2012年中考数学专题复习课——圆
2012年中考数学第一轮复习第28课 和圆有关的计算
第28课 和圆有关的计算第一部分 讲解部分（一）课标要求1.会计算圆的弧长、扇形的面积。
2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
（二）知识要点1.圆的弧长、扇形面积及圆锥侧面积的计算： （1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π==（n 指圆心角，R 指扇形多对应的圆的半径，l 指扇形弧长，S 指扇形面积）；（3）圆锥的侧面积：rl S π=侧（ｒ指底面圆的半径，l 指母线长）。
2.圆内正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R n ， 边心距r n ，边长a n ，内角βn ， 边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行.（三）考点精讲考点一 ：求弧长例1 （2010年江苏省苏州市）如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O 、A 、B 分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的弧长等于 ．(结果保留根号及π)．分析:本题可以直接根据弧长公式180n Rl π=求解。
解: 由格点图可知，扇形OAB 的圆心角等于90°，弧AB 所在的圆O 的半径等于22，根据弧长公式得弧AB 的长度是：ππ21802290=⨯． 评注：求一条弧的弧长，一般要知道两个量：（1）这条弧所在的圆的半径；（2）这条弧所对的圆心角．考点二 ：求扇形的面积αnβnABCDEOa r n nnR例2 （2010年山东省菏泽市）如图，△OAB 中，OA=OB ，∠A=30°,⊙O 经过AB 的中点E 分别交OA 、OB 于C 、D 两点 ，连结CD ，且CD=34，求扇形OCED 的面积．分析：先求出扇形所在圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式求解。
解：连接OE ，∵OA =OB ，E 是AB 的中点，∴OE ⊥AB . 在△OAB 和△OCD 中，∠COD =∠AOB ,OC =OD ,OA =OB ,∴∠OCD =∠OAB ,∴CD ∥AB .又∵∠A =30°,∴∠OCD =30°,OE ⊥CD ,CF =23,∠COD =120°,OC =2332=4,S 扇形OCED=120π×1616π3603=.评注：本题利用扇形的面积计算公式解决问题．扇形的面积公式是：3602R n S π=扇形，计算扇形的面积，首先要根据已知条件求扇形所在的圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可．考点三 ：圆内正多边形的有关计算例3（2011年安徽省芜湖市）如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为_______。
2012年中考复习数学(练习版)课件7.1圆的基本性质
解
(1)当点P运动到与点C关于AB对称时，如图7-1-6所示，此时
C O D P Q
CP⊥AB于D． ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB ＝90°． ∵BC＝ 4， AC＝3， ∴AB＝5．
A
B
又∵AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝
12 24 图 7-1-6 ，PC＝ ． 5 5
在Rt△PCQ中，∠PCQ ＝ 90°， ∠CPQ ＝∠CAB，
∴∠AFC=∠ACH．
又∵∠CAH=∠FAC，∴△ACH∽△AFC． （2）连结FB．
∵AB是直径，∴∠AFB=∠AEH=90°．
又∠EAH=∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB． ∴
AE AH = .∴AH•AF＝AE•AB. AF AB
九年级 第七章第一节课中
（3）当OE = 3 （或 AE = 1 ）时， S△AEC :S△BOD = 1:4 2 2 理由如下： ∵直径AB⊥CD，∴CE=ED．
32 ∴CQ＝PCtan∠CPQ＝4 PC ，∴CQ ＝ 4 24 ＝ ． 5 3 5 3
九年级 第七章第一节课中
（2）当点P运动到 AB 的中点时，如图7-1-7所示，过点B作BE⊥PC于点E． ∵P是 AB 的中点，AB是⊙O的直径． ∴∠PCB＝∠PCA =45°． 又∵BE⊥PC，BC=4 ， ∴CE＝BE＝ 2 ． 2 又∵∠CPB＝∠CAB， ∴tan∠CPB＝ tan∠CAB＝ 4 ，
由垂径定理，得 MD MN 2 3．
即圆心O到弦MN的距离为2cm．
（2）如图7-1-3所示．
∵点M是 AB 的中点，∴OM⊥AB． ∴∠OMD＋∠ACM＝90° ∵cos∠OMD＝ ∴∠ACM＝60°．
MD 3 ，∴∠OMD＝30°， OM 2
2012年中考复习数学(练习版)课件7.3直线与圆、圆与圆的位置关系
∵点G是AD的中点，∴EG= AD=DG
∴∠1+∠3=∠2+∠4．∴∠OEG=∠ODG=90°． 即GE⊥OE于点E，∴ GE是⊙O的切线．
九年级 第七章第三节课中
例3 如图7-3-3，⊙O1 与⊙O2 外切于点P．⊙O1 与⊙O2 的半径 之比r1：r2＝3：2，已知AP＝6cm．延长AP交⊙ O2 于点B．求AB 的长．
九年级 第七章第三节课中
如图7-3-1，P为正比例函数 y = 3 x 图象上的一个动点，⊙P 2 的半径为3，设点P的坐标为（a，b）． 例1 （1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标； （2）请直接写出⊙P与直位置关系，
只要比较圆心到直线x=2的距离d与半径r
的大小关系．故作PA⊥直线x=2于点A， 然后，由直线与圆不同的位置关系，可
