第一部分 晶体结构-总结与习题指导

(n1 + n2 + n3 ) = 2N 为偶数，这里 N 是整数。于是点阵矢量为 R = n1xˆ + n2 yˆ + (2N − n1 − n2 ) zˆ = n1xˆ + n2 yˆ + ⎡⎣( N − n1 ) + ( N − n2 )⎤⎦ zˆ
令 l = N − n1, m = N − n2 则有
4 晶胞的所有六角形面都是正六角形。提示：通过六角面中心的垂线只有三重轴 对称性，所以单凭这种对称性还是不够的。
11
证明 (a) 作二维布喇菲点阵如图 1.16(a)所示。基矢 a、b 间的夹角为θ ，现须证明 (i) θ = 90° ，W-S 晶胞为矩形。 (ii) θ ≠ 90° ，W-S 晶胞为六角形。
arccos
⎛ ⎜⎝
−
1 3
⎞ ⎟⎠
= 109°28′
类似地可以算出 a1 ， a2 ， a3 任意二矢量的夹角均为此值。
3
图 1.9 表示 bcc 布喇菲点阵的一个初基晶胞，是一个以 a1 ，a2 ，a3 为棱的菱 面体。
对 fcc 布喇菲点阵，初基矢量的一种对称的取法是将原点同面心上的阵点连 接起来，如图 1.10 所示。
1.4 晶体结构的堆积比率 在 sc，bcc 和 fcc 结构中，fcc 是原子排列最密 积的，sc 是最稀疏的，它们的配位数分别是 fcc—12；bcc—8；sc—6；而金刚石 结构比简立方结构还有稀疏，配位数是 4。如果把同样的硬球放置在这些结构原 子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球正好接触，但彼此 并不重叠。我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比定义为结构的
由上可知，对于二维布喇菲点阵，当θ = 90° 时，W-S 晶胞为矩形，当θ ≠ 90° 时，矩形 W-S 晶胞被破坏，有两个相对的角必定被切去。于是，W-S 晶胞成为
12
六角形，如图 1.16(e)所示。
(b)考虑 fcc 点阵的 W-S 晶胞(图 1.17)，O 是菱形十二面体的中心点，A 是菱 形面 CFGE 的中心点，将 OA 延长至 B，OC 延长至 D，由于菱形面 CFGE 是 OB 的中垂面，有
由 R 所定义的也是一个点阵常数为 2 的 sc 点阵，但相对于上面一个 sc 点阵
位移了一个矢量 ( xˆ + yˆ + zˆ) ，这个点正好位于体心位置上面两个 sc 点阵穿套起来 正好是一个 bcc 点阵，故 (n1, n2, n3 ) 或全取偶数或全取奇数所定义的是一个 bcc
点阵。
(b) 若 ∑ ni i
R = ( N − l ) xˆ + ( N − m) yˆ + (l + m) zˆ
又令 n = N − l − m, n 仍为整数，
6
则有
R = (n + m) xˆ + (n + l ) yˆ + (l + m) zˆ
R = n ( xˆ + yˆ ) + l ( yˆ + zˆ) + m ( zˆ + xˆ)
AE = 2 AG = 2 3 a = a
3
32
3
故
7
FE
=
⎛ ⎜⎝
c 2
⎞ ⎟⎠
=
2a 3
且有
c = 2 6 = 1.633 a3
(b)设钠在
bcc
相的点阵常数为
a′
，初基晶胞体积为Vc′
=
1 2
a′3
。在
hcp
相，初
基晶胞体积为
⎛ Vc = a2c sin 60° = a3 ⎜⎜⎝
8 ⎞⎛ 3 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝
基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，Vc = a1 ⋅(a2 × a3 ) 。
3 惯用晶胞(单胞) 惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。惯用晶胞可以是初基的或 非初基的。惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，V = nVc 。其中，n 是惯用 晶胞所包含的阵点数。 确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。 4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞) 维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点 与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。维格纳-赛兹晶胞是初基 晶胞。
r2＝ 2 ＝1.414)，对于 sc、bcc 和 fcc 布喇菲点阵作一个表示 Nn 和 rn 值的表 (n
＝1，2，3，4，5，6)。 解
10
