宁夏青铜峡市高级中学高中数学选修4-512绝对值三角不等式(3)(共11张PPT)
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
2020届宁夏青铜峡市高级中学(吴忠中学分校)高三上学期第二次月考数学(理)试题
2020届宁夏青铜峡市高级中学（吴忠中学分校）高三上学期第二次月考数学测试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}2468A =，，，，B={|x y =，则A B ⋂=（ ）A ．{}2B ．{}2,4C ．{}2,4,6D ．∅2．设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则()2f -， ()πf -， ()3f 的大小顺序是（ ）．A ．()()()π23f f f -<-<B ．()()()π32f f f -<<-C ．()()()π32f f f ->>-D ．()()()π23f f f ->-> 3．在复平面内，复数 （i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若集合，，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是： （ ） A ．exx f =)( B ．1()f x x x -=+ C ．1()f x x x -=- D ．x x f =)(6．若1311321(),2,32a b log c log ===，则的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．7．设向量， ，， ，，若，与，平行，则的值为（ ） A． BCD．8．下列判断错误．．的是（ ） A ．命题“若，则”是假命题 B ．命题“”的否定是“”C ．“若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题D ．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件9．曲线3ln 2y x x =++在点0p 处的切线方程为410x y --=，则点0p 的坐标是（ ）A ．（0,1）B ．(1,0)C ．（1，-1）D ．（10．如图，在ABC ∆中， ，P 是BN 上的一点， 若，则实数m 的值为（ ） A ．13 B ．19C ．1D ．3 11．函数2ln y x x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()f x 在0x >上可导且满足()()0xf x f x ->'，则下列一定成立的为（ ） A ．()()eff e ππ>B ．()()ff e π<C ．()()f f e eππ<D ．()()ff e π>二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知，且，则向量与向量的夹角是__________．14．已知函数)0,0)(sin(>>+=ωφωA x A y 在一个周期内的图象 如右图所示，则它的解析式为_ _。
新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式》ppt课件
从 不 等 式 的 背 景 可到 以,许 看多 不 等 关 系 都 涉 及 到 距 离短 的,面 长积 或 体 积 的 大 小,重 量 的 大 小 ,等 等,它 们 都 要 通 过 非 负 数 来 表 .因示 此,研 究 含 有 绝 对 值 的 不 等 式 具要 有意 重义.
解 设生活区应建碑 于的 公x第 路 k处 m路 ,两个
施工队每天往之 返和 的S为 路 xk程 m,则 Sx2| x10|| x20|.
因 |x 1 为 | |0 x 2 | |x 0 1 | |0 2 x 0 |
|x 1 0 2 0 x | 1,0 当且 x 1 仅 0 2 0 当 x0 时取 . 等号 解 x 不 1 2 0 x 0 等 0 ,得 1 x 式 0 2 . 0
探 究如果把1定 中理 的实 a,b数 分别换为向 量a,b,能 得 出 什 ?么 你能 结解果 释 它 的 何几 意 义?吗
在上面的不等式中 ,用向量 a,b y
分 别 替 换 a, b,当 向 量 a, b不 共 线 时,那么由向 量 加 法的 三角形
ab b
法则,向量 a b,a,b构成三角形 , 因此我们有向量形式的 不等式
为 了 更 好 地 理 1,我 解们 定再 理从 代 数 理 的 角 度 给 出.它 的 证 明 证当 明 a b 0 时 ,a b |a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
|a|22|ab ||b|2
|a||b|2
| ab|
当 a b0 时 ,a b|a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
a O
x
| a b || a | | b | .
宁夏青铜峡市高级中学(吴忠中学青铜峡分校)2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文)试题
16．某企业计划投入产品的广告费x（单位：百万元）与销售额 （单位：百万元）有如下对应数据：
x
0
1
2
3
4
y
15
25
30
40
40
由表中数据得线性回归方程为 .投入的广告费 时，销售额的预报值为_______百万元.
三、解答题
17．在极坐标系中，圆C极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 （t为参数）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．平面直角坐标系下的点 的极坐标是（）
A． B． C． D．
4．不等式 的解集是( )
A． B．
C． D． 或
5．已知复数 ，则 ( )
A．3B．5C． D．10
6．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为121的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2：4：2：3，则该样本中D类产品的数量为( )
（2）预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式：
21．已知 .
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若 恒成立，求实数m的取值范围.
22．在直角坐标系 中，已知曲线 以坐标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知点 ，直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与曲线 的交点为 ，求 的面积.
