三角函数、解三角形 综合复习题
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
《三角函数与解三角形》专题训练
一、单选题1.在△ABC中，B=π4，sin A=，AC=4，则BC=（）.A．5B．6C．7D．82.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1+2cos C)=2sin A⋅cos C+cos A sin C，则下列等式成立的是（）.A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A3.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（）.A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.由增加的长度决定4.在ΔABC中，a2+b2+c2=23ab sin C，则ΔABC 的形状是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为（）.A.50mB.100mC.120mD.150m6.在ΔABC中，“z=12x-y”是“ΔABC为钝角三角形”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知锐角A是ΔABC的一个内角，a,b,c是三角形中各角的对应边，若sin2A-cos2A=12，则下列各式正确的是（）.A.b+c=2aB.b+c<2aC.b+c≤2aD.b+c≥2a8.1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为()0,a，()0,b()0<b<a.设点C的坐标为()c,0，当∠ACB最大时，c=（）.图1图2A.2abB.abC.2abD.ab二、多选题9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）.A.b=10，A=45°，C=70°B.b=45，c=48，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=7，b=5，A=80°10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）.A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin C11.下列命题中，正确的是（）.A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB.在锐角△ABC中，不等式sin A>sin B恒成立C.在△ABC中，若a cos A=b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，59b，c，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）.A.a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C.a2，b2，c2依次成等差数列D.a3，b3，c3依次成等差数列三、填空题13.如图3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值.图314.在ΔABC中，若C=π4，且1sin2A=1+tan A tan B，则BCAC的值为______.15．如图4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.图416.已知ΔABC满足A=π3，( AB+ AC)∙ BC=0，点M在ΔABC外，且|MB|=2|MC|=2，则MA的取值范围是________．四、解答题17.已知在ΔABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足b=a cos C+c sin A．（1）求A的大小；（2）若cos B=25,BC=5, BD=17 BA，求CD的长．18.在①cos A=35，cos C=，②c sin C=sin A+b sin B，B=60°，③c=2，cos A=18三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，______，求△ABC的面积S.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A=a cosæèöøB-π6.（1）求角B的大小；（2）若a=2，c=3，求cos()A-B的值.20.在ΔABC中，若||||||AC→=23，且 AB∙cos C+ BC∙cos A= AC∙sin B.（1）求角B的大小；（2）求ΔABC的面积S.21.在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足2a-b c=cos B cos C．（1）求角C的大小；（2）设函数f(x)=2sin x cos x cos C+2sin2x sin C求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域.22.如图5，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：tan A2=1-cos Asin A;（2）若A+C=180∘,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan A2+tan B2+tan C2+tan D2的值.A B图560参考答案与解析一、单选题1-8AACDA DCD 二、多选题9.BC ；10.ABC ；11.ABD ；12.ABD.三、填空题13.；14.；15.1006;16.[1,3]．四、解答题17.【解析】（1）在三角形ABC 中，由正弦定理得sin B =sin A cos C +sin C sin A ，因为sin B =sin []π-()A +C =sin ()A +C ，所以sin ()A +C =sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +sin C cos A =sin A cos C +sin C sin A ，整理得sin C cos A =sin C sin A ，由sin C ≠0，可得cos A =sinA ，所以A =π4.（2）在三角形ABC 中，sin B =1-cos 2B =45，（3）由AC sin B=BCsin A 可得AC 45=，解得AC =42，又因为cos C =-cos(A +B)=-cos A cos B +sin A sin B =，所以AB 2=AC 2+BC 2-2AC ∙BC ∙=32+25-2×42×5×=49，所以AB =7，由BD =17BA 可得BD =1，于是CD 2=BD 2+BC 2-2BD ∙cos B=1+25-2×1×520，所以CD =25.18.【解析】若选①.∵cos A =35，cos C，∴sin A=45，sin C，∴sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ，=4535×，由正弦定理得b =a sinB sin A=3×2545=，∴S =12ab sin C =12×3×=9940.若选②.∵c sin C =sin A +b sin B ，∴由正弦定理得c 2=a +b 2.∵a =3，∴b 2=c 2-3.又∵B =60∘，∴b 2=c 2+9-2×3×c ×12=c 2-3，∴c =4，∴S =12ac sin B =33.若选③.∵c =2，cos A =18，由余弦定理得18=b 2+22-322b ×2，即b 2-b 2-5=0，解得b =52或b =-2（舍去）.∴sin A =1-cos 2A =，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =12×52×2×=.19.