得d与r的大小关系，进而可得点P的坐标．
九年级 第七章第三节课中
解 （1）过点P作直线x=2的垂线，垂足为点A． 当点P在直线x=2的右侧时，a=5，P（5， ）；
3 ； 当点P在直线x=2的左侧时，a=-1，P （-1， - ） 2 3 ∴当⊙P与直线x=2相切时，点P的坐标为（5， ）或 （-1， - ） 2 15 2 15 2
九年级 7.3课后
九年级 7.3课后
B
九年级 7.3课后
解：
B
九年级 7.3课后
九年级 7.3课后
F D
九年级 7.3课后
九年级 7.3课后
A
O
E
C F D
B
九年级 7.3课前
九年级 7.3课前
参考答案：
1 ． A
2 ． C
3 ． D
2012年中考数学第一轮复习第25课 圆的有关性质
第25课圆的有关性质第一部分讲解部分（一）课标要求1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念．2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．（二）知识要点1.圆的有关概念：（1）圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合．（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．小于半圆周的圆弧叫做劣弧．大于半圆周的圆弧叫做优弧．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（4）经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点．2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．3.圆心角定理同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等．4.圆周角定理同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径．推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．5.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角．（三）考点精讲考点一 ：考查圆的有关概念例1 （2011年四川省凉山州） 如图1，︒=∠100AOB ，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则ACB ∠的度数为（ ）A.50°B.80°或50°C. 130°D. 50°或130°分析：因为点C 的位置有两种可能，既可以在优弧上，也可以在劣弧上，所以要分两种情况讨论．解：当点C 在优弧上时，︒=÷︒=∠502100ACB ；当点C 在劣弧上时，︒=÷︒-︒=∠1302)100360(ACB ．所以本题选择D ．评注：本题中圆上两点把圆分成两部分，导致问题会出现两种不同的结果，这一点在解题时不能忽略．考点二 ：考查垂径定理的应用例2 （2011年浙江省绍兴市）一条排水管的截面如图2所示.已知排水管的截面圆半径10OB =，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，求水面宽A B 的大小．分析：根据垂径定理把已知量与未知量转化到一个直角三角形中后，利用勾股定理来解决问题． 解：因为OC ⊥AB ，由垂径定理，得，AC ＝BC ．在Rt △OBC 中，由勾股定理，得86102222=-=-=OC OB BC ，所以162==BC AB ．评注：垂径定理及其推论是圆的重要性质，它是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆中一些计算和作图问题提供了方法和依据． 考点三：考查弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例3 （2011年浙江省嘉兴市）如图3，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②OE CE =；③△ODE ∽△ADO ；④AB CE CD⋅=22．其中正确结论的序号是 ．分析：根据弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系来对结论逐一判断．解：（1）因为∠COD ＝2∠CAD ＝45°＝∠ACO ，所以AC ∥OD ；（2）在△COD 和△CDE 中，∠DCE 是它们的公共角，∠COD ＝45°＝∠CDE ，所以△C OD ∽△CDE ，所以CD COCE CD=．又因为CO AB 2=，所以AB CE CD ⋅=22．于是本题选择 ①④．图2图3评注：弧、弦、圆心角、圆周角之间的相等或倍分关系是论证同等或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．（四）易错点剖析易错点一 点的位置不唯一出错例题1 △ABC 点是半径为1的圆内接三角形，且3=BC ，求∠A 的度数．解 （1）当点A 在优弧BAC 上时（如图），过圆心O 作OD ⊥BC 于点D ．在Rt △BOD 中，1=OB ，2321==BC BD ，所以23cos ==∠OB ODBOD ，所以︒=∠60BOD ，︒=∠120BOC ，那么︒=∠60A ．（2）当点A 在劣弧BC 上时，即图中点A '的位置时，这时，︒=∠-︒='∠120180A A ．易错剖析 圆中一条弦所对的弧有两条，导致点在弦所对的弧上的位置不唯一，这一点常常被忽视．因此在解决此类问题时，一定要考虑点在优弧上与劣弧上两种情况分析．易错点二 弦的位置不唯一出错例题2 在半径为1的⊙O 中，弦2AB =，3AC =，那么B A C ∠=________．解 （1）当两弦在圆心的一侧时（图1），︒=︒-︒=∠-∠=∠153045CAD BAD BAC ．