参考答案
1．D
【分析】
本题根据题意先确定 是最大的数，再确定最小的数 ，从而得出正确的结论.
宁夏青铜峡市高级中学2020届高三数学上学期第三次月考试题理
宁夏青铜峡市高级中学2020届高三数学上学期第三次月考试题 理一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x ＋1)(x －2)＜0,x ∈Z},则A ∪B=( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3} 2.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a 11< B.ba11> C.2a b > D.22a b > 3.在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB =(1,-2),AD =(2,1),则AD ·AC =( )A.2B.3C.4D.54.在等差数列{a n }中，a 2＋a 4=p ，a 3＋a 5=q ，则它的前6项的和S 6等于( )A.45(p ＋q) B.2(p ＋q) C.p ＋q D.23(p ＋q) 5.函数()f x =(x －x1)cos x(－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )6.在ABC △中，若B b A a cos cos =，则ABC △的形状是（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等边三角形7.设p:实数x,y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2,q:实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥111y x y x y ，则p 是q 的( )条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要8.若函数y=Asin(ωx ＋ϕ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω=（ ） A.5 B.4 C.3 D.29.设α,β是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直线,且l ⊂α, m ⊂β( )A.若l ⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l ⊥mC.若l ∥β,则α∥βD.若α∥β,则l ∥m10.把函数y=cos(2x ＋34π)的图象按=(ϕ，0)(ϕ＞0)平移后图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为( )A.6π B.3πC.32πD.34π11.在x ∈(31，3)上恒有|log a x |＜1成立，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥3B.0＜a ≤31C.a ≥3或0＜a ≤31D.a ≥3或0＜a ＜3112.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，－3] B.[－6，－89] C.[－6，－2] D.[－4，－3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量=(x －1，2)，=(2，1)，若⊥，则x=______. 14.正数a ，b 满足ab=a ＋b ＋3，则ab 的最小值为______. 15.设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-的值是________________.16.设等比数列{a n }满足a 1＋a 3=10,a 2＋a 4=5,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为_____.三、解答题：本大题6小题，共70分． 17.(本小题共12分) 已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域；(2)若()10f α=，求sin 2α的值.18.(本小题共12分)在⊿ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，⊿ABD 的面积是⊿ADC 的2倍. (1)求CB∠∠sin sin ；(2)若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长.19. (本小题共12分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值；(3)设22-⋅=n a n n c ，求10321c c c c ++++Λ的值．20. (本小题共12分 )如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AD ∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD,N 为PC 的中点. (1)证明:MN ∥平面PAB.(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.21. (本小题共12分 )已知函数ƒ(x)=(x ＋1)lnx －a(x －1).(1)当a=4时,求曲线y=ƒ(x)在(1, ƒ(1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1,+∞)时, ƒ(x)＞0,求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
人教课标版高中数学选修4-5：《绝对值三角不等式》教学-新版
1.3 课时3 绝对值三角不等式一、教学目标（一）核心素养通过学习绝对值三角不等式，体会转化和数形结合的数学思想.（二）学习目标1.了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法.2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明.3.掌握运用绝对值三角不等式求函数的最值.（三）学习重点绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用.（四）学习难点绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第11页至第15页，填空：①||+，当且仅当时，等号成立；a ba b+||||②||a b b c-+-，当且仅当时，等号成立；-||||a c（2）想一想：（1）中两个结论具有怎样的几何意义？2.预习自测（1）在三角形中，两边之和第三边.A.大于B.小于C.不大于D.不小于【知识点】三角形知识【解题过程】在三角形中，两边之和大于第三边.【思路点拨】在三角形中，两边之和大于第三边.【答案】A.（2）在||||||,||||,||||,||-+--中最大的是（）a b a b a b a bA.||||||a b -B.||||a b +C.||||a b -D.||a b -【知识点】绝对值三角不等式【解题过程】由绝对值三角不等式得，||||||||||||||||a b a b a b a b +≥-≥-≥-【思路点拨】注意联系绝对值不等式的几何意义解题【答案】B（3）函数|4||6|y x x =-+-的最小值为（ ）A.10B.7C.4D.2【知识点】绝对值三角不等式【解题过程】|4||6||(4)|6||2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(4)(6)0x x --≤即46x ≤≤取等号.【思路点拨】注意使用绝对值三角不等式求最值时的不等号方向以及取等条件.【答案】D(二)课堂设计1.知识回顾（1）绝对值的意义。
宁夏青铜峡市高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题
当 ＜ 时，A＝（3 ＋1，2）
要使B A，必须 ，此时 ＝－1；
当 ＝ 时，A＝ ，使B A的 不存在；
当 ＞ 时，A＝（2，3 ＋1）
要使B A，必须 ，此时1≤ ≤3.
