2012年中考数学专题复习课——圆
2012年中考数学第一轮复习第28课 和圆有关的计算
第28课 和圆有关的计算第一部分 讲解部分（一）课标要求1.会计算圆的弧长、扇形的面积。
2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
（二）知识要点1.圆的弧长、扇形面积及圆锥侧面积的计算： （1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π==（n 指圆心角，R 指扇形多对应的圆的半径，l 指扇形弧长，S 指扇形面积）；（3）圆锥的侧面积：rl S π=侧（ｒ指底面圆的半径，l 指母线长）。
2.圆内正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R n ， 边心距r n ，边长a n ，内角βn ， 边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行.（三）考点精讲考点一 ：求弧长例1 （2010年江苏省苏州市）如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O 、A 、B 分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的弧长等于 ．(结果保留根号及π)．分析:本题可以直接根据弧长公式180n Rl π=求解。
解: 由格点图可知，扇形OAB 的圆心角等于90°，弧AB 所在的圆O 的半径等于22，根据弧长公式得弧AB 的长度是：ππ21802290=⨯． 评注：求一条弧的弧长，一般要知道两个量：（1）这条弧所在的圆的半径；（2）这条弧所对的圆心角．考点二 ：求扇形的面积αnβnABCDEOa r n nnR例2 （2010年山东省菏泽市）如图，△OAB 中，OA=OB ，∠A=30°,⊙O 经过AB 的中点E 分别交OA 、OB 于C 、D 两点 ，连结CD ，且CD=34，求扇形OCED 的面积．分析：先求出扇形所在圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式求解。
解：连接OE ，∵OA =OB ，E 是AB 的中点，∴OE ⊥AB . 在△OAB 和△OCD 中，∠COD =∠AOB ,OC =OD ,OA =OB ,∴∠OCD =∠OAB ,∴CD ∥AB .又∵∠A =30°,∴∠OCD =30°,OE ⊥CD ,CF =23,∠COD =120°,OC =2332=4,S 扇形OCED=120π×1616π3603=.评注：本题利用扇形的面积计算公式解决问题．扇形的面积公式是：3602R n S π=扇形，计算扇形的面积，首先要根据已知条件求扇形所在的圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可．考点三 ：圆内正多边形的有关计算例3（2011年安徽省芜湖市）如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为_______。
2012年中考复习数学(练习版)课件7.1圆的基本性质
解
(1)当点P运动到与点C关于AB对称时，如图7-1-6所示，此时
C O D P Q
CP⊥AB于D． ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB ＝90°． ∵BC＝ 4， AC＝3， ∴AB＝5．
A
B
又∵AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝
12 24 图 7-1-6 ，PC＝ ． 5 5
在Rt△PCQ中，∠PCQ ＝ 90°， ∠CPQ ＝∠CAB，
∴∠AFC=∠ACH．
又∵∠CAH=∠FAC，∴△ACH∽△AFC． （2）连结FB．
∵AB是直径，∴∠AFB=∠AEH=90°．
又∠EAH=∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB． ∴
AE AH = .∴AH•AF＝AE•AB. AF AB
九年级 第七章第一节课中
（3）当OE = 3 （或 AE = 1 ）时， S△AEC :S△BOD = 1:4 2 2 理由如下： ∵直径AB⊥CD，∴CE=ED．
32 ∴CQ＝PCtan∠CPQ＝4 PC ，∴CQ ＝ 4 24 ＝ ． 5 3 5 3
九年级 第七章第一节课中
（2）当点P运动到 AB 的中点时，如图7-1-7所示，过点B作BE⊥PC于点E． ∵P是 AB 的中点，AB是⊙O的直径． ∴∠PCB＝∠PCA =45°． 又∵BE⊥PC，BC=4 ， ∴CE＝BE＝ 2 ． 2 又∵∠CPB＝∠CAB， ∴tan∠CPB＝ tan∠CAB＝ 4 ，
由垂径定理，得 MD MN 2 3．
即圆心O到弦MN的距离为2cm．
（2）如图7-1-3所示．
∵点M是 AB 的中点，∴OM⊥AB． ∴∠OMD＋∠ACM＝90° ∵cos∠OMD＝ ∴∠ACM＝60°．
MD 3 ，∴∠OMD＝30°， OM 2
2012年中考复习数学(练习版)课件7.3直线与圆、圆与圆的位置关系
∵点G是AD的中点，∴EG= AD=DG
∴∠1+∠3=∠2+∠4．∴∠OEG=∠ODG=90°． 即GE⊥OE于点E，∴ GE是⊙O的切线．
九年级 第七章第三节课中
例3 如图7-3-3，⊙O1 与⊙O2 外切于点P．⊙O1 与⊙O2 的半径 之比r1：r2＝3：2，已知AP＝6cm．延长AP交⊙ O2 于点B．求AB 的长．
九年级 第七章第三节课中
如图7-3-1，P为正比例函数 y = 3 x 图象上的一个动点，⊙P 2 的半径为3，设点P的坐标为（a，b）． 例1 （1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标； （2）请直接写出⊙P与直位置关系，
只要比较圆心到直线x=2的距离d与半径r
的大小关系．故作PA⊥直线x=2于点A， 然后，由直线与圆不同的位置关系，可
得d与r的大小关系，进而可得点P的坐标．
九年级 第七章第三节课中
