重庆市南开中学高考数学考前模拟考试试题文

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重庆南开中学高三第一次模拟考试(数学文)

2006—2007学年度重庆南开中学高三年级第一次模拟考试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量)3,(),2,4(x ==向量，且∥，则x = （）A ．9B ．6C ．5D ．12．已知集合},22|{2R x x x y y M ∈++==，集合})4(log |{2R y x y x N ∈-==，则（）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．φ=N MD ．N N M =3．求以抛物线y 2 = 8x 的焦点为焦点，且离心率为21的椭圆的标准方程为（）A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 4．已知等差数列{a n }满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{b n }满足,,4311a b a b ==则 5b 为（）A ．16B ．32C ．64D ．27 5．x x y 52sin 52cos3+=的图象相邻两对称轴之间的距离为（）A ．52πB ．45πC ．25πD ．π56．抛物线y = x 2 + bx + c 在点（1，2）处的切线与其平行直线bx + y + c = 0间的距离是（）A ．42 B ．22 C ．223 D ．27．在△OAB （O 为原点）中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==，若5-=⋅，则S △AOB 的值为（）A ．3B ．23 C ．35D ．235 8．若函数),()10()(+∞-∞≠>-=-在且a a a ka x f xx是既是奇函数，又是增函数，则 )(l o g )(k x x g a +=的图像是（）1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 59．已知△ABC 的三个角分别为A ，B ，C ，满足4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则A sin 的值为（）A ．815B ．87 C ．1611 D ．1615 10．设双曲线M ：1222=-y ax ，过点C （0，1）且斜率为1的直线，交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若2|AC | = |CB |，则双曲线的离心度为（）A ．10B ．5C ．310 D ．2511．已知+∈R b a ,，且满足ab b a S b a 2,222++==+设的最大值是（）A ．27 B ．4 C ．29 D ．512．函数))((R x x f y ∈=满足：对一切[)1,0;)(7)1(,0)(,2∈-=+>∈x x f x f x f R x 当时，,)125(5)250(2)(⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤+=x x x x f 则=-)32007(f（）A ．3322-B ．32-C ．32+D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．以坐标原点为圆心且与直线3x －4y + 5 = 0相切的圆方程为14．已知22)1()1(,2420-++⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-y x x y x y x 则的最小值为15．已知函数)(x f y =的反函数为)10)(1(log 1≠>-+=a a x y a 且，则函数)2(+=x f y 必过定点 16．如右图，它满足①第n 行首尾两数均为n②表中的递推关系如杨辉三角，则第n 行(n ≥2)的第二个数是三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（13分）已知向量x f x x x ⋅=-++=-=)(),3,2cos 2sin 1(),1,tan 1(记（1）求f (x )的周期；（2）若)42()2()(παα+-=f f a g ，则求)(a g 的最小值.18．（13分）解不等式)00(2log |2log 3|2≠>+<-a a x x a a 且19．（12分）已知偶函数f (x )，对任意R x x ∈21,，恒有12)()()(212121+++=+x x x f x f x x f ，求（1）f (0)的值；（2）f (x )的表达式；（3）令)10()()(2)]([2≠>=-a a a x F x f x f 且，求),0()(+∞在x F 上的最值.20．（12分）某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少51。

南开中学高三数学模拟试卷(理科)(参考答案).doc

南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。

甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。

南开中学高三数学模拟试卷(文科)(参考答案).doc

南开中学高三数学模拟试卷（文科）参考答案一、选择题:（共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 67 8答案D C D C C A B B二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号9 10 11 12 13 14答案611兀+471?兀292[9,+ 8)三、解答题：（本大题共6小题，共80分）. （15）（本小题满分13分）解:(I) /(兀)=V^sin2兀一cos2x = 2sin(2x --------------- )67T TT S(II ) ill 2k7T + — < 2x ------- < lk7l + —7l伙W z),2 6 271 5得k/r——< x < k7r + — 7r(k e z)3 6n5/r•••单调递减区间为[尿+ =、k兀七—](k ez). ................................... 8分3 6(III)因为-~^x^~，贝ij-兰W2x —兰 W兰，6 4 2 6 3当2x-- = -,即x =-时，/(兀)取得最大值为馆；6 3 4当2%--=--,即兀―仝时,/⑴取得最小值为_2 •.................................. 13分6 2 3（16）（木小题满分13分）解：（I ）由条形图得第七组频率为1-（0.04x2 + 0.08x2 + 0.2x2 + 0.3） = 0.06,0.06x50 = 3 1 分・••第七组的人数为3人组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本中人数 2 4 10 10 15 4 3 2 (II )由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)x5=0.82,.......................................................... 4分=71后三组频率为1一0.82=0.18 ................................................... 5分估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800x0.18=144 （人）. 7分（皿）第二组四人记为a、b、c、d,其中a为男生,b、c、d为女生,第七组三人记为1、2、3,其屮1、2为男生，3为女生，基木事件列表如下：abed1\a \b \c \d22a 2b 2c 2d3 3 a 3b 3c 3d所以基本事件有12个...................................... 10分恰为一男一女的事件有",lc, Id, 2b, 2c, 2d, 3a；共7个..... 12分7因此实验小组中，恰为一男一女的概率是一................... 13分12（17）（本小题满分13分）（I）证明：因为菱形ABCD,所以3D丄AC,又因为平而ACEF丄平面ABCD ,EC丄AC，平面ACEF Q平面ABCD = AC故EC丄平面ABCDEC 丄BD所以BD丄平面ACEF-------------- 5分BDu平面BDE,所以平面BDE丄平面ACEF ；---------------- 6分（II）连结EO, EO//AM ,ZBEO为界面直线BE与AM所成的角或补角，由（I）知，AEOB = 90°,在直角三角形EOB 中，EO = AM=4i,BO = &所以界而直线BE与4M所成的角的正切值心. -------------- 10分2（III）由已知易得BF = FD,BE = ED，所以EO丄BD, FO丄BD,ZEOF为二面角E-BD-F的平而角13分所以二面角E-BD-F为90°.（18）（本小题满分13分）解：（I ）点A （0,2）代入圆C 方程，得.（2-加尸=9*.* m < 2 ,・*. m = -1 .......... 1 分圆 C ：异+（〉，+ 1）2 =9,圆心（0,-1）・设直线的斜率为心，P （3,8）当K 不存在时，PF I ：x = 3,显然不合题意舍去. 当人存在时，PF“ y -8 = k l （x-3）f 即 k }x- y-3« + 8 = 0 .・••号f .解得k }=- ..................................................... 3分W + 1 3 直线 PF ]: 4x-3.y + 12 = 0总线PF 】与x 轴的交点横他标为一3,・・・c=3. F| (—3, 0), F 2(3, 0)............................... 4 分2« = P4F|| + |AF 2|= VB + V13 =2>/13 , a =屈,«2=13, //=4.椭圆E 的方程为：—+ ^- = 1............................. 6分13 4(II)由|丽冃丽|知点A 在线段MN 的垂直平分线上， y = kx-2由]兀2 2 消去y 得(4 + 13/)兀2 一52也=0 (*) —+ —= 1 〔13 4由Id 得方程（*）的A = （52^）2 >0,即方程（*）有两个不相等的实数根…8分设N （兀2小），线段MN 的中点卩（兀0，儿），26k 4 + 13 衣52k 4 + 13f•宀0,直线仲的斜率为宁=桔由AP 丄MN,得土竺 xk = _l,解得：k = ±—f……12分13R13・・・存在直线/满足题意，方程为：V5x-V13y-2ji3 =0«KV5x + V13y + 2Vi3 =0 -------------------------------- 13 分 (19) (本小题满分14分)解：(I)方法一：由S 曲=3S “得：数列｛S”｝是等比数列，公比为3,首项为1…2分.•.S” =1・3心=3心 ......... 3分当 n>2 时,a n = S n - S n _{ = 3 心一 3W '2 = 2 • 3n '2................... 4 分fl (n = 1)•5=\.................. 5 分[2・3心(n > 2)方法一：•** S“+] = 3S“，「. S n = 3S”](M ' 2) 以上两式相减得：Q “+]=3% (n > 2),.................. 2分在 S n+[ = 3S n 中,取〃 =1 得：a {+a 2= 3a }即 a 2 = 2a } = 2 ,.................. 3 分.・.｛%｝为第二项起的等比数列，公比为3 .................. 4分fl (n = l)/. ci = \.................. 5 分26k 24 + 13p—8 4 + 13/即卩為為)10分2・3宀(n > 2)由(I )知：⑺”｝为第二项起的等比数列，公比为3, s=2t0? + 1)(72 + 2) n(n +1)(/? + 1)(1-/?)① 若r 〉0,则 b n+i -b n <0 HP b n+i < b n (n > 2) .・.数列｛仇｝是从第二项起的递减数列ifij b 、= —, b 2 = — t b 2 >b } 3•••(—b2「 ..................................... 9 分•・•对任意 n e TV * ,都冇 A>/7(Z7 + 1)a“t②若/v0,则b n+} - b n > 0即b n+x > b n (n > 2)・•・数列{仇}是从第二项起的递增数列・・・11 分Ifij/, =-<0,当n >2 时，化=W o't n2r-3w_2b n e (-oo, 0).................. 12 分•• •对任意n e TV * ,都有2>/7(Z7 + 1), > 0 ...................13 分%3综合上面：若/>0,则A>-；若/<0,则A>0o .............................................. 14分t(20) (木小题满分14分)解：(I )当 a = -3ll 寸，/(x) = —x 3 -兀2-3X + 3,所以广(兀)=x 2 -2x-3 = (x-3)(x + l).令/'(兀) = 0,得比=_1,兀2=3.当xv-l 时，广(x)〉0,则/(x)在(-oo,-l) ±单调递增；当一1 v 尢<3时,/'(X )<0 ,则f (x)在(-1,3)上单调递减;・••当心2时,廿2心巴汗畔 “ “ It • 3n_2b n +l ~b n 2r3n-I『•3"10分当x>3时，广(兀)>0 , /(兀)在(3,+00)上单调递增. 所以，当x = -\时，/&)取得极大值为/(-1)=-1-1 + 3 + 3 =—；当*3时,/(x)取得极小值为/*(3)=丄x27-9-9 + 3 =-6.(II )广(兀)=/-2x + d , △ = 4-4° = 4(1-°) •⑴若dhl,则在心上恒有广(兀)》0,于⑴在R 上单调递增，且值域为R.函数/(x)的图象少兀轴有且只有一个交点.(2)若a<l,则△>(), /'(%) = 0有两个不等的实根，不妨设为x l9x 2 (x t <x 2).当x 变化吋，广(x)J(x)的取值情况如下表：X(-°°眄)(西，兀2)厶（兀2，+°°）广(刃+—+极大值极小值由兀]2—2 兀]+a = 0 ,得兀]+兀2=2, x l x 2 = a , JL x ）2= 2x, - <7.f （xj = £ 兀1‘ _ X |2 + ax \ 一 a = * £ （2旺 _ d ） — 壬2 + ax }-同理/(x 2) =|［(n-l)x 2-t/_ •函数子(x)的图象与x 轴有且只有一个交点，等价于/(x 2)< f (x,) <0或0</(X2)</(X l)» 即 /(壬)丁(兀2)>0 •又/(西)丁(兀2)=害［(。