（2）当两弦在圆心的两侧时（图2），︒=︒+︒=∠+∠=∠753045CAD BAD BAC ． 易错剖析 已知两弦的长，但它们的位置没有确定，因为它们位置可能位于圆心的同侧，也可能位于圆心的异侧，所以，本题存在两种情况，解题时容易忽视其中的一种情形．（五）真题演练1.（2011年福建省三明市）如图1，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C ＝40°，则∠ABD 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°2．（2011年安徽省）如图2，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB=CD ，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是_________.3．（2011年甘肃省兰州市）如图3，线段OB 是⊙O 的半径，点C 、点D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度．4．（2011年深圳市）如图4，在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB ＝23cm ，则OA ＝___________cm ．5．（2011年江苏省扬州市）如图5，O ⊙的弦C D 与直线径A B 相交，若50B A D ∠=°，则A C D ∠=___________°.第二部分 练习部分1.（2011重庆市潼南）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠A =30°,则∠B 的度数为（ ）A ．15°B . 30°C . 45° D. 60°2.（2011广东肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°3.（2011江苏南通）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A.8B. 2C. 10D. 54.（2011四川内江）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．1 B．3C．2 D．235.（2011四川成都）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的大小是（）A．116°B．32°C．58°D．64°6.（2011山东泰安）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=6，则⊙O的半径为（）A. 2B.2 2C.22D.627.（2011广东湛江）如图，A、B、C是O上的三点，30BAC︒∠=，则B O C∠=度．8.（2011台湾全区）如图，△ABC 的外接圆上，AB 、BC 、CA 三弧的度数比为12:13:11．自BC 上取一点D ，过D 分别作直线AC 、直线AB 的并行线，且交BC 于E 、F 两点，则∠EDF 的度数 ．9.（2011内蒙古乌兰察布）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 ．A .70︒B . 35︒C . 30︒D . 20︒10.（2011甘肃兰州）如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度．11.（2011四川广安）如图，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦A B 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦A B 的长为________cm ．12.（2011江西）如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）． （1）求∠BAC 的度数；（2）求△ABC 面积的最大值.．（参考数据：sin60°=23，cos30°=23，tan30°=33.）★“真题演练”答案★1．B ．提示：根据圆周角，圆心角，等腰三角形的性质解决问题.2. 5．提示：作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，易证四边形OMEN 是正方形．由于CD=CE+ED=4，所以CN=2，EN=CN －CE=1，则ON=1，再连接OC ，使用勾股定理即可求出OC=5．3. 63°．提示：∠DOB=2∠DCB=54°，△OBD 是等腰三角形，得∠OBD=（180°－54°）÷2=63°．4. 4 ．提示：根据弦的性质、直角三角形的知识求解．5.40．提示：0000=90905040ACD ABD BAD ∠∠=-∠=-=．★“练习部分”答案★1．D 提示：由AB 是直径，得∠C=90°．而∠A =30°，所以∠B=60°．2．B 提示：由“圆内接四边形对角互补”可知，∠BAD ＋∠BCD ＝180°．又因为∠DCE ＋∠BCD ＝180°，所以∠BAD ＋∠BCD ＝180°，所以∠DCE ＝∠BAD ＝105°．3．D 提示：连接OA ，由OM 平分弦AB ，得OM ⊥AB 在Rt △OAM 中，3=OM ，4=AM ，由色股定理，得5=OA ．4．D 提示：过O 点作OD ⊥BC ，垂足为D ．因为︒=∠=∠1202BAC BOC ，所以︒=∠30OBD ，所以121==OB OD ，由勾股定理，得31222=-=BD ，所以322==BD BC ．5．B 提示：由AB 是直径，得∠ADB=90°，所以︒=︒-︒=∠-︒=∠32589090ABD BAD ．又因为∠BCD 与∠BAD 是同弧所对的圆周角，所以︒=∠=∠32BAD BCD ．6．A 提示：连接OA 构造一个直角三角形，它的一条直角边是AB 长的一半，另一条直角边是半径的一半，由勾股定理列一元二次方程求解半径即可．7.60提示：因为∠BAC 与∠BOC 分别是弧BC 所对的圆周角和圆心角，所以︒=︒⨯=∠=∠603022BAC BOC ．