【解析】（1）因为b sin A =a cos æèöøB -π6，根据正弦定理a sin A =bsin B，得sin B sin A =sin A cos æèöøB -π6，因为A ∈()0,π，所以sin A >0，所以sin B =cos æèöøB -π6，即sin B =cos B cosπ6+sin B sin π6，整理得sin B =3cos B ，所以tan B =3，又B ∈()0,π，故B =π3.（2）在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3，61由余弦定理得b2=a2+c2-2ac∙cos B，得b2=22+32-2×3×2×cosπ3，故b=7.由正弦定理asin A=b sin B得2sin A=sinπ3，解得sin A=.因为a<b，故A<B，A∈æèöø0,π3，所以cos A=1-sin2A=.所以()A-B B×cosπ3sinπ3.20.【解析】（1）由题意可知：在ΔABC中，|| AC=23，AB∙cos C+BC∙cos A=AC∙sin B，因为AC=AB+BC，所以AB∙cos C+BC∙cos A=( AB+ BC)∙sin B，即(cos C-sin B)AB+(cos A-sin B)BC=0 ，而向量AB，BC是两个不共线向量，所以{cos C=sin B，cos A=sin B，所以cos C=cos A，因为A,C∈(0,π)，所以A=C，在等腰ΔABC中，A+B+C=π，所以2A+B=π，A=π2-B2；所以cos A=cos(π2-B2)=sin B2=sin B，所以sinB2=2sin B2cos B2，所以cos B2=12，结合0<B2<π2可得B2=π3，B=2π3.（2）由（1）知A=C=π6，由正弦定理得：|| ACsin2π3=|| BCsinπ6，所以|| BC=2，SΔABC=12|| AC| BC sinπ6=12×23×2×12=3.21.【解析】（1）在ΔABC中，∵2a-b c=cos B cos C，∴(2a-b)cos C=c cos B，∴2sin A cos C=sin B cos C+cos B sin C，∴2sin A cos C=sin(B+C)=sin A．∵∠A是ΔABC的内角，∴sin A≠0，∴2cos C=1，∴∠C=π3．(2)由（1）可知∠C=π3，∴f(x)=12sin2x-2sin2x)=12sin2x2x=sin(2x-π3)．22.【解析】（1）tan A2=sin A2cos A2=2sin2A22sin A2cos A2=1-cos Asin A.（2）由A+C=180°，得C=180°-A,D=180°-B.由（1），有tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=1-cos Asin A+1-cos Bsin B+1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)sin(180°-B)=2sin A+2sin B连接BD，在ΔABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB∙AD cos A，在ΔBCD中，有BD2=BC2+CD2-2BC∙CD cos C，所以AB2+AD2-2AB∙AD cos A=BC2+CD2+2BC∙CD cos A，则cos A=AB2+AD2-BC2-CD22(AB∙AD+BC∙CD)=62+52-32-422(6×5+3×4)=37，于是sin A=1-cos2A=连接AC，同理可得cos B=AB2+BC2-AD2-CD22(AB∙BC+AD∙CD)=62+32-52-422(6×3+5×4)=119，于是sin B=1-cos2B==所以tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=2sin A+2sin B=14210+2×19210=.62。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
三角函数与解三角形_测试题(有解析、答案)
三角函数与解三角形 测试题（有解析、答案）(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7 解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，得tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.答案：A2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30° ＝12. 答案：C3．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：∵y ＝sin(2x －π3)＝sin2(x －π6)，∴只要将y ＝sin2x 的图像向右平移π6个单位便得到y ＝sin(2x －π3)的图像．答案：D4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.答案：D5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：由T ＝2πω＝2ππ2＝4，可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递增， x ＝0时y ＝0，x ＝1时y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为1，第二个 波峰对应的x 值为5，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为5. 答案：C6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴f (x )max ＝2.答案：B7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π3解析：由已知得：f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，由于函数为奇函数，故有θ＋π3＝kπ⇒θ＝kπ－π3(k ∈Z)，可淘汰BC 选项，然后分别将A和D 选项代入检验，易知当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin2x 其在区间[－π4，0]上递减． 答案：D8．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.14解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝0，∴sin αcos π6＋cos αsin π6＋cos α＝34，∴12sin α＋32cos α＝14，∴sin(α＋π3)＝14，∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：C9．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π4解析：T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4. 答案：C10．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)解析：T ＝π，∴ω＝2.∵图像关于直线x ＝2π3对称，∴sin(2π3ω＋φ)＝±1即2π3×2＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z 又∵－π2<φ<π2∴φ＝π6∴f (x )＝A sin(2x ＋π6)．再用检验法．答案：D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________解析：由已知得cos α＝－32，则sin2α＝2sin αcos α＝2×12×(－32)＝－32.