南开中学高三数学模拟试卷(文科).doc

南开中学高三数学模拟试卷(文科)说明：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分, 考试时间120分钟.2.请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上. 参考公式：・如果事件久〃互斥，那么P(AU〃) = P(4)+P(B) •如果事件右B相互独立,那么関锥侧面积公式S= Tirl其屮厂为底血関半径，/为母线长第I卷(选择题共40分)一.选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.頊将等家填徐在登題卡上!)-3-1(1)i是虚数单位，复数一「=l + 2i-l-7i 1(A)l-3i (B) (C) -- + i (D) -1 + i5 5(2)已知集合S = [x\x2<2x]t集合T^Lllogj 则S^T =2(A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,1] (D) (0,2](3)已知a,b,c分别是\ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a = 2, b = g , B = 60"则c -(A) 5 (B) 77 (C) 2 (D) 1(4)已知直线厶：2x +紗-7 = 0,若过定点(0,2)与已知直线厶垂直的直线厶与x轴、)，轴正半轴所围成的三角形而积为6,则实数k值为3 2(A) -- (B)-2 32 4(C) -- (D)--（5）阅读如图给出的程序框图，运行相应的程序, 输出的结果S为（A） 1008 （B） 1007（C） -1007 （D） -3022（第5颗）（6）通过随机询问110名性别不同的人学牛是否爱好某项运动，得到如下的列联农:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110〃(加一加)2 争 2 - 110X(40X30-20X20)2 〜(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‘心寸'K =6() X 5() X 6() X 5() 〜附表:P（K?汶）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）（A）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”（B）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别育关”（0）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”（第7顾）(C)-I3(D)--2（8）己知函数/（x）是定义在［-1,1］上的奇函数，且/（1） = 1 ,当以引-1,1］, a+bHO时有/⑷+ /少）>0・若f（x）tn2- a+ b则实数〃7的取值范围是-2am +1 (m e R,/n h 0)对所有XG[-1 ,1] , ae[-\, 1J 恒成立,(A) (-oo,-2]U(2, + oo)(B) (一oc,-2]U[2, + oo)(C) (YO,—2]U(0,+8)(D) (YO,0)U[2,+ OO)第II卷（非选择题共110分）二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上!）y >0（9）设变量兀,），满足约束条件< % +1 > 0 ,则z = 2x+ y的最大值为________x+y-3<Q分别为A"两点，以4B为直径的圆恰好过双曲线右焦点场，则双曲线的离心率为____________（11）将一个圆柱体挖掉一个圆锥后，所得几何体的（12）如图，已知是圆的-条直径，点C是圆上-点满足"=»,43为圆的切线，C为切点，过点B作切线CZ）的垂线BF,交圆于点E-则线段EF的长为___________ ・（10）已知过双曲线与0~9_21 =1（G > 0』> 0）左焦点F\且垂直于A-轴的直线交双曲线两渐近线三视图如图所示, 则该几何体的萄輻积为___________（第11题）（第12题）I m(13)已知不等式(x + 2y)(—+ —)216对任意止实数x,y恒成立，则止实数血的最小值兀 >?为____ .(14)已知: “ 14一入IW 6 ”，g: "I X-IIW Q”(awR,a>0),若非“是非q的必要不充分条件，则实数。