8．65 提示：因为︒=÷⨯++︒=∠65213111312360A ．由两直线平行，内错角相等，得与分别有两对角相等，再由三角形内角和等于180°，得它们的另一组角相等，即︒=∠=∠65A EDF ．9．35°提示：因为直径AB 垂直于弦CD ，所以弧BC 与弧BD 相等，所以︒=∠=∠3521BOC A ． 10．63°提示：由“同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”，得︒=︒⨯=∠=∠542722DCB DOB ，又由OD OB =，得ODB OBD ∠=∠，所以︒=︒-︒=∠63254180OBD ．11．24提示：过点O 作OD ⊥BC 于点D ．由垂线段最短，得cm OD 5=，由勾股定理，得cm AD 12=，由垂径定理，得cm AD AB 242==．12.提示：（1）过点O 作OD ⊥BC 于点D, 连接OC ．因为OC =2，所以sin D O C ∠=C D O C ，即sin D O C ∠=32，所以∠DOC =60°．又OD ⊥BC ，所以∠BAC =∠DOC =60°．（2）当点A 是 BAC 的中点时，△ABC 面积的最大值．因为∠BAC =60°，所以△ABC 是等边三角形，在Rt △ADC 中，AC =23，DC =3,所以AD =22AC DC -=22(23)3-=3．所以△ABC 面积的最大值为23×3×12=33．。
中考复习——圆的有关概念及性质
圆的有关概念及性质复习【课标要求】：1．理解圆的定义和圆的有关概念；2.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用它们之间的关系解决有关问题；3.掌握垂径定理及其应用【复习目标】：1．知道圆、弧、弦、圆心角、圆周角等基本概念；认识圆的对称性；了解圆锥的侧面展开图是扇形。
2．能用垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，圆周角定理及推论，等进行简单的运算和推理；会通过作图的方法理解确定圆的条件。
3．会用折叠、旋转、圆的对称性及分类讨论的思想方法探索图形的有关性质，能将有关弦长、半径的实际计算问题转化成解直角三角形问题解决。
【知识梳理】：考点导航1．与圆有关的概念(1)圆的定义_________________________________图形叫做圆．(2)弦：连结圆上___________的线段叫做弦．(3)直径：___________的弦叫做直径．(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做___________．(5)优弧：___________叫做优弧．(6)劣弧：___________叫做劣弧．(7)同心圆：圆心相同、半径不相等的圆的叫做同心圆．(8)等圆：___________叫做等圆．(9)等弧：在同圆或等圆中，___________的弧叫做等弧．2．过三点的圆(1)经过___________三点不能作圆．(2)不在同一直线上的三点确定___________个圆．3．垂径定理及推论(1)垂径定理垂直于弦的直径___________，并且___________．(2)推论平分弦(不是直径)的直线___________，并且___________．弦的垂直平分线____________________________________________________.平分弦所对的一条弧的直径，______________________________________.4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________，所对的弦___________，所对的弦的弦心距___________．5．圆周角定理及推论(1)定理：在___________或___________中，同弧或等弧所对的圆周角___________，都等于这条弧所对___________的一半．(2)推论：___________(或___________)所对的圆周角是___________，90°的圆周角所对的弦是___________．6．圆内接四边形圆内接四边形的对角___________，一个外角等于它的___________．考点点拨1．注意相关概念的区分(1)弧与半圆：半圆是弧，但弧不一定是半圆．(2)弦与直径：直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦．(3)等弧与长度相等的弧：等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧．(4)等圆和同心圆：等圆是半径相等圆心不同的圆，而同心圆是半径不等圆心相同的圆．2．常用的辅助线(1)作半径，利用同圆的半径相等；(2)作弦心距，利用垂径定理进行计算或推理，或利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明；(3)作半径和弦心距，构造直角三角形进行计算；(4)构造直径所对的圆周角——直角；(5)构造同弧或等弧所对的圆周角；(6)遇到三角形的外心常连结外心和三角形各顶点．3．分类讨论解“圆”题，防止漏解如：一条弦所对的圆周角有两种，所以在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补．圆内两条平行弦与圆心的位置关系有两种等．【考题研究】考点 1 圆的概念和性质例1 下列命题中，假命题是( )A ．两条弧的长度相等，它们是等弧B ．等弧所对的圆周角相等C ．直径所对的圆周角是直角D ．一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍意图：本题是考查圆的基本概念和性质，要结合图形深刻理解和熟练记忆．考点 2 圆的弦、半径、弦心距的计算例2 如图1-9-1，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，若大圆半径为10 cm ，小圆半径为6 cm ，则弦AB 的长为___________．