，使其中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是 (只需填写一个数)． 13．如图5，已知OB=4，OA=8，OC=6，则当OD= 时，AC ∥BD ．14．如图6，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，且23AE AD AC AB ==，若DE=4，则BC= ．15．如图7，A 、B 两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DE//AB ，则AB= 米．16．如图8，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线相交于P ，PF ⊥BC ，AD=3.6，BC=6，EF=3，则PF=_____．17．顶角为36º的等腰三角形为黄金三角形，如图9，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=_____（精确到0.001）． 18．如图10，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定 相似的三角形是 ． 19．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，以点A 为位 似中心把△ABC 放大2倍后得到△A 1B 1C 1，则∠B 1=_____º． 20．已知等边△A 1B 1C 1的边长为1，△A 1B 1C 1的三条中位线组成△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2的三条中位线又组成△A 3B 3C 3，…，以此类推，得到△A n B n C n ，则△A 3B 3C 3的边长为 ；△A n B n C n 的边长为 ．（其中n 为正整数）三、解答题(共60分)21．(8分) 如图11，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= º，BC= ；（2）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并证 明你的结论．22．(8分)如图12，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E ，若AD ∶DB=2∶3，AC=15，求DE 的长．图12 AD E B CA BF E D C 图11Q D A C B P图1423．(10分) 一天晚上，身高1.6米的小明站在路灯下，发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时，发现自己的影子恰好是5块地砖的长，根据这个发现，他就算出了路灯的高度，你知道他是怎么算的吗？24．(10分)阅读下列短文：图13-1所示的是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比．解：长方体(甲)的体积是3a ·3b ·3c=33abc ， 长方体(乙)的体积是5a ·5b ·5c=53abc ，所以长方体(甲)与长方体(乙)的体积的比是33abc ∶53abc ＝33∶53=(3︰5)3，所以，相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．请仿上例解答下题：鱼是一种高蛋白食物，所以谁都希望买到价廉物美的鱼．假定现在市场上出售同一种鱼(体形是相似形)，以大小论价，大鱼A 每斤1.5元，小鱼B 每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图13-2所示)，那么买哪种鱼更便宜呢？25．(12分) 如图14，在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？图13-23a 3 b3c 5a 5 b 5c 图13-1 (甲) (乙)图15-1 图15-2 D F E B C A M D A C B F E G H E C A O D B P26．(12分) 有一块两条直角边BC 、AC 的长分别为3厘米和4厘米的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个面积尽最大的正方形，甲、乙两位师傅加工方案分别如图15-1和图15-2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）．参考答案一、1．C 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B 9．B 10．B二、11．5，25 12．26 13．3 14．6 15．80 16．7.5 17．0.38218．△DEF 19．72º 20．41，121-n 三、21．解：（1）135，22；（2）△ABC ∽△DEF ．证明：由图可知∠FED=∠ABC=135º，因为AB=2，BC=22，EF=2，DE=1211+=2，而EF BC =2，DE AB =2，即EF BC =DEAB ，所以△ABC ∽△DEF ． 22．解：因为AD ∶DB=2∶3，所以AD ∶AB=2∶5．因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE ∶AC= AD ∶AB=2∶5．因为AC=15，所以AE=6．因此CE=9．易证CE=DE ，所以DE=9． 23．解：根据意，画出示意图．其中身高AB=CD=1.6米，影长AC=2米，CE=2.5米，设路灯的高度为x 米．因为OP ∥AB ，所以△ABC ∽△OPC ，所以AB OP =AC OC ，即6.1x =2OC ，则OC=45x ．因为OP ∥CD ， 所以△CDE ∽△OPE ，所以CD OP =CE OE ，即6.1x =5.2OE ，则 OE=1625x ．又因为OE －OC= CE ，所以1625x －45x=2.5，解得x=8．所以路灯的高度为8米．24．解：A 与B 相似比为13∶10， A 与B 体积之比197.210002197101333==．而其价格比是1.5∶1=1.5， A 的体积是B 的2.197倍，买大鱼A 比买小鱼B 合算．25．解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ= t ，QA=6－t ．显然，当QA= AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6－t=2t ，解得t=2．