2010年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ42OA B C D(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国新课标.理)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|||2A x R x =∈<，{}|4B x Z ∈≤，则A B ＝A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝A ．14B ．12C ．1D ．23．曲线2x y x =+在点(1,1)--处的切线方程为A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =--D ．22y x =--4．如图，质点P角速度为1A ． B ． C ． D ．5．已知命题1:p 函数22xxy -=-在R 上为增函数；2:p 函数22x xy -=+在R 上为减函数；则在命题112:q p p ∨，212:q p p ∧，312:()q p p ⌝∨，412:()q p p ∧⌝中，真命题是A ．13,q qB ．23,q qC ．14,q qD ．24,q q6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A ．100 B ．200 C ．300 D ．4007．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于A ．54B ．45C ．65D ．568．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{}|(2)0x f x ->＝A ．{|2x x <-或4}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|0x x <或6}x >D ．{|2x x <-或2}x > 9．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan2αα+-＝A ．12-B ．12 C ．2 D ．2-10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．25a π11．已知函数|lg |,010,()16,10,2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c的取值范围是A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)12．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且A B 的中心为(12,15)N --，则E 的方程为A ．22136xy-= B ．22145xy-= C ．22163xy-= D ．22154xy-=第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．设()y f x =为区间[]0,1上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[]0,1上的均匀随机数12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,i i x y i N = ，再数出其中满足()(1,2,i i y f x i N ≤= 的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 ． 14．正视图为一个三角形的几何体可以是 ．（写出三种）15．过点(4,1)A 的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ． 16．在△ABC 中，D 为边B C 上一点，12B D DC =，120ADB ∠=，2AD =，若△A D C 的面积为3-B AC ∠＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P A B C D -的底面为等腰梯形，A B ∥C D ，A C B D ⊥，垂足为H ，P H 是四棱锥的高，E 为A D 的中点．（1）证明：P E B C ⊥；（2）若60APB ADB ∠=∠=，求直线P A 与平面P E H 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）为调查地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位年人，结果如下：ACPD E H（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由 附：22()()()()()n ad bc Ka b c d a c b d -=++++20．（本小题满分12分）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22||,||,|AF AB BF 成等差数列． （1）求E 的离心率；（2）设点(0,1)P -满足||||PA PB =，求E 的方程． 21．（本小题满分12分）设函数2()1x f x e x ax =---． （1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，已知圆上的弧 AC BD =，过C 点的圆切线与B A 的延长线交于点E ，证明： （1）A C E B C D ∠=∠； （2）2BC BF CD =⋅．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知直线11cos ,:sin ,x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos ,:sin ,x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．E（1）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为O A 中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图像；（2）若不等式()f x ax ≤的解集为非空，求a 的取值范围．2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国新课标.理）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力 二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题 17．2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B （7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B1.解析：{||2,}{22}A x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{4}{016}B x Z x Z x =∈=∈≤≤故{0,1,2}A B ⋂=.应选D.命题意图：本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题. 2.解析：11)(1))84z i i ===-=-=-111))444z z i i ∙=⋅=.应选A.另解：由221221z ====-可得214z z z∙==.命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算. 3.解析：由2122x y x x ==-++可得122,2,12(1),21(2)x y k y y x y x x =-''===+=+=++应选A.命题意图：本题主要考查导数的几何意义，以及分式的导数运算和直线的点斜式等知识. 4.解析：通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离dA,D ，再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0,排除答案B ，应选C.命题意图：本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案.本题也可以借助解析式2sin()4d t π=-来处理.5.解析：1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数为真命题，而函数22x xy -=+为偶函数，则22x xy -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22x xy -=+在R 为减函数为假命题，则1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C. 命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.6.解析：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即~(1000,0.1)B ξ,而2X ξ=，则2210000.1200EX E ξ==⨯⨯=.应选B.命题意图：本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力. 7.解析：根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111101223344556S =+++++⨯⨯⨯⨯⨯111111111151122334455666=-+-+-+-+-=-=，应选D.命题意图：本题主要考查循环结构的框图、框图对应算法的功能以及列项求和. 8.解析：当0x <时，则0x ->，由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得， 3()()8f x f x x =-=--，则338(0)()8(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，33(2)8(2)(2)(2)8(2)x x f x x x ⎧--≥-=⎨---<⎩ 令(2)0f x ->，可解得4,0x x ><或.