解 （1）过点P作直线x=2的垂线，垂足为点A． 当点P在直线x=2的右侧时，a=5，P（5， ）；
3 ； 当点P在直线x=2的左侧时，a=-1，P （-1， - ） 2 3 ∴当⊙P与直线x=2相切时，点P的坐标为（5， ）或 （-1， - ） 2 15 2 15 2
九年级 7.3课后
九年级 7.3课后
B
九年级 7.3课后
解：
B
九年级 7.3课后
九年级 7.3课后
F D
九年级 7.3课后
九年级 7.3课后
A
O
E
C F D
B
九年级 7.3课前
九年级 7.3课前
参考答案：
1 ． A
2 ． C
3 ． D
2012年中考数学第一轮复习第25课 圆的有关性质
第25课圆的有关性质第一部分讲解部分（一）课标要求1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念．2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．（二）知识要点1.圆的有关概念：（1）圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合．（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．小于半圆周的圆弧叫做劣弧．大于半圆周的圆弧叫做优弧．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（4）经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点．2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．3.圆心角定理同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等．4.圆周角定理同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径．推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．5.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角．（三）考点精讲考点一 ：考查圆的有关概念例1 （2011年四川省凉山州） 如图1，︒=∠100AOB ，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则ACB ∠的度数为（ ）A.50°B.80°或50°C. 130°D. 50°或130°分析：因为点C 的位置有两种可能，既可以在优弧上，也可以在劣弧上，所以要分两种情况讨论．解：当点C 在优弧上时，︒=÷︒=∠502100ACB ；当点C 在劣弧上时，︒=÷︒-︒=∠1302)100360(ACB ．所以本题选择D ．评注：本题中圆上两点把圆分成两部分，导致问题会出现两种不同的结果，这一点在解题时不能忽略．考点二 ：考查垂径定理的应用例2 （2011年浙江省绍兴市）一条排水管的截面如图2所示.已知排水管的截面圆半径10OB =，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，求水面宽A B 的大小．分析：根据垂径定理把已知量与未知量转化到一个直角三角形中后，利用勾股定理来解决问题． 解：因为OC ⊥AB ，由垂径定理，得，AC ＝BC ．在Rt △OBC 中，由勾股定理，得86102222=-=-=OC OB BC ，所以162==BC AB ．评注：垂径定理及其推论是圆的重要性质，它是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆中一些计算和作图问题提供了方法和依据． 考点三：考查弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例3 （2011年浙江省嘉兴市）如图3，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②OE CE =；③△ODE ∽△ADO ；④AB CE CD⋅=22．其中正确结论的序号是 ．分析：根据弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系来对结论逐一判断．解：（1）因为∠COD ＝2∠CAD ＝45°＝∠ACO ，所以AC ∥OD ；（2）在△COD 和△CDE 中，∠DCE 是它们的公共角，∠COD ＝45°＝∠CDE ，所以△C OD ∽△CDE ，所以CD COCE CD=．又因为CO AB 2=，所以AB CE CD ⋅=22．于是本题选择 ①④．图2图3评注：弧、弦、圆心角、圆周角之间的相等或倍分关系是论证同等或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．（四）易错点剖析易错点一 点的位置不唯一出错例题1 △ABC 点是半径为1的圆内接三角形，且3=BC ，求∠A 的度数．解 （1）当点A 在优弧BAC 上时（如图），过圆心O 作OD ⊥BC 于点D ．在Rt △BOD 中，1=OB ，2321==BC BD ，所以23cos ==∠OB ODBOD ，所以︒=∠60BOD ，︒=∠120BOC ，那么︒=∠60A ．（2）当点A 在劣弧BC 上时，即图中点A '的位置时，这时，︒=∠-︒='∠120180A A ．易错剖析 圆中一条弦所对的弧有两条，导致点在弦所对的弧上的位置不唯一，这一点常常被忽视．因此在解决此类问题时，一定要考虑点在优弧上与劣弧上两种情况分析．易错点二 弦的位置不唯一出错例题2 在半径为1的⊙O 中，弦2AB =，3AC =，那么B A C ∠=________．解 （1）当两弦在圆心的一侧时（图1），︒=︒-︒=∠-∠=∠153045CAD BAD BAC ．（2）当两弦在圆心的两侧时（图2），︒=︒+︒=∠+∠=∠753045CAD BAD BAC ． 易错剖析 已知两弦的长，但它们的位置没有确定，因为它们位置可能位于圆心的同侧，也可能位于圆心的异侧，所以，本题存在两种情况，解题时容易忽视其中的一种情形．