sc，bcc，fcc 布喇菲点阵的第 n 近邻距离见图 1.13。 1.6 w-s 晶胞 (a)证明任何二维布喇菲点阵的 w-s 晶胞不是矩形就是六角 形。(b)面心立方点阵的 w-s 晶胞是一菱形十二面体，如图 1.14 所示。证明每个 菱形面对角线长之比为 2 :1。(c)体心立方点阵的 W-s 晶胞是一截角八面体，如 图 1.15 所示。证明其边长是立方晶胞边长的 2 倍。(d)证明体心立方点阵 w-s
第一部分 晶体结构-总结与习题指导
1 布喇菲点阵和初基矢量 晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。布喇菲点阵是平移操作 R = n1a1 + n2a2 + n3a3 所联系的诸点的列阵。布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学 抽象。点阵矢量 R = n1a1 + n2a2 + n3a3 ，其中， n1 ， n2 和 n3 均为整数， a1 ， a2 和 a3 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。初基矢 量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。 布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观 察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。 对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。 2 初基晶胞(原胞) 初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵 的一个阵点。 对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初
Z
=
Ni
+
1 2
Nf
+
1 4
Ne
+
1 8
Nc
边长为 a 的立方晶胞的堆积比率为
F = Z × 4π r3 3 a3
对于 fcc，
Z = 4, a 2 = 4r, F = 0.74 对于 bcc，
Z = 2, a 3 = 4r, F = 0.68 对于 sc， Z = 1, a = 2r, F = 0.52
3 2
⎞ ⎟⎟⎠
=
2a3
由相变过程中密度不变，得
1 =2 Vc′ Vc
因为 bcc 相的每个初基晶胞中包含一个钠原子，而 hcp 相的每个初级晶胞包 含两个钠原子。
将Vc′ 和Vc 代入上式，得
2= 2 a′3 2a3
a
=
(
2
)−
1 6
a′
≈
3.77
Å
所以
hcp 相的点阵常数 a = 3.77 Å， c = 6.16 Å。
参看图 1.16(b)，作 AM , AN 的中垂线，当θ = 90° 时，此二中垂线的交点 B 必定 正好平分 AC 。
AB = BC 于是 AC 的中垂线正好通过 B 点，不构成新的边。所以 W-S 晶胞为矩形。
参看图 1.16(c)，当θ 从 90° 减小，于是 AB 增加而 BC 减小，这时 AC 的中垂 线必定正好切去 B 点的尖角，形成一个新的边。参看图 1.16(d)，当θ 从 90° 开始 增加时，AB 减小而 BC 增加，这时 AC 的中垂线必定从 w-s 晶胞外通过，不构成 新的边。
a1
=
a 2
(
xˆ
+
yˆ )
,
a2
=
a 2
(
zˆ
+
yˆ )
,
a3
=
a 2
(
xˆ
+
zˆ )
4
三个初基矢量的长度相等
彼此夹角亦相等，
a1 = a2 = a3 =
2a 2
cosα
=
a1 ⋅ a2 a1a2
=
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞2 ⎟⎠
(
xˆ
+
yˆ
)i(
yˆ
+
⎛ 2 ⎞2
zˆ )
=
1 2
⎜ ⎝
2
a⎟ ⎠
α
=
arccos
8
堆积比率（又叫最大空间利用率）。试证明以上四种结构的堆积比率是
fcc: 2 π = 0.74 6
bcc: 3 π = 0.68 8
sc: 1 π = 0.52 6
金刚石： 3 π = 0.34 16
证明
令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数， Ni 是位于晶胞内的球数， N f 是在 晶胞面上的球数， Ne 是在晶胞棱上的球数， Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有
试画出这两种布喇菲点阵的初基矢量并计算其夹角。
解
一个布喇菲点阵的初基矢量可以有多种取法。对体心立方布喇菲点阵，一种 对称的取法是把原点同体心上的阵点连接起来，参见图 1.8。用立方晶胞的边长 a 表示，这组初基矢量是
a1
=
a 2
(
xˆ
+
yˆ
−
zˆ ) ,
a2
=
a 2
( − xˆ
+
yˆ
+
zˆ ) ,
a3
=
a 2
(
xˆ
−
yˆ
+
zˆ )
每个矢量长度相等，
a1 = a2 = a3 =
3a 2
在其中取任意二矢量计算其夹角 a，例如 a1, a2 间的夹角，
cosα