2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科数学试卷-学生用卷

2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第1题5分已知集合A={x||x|⩽1,x∈Z}，B={1,2,3}，则A∩B为（）．A. {−1}B. {1}C. {−1,0,1}D. ∅2、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第2题5分设i是虚数单位，若复数z=i1+i，则z的共轭复数为（）．A. 12+12iB. 12−12iC. 1−12iD. 1+12i3、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第3题5分下列函数中，值域是R且是奇函数的是（）．A. y=x3+1B. y=sin⁡xC. y=x−x3D. y=2x4、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第4题5分向量a →=(3,m )，b →=(1,2)，若(a →+b →)⊥b →，则m =（）．A. −4B. −32C. 0D. 65、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第5题5分已知x ，y ∈R ，命题“若x 2+y 2=0 ，则x =0 或y =0 ”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（）．A. 0B. 2C. 3D. 46、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第6题5分2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（石家庄二中教育集团）第3题5分2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5G ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（）．A. 相关活动是5G 信息走势的关键性节点B. 月均信息量超过600万条C. 第四季度信息量呈直线增长态势D. 月信息量未出现持续下降态势7、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第7题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区四川大学附属中学（成都市第十二中学）高二上学期月考第7题5分椭圆x 27+y 2b 2=1，过原点O 斜率为√3的直线与椭圆交于C ，D ，若|CD|=4，则椭圆的标准方程为（）．A.x 27+y 24=1 B. x 27+y 23=1 C. x 27+y 26=1 D. x 27+2y 27=18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第8题5分如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）．A. 43B. 83C. 4D. 89、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第9题5分定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +1)=f (1−x )，且x ∈[0,1]时，f (x )=2x −1，则f (log 28)=（）．A. −1B. 1C. 7D. −1210、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第10题5分点P 在函数y =ln⁡x 的图象上，若满足到直线y =x +a 的距离为√2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（）．A. 1B. −3C. 2D. −2√211、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第11题5分重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）．A. y=0.45cos⁡23xB. y=4.5cos⁡23xC. y=0.9cos⁡32xD. y=9cos⁡32x12、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第12题5分若P是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a,b>0)在第一象限上一点，F1，F2为双曲线C的左右焦点，|PF2|=2b，点Q(a2,0)到直线PF1，PF2距离相等，则双曲线C的离心率为（）．A. 53B. 32C. 43D. 54二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第13题5分若变量x，y满足约束条件{x+y−1⩽03x−y+1⩾0x−y−1⩽0，则z=2x+3y的最大值为．14、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第14题5分已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=1，c=√7，则BC边上的高为．15、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第15题5分《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由右图的直角梯形以底边AB为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为立方米．16、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第16题5分已知f(x)=4sin⁡x+3cos⁡x，f(x)向右平移α(0<α<π)个单位后为奇函数，则tan⁡α=，若方程f(x)−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第17题12分正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 求数列{a n+n}的前n项和T n．18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第18题12分在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．(1) 计算a，b，c．(2)在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．①写出各组中抽取人数．②访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．19、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第19题12分正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为CC1中点，AB=2．(1) 求证：平面ADB1⊥平面ABB1A1．(2) 若AD与平面ABB1A1所成角为π4，求四棱锥A−BCDB1的体积．20、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第20题12分已知圆C:x2+(y−3)2=8和动圆P:(x−a)2+y2=8交于A，B两点．(1) 若直线AB过原点，求a．(2) 若直线AB交x轴于Q，当△PQC面积最小时，求|AB|．21、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第21题12分已知f(x)=−12x2+x−cos⁡x−k．(1) 若f(x)的一条切线为y=x，求此时的k．(2) 求使得f(x)>0有解的最大整数k．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第22题10分在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：{x=tcos⁡αy=2√33+tsin⁡α(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]，直线l与曲线C交于两不同的点M，N．(1) 写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程，并求α的范围．(2) 求MN中点P轨迹的参数方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第23题10分已知对于任意x⩾−1，不等式(1+x)3⩾1+3x成立．(1) 求证：对于任意x⩾−1，(1+x)4⩾1+4x．(2) 若a >0，b >0，求证：(a +b )4⩾a 4+4a 3b ．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】 3;14 、【答案】 √32;15 、【答案】 15π;16 、【答案】 34;[245，5);17 、【答案】 (1) a n =2n−1． ;(2) T n =2n −1+n(n+1)2．;18 、【答案】 (1) {a =9c =6b =6．;① 3，2，2．② 121．;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) √6．;20 、【答案】 (1) ±3．;(2) √14．;21 、【答案】 (1) −1．;(2) 0．;22 、【答案】 (1) 直线l 的普通方程为：sin⁡α⋅x =cos⁡α(y −2√33)，曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2=4(y ⩾0)，求α的范围：α∈[0,π6]∪[5π6,π)． ; (2) {x =−2√33sin⁡αcos⁡αy =2√33−2√33sin 2α（α为参数，α∈[0,π6]∪[5π6,π))． ;23 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) 证明见解析．。

2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(有解析)