意图：在一个圆中，若已知圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+2a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．考点 3 圆心角、弧、弦之间的关系例3 (2011·河南)如图1-9-3所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于___________．意图：相同弧所对的周围角相等．考点 4 圆心角与圆周角的关系及应用例4 (2011·芜湖)如图1-9-5，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为___________．意图：本题主要考查秀点，一是在同圆或等圆中，等弧所对圆心角相等，二是同弧所对圆周角等于圆心解的一半．【中考链接】1.（2011浙江绍兴，4，4分）如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若16∠=︒,C则B O C∠的度数是（）A.74︒B. 48︒C. 32︒D. 16︒2.（2011浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10O B=，截面圆圆心O到水面的距离O C是6，则水面宽AB是（）A.16B.10C.8D.63.（2011四川凉山州，9，4分）如图，100上，且点C不与A、∠= ，点C在OAOBB重合，则A C B∠的度数为（）A．50 B．80 或50 C．130 D．50 或1304.（2011湖北荆州，12，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是.5.（2011浙江杭州，14，4）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA 是∠OCD的平分线，则∠ABD十∠CAO= °6. （2011四川乐山6，3分）如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=( )A．40°B．60°C．70°D．80°7. （2011江西，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC 所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。
中考数学专题复习：与圆切线有关的线段计算
中考数学专题复习：与圆的切线有关的线段计算斗门区第四中学卢燕英教学目标：1、掌握圆的切线证明的技巧．2、会选择适当的作辅助线的方法．3、学会计算与圆的切线有关的线段．教学重点：1、圆的切线的证明 2、与圆的切线有关的线段的计算．教学难点：灵活运用勾股定理、相似三角形对应边成比例、三角函数等建立方程进行有关线段的计算．教学方法:启发引导与归纳讨论相结合．教学过程：一、复习：1．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．（解决与圆的切线有关题目）解题技巧是：圆心与切点的连线是常用的辅助线．2．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆切线．证圆的切线技巧：（1）如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与该半径垂直，即“有交点，连半径，证垂直”．（2）如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．二、运用技巧类型一：“有交点，连半径，证垂直”．【难点在于如何证明两线垂直】1.如图，AB=AC，AB为⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M，求证：DM与⊙O相切．【说明】：此题可以引导学生通过证明平行来证明垂直，也可通过证明两角互余，来证明垂直，解题中要注意知识的综合运用。
（还有的题目也可证明三角形全等来证明垂直，这里就没去举例）类型二：“无交点，作垂直，证半径”．【难点在于作出的垂线段，如何证明该垂线段等于半径】2．如图，已知OC平分∠AOB，D是OC上任一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切．小结：切线证明的步骤及方法：①审题；②根据题意选择适当的添辅助线方法；③证垂直或证半径．三、实战中考例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．变式训练：如图,点D为⊙O上的一点,点C在直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作O的切线,交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=，求BE的长．A B【解题的关键】构造思想——运用相似三角形对应边成比例，或三角函数边角的关系、勾股定理等找出隐藏的线段之间的数量关系，建立数学模型，利用方程的思想，设出未知数表示关键的线段，再运用线段之间的数量关系建立方程来解决问题。
人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE ．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
(完整版)中考数学专题复习圆压轴八大模型题(学生用)(最新整理)
2.（2018·云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，∠AC 平分∠BAD，连接 BF． （1）求证：AD⊥ED； （2）若 CD＝4，AF＝2，求⊙O 的半径．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
