2015中考文字证明解析

2015中考文字证明一．解答题（共12小题）1．求证：等腰三角形两底角相等．2．证明：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3．证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．4．（2014春•苏州期末）证明三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°．5．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：6．证明：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（要求画出图形，写出已知．求证．证明）7．证明三角形中位线定理．8．叙述勾股定理并证明它．9．证明：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．10．求证：顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形．11．证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）12．证明：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．（要求：画出图形，写出已知、求证并证明）2015中考文字证明参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．求证：等腰三角形两底角相等．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形三线合一性质求得BD=DC，从而求得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C．解答：已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC（等腰三角形三线合一）．又∵∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B=∠C．点评：本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．2．证明：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．考点：线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：先画出图形，写出已知、求证，过P作PD⊥AB于D，推出∠PDA=∠PDB=90°，根据HL推出Rt△PDA≌Rt△PDB，根据全等三角形的性质得出AD=BD，即可得出答案．解答：已知：线段AB外一点P，且PA=PB，求证：P在线段AB的垂直平分线上证明：过P作PD⊥AB于D，则∠PDA=∠PDB=90°，∵在Rt△PDA和Rt△PDB中∴Rt△PDA≌Rt△PDB（HL），∴AD=BD，∵PD⊥AB，即P在线段AB的垂直平分线上．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是能画出图形，并能正确作出辅助线，难度适中．3．证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．考点：线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据当A，D不重合垂直平分线的性质得出的性质得出△ADB≌△ADC，进而求出，再利用A，D重合利用线段的性质得出即可．解答：解：如图所示，当A，D不重合，已知，AD⊥BC，DB=CD．求证：AB=AC，证明：∵AD⊥BC，DB=CD．∴AD=AD，∠ADB=∠ADC，BD=DC，∴△ADB≌△ADC，∴AB=AC．当A，D重合，D为BC的中点，则BD=DC，故线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，搞清楚定理的来龙去脉是正确理解和应用定理的前提．4．（2014春•苏州期末）证明三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°．考点：三角形内角和定理．专题：证明题．分析：先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．解答：已知：△ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．即知三角形内角和等于180°．点评：本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明．5．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：结合已知条件，根据全等三角形的判定和性质，推出△POE≌△POF即可．解答：已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，（2分）求证：PE=PF（3分）证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POE=∠POF，（4分）∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO=∠PFO，（5分）又∵OP=OP，（6分）∴△POE≌△POF，（7分）∴PE=PF．（8分）点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于找到对应角相等、公共边．6．证明：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（要求画出图形，写出已知．求证．证明）考点：角平分线的性质．专题：证明题．分析：利用“HL”证明Rt△ODP和Rt△OEP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DOP=∠EOP，再根据角平分线的定义即可得证．解答：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上，证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°，在Rt△ODP和Rt△OEP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），∴∠DOP=∠EOP，故，点P在∠AOB的平分线上．点评：本题考查了角平分线的判定，利用“HL”证明三角形全等是解题的关键．7．证明三角形中位线定理．考点：三角形中位线定理．分析：作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD=EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=BC．解答：已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：EF∥BC且EF=BC，证明：如图，延长EF到D，使FD=EF，∵点F是AC的中点，∴AF=CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE=CD，∠D=∠AEF，∴AB∥CD，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴BE=CD，∴BE CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，DE=BC，∴DE∥BC且EF=BC．点评：本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．8．叙述勾股定理并证明它．考点：勾股定理．专题：证明题．分析：勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明．解答：解：利用下图进行勾股定理的证明，∵外部是四个全等的直角三角形，∴中间的四边形为正方形，正方形的面积=c2，正方形的面积=（a+b）2﹣4××ab=a2+b2，∴a2+b2=c2．点评：本题考查勾股定理的知识，注意掌握勾股定理是初等几何中的一个基本定理．所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．故大家要熟练掌握他的内容及证明方法．9．证明：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．考点：切线长定理；切线的性质．专题：证明题．分析：利用切线的性质结合全等三角形的判定方法得出Rt△OPA≌Rt△OPB即可得出答案．解答：已知：PA，PB是⊙O的切线，求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．证明：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，在Rt△OPA和Rt△OPB中，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴PA=PB，∠APO=∠BPO．点评：此题主要考查了切线的性质以及切线长定理的证明，得出Rt△OPA≌Rt△OPB是解题关键．10．求证：顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形．考点：中点四边形．专题：证明题．分析：先写出已知和求证，如图，再进行证明，连结AC、BD，先证明EH为△ABD的中位线，则根据三角形中位线性质得到EH∥BD，同理可得FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，于是可判断四边形EFGH为平行四边形，接着根据菱形的性质得到AC⊥BD，则可得到EF⊥EH，然后根据矩形的判定方法得到四边形EFGH为矩形．解答：已知：点E、F、G、H为菱形ABCD各边的中点，如图，求证：四边形EFGH为矩形．证明：连结AC、BD，如图，∵点E为AB的中点，H为AD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD，同理可得FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，∴EH∥FG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，而EH∥BD，EF∥AC，∴EF⊥EH，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH为矩形．点评：本题考查了中点四边形：利用三角形的中位线性质解决有关中点四边形的问题．也考查了菱形的性质和矩形的判定．11．证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CD=AB．解答：已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD=AB；证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=BD，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴四边形AEBC是矩形，∴AD=BD=CD=DE，∴CD=AB．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明，作辅助线，构造出矩形是解题的关键．12．证明：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．（要求：画出图形，写出已知、求证并证明）考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：把原命题的题设作为已知，把原命题的结论作为求证即可，再根据根据一条对角线平分一个内角，则有这两个角相等．根据两直线平行内错角相等，得出一个三角形两个内角相等，即两边相等，根据菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即证．解答：命题：如果平行四边形的一条对角线平分它的一个内角，那么这个平行四边形是菱形．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB（或∠DCB）．求证：四边形ABCD是菱形，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAC=∠BCA．∵对角线AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC．∴∠BCA=∠BAC．∴BA=BC．∴四边形ABCD是菱形．点评：此题主要考查菱形的判定方法，解题的关键是熟记各种菱形的各种判定方法．。