（五）真题演练1.（2011年福建省三明市）如图1，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C ＝40°，则∠ABD 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°2．（2011年安徽省）如图2，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB=CD ，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是_________.3．（2011年甘肃省兰州市）如图3，线段OB 是⊙O 的半径，点C 、点D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度．4．（2011年深圳市）如图4，在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB ＝23cm ，则OA ＝___________cm ．5．（2011年江苏省扬州市）如图5，O ⊙的弦C D 与直线径A B 相交，若50B A D ∠=°，则A C D ∠=___________°.第二部分 练习部分1.（2011重庆市潼南）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠A =30°,则∠B 的度数为（ ）A ．15°B . 30°C . 45° D. 60°2.（2011广东肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°3.（2011江苏南通）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A.8B. 2C. 10D. 54.（2011四川内江）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．1 B．3C．2 D．235.（2011四川成都）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的大小是（）A．116°B．32°C．58°D．64°6.（2011山东泰安）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=6，则⊙O的半径为（）A. 2B.2 2C.22D.627.（2011广东湛江）如图，A、B、C是O上的三点，30BAC︒∠=，则B O C∠=度．8.（2011台湾全区）如图，△ABC 的外接圆上，AB 、BC 、CA 三弧的度数比为12:13:11．自BC 上取一点D ，过D 分别作直线AC 、直线AB 的并行线，且交BC 于E 、F 两点，则∠EDF 的度数 ．9.（2011内蒙古乌兰察布）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 ．A .70︒B . 35︒C . 30︒D . 20︒10.（2011甘肃兰州）如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度．11.（2011四川广安）如图，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦A B 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦A B 的长为________cm ．12.（2011江西）如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）． （1）求∠BAC 的度数；（2）求△ABC 面积的最大值.．（参考数据：sin60°=23，cos30°=23，tan30°=33.）★“真题演练”答案★1．B ．提示：根据圆周角，圆心角，等腰三角形的性质解决问题.2. 5．提示：作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，易证四边形OMEN 是正方形．由于CD=CE+ED=4，所以CN=2，EN=CN －CE=1，则ON=1，再连接OC ，使用勾股定理即可求出OC=5．3. 63°．提示：∠DOB=2∠DCB=54°，△OBD 是等腰三角形，得∠OBD=（180°－54°）÷2=63°．4. 4 ．提示：根据弦的性质、直角三角形的知识求解．5.40．提示：0000=90905040ACD ABD BAD ∠∠=-∠=-=．★“练习部分”答案★1．D 提示：由AB 是直径，得∠C=90°．而∠A =30°，所以∠B=60°．2．B 提示：由“圆内接四边形对角互补”可知，∠BAD ＋∠BCD ＝180°．又因为∠DCE ＋∠BCD ＝180°，所以∠BAD ＋∠BCD ＝180°，所以∠DCE ＝∠BAD ＝105°．3．D 提示：连接OA ，由OM 平分弦AB ，得OM ⊥AB 在Rt △OAM 中，3=OM ，4=AM ，由色股定理，得5=OA ．4．D 提示：过O 点作OD ⊥BC ，垂足为D ．因为︒=∠=∠1202BAC BOC ，所以︒=∠30OBD ，所以121==OB OD ，由勾股定理，得31222=-=BD ，所以322==BD BC ．5．B 提示：由AB 是直径，得∠ADB=90°，所以︒=︒-︒=∠-︒=∠32589090ABD BAD ．又因为∠BCD 与∠BAD 是同弧所对的圆周角，所以︒=∠=∠32BAD BCD ．6．A 提示：连接OA 构造一个直角三角形，它的一条直角边是AB 长的一半，另一条直角边是半径的一半，由勾股定理列一元二次方程求解半径即可．7.60提示：因为∠BAC 与∠BOC 分别是弧BC 所对的圆周角和圆心角，所以︒=︒⨯=∠=∠603022BAC BOC ．8．65 提示：因为︒=÷⨯++︒=∠65213111312360A ．由两直线平行，内错角相等，得与分别有两对角相等，再由三角形内角和等于180°，得它们的另一组角相等，即︒=∠=∠65A EDF ．9．