直线 CM 是⊙O 的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若 ＝ ，则
＝ ．
（图 1-2）
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别 平分∠BAD 和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF
求 PA 和 AD.
求 AD、PD、PA 的长.
【典例】 （2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC． （1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ＝2，求 的值．
中考数学专题复习圆的基本性质课件人教版
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中考复习专题六—四边形和圆-(学生版)
课题：四边形和圆考点知识梳理：一、多边形1、多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．各边相等、各个内角也相等的多边形叫做正多边形．2、多边形的对角线：多边形的对角线是联结多边形不相邻的两个顶点的线段．从n 边形的一个顶点出发有(3)n -条对角线，将多边形分成(2)n -个三角形；一个n 边形共有(3)2n n -条对边线． 3、多边形的内角和与外角和：n （3n ≥）的内角和是(2)180n -⋅︒ ，外角和是360︒．正n 边形的每个外角的度数是360n ︒，每个内角的度数是(2)180n n-⋅︒． 二、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD 可表示为□ABCD ．2、平行四边形的性质：（1）平行四边形的两组对边分别平行；（2）平行四边形的两组对边分别相等；推论：夹在平行线间的平行线段相等．（3）平行四边形的两组对角分别相等；（4）平行四边形的对角线互相平分．（5）平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点． 3、平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（即定义）；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 三、矩形1、定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．2、矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个内角均为直角；（3）矩形的对角线相等． 3、矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形（即定义）；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）三个角是直角的四边形是矩形．四、菱形1、定义：有一组邻边相等的平边形是菱形．2、菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边均相等；（3）菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．3、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（即定义）；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边均相等的四边形是菱形．五、正方形1、定义：有一组邻边相等且有一内角是直角的平行四边形是正方形．2、正方形的性质：具有矩形、菱形的所有性质．3、正方形的判定：注：矩形、菱形和正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形．六、梯形1、定义：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形，叫做梯形。
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A
十河中心中学九年级数学导学案
备课时间2012-2-18 主备 卞广林 课题：2012年中考数学专题复习课——圆 课型 复习课
【学习目标】 1、回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己的方式进行梳理，使所学知识系统化 2、进一步丰富对圆及相关结论的认识，并能有条理地、清晰地阐明自己的观点 3、通过复习课的教学，感受归纳的思想方法，养成反思的习惯 【重点难点】圆的有关概念和性质的应用 【预习导学】自主预习 小组交流
一、圆的有关概念和性质 1、点与圆的3种位置关系及点到圆心的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系 点P 在⊙O ⇔d ＜r; 点P 在⊙O ⇔d=r; 点P 在⊙O ⇔d ＞r. 2、圆是轴对称图形， 是它的对称轴。
圆有 对称轴 3、垂径定理： ∵AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD 于P ， ∴CP ＝ ，
＝ , ＝
4、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
5、在同圆或等圆中，如果两个 、 、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
6、顶点在______的角叫做圆心角；顶点在_____上,并且两边都和圆______的角叫圆周角。
7、圆心角的度数与 度数相等，____________所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的_________.
