第六讲等价关系-修改

第六讲等价关系
§6.1. 等价关系（Equivalence Relation）
§6.2. 分划（Partition）
6.1. 等价关系（Equivalence Relation）
6.1.1. 定义：
设A为集合，R为A上关系，称R为A上的等价关系指R自反，对称和传递，这时把xRy记为x~R y或简记为x~y。

例：整数集Z上相等关系为等价关系，Z上≤关系不是等价关系。

6.1.2. 命题：
在Z上的关于模n的同余关系为等价关系。

证明：设n∈N+, 定义~如下：
∀x,y∈Z, x~y定义为x≡y(n)(i.e. n | (x-y) )
欲证~为等价关系，只需证：
(1)x~x 即x≡x(n)
(2)x~y~z →x~z 即. x≡y(n)∧y≡z(n) →x≡z(n)
(3)x~y →y~x 即x≡y(n) →y≡x(n)
而以上三点易见，故得证。

.
6.1.3 命题：
令R*={{a n}|{a n} 为有理数Cauchy 序列}，定义R*上关系~如下：
{a n}~{b n}定义为( ∀ε>0)( ∃N)( n>N)(|a n-b n|<ε )。

这里ε与N的变域为Q与N。

证明：(1) 易见{a n}~{a n}
(2) ∵|a n-b n|+|b n-c n|≥a n-c n|, ∀ε>0
{a n}~{b n}→∃N1(∀n>N1)( |a n-b n|<ε/2)
{b n}~{c n}→∃N2(∀n>N2)( |b n-c n|<ε/2)
故{a n}~{b n}~{c n}→(∀n>N1+N2)( |a n-c n|<ε)→{a n}~{c n}.
易见{a n}~{b n}→{b n}~{a n}。

6.1.4定义：
令R 为A上等价关系，
对任何a∈A，a关于R的等价类(equivalent class)[a]R 定义为{b|b∈A∧aRb}，[a]R可简记为[a]。

事实上，用以前的记法[a]=R[{a}] i.e. R(a)
例：(1)若R为Z上的相等关系，则[n]={n}。

(2)若R为Z上的关于n的同余关系，则[x]={y|x≡y(n)}={x+k*n|k∈Z}
(3)在命题6.1.3中，[{a n}]将被定义为实数（real）
注意：以上（1）中的等价类有无穷个，而（2）中的等价类只有[0],[1]…[n-1]，共n个。

等价类具有一些重要性质：
6.1.5 定理：
设~ 为A上的等价关系
(1)(∀x∈A)(x∈[x])
(2)(∀x,y∈A)(x~y↔[x]=[y])
(3)(∀x,y∈A)(⎤(x~y)↔[x]⋂[y]=∅)
(4)(∀x,y∈A)([x]=[y] 与[x]⋂[y]=∅恰具其一)
(5)⋃{[x]|x∈A}=A
证明：(1)∵x∈A→x~x→x∈[x]
∴(∀x∈A)(x∈[x])
(2)设x,y∈A∧x~y
∵z∈[x]→x~z→z~x→z~y→y~z→z∈[y]
∴[x]⊆[y] 同理[y]⊆[x]
∴x~y→[x]=[y]
又[x]=[y]→x∈[y]→y~x→x~y
(3)只需证[x]∩[y]≠∅↔x~y
由(1) (2)得x~y→[x]∩[y]=[x]≠∅
∵[x]∩[y]≠∅→z∈[x]∩[y]
→∃z (x~z∧y~z)→∃z (x~z∧z~y)→x~y
(4)由(2) (3).即得。

(5)由x∈[x].即得。

6.2. 分划（Partition）
本节将引入分划的概念以及阐明它与等价关系之间的一一对应。

6.2.1. 定义：
设A≠∅, ∏为A的一个分划指
(1)∏⊆P(A)-{∅}
(2)∪∏=A
(3)∀X,Y∈∏, X≠Y→X∩Y=∅
∏中的元素称为该分划的块（block）
例：N={0,1,2,…}
∏1={{0,2,4,6,…},{1,3,5,…}}, ∏2={{0},{1,2,…}}
∏3={{0,1},{2,3,5,7,11,…},{4,6,8,9,…}}
则∏1, ∏2, ∏3 皆为N之分划。