35°提示：因为直径AB 垂直于弦CD ，所以弧BC 与弧BD 相等，所以︒=∠=∠3521BOC A ． 10．63°提示：由“同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”，得︒=︒⨯=∠=∠542722DCB DOB ，又由OD OB =，得ODB OBD ∠=∠，所以︒=︒-︒=∠63254180OBD ．11．24提示：过点O 作OD ⊥BC 于点D ．由垂线段最短，得cm OD 5=，由勾股定理，得cm AD 12=，由垂径定理，得cm AD AB 242==．12.提示：（1）过点O 作OD ⊥BC 于点D, 连接OC ．因为OC =2，所以sin D O C ∠=C D O C ，即sin D O C ∠=32，所以∠DOC =60°．又OD ⊥BC ，所以∠BAC =∠DOC =60°．（2）当点A 是 BAC 的中点时，△ABC 面积的最大值．因为∠BAC =60°，所以△ABC 是等边三角形，在Rt △ADC 中，AC =23，DC =3,所以AD =22AC DC -=22(23)3-=3．所以△ABC 面积的最大值为23×3×12=33．。
中考复习——圆的有关概念及性质
圆的有关概念及性质复习【课标要求】：1．理解圆的定义和圆的有关概念；2.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用它们之间的关系解决有关问题；3.掌握垂径定理及其应用【复习目标】：1．知道圆、弧、弦、圆心角、圆周角等基本概念；认识圆的对称性；了解圆锥的侧面展开图是扇形。
2．能用垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，圆周角定理及推论，等进行简单的运算和推理；会通过作图的方法理解确定圆的条件。
3．会用折叠、旋转、圆的对称性及分类讨论的思想方法探索图形的有关性质，能将有关弦长、半径的实际计算问题转化成解直角三角形问题解决。
【知识梳理】：考点导航1．与圆有关的概念(1)圆的定义_________________________________图形叫做圆．(2)弦：连结圆上___________的线段叫做弦．(3)直径：___________的弦叫做直径．(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做___________．(5)优弧：___________叫做优弧．(6)劣弧：___________叫做劣弧．(7)同心圆：圆心相同、半径不相等的圆的叫做同心圆．(8)等圆：___________叫做等圆．(9)等弧：在同圆或等圆中，___________的弧叫做等弧．2．过三点的圆(1)经过___________三点不能作圆．(2)不在同一直线上的三点确定___________个圆．3．垂径定理及推论(1)垂径定理垂直于弦的直径___________，并且___________．(2)推论平分弦(不是直径)的直线___________，并且___________．弦的垂直平分线____________________________________________________.平分弦所对的一条弧的直径，______________________________________.4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________，所对的弦___________，所对的弦的弦心距___________．5．圆周角定理及推论(1)定理：在___________或___________中，同弧或等弧所对的圆周角___________，都等于这条弧所对___________的一半．(2)推论：___________(或___________)所对的圆周角是___________，90°的圆周角所对的弦是___________．6．圆内接四边形圆内接四边形的对角___________，一个外角等于它的___________．考点点拨1．注意相关概念的区分(1)弧与半圆：半圆是弧，但弧不一定是半圆．(2)弦与直径：直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦．(3)等弧与长度相等的弧：等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧．(4)等圆和同心圆：等圆是半径相等圆心不同的圆，而同心圆是半径不等圆心相同的圆．2．常用的辅助线(1)作半径，利用同圆的半径相等；(2)作弦心距，利用垂径定理进行计算或推理，或利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明；(3)作半径和弦心距，构造直角三角形进行计算；(4)构造直径所对的圆周角——直角；(5)构造同弧或等弧所对的圆周角；(6)遇到三角形的外心常连结外心和三角形各顶点．3．分类讨论解“圆”题，防止漏解如：一条弦所对的圆周角有两种，所以在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补．圆内两条平行弦与圆心的位置关系有两种等．【考题研究】考点 1 圆的概念和性质例1 下列命题中，假命题是( )A ．两条弧的长度相等，它们是等弧B ．等弧所对的圆周角相等C ．直径所对的圆周角是直角D ．一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍意图：本题是考查圆的基本概念和性质，要结合图形深刻理解和熟练记忆．考点 2 圆的弦、半径、弦心距的计算例2 如图1-9-1，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，若大圆半径为10 cm ，小圆半径为6 cm ，则弦AB 的长为___________．意图：在一个圆中，若已知圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+2a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．