答案：－3212．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图像知，函数的周期为32×T ＝π，∴T ＝2π3.∵f (π4)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4＋T 2)＝－f (π4)＝0.答案：013．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案： 214．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.解析：因为图像的对称中心是与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x ＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]得x 0＝－π6.答案：－π615．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B－sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan Atan B＝4. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．解：(1)∵cos(β－π4)＝13，∴cos(2β－π2)＝2cos 2(β－π4)－1＝2×19－1＝－79，即sin2β＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴f (α)＝cos α－sin α＝2cos(α＋π4) ＝2cos[(α＋β)－(β－π4)]＝2[cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)]＝2(－35×13＋45×223)＝16－3215.17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435. 18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c . 解：由题lg a ＋lgcos A ＝lg b ＋lgcos B ，故a cos A ＝b cos B . 由正弦定理sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . 又cos A >0，cos B >0，故A ，B ∈(0，π2),2A,2B ∈(0，π)因a ≠b ⇒A ≠B ，故2A ＝π－2B . 即A ＋B ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由于m ⊥n ，所以2a 2－3b 2＝0 ① 且(m ＋n )·(－m ＋n )＝n 2－m 2＝14，即8b 2－3a 2＝14 ② 联立①②解得a 2＝6，b 2＝4，故在直角△ABC 中，a ＝6，b ＝2，c ＝10.19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．解：(1)∵a 与b 共线， ∴32cos x ＋sin x ＝0.∴tan x ＝－32. 故2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)∵a ＋b ＝(sin x ＋cos x ，12)，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)．∴sin x cos x ＋cos 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4， ∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴f (x )的值域为[－22，12]． 20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰 有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3. 令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)． 21．(本小题满分13分)已知函数y ＝|cos x ＋sin x |.(1)画出函数在x ∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x 在R 上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x 是△ABC 的一个内角，且y 2＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵y ＝|cos x ＋sin x |＝2|sin(x ＋π4)|，∴当x ∈[－π4，7π4]时，其图像如图所示．(2)函数的最小正周期是π，在[－π4，3π4]上的单调递增区间是[－π4，π4]；由图像可以看出，当x ＝kπ＋π4(k ∈Z)时，该函数有最大值，最大值是 2.(3)若x 是△ABC 的一个内角，则有0<x <π， ∴0<2x <2π.由y 2＝1，得|cos x ＋sin x |2＝1⇒1＋sin2x ＝1. ∴sin2x ＝0，∴2x ＝π，x ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。
解三角形与三角函数题型综合训练(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题08解三角形与三角函数题型综合训练1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.二倍角的正弦、余弦、正切公式①αααcos sin 22sin =②ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩③ααα2tan 1tan 22tan -=.6.辅助角公式22sin cos sin()a x b x a b x ϕ±=+±，（其中tan baϕ=）；一、梳理必备知识求()sin()f x A x B ωϕ=++解析式,A B 求法方法一：代数法maxmin()()A B f x A B f x +=⎧⎨-+=⎩方法二：读图法B 表示平衡位置；A 表示振幅ω求法方法一：图中读出周期T ，利用2T πω=求解；方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.ϕ求法方法一：将最高（低）点代入()sin()f x A x B ωϕ=++求解；方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入()sin()f x A x B ωϕ=++求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）8.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC=③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S = 9.基本不等式（最值问题优先用基本不等式）2a bab +≤②222a b ab+≥10.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-(原卷 版)
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值： （2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分． 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。
三角函数与解三角形_测试题(有解析、答案)