应选B.另解：由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得3()()8f x f x x ==-，则3(2)(2)28f x f x x -=-=--，要使(2)0f x ->，只需3280,22x x -->-> 解得4,0x x ><或.应选B.命题意图：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力. 9.解析：由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3sin 5α=-.311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，应选A. 另解：由4cos 5α=-，α是第三象限的角可得3sin 5α=-.3sinsin 52tan3421cos cos 125ααααα-====-+-，1tan13121321tan2αα+-==-+-. 命题意图：本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.10. 解析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，则其外接球的半径为R ==222774123aR a ππ=⋅=，应选B.命题意图：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.11.解析：作出函数()f x 的图象如右图， 不妨设a b c <<，则1lg lg 10(0,1)2a b c -==-+∈则(10,12)abc c =∈.应选C.12.解析： 由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为 2222221(9)x y a b ab-=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即2222112222221,1x y x y abab-=-=则22121222121212015115312y y x x b b x x ay y a-+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a===，故E 的方程式为22145xy-=.应选B.命题意图：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，涉及中点问题可以利用点差法进行求解，也可以利用直线与双曲线的方程联立，借助方程根与系数的关系进行求解,考查利用代数方法研究几何的能力.二、填空题 （13）1N N（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（15）22(3)2x y -+= （16）60°13.解析：由题意可知101()1f x dx N N≈⎰得110()N f x dx N≈⎰，故积分1()f x dx ⎰的近似值为1N N.14.解析：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等.命题意图：本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力.15. 解析：设圆的方程为222()()x a y b r -+-=， 则2222221(4)(1),(2)(1),1,2b a b r a b r a --+-=-+-==--解得3,0,a b r ===22(3)2x y -+=.命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解.16. 解析：由△ADC的面积为3-1sin 60322AD C S AD D C D C ∆=⋅⋅⋅==-31(3sin 22A B C S AB AC BAC ∆=-=⋅⋅∠解得2D C =,则1,3BD BC ==.2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅241)1)6=++=,AB =22222cos 6041)1)24ACAD C D AD C D =+-⋅⋅=+--=-1)AC =则222cos 2BA AC BCBAC AB AC+-∠=⋅12===故60BAC ∠= .命题意图：本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力.三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21233(222)2n n --=++++ 2(1)12n +-=．而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=． （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅ ．ABDC即 211[(31)22]9n n S n +=-+命题意图：本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力.（18）解：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段H A 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B（Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n则 1(0,,0),(,,0).22mD mE 可得 1(,,),(,1,0).22m P E n B C m =-=- 因为0022m m P E B C ⋅=-+=所以 P E B C ⊥（Ⅱ）由已知条件可得1,33m n C =-=-故 (1(0,0),(,0),(0,0,1)326D E P -- 设 (,,)n x y x =为平面P E H 的法向量则 ,,n H E o n H P o ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1020x z =⎧⎪⎨⎪=⎩因此可以取(1,n =，由(1,0,1)PA =-，可得c o s ,4P A n=所以直线P A 与平面P E H所成角的正弦值为4命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=（2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 命题意图：本题主要考查统计学知识，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力.（20.）解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+， 得43A B a =l 的方程为y x c =+，其中c =设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22221y x c x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简的()()222222220a b x a cx ac b +++-=则()2222121222222,acba c x x x x a ba b--+==++因为直线AB 斜率为1，所以AB=21x -=得22244,3aba a b=+故222a b =所以E的离心率2c e aa===（II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b+-===-+，003c y x c =+=．由PA PB =，得1PN k =-， 即0011y x +=-得3c =，从而3a b ==故椭圆E 的方程为221189xy+=．命题意图：本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力.（21）解：（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12x f x e ax =--由（I ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)xxxxxf x e a eee e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.（22）解：（I ）因为AC BC =,所以B C D A B C ∠=∠.又因为E C 与圆相切于点C ，故A C E A B C ∠=∠， 所以A C E B C D ∠=∠.（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以B D C ∆∽E C B ∆，故B C C D B EB C=，即2BC BE CD =⨯.命题意图：本题主要考查几何选讲中圆、三角形相似等知识，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题.(23)解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1,0）122⎛- ⎝⎭，． （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=． A 点坐标为()2sin cos sin ααα-， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：()21sin 21sin cos 2x y αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程为2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 故P 点轨迹是圆心为104⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为14的圆．命题意图：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力.（24） 解：（Ⅰ）由于252()23x x f x x -+<⎧=⎨-≥⎩，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示．（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()122⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ ，，．命题意图：本题主要考查含有绝对值的函数图象与性质以及不等式问题，考查利用数形结合解决问题的能力.。