考点 3 圆心角、弧、弦之间的关系例3 (2011·河南)如图1-9-3所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于___________．意图：相同弧所对的周围角相等．考点 4 圆心角与圆周角的关系及应用例4 (2011·芜湖)如图1-9-5，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为___________．意图：本题主要考查秀点，一是在同圆或等圆中，等弧所对圆心角相等，二是同弧所对圆周角等于圆心解的一半．【中考链接】1.（2011浙江绍兴，4，4分）如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若16∠=︒,C则B O C∠的度数是（）A.74︒B. 48︒C. 32︒D. 16︒2.（2011浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10O B=，截面圆圆心O到水面的距离O C是6，则水面宽AB是（）A.16B.10C.8D.63.（2011四川凉山州，9，4分）如图，100上，且点C不与A、∠= ，点C在OAOBB重合，则A C B∠的度数为（）A．50 B．80 或50 C．130 D．50 或1304.（2011湖北荆州，12，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是.5.（2011浙江杭州，14，4）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA 是∠OCD的平分线，则∠ABD十∠CAO= °6. （2011四川乐山6，3分）如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=( )A．40°B．60°C．70°D．80°7. （2011江西，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC 所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。
中考数学专题复习：与圆切线有关的线段计算
中考数学专题复习：与圆的切线有关的线段计算斗门区第四中学卢燕英教学目标：1、掌握圆的切线证明的技巧．2、会选择适当的作辅助线的方法．3、学会计算与圆的切线有关的线段．教学重点：1、圆的切线的证明 2、与圆的切线有关的线段的计算．教学难点：灵活运用勾股定理、相似三角形对应边成比例、三角函数等建立方程进行有关线段的计算．教学方法:启发引导与归纳讨论相结合．教学过程：一、复习：1．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．（解决与圆的切线有关题目）解题技巧是：圆心与切点的连线是常用的辅助线．2．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆切线．证圆的切线技巧：（1）如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与该半径垂直，即“有交点，连半径，证垂直”．（2）如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．二、运用技巧类型一：“有交点，连半径，证垂直”．【难点在于如何证明两线垂直】1.如图，AB=AC，AB为⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M，求证：DM与⊙O相切．【说明】：此题可以引导学生通过证明平行来证明垂直，也可通过证明两角互余，来证明垂直，解题中要注意知识的综合运用。
（还有的题目也可证明三角形全等来证明垂直，这里就没去举例）类型二：“无交点，作垂直，证半径”．【难点在于作出的垂线段，如何证明该垂线段等于半径】2．如图，已知OC平分∠AOB，D是OC上任一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切．小结：切线证明的步骤及方法：①审题；②根据题意选择适当的添辅助线方法；③证垂直或证半径．三、实战中考例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．变式训练：如图,点D为⊙O上的一点,点C在直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作O的切线,交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=，求BE的长．A B【解题的关键】构造思想——运用相似三角形对应边成比例，或三角函数边角的关系、勾股定理等找出隐藏的线段之间的数量关系，建立数学模型，利用方程的思想，设出未知数表示关键的线段，再运用线段之间的数量关系建立方程来解决问题。
人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE ．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
(完整版)中考数学专题复习圆压轴八大模型题(学生用)(最新整理)
2.（2018·云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，∠AC 平分∠BAD，连接 BF． （1）求证：AD⊥ED； （2）若 CD＝4，AF＝2，求⊙O 的半径．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
直线 CM 是⊙O 的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若 ＝ ，则
＝ ．
（图 1-2）
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别 平分∠BAD 和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF
求 PA 和 AD.
求 AD、PD、PA 的长.