三角函数与解三角形 测试题(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π38．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.13．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.14．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________． 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为2π3，当x∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y＝|cos x＋sin x|.(1)画出函数在x∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x在R上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x是△ABC的一个内角，且y2＝1，试判断△ABC的形状．。
大题专项训练6：三角函数与解三角形(综合练习二)-2021届高三数学二轮复习
二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差数列，求cos B的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C﹣c sin A＝b．（1）求A；（2）若c＝2，且BC边上的中线长为，求b．3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．4．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．5．已知f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B+b cos C＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值．6.已知函数的最小值为﹣2，其图象经过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．7．已知函数21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++--． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(),32B f b ==，求cos cos a B b C -的取值范围．8．已知函数f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π]时，函数g （x ）＝f （x ）﹣b 有两个不同的零点x 1，x 2，求b 的取值范围及x 1+x 2的值．二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案1.解：（1）若a ，b ，c 成等差数列，所以a +c ＝2b ，由于．所以cos B ＝＝，由于，所以．（2）假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由于，根据正弦定理（sin A+sin C）sin B＝，即sin A+cos A＝，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，由于0＜sin2A≤1，所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．2.解：（1）因为a cos C﹣c sin A＝b，由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C sin A＝sin B，因为B＝π﹣A﹣C，所以sin A cos C﹣sin C sin A＝sin A cos C+cos A sin C，可得﹣sin C sin A＝cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，又因为A∈（0，π），可得A＝．（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4+2b，①又在△ABC中，cos B＝＝，设BC的中点为D，在△ABD中，cos B＝＝，可得＝，可得a2+4﹣2b2＝0，②由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4．3.解：（1）依题意，得，ω＝1．故f（x）＝sin（x+φ）．因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．（2）由（1）知f（x）＝sin x，因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），所以2sin2B+3sin2C＝2sin A sin B sin C+sin2A，由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sin A•bc+a2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝，又，∴sin A﹣cos A＝，且b＝，∴A＝．∴＝＝．4.解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sin C＝1+1﹣cos C＝2﹣cos C，即sin C+cos C＝2，∴2sin（C+）＝2．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，故△ABI的周长的最大值为4+2．5.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x＝cos2x﹣+sin2x＝sin（2x+）﹣，令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∵c cos B+b cos C＝1，∴c•+b•＝1，即a2＝a，∵a≠0，∴a＝1，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴b＝sin B，c＝sin C，∴bc＝sin B sin C＝sin B sin（+B）＝sin B（cos B+sin B）＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，∴bc≤1，∴△ABC的面积S＝bc sin A≤×1×sin＝，故△ABC的面积的最大值为．6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．∴T＝π，．∴f（x）＝2sin（2x+φ）．又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1．由，得．∴．（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．由（Ⅰ）知．令，则y＝2sin t．∵，∴．则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为．①当k ∈[1，2）时，t 1，t 2，关于对称，则． 解得．②当时，t 1，t 2关于对称，则． 解得．综上，实数k 的取值范围为，x 1+x 2的值为或．7.解：（1）由题意可得21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++-- 311sin (cos )cos(2)226x x x x π++- 3(1cos2)131sin 2sin 244x x x x -=++ 13sin 22x =+， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令322222k x k ππππ++，k Z ∈，解得344k x k ππππ++，k Z ∈， 故函数()f x 的单调递减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈．（2）由（1）知133()sin 22B f B =+=，解得3sin B =， 因为(0,)2B π∈，所以3B π=， 由正弦定理可知32sin sin sin 3a b c A B C ====，则2sin a A =，2sin c C =， 所以3331cos cos 3cos sin 3cos()sin 3cos()sin cos sin cos sin cos()233226a a B b C C A A A A A A A A A A ππππ-=-=---=++=+-=-=+，在锐角ABC ∆中，可得230,202A C A C πππ+=⎧⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎩可得62A ππ<<， 因此2363A πππ<+<，则1cos()(62A π+∈-，1)2， 故cos cos a B b C -的取值范围为1(2-，1)2． 8.解：（Ⅰ）f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1＝4cos ωx （sin ωx cos φ+cos ωx sin φ）﹣1＝4sin ωx cos ωx cos φ+4cos 2ωx sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2（1+cos2ωx ）sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2cos2ωx sin φ+2sin φ﹣1＝2sin （2ωx +φ）+2sin φ﹣1，因为两相邻对称中心之间的距离为，所以函数f （x ）的周期为π，则，所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，又f（x）的图象关于直线对称，所以有φ＝，解得φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故，令，解得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，令t＝，则t∈，所以方程sin t＝在上有两个不同的根t1，t2，作出函数的图象如图所示，①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．。
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第七讲三角函数、解三角形、平面向量R ，（1）若60,10R α=︒=，求扇形的弧长及所对的弓形的面积.（2）若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，扇形有最大面积？求出其最大面积.练习1已知一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形的面积为________．例2．已知α＝5π8，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 练习2.（1）若点(, ) (0)P m n n ≠为角600︒终边上一点，则m n=例3（1）若()tan 2sin 2παα-=，则=________．（2）若cos 6p a 骣琪-=琪桫25cos sin 66p p a a 骣骣琪琪++-=琪琪桫桫_____________.练习3-1 若，则 (A) (B) (C) 1 (D)练习3-2 计算2222sin 1sin 2sin 88sin 89++++=__________.例4（1）已知()3sin 5a b -=，12sin 13b =-，且,2pa p 骣琪Î琪桫，,02pb 骣琪?琪桫，求sin a 的值． （2）若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33C.539 D ．－693tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625典例题型练习4（1）已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为__________． （2）已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________．练习4-2已知1cos 7a =，()13cos 14a b -=，且02pb a <<<. (1)求tan 2a 的值； (2)求b 的值．（1）在函数y ＝｜tan x ｜，y ＝｜sin(x ＋2π)｜，y ＝｜sin2x ｜，y ＝sin(2x －2π)四个函数中， 既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数个数是________．（2）下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是A.)32sin(π-=x y B.)62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x yD ．)62sin(π+=x y（3）函数x x y sin cos 2-=的值域是________． （4）函数()()cos 3f x x j=+的图象关于原点中心对称,则____________φ=.（5）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当0,2x p轾Î犏犏臌时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为________．（6）若1351016()sin ()()()(n f n f f f f π=++++ ，）=________． 例5-2函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A.13(,),44k k k Z ππ-+∈B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈练习6-1.（1）已知函数()sin cos f x a x x =+的图像关于直线8x π=成轴对称图形，则a =.（2）如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4(, 0)3π中心对称，那么ϕ的最小值为 A.6π B.4π C.3πD. ()2π-（3）函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C .①图像C 关于直线1112x π=对称.②函数()f x 在区间5,1212p p 骣琪-琪桫内是增函数.③由3sin 2y x =的图像向右平移3π个单位长度可以得到图像C .以上三个论断中，正确论断个数是A. 0B. 1C. 2D. 3（4）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A. 向左平移512π个长度单位B. 向右平移512π个长度单位 C. 向左平移56π个长度单位D. 向右平移56π个长度单位（5）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，得到的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（） A.13B. 3C. 6D. 9（6）函数2sin()4y x π=-的单减区间是________．（7）tan (,)22y x ππω=-在内是减函数，则（） A. 01ω<≤B. 10ω-≤<C. 1ω≥D. 1ω≤-（8）设02sin απααα≤<，若，则的取值范围是（） A. , 32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. , 3ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 4, 33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 3, 32ππ⎛⎫⎪⎝⎭例7-1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos(x －3π4)，x ∈R .