2010年高考理科数学试题及答案(全国一卷)
第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
p2 和 q4 ： p1
p 中，真命
题是
2
（A） q1 ， q3
（B） q2 ， q3
（C） q1 ， q4
（D） q ， q
2
4
(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再
补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为
(A)100
（B）200
1,2,…
, N ) 的点数 N1 ，那么由随机模拟方案可得积分
1 f (x)dx 的
0
近似值为
。
(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
(15)过点 A(4,1) 的圆C 与直线 x y 1 0 相切于点 B(2,1) ，则圆C 的方程为____
(16)在△ ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD
(C) (10,12)
(D) (20, 24)
(12)已知双曲线 E 的中心为原点， P(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A ， B
两点，且 AB 的中点为 N ( 12, 15),则 E 的方程式为
x2 (A) 3
y2 6
1
x2 (B) 4
y2 5
1
x2 (C) 6
y2 3
(D) y
(4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为
P0 ( 2, 2) ，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t
2x 2
的函数图像大致为
d
2
t Oπ
4
A
B
C
D
(5)已知命题
p1 ：函数 y
2010年北京市高考理科数学试题及答案
（A ）（B ） （C ） （D ） 2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）第I 卷 选择题（共40分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1， 集合{}{}2|03,|9P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M =（A ）{}1,2（B ）{}0,1,2（C ）{}|03x x ≤<（D ）{}|03x x ≤≤2，在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m = （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ）8287A A（D ）8289A C 5，极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线（D ）一条直线和一条射线6，,a b 为非零向量，“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+•-为一次函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7，设不等式组1103305390x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（A ）(1,3]（B ）[]2,3（C ）(1,2]（D ）[3,)+∞正（主）视图 侧（左）视图8，如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱,AD CD 上，若11,,,EF A E x DQ y DP z ====（,,x y z 大于零），则四面体PEFQ 的体积 （A ） 与,,x y z 都有关（B ） 与x 有关，与,y z 无关 （C ） 与y 有关，与,x z 无关 （D ） 与z 有关，与,x y 无关第II 卷 （共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
2010年北京高考试题数学理解析版
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）解析本试卷分第I卷和第n卷两部分。
第I卷1至2页、第n卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第I卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)集合P={x^Z 0Exc3}, M ={x w Rx2兰9}，则PI M =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0 w x<3} (D) {x|0 < x < 3}1, B •解析：P Jo,1,2〉, M = I-3 4,3】，因此P^M hb,1,2"（2）在等比数列taj中,印=1 ，公比q H1 .右a m = 8182838485，则m=解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为3—个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该4A .解析：基本的插空法解决的排列组合问题,几何体的俯视图为(A ) 9(B) 10(C) 11(D) 122, C.8m二內比比印比=q qm =11(B ) A8C9 AX (D ) A8C7将所有学生先排列，有A种排法，然后将两位老师插入9个空解析:2 3 4 10 10q q =q = ，因正（主）視图此有中，共有A 9种排法，因此一共有 A 8A 9种排法。
(5) 极坐标方程(;?-1 )^-7：) =0 ( T _0)表示的图形是(B )两条直线解析：原方程等价于 '二1或-二，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。
(6)若a , b 是非零向量，“ a 丄b ”是“函数f (x)二(xa - b)・(xb - a)为一次函数”的(A )两个圆(C ) 一个圆和一条射线(D ) —条直线和一条射线(A )充分而不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件6, B .解析：f (x) =(xa b)L(xb2—a) =(a b)x +(b— a )x —a ，b ，如a 丄b ，则有a ，b=0，如果同时有 b = a ,则函数恒为0,不是一次函数，因此不充分，而如果 f(x)为一次函数，则a ^0，因此可得a _b ，故该条件必要。
2010年高考《数学(理科)》试题及参考答案(北京卷)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．π1213B ．π127 C ．π125 D ．－π1254．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A ．54 B ．45 C ．43 D ．345．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+>+b a byax y b x a 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径xyxy xyxyOOOOABCD6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为( ) A ．（0，0），（0，－8） B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A ．42B ．30C ．20D ．1210．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A ．95B ．91C ．88D ．752003年普通高等学校春季招生考试A B CDEFG H JL数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号 二 三总 分 17 18 19 20 21 22 分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r ，则=rR14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）8815．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是16．若存在常数0>p ，使得函数 =)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log)2(log 21221-->--x x x18．（本小题满分12分）rr↑↓（1）（2）xyOPF 1F已知函数)(,2cos 4sin 5cos6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， EF ∩BD=G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .ABCD EFGB 1C 1D 1A 120．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.ABCO 1O 222．