所以当t 为2秒时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）△QAC 的面积=21QA ·DC=21·(6－t)·12=36－6t ．△APC 的面积=21AP ·BC=21·2t ·6=6t ．所以四边形QAPC 的面积=△QAC 的面积+△APC 的面积=36－6t+6t=36(平方厘米)．由计算结果发现在P 、Q 移动过程中，四边形QAPC 的面积保持不变．（3）应分两种情况讨论： ①当AB QA =BC AP 时，△QAP ∽△ABC ，则126t -=62t ，解得t=1.2．所以当t 为1.2秒时，△QAP ∽△ABC ； ②当BC QA =AB AP 时，△PQA ∽△ABC ，则66t -=122t ，解得t=3．所以当t 为3秒时，△PQA ∽△ABC ．26．解：如图15-1，设正方形边长为x 厘米，则AD=4－x ．因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ACB ，所以AC AD =BC DE ，即34x -=3x ．所以x=712．所以正方形CDEF 的面积=(712)2平方厘米．如图15-2，设正方形边长为y 厘米，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，交DE 于M ．因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB ，所以AB DE =CHCM ，因为AB=5243+=5．又AC ·BC=AB ·CH ，所以CH=543⨯=512，CM=CH －y=512－y ．所以5y =512512y -，所以y =3760．所以正方形DEFG 的面积=(3760)2．因为712＞3760，所以(712)2＞(3760)2，所以甲师傅加工的方案符合要求．。
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（满分120分 时间100分钟）一、选择题(每题3分，共30分)1．已知x:y=2:3，则(x+y):y 的值为（ ） Ａ．2:5Ｂ．5:2Ｃ．5:3Ｄ．3:52．将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A ．菱形的各角扩大为原来的2倍B ．菱形的边长扩大为原来的2倍C ．菱形的对角线扩大为原来的2倍D ．菱形的面积扩大为原来的4倍3．下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；③两个等边三角形一定相似；④任意两个矩形一定相似．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别是1和3，如果△ABC 与△A ′B ′C ′相似，那么△A ′B ′C ′的第三边长应该是( ) A ．2 B ．22 C ．26D ．335．地图上的比例尺为1：200000，小明家到单位的图距为20cm ，小明骑自行车从单位到家用了4小时，他骑自行车的平均速度为每小时( )A ．40000米B ．4000米C ．10000米D ．5000米6．两个相似三角形的最长边分别是35和14，它们的周长差是60，则大三角形的周长为（ ） A ．80 B ．36 C ．40 D ．1007．如图1，已知D 、E 分别是△ABC 的的AB 、AC 边上的一点，DE ∥BC ，且△ADE 与四边图1 图 2 图 3 图 4CA D BA DE B C形DBCE 的面积之比为1:3，则AD: AB 为（ ） A ．1:4 B ．1:3 C ．1:2 D ．2:38．如图2，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，腰BA 、CD 的延长线相交于M ，图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对9．如图3，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面半径为0.6米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ -）A ．0.36π米2B ．0.81π米2C ．2π米2D ．3.24π米2 10．如图4，△ACD ∽△ABC ，则下列式子：①CD 2= AD ·DB ；②AC 2= AD ·AB ；③CD AC =BDAB．其中一定成立的有（ ）A ．3个B ．1个C ．2个D ．0个 二、填空题（每小题3分，共24分）11．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍． 12．已知两个数2、12，请再写一个数，使其中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数图7ABC DEAC OD B图5Ａ ＥＢＣＤ图6图8A BE CD图9A E D F CB图10是 (只需填写一个数)．13．如图5，已知OB=4，OA=8，OC=6，则当OD= 时，AC ∥BD ． 14．如图6，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，且23AE AD AC AB ==，若DE=4，则BC= ．15．如图7，A 、B 两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DE//AB ，则AB= 米．16．如图8，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线相交于P ，PF ⊥BC ，AD=3.6，BC=6，EF=3，则PF=_____．17．顶角为36º的等腰三角形为黄金三角形，如图9，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=_____（精确到0.001）． 18．如图10，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上， EF ⊥BE 交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定 相似的三角形是 ．19．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，以点A 为位 似中心把△ABC 放大2倍后得到△A 1B 1C 1，则∠B 1=_____º．20．