人教版九年级数学上册 二次函数的图像和性质讲义(无答案)

第10讲 二次函数的图像和性质（二）
知识要点梳理
1. 二次函数
2y ax bx c =++通过配方可以变成()2y a x h k =-+的形式，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a
-=-=，． 2.二次函数2y ax bx c =++的性质
（1）. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值244ac b a -．
（2）. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a
=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
=-时，y 有最大值244ac b a -． 3. 二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程02=++c bx ax 的关系(图象与x 轴的交点个数)：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
21AB x x =-=.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点，交点坐标为)0,2(a b -
③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
4. 二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
经典例题
例1.将二次函数解析式6422++-=x x y 配方成2()y a x h k =-+的形式，并指出它开口方向、对称轴和顶点坐标。

例 2.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值，并求出顶点坐标
例3.求下列函数的最大值或最小值．
（1）5322--=x x y （2）432+--=x x y ． 探索：试一试，当2≤x ≤3时，求二次函数322--=x x y 的最大值和最小值． 例4．（1）已知抛物线324)1(22-+++=k kx x k y ，当k 时，抛物线与x 轴相交于两点．
（2）已知二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，则a = ．
（3）已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且1722=+βα，则k 的值是 ．
（1）3->k 且1-≠k （2）2=a （3）2=k
例5．已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ， （1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；
并求两个交点的最小距离
（2）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？
例6.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如右图，已知它的顶点M 在第二象
限，且经过点A （1，0）和点B （0，1）。

（1）请判断实数a 的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为
C ， 值。

当ΔAMC 的面积为ΔABC 面积的45倍时，求a 的
经典练习
1.如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数b bx kx y -+=2的图像大致是（ ）
2.二次函数2y ax bx c =++的图像如图，则点),(a c b M 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，•
则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相
等；
③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数
是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4.在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象大致为（ ）
5、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，
当0y <时，x 的取值范围是（ ）
A ．13x -<<
B ．3x >
C ．1x <-
D ．3x >或1x <-
A B C D x y O
A x y O
B x y O
C x y O D
6、二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．3<k
B ．03≠<k k 且
C ．3≤k
D ．03≠≤k k 且
7.已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点
()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”） 8.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对
于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程0
11)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④22114k x x k
＋－，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）．
9.如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。

⑴二次函数的解析式为 ．一次函数的解析式为 ⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．
⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． ⑷当自变量x 时，两函数的函数值的积小于0． 10. (十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的
点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连
接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此
1 －1 －3 3 x
y
O A B
C
时E 点的坐标．
能力拓展题
1.若点（2，5），（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，那么抛物线的对称轴是（ ）
A ．直线1=x
B ．直线2=x
C ．直线3=x
D ．直线4=x
2.二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；
②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3.若二次函数224y ax x =+-的值总是负值，则a 的取值范围为
4.已知关于x 的二次函数43)12(22+++--=m m x m x y
（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.
（2）设二次函数的图象与x 轴的交点为A ，B 且522=+OB OA ，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.
课后作业
1.已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：
x …
1- 0 1 3 … y … 3-
1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ）
A ．抛物线开口向上
B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x ＝4时，y ＞0
D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间
2.二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a 的值为 。

3．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点在第 象限
4．已知函数2y ax bx c =-+的部分图象如图所示,当x______时,y 随x 的 增大而减小.
第4题
5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，则抛物线的顶点坐标为 ．。