2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 是虚数单位，则复数i 3+1i =( )A. −iB. iC. −2iD. 2i2. “函数f(x)=log a x 在(0,+∞)上是增函数”是“函数g(x)=x 2+2ax +1在(1,+∞)上是增函数”的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，且PA =12，则点P 到BD 的距离为( )A. 6√6B. 6√3C. √2D. 6√54. 已知α∈(0,π4)，cos2α=45，则sin 2(α+π4)=( )A. 15B. 25C. 35D. 455. 已知△ABC 中，a =2，sinA ：sinB =√3：3，则边b =( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 36. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3，则z =yx 的最大值为( )A. 12B. 54C. 2D. 47. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 12B. 15C. 18D. 218. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 9. 某一算法框图如图，输出的S 值为( )A. √32B. −√32C. √3D. 010. 设偶函数f(x)在R 上存在导数f′(x)，且在(−∞,0)上f′(x)<x ，若f(1−2m)−f(m)≥12[(1−2m)2−m 2]，则实数m 的取值范围为( )A. [1,+∞)∪(−∞,13] B. [13,1]C. [13,+∞)D. (−∞,−12]∪[12,+∞)11. 在△ABC 中，D 是边BC 上一点，AB =AD =√22AC ，cos∠BAD =13，则sinC =( )A. √23B. √33C. √63D. √3212. 正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合A ={x |0<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =______．14. 若数列{a n }中a n =−n 2+6n +7，则其前n 项和S n 取最大值时，n = ______ ． 15. 已知椭圆x 216+y 29=1，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|F 1F 2|= ______ ．16. 先将函数f(x)=sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[20,25)之间的工人有6位．(Ⅰ)求m；(Ⅱ)工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？18.如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB=π，3点D是线段BC的中点．(Ⅰ)求证：A1C//平面AB1D；(Ⅱ)当三棱柱ABC−A1B1C1的体积最大时，求三棱锥A1−AB1D的体积．19.已知数列{a n}满足a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，设b n=a n，n∈N∗．n(Ⅰ)证明：{b n}是等差数列；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{b n2n20.如图，已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|=16．(1)求抛物线C的方程．(2)试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=ax −lnx −1(a ∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a =0，令g(x)=f(tx +1)+3x+2x+2，若x 1，x 2是g(x)的两个极值点，且g (x 1)+g (x 2)>0，求正实数t 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+cosαy =3+sinα，(α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(3,π2)． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过A 作曲线C 的切线，切点为M ，过O 作曲线C 的切线，切点为N ，求|ON||AM|．23.已知函数f(x)=|ax−2|．(1)当a=4时，求不等式f(x)+|4x+2|≥8的解集；(2)若x∈[2,4]时，不等式f(x)+|x−3|≤x+3成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．用复数的运算即可求解．=−i−i=−2i，解：由i 3+1i故选C．2.答案：A解析：根据函数单调性的性质求出对应的a的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质求出a的取值范围是解决本题的关键．解：若函数f(x)=log a x在(0,+∞)上是增函数，则a>1．若函数g(x)=x2+2ax+1在(1,+∞)上是增函数，则对称轴x=−a≤1，即a≥−1，∴“函数f(x)=log a x在(0,+∞)上是增函数”是“函数g(x)=x2+2ax+1在(1,+∞)上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．3.答案：A解析：本题经过正方形ABCD的顶点A作正方形所在平面的垂线，求垂线上一点P到正方形对角线BD的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和空间距离的求法等知识，属于中档题．连结AC交BD于O，由线面垂直的判定与性质证出BD⊥平面PAC，从而得到PO⊥BD，可得PO长就是点P到BD的距离．在Rt△PAO中，利用勾股定理算出PO，即可得到点P到BD的距离．解：如图，连结AC交BD于O，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴结合AC 、PA 是平面PAC 内的相交直线，得BD ⊥平面PAC ， ∵PO ⊂平面PAC ，∴PO ⊥BD ，可得PO 长就是点P 到BD 的距离， ∵Rt △PAO 中，PA =12，AO =√22AB =6√2，∴PO =√PA 2+AO 2=√122+(6√2)2=6√6．故选：A ．4.答案：D解析：解：∵α∈(0,π4)， ∴2α∈(0,π2)，又∵cos2α=45，∴sin2α=√1−cos 22α=√1−(45)2=35． ∴sin 2(α+π4)=1−cos(2α+π2)2=1+sin2α2=1+352=45．故选：D ．由已知条件可求出sin2α，再由三角函数的诱导公式化简计算即可得答案．本题考查了三角函数的诱导公式，考查了三角函数基本关系式的应用，是基础题．5.答案：B解析：解：已知△ABC 中，a =2，sinA ：sinB =√3：3，则a ：b =√33，∴b =2√3，故选B ．△ABC 中，根据a =2，sinA ：sinB =√3：3，利用正弦定理可得a ：b =√33，从而求得b 的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6.答案：C解析：解：作出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3对应的平面区域如图：则z =yx 的几何意义为动点P 到原点的斜率，由图象可知当P 位于A 时，直线AO 的斜率最大，由{x +y =3x −y =−1解得A(1,2) 此时z =21=2，故选：C ．作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．7.答案：C解析：本题主要考查由三视图还原几何体，求几何体的体积．解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，如图所示：其体积为：12×4×3×3=18，故选C ．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的线性运算，属基础题．由平面向量的加减法得：：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解．解：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选A ．9.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S =sin π3+sin 2π3+sinπ+⋯+sin2016π3的值，由于y =sinnπ3的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336，故S =sin π3+sin 2π3+sinπ+⋯+sin2016π3=336×0=0，故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．10.答案：A解析：解：令g(x)=f(x)−12x 2，则g′(x)=f′(x)−x ，由在(−∞,0)上，f′(x)<x ，f(x)是偶函数，则g(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，若f(1−2m)−f(m)≥12[(1−2m)2−m 2]，则g(1−2m)≥g(m)，则|1−2m|≥|m|，解得：x ≥1或x ≤13，故选：A ．令g(x)=f(x)−12x 2，根据函数的单调性问题转化为|1−2m|≥|m|，解出即可．本题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．11.答案：B解析：【试题解析】解：如图所示，不妨设AC=2，∵AB=AD=√22AC，∴AB=AD=√2．∵cos∠BAD=13，∴13=cos(π−2B)=−cos2B，∴13=2sin2B−1，解得sinB=√63．∵bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =√2×√632=√33．故选：B．如图所示，不妨设AC=2，由AB=AD=√22AC，可得AB=AD=√2.由cos∠BAD=13，可得13=cos(π−2B)=−cos2B，解得sinB.再利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用、三角形内角和定理、倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．连接AC、BD，交于点O，连接PO，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与PC所成的角．解：连接AC、BD，交于点O，连接PO，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，∵正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点， ∴OA =OB =√3+32=√62， OP =√2−64=√22， ∴A(√62,0，0)，P(0,0，√22)，E(√64,0，√24)，B(0,√62,0)，C(−√62,0，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√64,−√62,√24)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,0，−√22)，设异面直线BE 与PC 所成的角为θ，则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=12，∴θ=π3，∴异面直线BE 与PC 所成的角为π3．故选：C ．13.答案：(0,+∞)解析：本题考查并集的运算，属基础题．根据并集定义求解即可．解：集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x >1}，根据并集定义得A ∪B =(0,+∞)，故答案为(0,+∞)．14.答案：6或7解析：解：数列{a n}中，∵a n=−n2+6n+7=−(n−3)2+16，∴由a n≥0，得n−3≤4．