6.2.2. 命题：
设A≠∅且R 为A上的等价关系，A关于R之商集A/R定义为{[x]R|x∈A}。

(商集为在R下等价类的集合)
我们有A/R 为A的一个划分（由等价关系求得的划分）。

证明：只需证
(1)A/R⊆P(A)-{∅}
(2)∪A/R=A
(3)[x]≠[y]→[x]∩[y]= ∅
(1)由6.1.5.1即得。

(2)即为6.1.5.5.
(3)由6.1.5.4即得。

6.2.3. 命题：
设A≠∅且∏为A上一个分划。

由R生成的A上分划关系R∏定义如下：
xR∏y 定义为(∃X∈∏ )(x,y∈X)
我们有R∏为A上的等价关系（由划分得出的等价关系）。

证明：∀x,y,z∈A.
∵xR∏x←(∃X∈∏)(x∈X)←∪∏=A
∴R∏自反。

又设xR∏yR∏z, 则(∃X1∈∏,x,y∈X1)∧(∃X2∈∏)(y,z∈X2).
从而y∈X1∩X2, X1=X2
∴(∃X∈∏)(x,y,z∈X)
故xR∏z
xR∏y→yR∏x.易见。

6.2.4. 定理：
设A≠∅, R 为A上等价关系，∏为A上分划，.
令τ,ρ为如下变换：
τ（R）定义为A/R
ρ(∏) 定义为R∏
我们有ρ(τ(R))=R 且τ(ρ(∏))=∏
从而A上的等价关系与A上的划分一一对应。

证明：(1) ρ(τ(R))=R
x ρ(τ(R))y ↔x ρ(A/R)y
↔(∃X ∈A/R)(x,y ∈X)
↔∃a ∈A(x,y ∈[a])↔[x]=[y]↔xRy
(2)同理τ(ρ(∏))=∏
（具体过程：τ(ρ(∏))=A/ρ(∏),按照商集的定义，()/(){[]|}A x x A ρρ∏∏=∈=∏）
6.2.5. 命题：
设 R,S 为非空集A 上的关系
（1）(R ∩S)︒(R ∩S)⊆R ︒R ∩S ︒S.
（2）若 R,S 传递，则R ∩S 亦然。

（3）若 R,S 为等价关系，则R ∩S 亦然。

（4）(R ∩S)(a)=R(a)∩S(a)
（5）若 R,S 为等价关系，则A/(R ∩S)={X ∩Y|X ∈A/R ∧Y ∈A/S}-{∅}
证明：（1）(R ∩S)︒(R ∩S)⊆R ︒R ，且(R ∩S)︒(R ∩S)⊆ S ︒S 知(R ∩S)︒(R ∩S)⊆R ︒R ∩S ︒S ，证毕；
（2） 设,x y R S <>∈⋂, ,y z R S <>∈⋂，则,,x y R S <>∈；,,y z R S <>∈，由于R,S 传递，自然有,,x z R S <>∈，从而,x z R S <>∈⋂，证毕。

（3）R ∩S 的自反行和对称性容易验证，而传递性由（2）可证，故若 R,S 为等价关系，则R ∩S 也为等价关系。

（4）首先，由,R S R S ⋂⊆故()()(),()R S a R a S a ⋂⊆，即
x a R S
()()()()
∀∈⋂，即,,
<>∈，故
x R a S a
R S a R a S a
⋂⊆⋂；另一方面，()()
⊆⋂。

综合两方面，(R∩S)(a)=R(a)∩S(a)，Ra S a R S a
x R a S a
∈⋂，则(),()()()
()()
证毕。

(5)/(){()()|}
⋂=⋂∈,由（4）有(R∩S)(a)=R(a)∩S(a)，故
A R S R S x x A
A R S R x S x x A
⋂=⋂∈，于是A/(R∩S)={X∩Y|X∈A/R∧Y∈/(){()()|}
A/S}-{∅}，证毕。

例：求A上关系R的等价闭包。

解法一：R的等价闭包为∩{X⊆A⨯A|X为等价关系}。

解法二：因为rp(R)=pr(R)对于p∈{r,s,t}成立
所以{p1p2p3(R)|p1,p2,p3互异且在{r,s,t}中}={rst(R),rts(R)}
由于rst(R)未必传递，故取rts(R)作为候选。

因为s(R)→ts(R)对称且传递→rts(R)等价关系
所以R⊆rts(R)其为A上等价关系。

又因为R⊆S且S为等价关系→s(R)⊆S且S为等价关系
→ts(R)⊆S且S为等价关系(t(S)=S)→rts(R)⊆S 故rts(R)为R的等价闭包。

事实上：rts(R)=I∪ts(R)=I∪t(R∪R-1)=I∪(R∪R-1)∪(R∪R-1)2∪…
=∪{(R∪R-1)i|i∈N}
# 注意：一般来说，rst(R)⊂rts(R)(真包含)(st⊂ts) 例：A={1,2,3},R={<1,2>,<1,3>}
易见<2,3>∈rts(R)但<2,3>∉rst(R)。