已知等边△A 1B 1C 1的边长为1，△A 1B 1C 1的三条中位线组成△A 2B 2C 2，△A 2B 2C 2的三条中位线又组成△A 3B 3C 3，…，以此类推，得到△A n B n C n ，则△A 3B 3C 3的边长为 ；△A n B n C n 的边长为 ．（其中n 为正整数） 三、解答题(共60分)21．(8分) 如图11，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= º，BC= ； （2）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并证 明你的结论．22．(8分)如图12，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E ，若AD ∶DB=2∶3，AC=15，求DE 的长．23．(10分) 一天晚上，身高1.6米的小明站在路灯下，发现自己的影子恰好是4块地砖的长（每块地砖为边长0.5米的正方形）．当他沿着影子的方向走了4块地砖时，发现自己的图12A DEBCA B F EDC 图11影子恰好是5块地砖的长，根据这个发现，他就算出了路灯的高度，你知道他是怎么算的吗？24．(10分)阅读下列短文：图13-1所示的是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比．解：长方体(甲)的体积是3a ·3b ·3c=33abc ， 长方体(乙)的体积是5a ·5b ·5c=53abc ，所以长方体(甲)与长方体(乙)的体积的比是33abc ∶53abc ＝33∶53=(3︰5)3，所以，相似形的体积之比，等于它的相似比的立方． 请仿上例解答下题：图13-23a 3 b 3c 5a 5 b5c图13-1(甲)(乙)Q D ACB P图14鱼是一种高蛋白食物，所以谁都希望买到价廉物美的鱼．假定现在市场上出售同一种鱼(体形是相似形)，以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图13-2所示)，那么买哪种鱼更便宜呢？25．(12分) 如图14，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A 开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？图15-1 图15-2DF EBCAMDACBFEGH26．(12分) 有一块两条直角边BC 、AC 的长分别为3厘米和4厘米的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个面积尽最大的正方形，甲、乙两位师傅加工方案分别如图15-1和图15-2所示，请用你学过的知识说明哪位师傅的加工方案符合要求（加工中的损耗忽略不计）．参考答案一、1．C 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B 9．B 10．B二、11．5，25 12．26 13．3 14．6 15．80 16．7.5 17．0.382 18．△DEF 19．72º 20．41，121n 三、21．解：（1）135，22；E C A O D B P （2）△ABC ∽△DEF ．证明：由图可知∠FED=∠ABC=135º，因为AB=2，BC=22，EF=2，DE=1211+=2，而EF BC =2，DE AB =2，即EF BC =DEAB，所以△ABC ∽△DEF ． 22．解：因为AD ∶DB=2∶3，所以AD ∶AB=2∶5．因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE ∶AC= AD ∶AB=2∶5．因为AC=15，所以AE=6．因此CE=9．易证CE=DE ，所以DE=9． 23．解：根据意，画出示意图．其中身高AB=CD=1.6米，影长AC=2米，CE=2.5米，设路灯的高度为x 米．因为OP ∥AB ，所以△ABC ∽△OPC ，所以AB OP =AC OC ，即6.1x =2OC ，则OC=45x ．因为OP ∥CD ，所以△CDE ∽△OPE ，所以CD OP =CE OE ，即6.1x =5.2OE，则OE=1625x ．又因为OE －OC= CE ，所以1625x －45x=2.5，解得x=8．所以路灯的高度为8米．24．解：A 与B 相似比为13∶10， A 与B 体积之比197.210002197101333==．而其价格比是1.5∶1=1.5， A 的体积是B 的2.197倍，买大鱼A 比买小鱼B 合算．25．解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ= t ，QA=6－t ．显然，当QA= AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6－t=2t ，解得t=2．所以当t 为2秒时，△QAP 为等腰直角三角形． （2）△QAC 的面积=21QA ·DC=21·(6－t)·12=36－6t ．△APC 的面积=21AP ·BC=21·2t ·6=6t ．所以四边形QAPC 的面积=△QAC 的面积+△APC 的面积=36－6t+6t=36(平方厘米)．由计算结果发现在P 、Q 移动过程中，四边形QAPC 的面积保持不变． （3）应分两种情况讨论： ①当AB QA =BC AP 时，△QAP ∽△ABC ，则126t -=62t，解得t=1.2．所以当t 为1.2秒时，△QAP ∽△ABC ； ②当BC QA =AB AP 时，△PQA ∽△ABC ，则66t -=122t，解得t=3．所以当t 为3秒时，△PQA ∽△ABC ．26．解：如图15-1，设正方形边长为x 厘米，则AD=4－x ．因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ACB ，所以AC AD =BC DE ，即34x -=3x ．所以x=712．所以正方形CDEF 的面积=(712)2平方厘米．如图15-2，设正方形边长为y 厘米，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，交DE 于M ．因为DE∥AB ，所以△CDE ∽△CAB ，所以AB DE =CHCM ，因为AB=5243+=5．又AC ·BC=AB ·CH ，所以CH=543⨯=512，CM=CH －y=512－y ．所以5y =512512y-，所以y =3760．所以正方形DEFG 的面积=(3760)2．因为712＞3760，所以(712)2＞(3760)2，所以甲师傅加工的方案符合要求．。