8、直径（或半圆）所对的圆周角是______. 90°的圆周角所对的弦是________. 9、 ________确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆
的 叫做 ，它是三角形三条边的 的交点，这个三角 形叫做
10、三角形的外心与三角形的位置关系。
锐角三角形的外心位于 ；钝角三角形的外心位于 ；
直角三角形的外心位于
11、直角三角形外接圆半径等于______的一半
12、切线的判定方法：
（1）根据定义： （2）利用数量关系：
（3）判定定理：经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线.
13、切线的性质：圆的切线垂直于 的半径.
14、直线与圆的3种位置关系：
（1）相交：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相交。
（2）相切：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相切。
这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
（3）相离：直线与圆有 公共点时，叫做直线与圆相离。
如果⊙O 的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ，那么：
直线l 和⊙O ⇔d ＜r ；直线l 和⊙O ⇔d=r ；
直线l 和⊙O ⇔d ＞r.
15、从圆外引圆的两条切线，它们的 相等，这点和圆心的连线平分
∵ PA 、PB 是⊙O 的两条切线切点分别为A 、B. ∴ = ，OP 平分
16、圆与圆的5种位置关系：若两圆的半径分别为R 、r ，
两圆外离 两圆外切
两圆相交 两圆内切 两圆内含
17、正多边形都是 对称图形，正n 边形有 条对称轴，每条对称轴都过正n 边形，的 ，正偶数边形既是 对称图形，又是 对称图形。
【课堂合作研讨】小组展示交流
1、⊙O 的半径为6㎝，OA 、OB 、OC 的长分别为5㎝、6㎝、7㎝，
则点A 、B 、C 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O_____，点B 在⊙O_______，点C 在⊙O______。
2、如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠AOB=____，∠OAB=_____。
3、如图，⊙O 的半径为10，弦AB 的长为12，OD ⊥AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于 点 C ， 则OD=_______，CD=_______。
⇔⇔
⇔⇔⇔
4、如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB⊥AC，且AB=8，AC=6，则⊙O的半径等于_______。
（第 2题）（第 3题）（第 4题）
5、已知两圆的圆心距为3，半径分别为1和 2，则两圆的位置关系为____________________．
6、如图，已知点A、B、C在⊙O上，∠COA＝100°，则∠CBA的度数是（）
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
7、如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD＝1，若AB＝4，则该圆的半径是（）
A.3
B.2
C. 5
D.3
8、如图，D为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点
E，连接BE、CE，则图中相似三角形共有（） A. 8对 B. 6对 C. 4对 D.
2对
9、如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：①AB=AC；
②AB=AC；③AD⊥BC；④AB⊥AC。
其中正确结论的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第6题）（第7题）（第8题）（第 9题）
【课后作业】
1、如图，AB为O
⊙的直径，CD为O
⊙的弦，42
ACD
∠=°，则BAD
∠=__________．
2、如图，点C D
、在以AB为直径的O
⊙上，且CD平分ACB
∠，若215
AB CBA
=∠=
，°，
则CD的长为．
3、如图所示，A、B、C、D是圆上的点，17040
A
∠=∠=
°，°，则C
∠=__________
4、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．
第1题第2题第3题第4题
5、如图1，AF、AE、CB都是⊙O的切线，AF=4，则ΔABC的周长是。
6、如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF BF
=；
（2）若2
AD=，⊙O的半径为3，求BC的长．
教学反思：
⌒⌒
B。