综上可知，使B A的实数 的取值范围为[1，3]∪{－1}
（1）[3，4]；（2）（﹣∞，3].
（1）先判断出 ，由 ，列不等式 即可解得实数m的取值范围；
（2）对B是否为∅进行分类讨论，解出实数m 取值范围．
集合 ，
（1）∵A⊆B， ，∴
∴ 解得3≤m≤4，
∴实数m的取值范围为[3，4]；
（2）∵B⊆A，
①当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
②当B≠∅时， ，解得2≤m≤3，
A.4B.7C.8D.16
B
求出集合A，B，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．
：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，
∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，
8.函数 的定义域为（）
A. B. C. D.
B
根据根式函数和分式函数的定义域求法求解.
由题意得 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，故选：B
9.已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围为（）
A. B. C. D.
A
由题可得 ，再利用集合的包含关系即求.
由题知 ，得 ，则 ，故选：A．
10.已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（ ）
人教版高中数学选修4-5 1.2.1《绝对值三角不等式》练习及答案
1．2 绝对值不等式1．2.1 绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义．2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.1．研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．即|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0.思考1 求下列各数的绝对值：(1)3；(2)－8；(3)0.答案: (1)3 (2)8 (3)02．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 关于定理1的几点说明：(1)定理1的证明：|a ＋b |≤|a |＋|b |⇔(a ＋b )2≤(|a |＋|b |)2⇔a 2＋b 2＋2ab ≤a 2＋b 2＋2|a ||b |⇔ab ≤|a ||b |⇔ab ≤|ab |，由已知知识可知ab ≤|ab |一定成立，因而不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab ＝|ab |⇔ab ≥0可知，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |.(3)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0.(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |；|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.思考2 说出下列不等式等号成立的条件：(1)|a |＋|b |≥|a ＋b |；(2)|a|－|b|≤|a＋b|；(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.答案: (1)等号成立的条件是：ab≥0；(2)等号成立的条件是：ab≤0且a≥b.(3)等号成立的条件是：(a－b)(b－c)≥03．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a，|a|≥－a及绝对值的和的性质．思考3当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)．答案: (－∞，0)一层练习1．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是()A．|x－y|<2m B．|x－y|<2nC．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m答案: D2．设ab>0，下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.其中正确的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案: C3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．答案: 504．方程|x|＋|log a x|＝|x＋log a x|(a>1)的解集是________________．答案: {x|x≥1}二层练习5．|x－A|<ε2，|y－A|<ε2是|x－y|<ε的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案: A6．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(3，4)D ．[3，＋∞)答案: A7．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( )A ．必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4，∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；当|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立．答案：B8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________． 解析：解法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.解法二 把函数看作分段函数y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.答案：4 －49．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________． 解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.答案：510．(2014·江西高考文科)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为____________．解析：由|a |＋|b |≥|a －b |知，|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，同理|y |＋|y －1|≥1，故|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，所以0≤x ≤1且0≤y ≤1，即0≤x ＋y ≤2.答案：[0，2]三层练习11．(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2.解析：(1)由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.12．设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②当ab ＜0时，则a (－b )＞0，|a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|≤16.总之，恒有|a |＋|b |≤16.而a ＝8，b ＝－8时，满足|a ＋b ＋1|＝1，|a ＋2b ＋4|＝4，且|a |＋|b |＝16.因此|a |＋|b |的最大值为16.13．已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518. 证明：∵3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )＋(y －2x )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题意设|x ＋y |<13，|2x －y |<16， ∴3|y |<2×13＋16＝56. ∴|y |<518.14．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若点C (x ，y )是平面xOy 上的点， 试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )．证明：由绝对值不等式知，ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝|x －x 1|＋|x 2－x |＋|y －y 1|＋|y 2－y |≥|(x －x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y )|＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B )．当且仅当(x －x 1)·(x 2－x )≥0且(y －y 1)·(y 2－y )≥0时等号成立．1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a ∈R ，则|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0. |a |≥0，－|a |≤a ≤|a |，|a |2＝a 2.2．绝对值不等式的性质定理的推广：|a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|；|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |；||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件： |a ＋b |＝|a |＋|b |(ab ≥0)；|a －b |＝|a |＋|b |(ab ≤0)；||a |－|b ||＝|a ＋b |(ab ≤0)；||a |－|b ||＝|a －b |(ab ≥0)．。