∴a6=7，a7=0，a8=−9，∴前n项和S n取最大值时，n=6，或n=7．故答案为：6或7．数列{a n}中，由a n=−n2+6n+7=−(n−3)2+16，知a6=7，a7=0，a8=−9，由此能求出前n项和S n取最大值时，n的值．本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．15.答案：2√7解析：解：椭圆x216+y29=1的a=4，b=3，c=√a2−b2=√7，即有|F1F2|=2√7．故答案为：2√7．求出椭圆的a，b，再由c=√a2−b2，即可得到所求焦距2c．本题考查椭圆的方程，主要考查椭圆的焦距的求法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：g(x)=sin (x−π6)解析：本题考查三角函数的变换，属于基础题．由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得答案．解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象，故答案为．17.答案：解：(Ⅰ)根据直方图可知产品件数在[20,25)内的人数为m×5×0.06=6，则m=20(位).(6分)(Ⅱ)根据直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)，[20,25)组内的人数分别为2，4．设这2位工人不在同一组为A事件，低于20件产品的工人选取2位有C62=15种，这2位工人不在同一组的有2×4=8，．则P(A)=815.(12分)答：选取这2人不在同组的概率为815，由此计算产品件数在[20,25)内的人数；解析：(1)由频率的意义可知，每小组的频率=频数总人数(2)根据概率公式计算，事件“低于20件产品的工人选取2位”有15种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“这2位工人不在同一组”可能种数是8，那么即可求得事件A的概率．此题考查了对频数分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且．这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn18.答案：(Ⅰ)证明：设A1B∩AB1=O，连接OD，则OD为三角形A1BC的中位线，∴A1C//OD，OD在平面AB1D内，A1C不在平面AB1D内，∴A1C//平面AB1D.(Ⅱ)解：当三棱柱ABC−A1B1C1的底面积最大时，体积最大，≥2AC⋅BC−AC⋅BC=AC⋅BC，4=AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosπ3当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值，∵A1C//平面AB1D，∴点A1和C到平面AB1D的距离相等，∴V A1−AB1D =V C−AB1D=V B1−ACD=13S△ACD⋅BB1=√33．解析：(Ⅰ)设A1B∩AB1=O，连接OD，利用三角形的中位线定理可得：A1C//OD，利用线面平行的判定定理即可证明；(Ⅱ)当三棱柱ABC−A1B1C1的底面积最大时，体积最大，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值．由于A1C//平面AB1D，可得点A1和C到平面AB1D 的距离相等，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、余弦定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．19.答案：解：(I)∵a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，∴a n+1n+1−a nn=2，∴b n+1−b n=2，又b1=a11=1．∴{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(Ⅱ)由(I)可得：b n=1+2(n−1)=2n−1．∴b n2n =2n−12n．∴数列{b n2n }的前n项和T n=12+322+523+⋯…+2n−12n．1 2T n=122+323+⋯…+2n−32n+2n−12n+1，∴12T n=12+2(122+123+⋯…+12n)−2n−12n+1=12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1，∴T n=3−2n+32n．解析：(I)由a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，化为a n+1n+1−a nn=2，即b n+1−b n=2，又b1=a11=1.即可证明．(Ⅱ)由(I)可得：b n=2n−1.可得b n2n =2n−12n.利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)当l的斜率为1时，∵F(p2,0)，∴l的方程为y=x−p2．由{y =x −p2,y 2=2px,得x 2−3px +p 24=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p ， ∴|MN|=x 1+x 2+p =4p =16，p =4， ∴抛物线C 的方程为y 2=8x ．(2)假设满足条件的点P 存在，设P(a,0)，由(1)知F(2,0)， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)，由{y =k(x −2),y 2=8x,得k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0， △=(4k 2+8)2−4⋅k 2⋅4k 2=64k 2+64>0，x 1+x 2=4k 2+8k 2，x 1x 2=4．∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴k PM +k PN =0，k PM =k(x 1−2)x 1−a，k PN =k(x 2−2)x 2−a．∴k(x 1−2)(x 2−a)+k(x 2−2)(x 1−a)=k[2x 1x 2−(a +2)(x 1+x 2)+4a]=−8(a+2)k=0，∴a =−2时，此时P(−2,0)．②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可．综上，存在唯一的点P(−2,0)，使直线PM ，PN 关于x 轴对称．解析：考查抛物线的性质及直线与抛物线综合应用，属于中档题．(1)由直线l 的斜率及过的点写出直线方程与抛物线联立求出两根之和，根据抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，再由相交弦长的值求出p 值，进而求出抛物线的方程；(2)分直线MN 的斜率存在和不存在两种情况，假设存在这样的P 点，设P 的坐标，设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出PM ，PN 的斜率，由直线PM ，PN 关于x 轴对称，可得斜率之和为0，求出P 的坐标．21.答案：解：(1)x∈(0,+∞)，f′(x)=a−1x =ax−1x，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上为减函数，当a>0时，x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，综上所述，当a≤0时，f(x)减区间为(0,+∞)，当a>0时，f(x)减区间为(0,1a )，f(x)增区间为(1a,+∞)．(2)g(x)=f(tx+1)+3x+2x+2=2xx+2−ln(tx+1)，g′(x)=4(x+2)2−ttx+1=−tx2+4(t−1)(tx+1)(x+2)2，当t≥1时，g′(x)<0恒成立，故g(x)在x∈(0,+∞)上为减函数，不成立．∴0<t<1，令g′(x)=0，得x1=−2√1−tt ，x2=2√1−tt，∵g(x)有两个极值点，∴g′(x)=0有2个根，故必有−2√1−tt >−1t且−2√1−tt≠−2，得0<t<12或12<t<1，且x1为极小值点，x2为极大值点，g(x1)+g(x2)=2x1x1+2−ln(tx1+1)+2x2x2+2−ln(tx2+1)=4x1x2+4(x1+x2)x1x2+2(x1+x2)+4−ln[t2x1x2+t(x1+x2)+1]=4(t−1)2t−1−ln(2t−1)2=2−22t−1−ln(2t−1)2，令u=2t−1，0<t<1且t≠12，当0<t<12时，−1<u<0，12<t<1时，0<u<1，令ℎ(u)=2−2u −lnu2(0<t<1且t≠12)，当−1<u<0时，ℎ(u)=2−2u −2ln(−u)，ℎ′(u)=2−2uu2>0，∴ℎ(u)在u∈(−1,0)上为增函数，∴ℎ(u)>ℎ(−1)=4>0，故当0<t<12时，g(x1)+g(x2)>0成立，当0<u <1时，ℎ(u)=2−2u −2lnu ，ℎ′(u)=2−2u u 2>0，ℎ(u)在u ∈(0,1)上单调递增，∴ℎ(u)<ℎ(1)=0，故当12<t <1时，g(x 1)+g(x 2)<0，综上所述，t ∈(0,12)．解析：本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出0<t <12或12<t <1，得到x 1为极小值点，x 2为极大值点，求出g(x 1)+g(x 2)=2−22t−1−ln(2t −1)2，令u =2t −1，0<t <1且t ≠12，根据函数的单调性求出t 的具体范围即可．22.答案：解：(1)由{x =2+cosαy =3+sinα消去α得曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=1，即x 2+y 2−4x −6y +12=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2得曲线C 的极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ−6ρsinθ+12=0 (2)点A 的极坐标为(3,π2).所以点A 的极坐标为A(0,3)， |AC|=2，|OC|=√22+32=√13，∴|AM =√|AC|2−1=√4−1√3，|ON|=√|OC|2−1=√13−1=2√3， ∴|ON||AM|=√3√3=2．解析：(1)由{x =2+cosαy =3+sinα消去α得曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=1，即x 2+y 2−4x −6y +12=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2得曲线C 的极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ−6ρsinθ+12=0(2)利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(1)当a =4时，原不等式即|4x −2|+|4x +2|≥8，即|2x −1|+|2x +1|≥4，当x ≥12时，原不等式等价于(2x −1)+(2x +1)≥4，解得x ≥1，当−12<x <12时，原不等式等价于(1−2x)+(2x +1)≥4，不等式无解；当x≤−12时，原不等式等价于(1−2x)−(2x+1)≥4，解得x≤−1．综上，原不等式的解集为(−∞,−1]∪[1,+∞)(2)由f(x)+|x−3|≤x+3得|ax−2|+|x−3|≤x+3(∗)，当x∈[2,3]时，(∗)等价于|ax−2|+3−x≤x+3，即|ax−2|≤2x，即|a−2x |≤2，所以−2+2x≤a≤2+2x，因为13≤1x≤12，所以2+2x的最小值为83，−2+2x最大值为−1．所以−1≤a≤83，当x∈(3,4]时，原不等式等价于|ax−2|+(x−3)≤x+3，所以|ax−2|≤6，所以−6≤ax−2≤6，即−4≤ax≤8．所以−4x ≤a≤8x，因为14≤1x≤13，所以8x的最小值为2，−4x的最大值为−1，所以−1≤a≤2，综上，a的取值范围是[−1,2]．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，考查推理论证能力，运算求解能力，化归与转化能力，分类与整合思想，属中档题．(1)分3段去绝对值解不等式，再相并；(2)按照2种情况分类讨论去绝对值可得．。