()1求f ()x 的最小正周期和最小值；(2)已知cos ()β－α＝45，cos ()β＋α＝－45，0<α<β≤π2，求证：()220f b 轾-=臌.练习7-1．已知函数2()cos(2)cos 23f x x x π=--(x ∈R )． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2) ∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若3(),1,22B f b =-=3,c =且,a b >试求角B 和角C ．，求角A ，B ，C 的大小.例8-2在中，分别为内角的对边，且（1）求的大小； （2）求的最大值.例8-3.如图，在中，点在边上，，，． （1）求的值； （2）求的长．练习8-1在三角形中，已知，设.（1）求角的值； （2）若，其中，求的值．23AC BC = ABC ∆c b a ,,C B A ,,A ABC ∆D BC 33AD =5sin 13BAD ∠=3cos 5ADC ∠=sin ABD ∠BD ABC 2AB AC AB AC ⋅=⋅CAB α∠=αcos(-βα5(,)36βππ∈cos β练习8-2ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1) 求sin sin BC∠∠；(2)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．练习8-3在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.练习8-4在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.例9 .已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p＝(b－2，a －2).(1)若m ∥n，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.练习9-1 已知向量a 、b 满足()()26a b a b +?=- ，且1,2a b ==，则a 与b 的夹角为________．练习9-2 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.练习9-3在平面直角坐标系xoy中，已知向量m = ，()sin ,cos n x x = ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．一、选择题：1．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是A ．－310B.310C ．±310D.342．已知角θ在第四象限，且⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则θ2是 A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限 C ．第三象限D ．第四象限 3.记,那么A. B.-4. A ． BC ． D5.若110tan ,(,),tan 342a a a πππ+=∈则sin(2a+)的值为4 A.6.已知角α在第一象限且3cos 5α=，则1)4sin()2παπα-=+A ．25B ．75C ．145D ．25-7.设非零向量、、满足，则cos(80)k -︒=tan100︒=k k23sin 702cos 10-=-122-a b c c b a c b a =+==|,|||||>=<b a ,课后作业A ．150° B.120° C.60° D.30°8.在中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2PA PM =- ,则等于A.B. C. D. 9.已知1a = ,6b = ,()2a b a ?=，则向量与向量的夹角是A ．B ．C ．D ． 10.在中，，．若点满足，则A ．B ．C ．D ． 二、填空题：11．给出下列命题：(1)存在实数x ，使sinx+cosx ＝3π; (2)若αβ，是锐角△ABC 的内角，则sin α>cos β; (3)函数y ＝sin(32x-27π)是偶函数； (4)函数y ＝sin2x 的图象向右平移4π个单位，得到y ＝sin(2x+4π)的图象.其中正确的命题的序号是.12．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于_________ 13.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF l m =+，其中,R l m Î，则l m +=_________.14.如右图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x =_______.y =_______.15.O 是平面a 上一点，A 、B 、C 是平面a 上不共线的三点，平面a 内的动点P 满足＝＋λ(＋)，若λ＝12时，则(＋)的值为 .ABC ∆()PA PB PC ⋅+494343-49-a b 6π4π3π2πABC △AB = c AC = b D 2BD DC = AD = 2133+b c 5233-c b 2133-b c 1233+b c AD xAB yAC =+OP OA AC ∙PC三、解答题：16.设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17．已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.18.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan;2sin A A A-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o求tan tan tan tan 2222A B C D+++的值.19.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行． ⑴求A ；（⑵若2a b =求ABC D的面积．20.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.21.已知函数()4tan sin cos 23f x x x x p p骣骣琪琪=---琪琪桫桫(1)求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间[,44ππ-]上的单调性.22.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. ⑴证明：sin sin sin A B C =；⑵若22265b c a bc +-=，求tan B .23.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （1）求C ；（2）若c ABC △=的面积为2ABC △的周长．24 .在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（1）证明：A =2B ；（2）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.25.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 （1）证明：a +b =2c ; （2）求cos C 的最小值.tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+。