晶体结构习题

第一章晶体结构

1、三维空间有多少种布拉菲格子？画图说明这些布拉菲格子。

解：三维空间有14种布拉菲格子，分别如下图所示：

2、石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问一个原胞含有几个原子？为什

么？

解：石墨层中一个原胞包含两个原子。图中A 和B 原子是不等价的，它们的几何处境不相同，因此一个原胞中至少有两个碳原子；如图所示，石墨单层可通过图中虚线框所围，包含A 、B 两个原子的单元周期性平移得到，它能构成石墨单层的一个原胞，因此石墨层中一个原胞包含两个原子。

3、 利用刚球密堆模型,求证球可能占据的最大体积与总体积之比为：

(1) 简单立方

6

π

；（2

）体心立方

；（3

）面心立方6；（4

）六角密积6

； (5)

。 解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：

6)

2(34134133

33π

ππα=?=?=R R a R

（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：

83)

3/4(34

23423

3

33πππα=?=?=R R a R （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：

6

2)22(34

23443

3

33π

ππα=

?=?=R R a R （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，

R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：

6

2)3/64(4

)2(3634643634623

23π

ππα=??=??=R

R R c a R （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为：

163)3/8(34

83483

33

33πππα=?=?=R

R a R

4、设有一简单格子，它的基矢分别为1233,3, 1.5()a i a j a i j k ===++。试求： (1) 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ (2) 该晶体的倒格子基矢；

(3) 密勒指数为(121)晶面族的面间距； (4) 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？

(5) [1,1,1]晶列与[1,1,1]晶列之间的夹角余弦为多少？

解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。 （2）由倒格子基矢的定义可知：

???

?

?

?

???=?=???=-=-?=???=

-=-?=???=k

k a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321

πππππππππ （3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（

3

211

121122122b b b K -+?=

=

π

πd

10

3030352(3

22==

-+=

k j i π

π （4）由于面密度d ρβ=，其中d 是面间距，ρ是体密度。对布喇菲格子，ρ等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为)(321h h h ，则该晶面族的面间距3

21h h h d

应为最大值，所以有

3

32211223

21321b b b K h h h d h h h h h h ++=

=

π

π

max )2(3

])2([3

222132121321=--++=

--++=

k

j i k j i h h h h h h h h h h π

π

由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距2/3，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。 （5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为

3

213213213211

11111111111)()(cos a a a a a a a a a a a a R R R R -+?++-+?++=

??=

α

57

55.15.15.15.15.45.4)

5.15.15.1()5.15.45.4(=

-+?++-+?++=

k

j i k j i k j i k j i