2020届重庆市南开中学高三高考模拟数学(文)试题解析

2020届重庆市南开中学高三高考模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|||1,},{1,2,3}A x x x Z B =∈=，则A B 为（）A ．{}1-B ．{}1C ．{1,0,1}-D ．∅答案：B先求出集合A ，再求A B .解：解：由||1x 得，11x -，因为x ∈Z ，所以{1,0,1}A =-，因为{1,2,3}B =，所以{}1A B ⋂=，故选：B 点评：此题考查了集合的交集运算，考查绝对值不等式，属于基础题. 2．设i 是虚数单位，若复数1z ii=+，则z 的共轭复数为（） A ．1122i + B ．112i +C ．112i -D ．1122i - 答案：D利用复数的四则运算化简z ，再得出z 的共轭复数. 解：(1)111(1)(1)222i i i z i i i -+===++-1122z i ∴=- 故选：D 点评：本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题. 3．下列函数中，值域是R 且是奇函数的是（） A ．31y x =+ B ．sin y x =C ．3y x x =-D ．2x y =答案：C根据基本函数的值域及其奇偶性一一分析选项中的函数即可. 解：A 项中，31y x =+的值域是R ，但不是奇函数；B 项中，sin y x =的值域是[]1,1-，是奇函数；C 项中，3y x x =-的值域是R ，且是奇函数；D 项中，2x y =的值域是()0,∞+，不是奇函数. 故选：C. 点评：本题主要考查基本函数的值域和奇偶性，属于简单题.4．向量(3,),(1,2)a m b ==，若()a b b +⊥，则m =（） A ．4- B ．32-C ．0D ．6答案：A由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求出m 的值．解：解：向量(3,),(1,2)a m b ==，()(4a b ∴+=，2)m +，若()a b b +⊥，则()(4a b b +=，2)(1m +，2)4240m =++=，则4m =-，故选：A ．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5．已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（） A ．0 B ．2 C ．3 D ．4答案：B根据四种命题真假性的相互关系，判断出真命题的个数. 解：由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B点评：本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题.6．2019年被誉为“5G商用元年”．6月，5G商用牌照正式发放；9月，5G套餐开启预约；11月，5G套餐公布；12月，5G手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（）A．相关活动是5G信息走势的关键性节点B．月均信息量超过600万条C．第四季度信息量呈直线增长态势D．月信息量未出现持续下降态势答案：B根据信息量走势图的信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.解：A. 由图可知6月，9月，12月都是图象的走势变化的关键点，所以判断正确.B. 2019年与“5G”相关的信息量高达6875.4万条，则月均信息量不超过600万条，所以判断不正确.C. 由图可知10月、11月、12月的信息量呈直线增长态势，所以判断正确.D. 由图可知月信息量未出现连续几个月持续下降态势，所以判断正确.故选：B.本题考查对图表信息的处理，关键是读懂图表，属于基础题.7．椭圆22217x y b+=，过原点O 斜率为3的直线与椭圆交于C ，D ，若||4CD =，则椭圆的标准方程为（）A ．22174x y +=B ．22173x y +=C ．22176x y +=D ．222177x y +=答案：D先利用直线斜率和弦长求出C 点的坐标，然后将点C 代入椭圆方程，解出2b ，从而得到椭圆方程. 解：由题意可知，直线CD 的方程为3y x =，直线倾斜角为3π，不妨设C 点在第一象限，则2OC =，因此可得(1,3)C ，又点C 在椭圆22217x y b+=上，所以22137172b b +=⇒=，所以椭圆的标准方程为222177x y +=，故选：D. 点评：本题主要考查了椭圆方程的求法，结合了直线与弦长等相关知识，难度不大. 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A ．43B ．83C ．4D ．8首先把三视图转换为直观图，进一步求几何体的体积. 解：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示的三棱锥，所以11822222323V =⨯⨯⨯⨯=，故选：B点评：此题考查三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题.9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则()2log 8f =（） A ．1- B ．1C ．7D ．12-答案：A由题可得2(log 8)(3)(1)f f f ==-，然后结合奇偶性，即可利用解析式求出答案. 解：(1)(1)f x f x +=-， 2(log 8)(3)(1)f f f ∴==-，又()f x 是奇函数，且[]0,1x ∈时，()21xf x =-，1(1)(1)211f f ∴-=-=-+=-， 2(log 8)1f ∴=-，故选：A. 点评：本题综合考查了函数奇偶性和对称性的应用，考查简单的指、对数计算，难度不大. 10．点P 在函数ln y x =的图象上，若满足到直线y x a =+2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（）A ．1B ．3-C ．2D ．22-答案：B利用导数求得函数ln y x =导数为1处的切点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，由此求得a 的值. 解：对于函数ln y x =，定义域为()0,∞+，'1y x =在()0,∞+上为减函数，令'11y x==，解得1x =，故函数ln y x =导数为1处的切点坐标为1,0A ，点1,0A 到直线0x y a -+=的距离为122a +=，解得1a =或3a =-.结合图象可知，要使满足到直线y x a =+的距离为2的点P 有且仅有3个，则1a =不符合，所以3a =-. 故选：B点评：本小题主要考查利用导数求与切线有关的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11．重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m ，两端引桥各有190m ，主桁最高处距离桥面89.5m ，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）A ．20.45cos 3y x =B ．24.5cos 3y x = C ．30.9cos 2y x =D ．39cos2y x = 答案：A设余弦函数为()cos f x A wx =，结合三角函数的图象与性质，求得()c 89.52466os f x x π=，再结合选项，即可求解. 解：设主桁（图中粗线）部分对应的余弦函数为()cos f x A wx =，可得函数的周期为5521902932T =+⨯=，即2932466w ππ==，又由289.5A =，解得89.52A =，所以函数的解析式为()c 89.52466os f x x π=，按1:100的比例等比变换，可得()co 89.5100200s 466f x x π=，对比选项，可得与函数20.45cos 3y x =相似.故选：A. 点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.12．若P 是双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>在第一象限上一点，12,F F 为双曲线C 的左右焦点，22PF b =，,02a Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等，则双曲线C 的离心率为（） A ．53B ．32C ．43D ．54答案：D先根据双曲线的定义得122PF b a =+，22PF b =，再,02a Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等得Q 在12F PF ∠的角平分线上，在根据等面积法，有12=F PQ F PQS S222a b b +22a c a c +=-，化简即可求解. 解：如图，由双曲线的定义得12=2PF PF a -，22PF b =，所以122PF b a =+，又因为,02a Q ⎛⎫⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等，所以Q 在12F PF ∠的角平分线上，即12F PQ F PQ ∠=∠，所以1211221sin 22212sin 2F PQ F PQ F P PQ F PQ S a bS b F P PQ F PQ ⋅∠+==⋅∠，另一方面，设P 到12F F 的距离为d ，则1212122122F PQ F PQ a QF d c S aS QF d c ⋅+==⋅-，所以222a b b +22a c a c +=-，整理得54a c =，所以54c e a ==. 故选：D. 点评：本题考查双曲线的离心率的求解，注重利用定义和合理的转化问题是关键，是中档题.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则23z x y =+的最大值为__________．答案：3画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 解：如图所示：画出可行域，23z x y =+，即233zy x =-+，z 表示直线在y 轴截距的3倍，根据图象知，当直线过点()0,1，即0,1x y ==时，z 最大为3. 故答案为：3.点评：本题考查了线性规划问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图象是解题的关键.14．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2,1,7a b c ===则BC 边上的高为________．答案：32先利用余弦定理求出角C ，然后利用面积法可求出BC 边上的高. 解：解：由余弦定理得，2224171cos 242a b c C ab +-+-===-，213sin 1sin 14C C =-=-=, 设BC 边上的高为h ，则11sin 22BC h ab C ⋅=,所以sin 3sin 2ab C h b C a ===, 故答案为：3 点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题.15．《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边AB 为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．答案：21π由题意可知此几何体是由一个圆柱和一个圆锥组合而成的，其体积是两个几何体的体积之和. 解：解：由题意可知，此几何体是底面半径为3，高为2的圆柱和底面半径为3，高为1的圆锥组合而成的，所以其体积为22132+31=213πππ，故答案为：21π 点评：此题考查求组合体的体积，利用了圆柱和圆锥的体积公式，属于基础题.三、双空题16．已知()4sin 3cos f x x x =+，()f x 向右平移(0)ααπ<<个单位后为奇函数，则tan α=________，若方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，则m 的取值范围是________．答案：34 24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭化简函数()5sin()f x x ϕ=+，其中3tan 4ϕ=，根据三角函数的图象变换和三角函数的性质，求得αϕ=，求得3tan tan 4αϕ==，把方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，转化为函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 解：由题意，函数()4sin 3cos 5sin()f x x x x ϕ=+=+，其中3tan 4ϕ=，因为()f x 向右平移α个单位后，可得()5sin[()]5sin()g x x x αϕαϕ=-+=-+，又由()5sin()g x x αϕ=-+为奇函数，所以,k k Z ϕαπ-=∈，即,k k Z αϕπ=-∈，又因为0απ<<，所以αϕ=，所以3tan tan 4αϕ==. 由方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，即方程()f x m =在[,]απ上恰有两个不等的根，即函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点，因为[,]x απ∈，即[,]x ϕαϕπϕ+∈++，又由3tan tan 14αϕ==<，且0απ<<，且αϕ=，所以02παϕ<+<，所以当2x πϕ+=，函数()f x 取得最大值，最大值为5；当x ϕπϕ+=+，即x π=，函数()f x 取得最小值，最小值为3-；当x ϕαϕ+=+，即x αϕ==，函数()34244sin 3cos 43555f ϕϕϕ+=⨯+⨯==，要使得函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点，则2455m ≤<，即实数m 的取值范围是24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：34，24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 点评：本题主要考查了三角恒等变换的化简，三角函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题17．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ．答案：（1）12n na ；（2）n T (1)212nn n +=-+. （1）首先判断公比不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）可得12n n a n n -+=+，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：解：（1）若公比1111,2166q a a a =+=，不成立；则()()()2461111,1411111a a aq q q q q q q≠-+-=---- 由于正项等比数列，210q -≠，所以()2241411qqq ++=++，所以42340q q --=所以24q =，解得2q或2q =-（舍去）所以12n na ；（2）()1122(12)n n T n -=+++++++(1)212n n n +=-+点评：本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和化简运算能力，属于中档题．18．在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．（1）计算a ，b ，c ；（2）在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．（i ）写出各组中抽取人数；（ii ）访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．答案：（1）966a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）（i ）3，2，2；（ii ）121. （1）根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案. （2）（i ）首先求出抽样比，再每层抽取即可. （ii ）利用古典概型求概率即可. 解：（1）由题知：274463044918434a b a c b c +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：966a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩.（2）（i ）记同时观看了《机长》和《祖国》的为A 组，共有9人，同时观看了《机长》和《攀登者》为B 组，共有6人，同时观看《祖国》和《攀登者》为C 组，共有6人. 抽样比719663==++所以A 组抽取3人，设为123,,A A A ，B 组抽取2人，设为12,B B ，C 组抽取2人，设为12,C C .（ii ）在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，为12,B B . 从7人中选2人共有12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，11A C ，12A C ，23A A ，21A B ，22A B ，21A C ，22A C ，31A B ，32A B ，31A C ，32A C ，12B B ，11B C ，12B C ，21B C ，22B C ，12C C ，共21种，则2人都没有观看《我和我的祖国》的只有12B B一种，概率是121. 点评：本题主要考查古典概型，同时考查了分层抽样，考查了学生分析问题的能力，属于简单题.19．正三棱柱111ABC A B C -中，D 为1CC 中点，2AB =．（1）求证：平面1ADB ⊥平面11ABB A ；（2）若AD 与平面11ABB A 所成角为4π，求四棱锥1A BCDB -的体积．答案：（1）证明见解析；（26.（1）取1AB 和11A B 中点,E F ，连接1,,DE EF FC ，根据等腰三角形的性质，证得1DE AB ⊥，在线面垂直的性质，证得1AA DE ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得DE ⊥面11ABB A ，进而证得平面1ADB ⊥平面11ABB A ；（2）由（1），得到AD 与平面11ABB A 所成角，即为4EAD π∠=，进而求得1132A BCDB A BCB V V --=，再利用三棱锥的体积公式，求得1A BCB V -，即可求解. 解：（1）取1AB 中点E ，连接DE ，取11A B 中点F ，连接1,EF FC ，由于是正棱柱，1CC ⊥面111A B C ，从而11CC FC ⊥ 由于D 为1CC 中点，1111,CC AC CC B C ⊥⊥，所以2222112,2AD CD B D C D =+=+，1AD B D =，在1AB D ∆中，因为E 为1AB 的中点，所以1DE AB ⊥又因为E ，F 分别为111,AB A B 中点，所以1//EF DC 且1EF DC =，则四边形1EFC D 为平行四边形，所以1//DE FC ，由正棱柱111ABC A B C -，可得1AA ⊥面111A B C ，所以11AA FC ⊥，所以1AA DE ⊥，又由11AA AB A =，所以DE ⊥面11ABB A ，又因为DE ⊂面1ADB ，所以平面1ADB ⊥平面11ABB A .（2）由（1）知DE ⊥面11AA B B ，可得AD 与平面11ABB A 所成角，即为4EAD π∠=，又由13DE FC ==，则264AD CD ==+，所以12,22CD CC ==所以11(222)2322BCDB S =+⋅⋅=，11222222BCB S =⋅⋅=，则1132A BCDB A BCB V V --=，又由而11111112222363323A BCBC ABB ABB V V S CF --==⋅=⋅⋅⋅⋅=，所以1236632A BCDB V -=⋅=点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及四棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的体积公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.20．已知圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=交于A ，B 两点．（1）若直线AB 过原点，求a ；（2）若直线AB 交x 轴于Q ，当PQC △面积最小时，求||AB ．答案：（1）3a =±；（2（1）由圆C 和动圆P 交于A ，B 两点，得到PC <解得a 的范围，再由两圆相减，求得公共弦直线方程，根据直线AB 过原点，即可求得实数a 的值；（2）由公共弦的直线方程，求得点Q 的坐标，求得PQCS 取最小值时a 的值，得到AB额方程，再结合圆的弦长公式，即可求解. 解：（1）由圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=，可得圆心坐标分别为(0,3),(,0)C P a ，半径都是r =因为圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=交于A ，B 两点，可得圆心距小于半径之和，PC <即229a +<，解得a << 又由两圆相减，可得公共弦直线2:692AB y ax a -+=-+，因为直线AB 过原点，可得29a =，解得3a =±，检验成立，所以实数a 的值为3±.（2）由直线2:692AB y ax a -+=-+，令0y =，即292ax a -+=，解得192Q x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即19((),0)2Q a a- 则1919||22PQ a a a a a⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以139||3922PQCSPQ a a=⋅=+≥当且仅当3a =±时取得等号，且满足(a ∈，此时直线:AB y x =±，又由圆心到直线距离为d =，所以弦长为=点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系，以及直线与圆的弦长公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 21．已知21()cos 2f x x x x k =-+--．（1）若()f x 的一条切线为y x =，求此时的k ；（2）求使得()0f x >有解的最大整数k ．答案：（1）1k =-；（2）0.（1）若设切点横坐标为t ，则()1f t '=，化简得sin 0t t -=，通过构造函数得0t =，从而可得切点坐标为(0,0)，再将切点坐标代入函数式中可得k 的值；（2）()0f x >等价于21cos 2x x x k -+->，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值，而()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤，所以()h x '单减，通过赋值得到()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，进而有()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，然后利用导数求()0h x 范围即可. 解：解：（1）设切点横坐标为t ，()1sin 1,sin 0f t t t t t '=-++=-=()sin ,()cos 10g x x x g x x '=-=-≤，所以()g x 恒单减，而()00g =所以0t =，从而()00f =得1k =- （2）由题意，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤，从而()h x '单减，而22220,120223233h h πππππ⎛⎫⎛⎫''=->=+-<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，所以()h x 在()0,x -∞单增，()0,x +∞单减则()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，而()0001sin 0h x x x '=-++=所以()()2000011sin 1sin cos 2h x x x x =-+++- ()2220000001111sin 1cos 2cos 1cos cos cos 222x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-++-=--+-=-⎣⎦⎣⎦ 由于0021,,cos ,0232x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()200113cos 10,224h x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以整数k 最大值为0．点评：此题考查导数的几何意义及综合应用，通过导数研究函数的单调性、零点等，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：cos sin 3x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2[0,]ρθπ=∈，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围；（2）求MN 中点P 轨迹的参数方程．答案：（1）sin cos cos 3x y ααα⋅-⋅=-；224(0)x y y +=≥；50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭；（2）2cos sin 33x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数，50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（1）利用加减消元法求得直线l 的普通方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线C 的直角坐标方程，结合图象求得α的范围.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据根与系数关系求得P点对应的参数P t ，将P t 代入直线l 的参数方程，求得P 轨迹的参数方程. 解：（1）由cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩①②，sin cos αα⨯-⨯①②得直线l的普通方程为：23 sin cos cos3x yααα⋅-⋅=-；由2ρ=，两边平方得224x y+=，由于[0,]θπ∈，所以曲线C的直角坐标方程为：224(0)x y y+=≥，直线l过20,33A⎛⎫⎪⎝⎭，倾斜角α，与曲线C有两个公共点，由图可知在直线过()()2,0,2,0C B-时为临界情况，33,33AB ACk k=-=，所以倾斜角50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（2）直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程：2124423sin0,3sin3323Pt tt t tαα++⋅+===，将P t代入直线l的参数方程并化简得到中点P轨迹的参数方程：223cos2323xyααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭）.点评：本小题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的运用，属于中档题.23．已知对于任意1x-，不等式3(1)13x x++成立．（1）求证：对于任意1x -，4(1)14x x ++；（2）若0a >，0b >，求证：443()4a b a a b ++．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）由1x -得10x +≥，然后给不等式3(1)13x x ++同乘以1x +，化简后再利用放缩法可得结论；（2）利用分析法可得只需4114b b a a ⎛⎫+≥+⋅ ⎪⎝⎭成立即可，再结合（1）得到的结论可证明. 解：解：（1）因为1x ≥-，所以10x +≥ 因为3(1)13x x ++，所以32(1)(1)(13)(1)14314x x x x x x x ++≥++=++≥+，所以原不等式成立；（2）欲证443()4a b a a b +≥+只需43414a b a b a a +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭4114b b a a ⎛⎫⇐+≥+⋅ ⎪⎝⎭（）由于,0a b >，所以01ba>>-，由（1）知取bx a=时（）式成立，从而原不等式得证．点评：此题考查不等式的证明，考查分析法证明不等式，属于中档题.。