【典例】 （2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC． （1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ＝2，求 的值．
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十河中心中学九年级数学导学案
备课时间2012-2-18 主备 卞广林 课题：2012年中考数学专题复习课——圆 课型 复习课
【学习目标】 1、回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己的方式进行梳理，使所学知识系统化 2、进一步丰富对圆及相关结论的认识，并能有条理地、清晰地阐明自己的观点 3、通过复习课的教学，感受归纳的思想方法，养成反思的习惯 【重点难点】圆的有关概念和性质的应用 【预习导学】自主预习 小组交流
一、圆的有关概念和性质 1、点与圆的3种位置关系及点到圆心的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系 点P 在⊙O ⇔d ＜r; 点P 在⊙O ⇔d=r; 点P 在⊙O ⇔d ＞r. 2、圆是轴对称图形， 是它的对称轴。
圆有 对称轴 3、垂径定理： ∵AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD 于P ， ∴CP ＝ ，
＝ , ＝
4、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
5、在同圆或等圆中，如果两个 、 、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
6、顶点在______的角叫做圆心角；顶点在_____上,并且两边都和圆______的角叫圆周角。
7、圆心角的度数与 度数相等，____________所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的_________.
8、直径（或半圆）所对的圆周角是______. 90°的圆周角所对的弦是________. 9、 ________确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆
的 叫做 ，它是三角形三条边的 的交点，这个三角 形叫做
10、三角形的外心与三角形的位置关系。
锐角三角形的外心位于 ；钝角三角形的外心位于 ；
直角三角形的外心位于
11、直角三角形外接圆半径等于______的一半
12、切线的判定方法：
（1）根据定义： （2）利用数量关系：
（3）判定定理：经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线.
13、切线的性质：圆的切线垂直于 的半径.
14、直线与圆的3种位置关系：
（1）相交：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相交。
（2）相切：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相切。
这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
（3）相离：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相离。
如果⊙O 的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ，那么：
直线l 和⊙O ⇔d ＜r ；直线l 和⊙O ⇔d=r ；
直线l 和⊙O ⇔d ＞r.
15、从圆外引圆的两条切线，它们的 相等，这点和圆心的连线平分
∵ PA 、PB 是⊙O 的两条切线切点分别为A 、B. ∴ = ，OP 平分
16、圆与圆的5种位置关系：若两圆的半径分别为R 、r ，
两圆外离 两圆外切
两圆相交 两圆内切 两圆内含
17、正多边形都是 对称图形，正n 边形有 条对称轴，每条对称轴都过正n 边形，的 ，正偶数边形既是 对称图形，又是 对称图形。
【课堂合作研讨】小组展示交流
1、⊙O 的半径为6㎝，OA 、OB 、OC 的长分别为5㎝、6㎝、7㎝，
则点A 、B 、C 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O_____，点B 在⊙O_______，点C 在⊙O______。
2、如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠AOB=____，∠OAB=_____。
3、如图，⊙O 的半径为10，弦AB 的长为12，OD ⊥AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于 点 C ， 则OD=_______，CD=_______。
⇔⇔
⇔⇔⇔
4、如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB⊥AC，且AB=8，AC=6，则⊙O的半径等于_______。
（第 2题）（第 3题）（第 4题）
5、已知两圆的圆心距为3，半径分别为1和 2，则两圆的位置关系为____________________．
6、如图，已知点A、B、C在⊙O上，∠COA＝100°，则∠CBA的度数是（）
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
7、如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD＝1，若AB＝4，则该圆的半径是（）
A.3
B.2
C. 5
D.3
8、如图，D为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点
E，连接BE、CE，则图中相似三角形共有（） A. 8对 B. 6对 C. 4对 D.
2对
9、如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：①AB=AC；
②AB=AC；③AD⊥BC；④AB⊥AC。
其中正确结论的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第6题）（第7题）（第8题）（第 9题）
【课后作业】
1、如图，AB为O
⊙的直径，CD为O
⊙的弦，42
ACD
∠=°，则BAD
∠=__________．
2、如图，点C D
、在以AB为直径的O
⊙上，且CD平分ACB
∠，若215
AB CBA
=∠=
，°，
则CD的长为．
3、如图所示，A、B、C、D是圆上的点，17040
A
∠=∠=
°，°，则C
∠=__________
4、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．
第1题第2题第3题第4题
5、如图1，AF、AE、CB都是⊙O的切线，AF=4，则ΔABC的周长是。
6、如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF BF
=；
（2）若2
AD=，⊙O的半径为3，求BC的长．
教学反思：
⌒⌒
B。