【附20套高考模拟试题】2020届重庆南开中学高考数学模拟试卷含答案

B．必要不充分条件
2．已知向量 a, b 满足 | a | 2,| b | 2 ，且 a (a 2b) ，则 b 在 a 方向上的投影为( )
A．1 B． 1 C． 2 D． 2
3．《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（） A．144 种 B．288 种 C．360 种 D．720 种
2020 届重庆南开中学高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1＝1，公差为 d，则“﹣1＜d＜0”是“S22+S52＜26”的（）
A．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（12 分）某区的区人大代表有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为 A1，
A2 ，乙校教师记为 B1 ， B2 ，丙校教师记为 C ，丁校教师记为 D .现从这 6 名教师代表中选出 3 名教师
组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每．校．至．多．选．出．1．名．.请列出十九大报告宣讲团
4．已知直线 y k(x 2)(k＞0) 与抛物线 C : y2 8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若 FA 2 FB ,
则 k=( )
1
22
22
A． 3 B． 3 C． 3 D． 3

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高2015级高三下学期高考考前模拟考试
数学试题（文史类）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上规定的位置上。

2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3、答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。

第I 卷（选择题共50分）
一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一是符合题目要求的。

1、设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2
z
的虚部为 A 、1-
B 、i -
C 、1
D 、1i -
2、已知等比数列{}n a 满足2
676a a =，则5a 的值为
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8
3、已知全集I 为实数集R ，集合{}
211,60M x
N x x x x ⎧⎫
=>=--<⎨⎬⎩⎭
都是全集I 的子集（如图所示），则图中阴影部分所表示的集合为 A 、()(),01,3-∞U B 、(][)1,01,6-U C 、(][)2,01,3-U
D 、(][)3,01,2-U
4、已知向量()()1,2,2,a b x =-=r r
，且()
//a b a +r r r ，则a b r r 与的夹角为
A 、0o
B 、45o
C 、90o
D 、180o
5、下列命题正确的是
A 、数据5,6,7,8,10的极差为5.6
B 、线性回归直线一定过样本中心点()
,x y C 、“p q ∧”为假是,p q 均为假的充要条件
D 、命题“若0x >，则2
0x >”的否命题是“若0x >，则2
0x <”
6、设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，则目标函数2z x y =-的取值范围为
A 、[]1,3-
B 、[]0,3
C 、[]3,1-
D 、[]3,3-
7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A 、()842π+
B 、()1642π+
C 、()1682π+
D 、8π
8、执行右图的程序框图，输出的S 的值为 A 、0 B 、1- C 、1
D 、212
--
9、设定义在R 上的奇函数()f x 满足()()32
210x
f x x x -=--≥，若不等式
()()2310f x ax f ax -++<对x R ∈都成立，则实数a 的取值范围是
A 、()1,1-
B 、[]1,1-
C 、(][),11,-∞-+∞U
D 、()(),11,-∞-+∞U
10、在ABC ∆中，边,,a b c 成等差数列，且公差7
0,sin 4
d B >=
，则cos cos A C -= A 、
12
32
C 、
52
D 、
72
第II 卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

11、在区间[]0,2π上任取一个实数x ，则使得sin 0x ≤成立的概率为。

12、右图是一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图，
则他在这5场比赛中得分的方差。

13、若直线20x ++=与圆2
2
:4O x y +=交于,A B 两点，则OA OB ⋅=u u u r u u u r。

14、函数()()22
log 4f x x x =-在区间1,42⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域是。

15、已知抛物线2
:4C y x =及直线:40l x y -+=，点P 是抛物线C 上的动点，记P 到y 轴的距离为1d ，P 到l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、已知数列{}n a 为等差数列，{}n a 的前n 项和为13,1,9n S a S ==。

（I ）求n n a S 与；
（II ）若数列{}n b n +为等比数列，且1122,b a b S ==，求n b 及数列{}n b 的前n 项和n T 。

17、有编号为1210,,,A A A L 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据：
其中直径在区间[]1.48,1.52内的零件为一等品。

（I ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（II ）从一等品零件中，随机抽取2个。

（i ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ii ）求这2个零件直径相等的概率。

18、已知函数())
cos cos f x x x x ωωω=+⋅（ω为常数，且()0,1ω∈），且()f x 图
象关于直线2
x π
=
对称。

（I ）求最小正周期及()f x 解析式；
（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的
13，再将所得图象向右平移6
π
个单位（纵坐标保持不变）得到()y h x =的图象，求函数()y h x =在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值并指出取最值时x 的值。

19、已知函数()2
x x f x e
=。

（I ）求()f x 的极值；
（II ）当曲线()y f x =的切线I 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。

20、如图，在四面体A BCD -中，,AD BCD BC CD ⊥⊥平面，
22,2BC CD AD ===。

M AD 是的中点，P BM 是的中点，
点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =。

（I ）证明：//PQ BCD 平面；（II ）求几何体PQMC 的体积。

21、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2
3
，1F 、2F 为其左、右焦点，点M
为椭圆C 的上顶点，且12MF F ∆的面积为25。

（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）如图，过圆2
2
2
x y b +=上一点P （点P 在y 轴右侧）作该圆的切线l ，交椭圆C 于A 、B 两点，求2AF B ∆的周长。