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线1l相切，点C在l上.x:-=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p 的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log)2(log21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1c o s 32c o s )1c o s 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一： 连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. （Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d 解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴GB B D BB H D 11111=，∴.1717161442221211=+===GB B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半， 即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴GB BB H D d（Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅===.31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ，整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x xx f BO n-1O nACABCDEFG B 1C 1D 1A 1B 1BG DD 1HB 1BG DD 1H所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---nn n n r r r r所以,12),2(3122111lra n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.① ② )332,31()32,3(-xy 42=l32-332xyA OB P(1,0)-1因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， 即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y . 又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x . 圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--.当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令.过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得.又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。
2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
(1)已知集合A{xR|x |2}},B{xZ|x4},则AB(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2} (2)已知复数 z3i2 (13i) ，z 是z 的共轭复数，则zz=(A)1 4(B)1 2(C)1(D)2x在点(1,1)处的切线方程为 (3)曲线yx2(A)y2x1(B)y2x1(C)y2x3(D)y2x2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2,2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为d 2 tOπ 4ABCD(5)已知命题xxp ：函数y22在R 为增函数， 1xxp ：函数y22在R 为减函数， 2则在命题 q ：p 1p 2，q 2：p 1p 2，q 3：p 1p 2和q 4：p 1p 2中，真命1 题是（A ） q ，1 q （B ） 3 q ， 2 q （C ） 3 q ， 1 q （D ） 4q ， 2 q4(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再 补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 开始 (A)100（B ）200 输入N (C)300（D ）400k=1,S=0 (7)如果执行右面的框图，输入N5，则输出的数等于(A) 5 4 （B ）4 5(C) 6 5 （D ）5 61S=S+k(k+1) k<N 否 输出Sk=k+1 是(8)设偶函数f(x)满足 3 f(x)x8(x0)，结束则{x|f(x 2)0}(A){x |x2或x4}(B){x |x0或x4} (C){x |x0或x6}(D){x |x2或x2}(9)若cos 45 ，是第三象限的角，则 1tan 1tan2 2(A)1 2(B)1 2(C)2(D)2(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2 a(B)7 3 2 a(C)11 3 2 a(D)2 5a|lgx|,0x10,(11)已知函数 f x ()12x6,x10.若a,b,c 互不相等，且f(a)f(b)f(c),则abc 的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，P(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15),则E 的方程式为(A) 22 xy 36 1 (B) 22 xy 45 1 (C) 22 xy 63 1 (D) 22 xy 541第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试求做答。
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d
d
mn . 2(m − 1)
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B （2）C （3）C （5）C （6）B （7）A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） （-1,1） （10）1 （11）0.030 3 （13） （ ±4 ，0） （12）5
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（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
⎧ x + y − 11 ≥ 0 ⎪ （7）设不等式组 ⎨3 x − y + 3 ≥ 0 ⎪5 x − 3 y + 9 ≤ 0 ⎩
在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是 （A）(1,3] (B )[2,3]
2
π 3
CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面 BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面 BDE； （Ⅲ）求二面角 A-BE-D 的大小。
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(17)(本小题共 13 分)
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某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
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（15） （本小题共 13 分）
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已知函数 f (x) = 2cos 2 x + sin x − 4cos x 。 （Ⅰ）求 f = ( ) 的值； （Ⅱ）求 f (x) 的最大值和最小值。 （16） （本小题共 14 分） 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ，
2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理） （北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页、第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。考 试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试 卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题
共 140 分）
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1） 集合 P = {x ∈ Z 0 ≤ x < 3}, M = {x ∈ Z x 2 ≤ 9} ，则 P I M = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3}
1 3
S n = { X | X = ( x1 , x2 ,…，xn ), x1 ∈ {0,1}, i = 1, 2, …, n}( n ≥ 2)
对
于
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A = (a1 , a2 ,…an , ) ， B = (b1 , b2 ,…bn , ) ∈ Sn ，定义 A 与 B 的差为 A − B = (| a1 − b1 |,| a2 − b2 |, … | an − b n |);
x 2 x ( k ≥0)。 2
(Ⅰ)当 k =2 时，求曲线 y = f ( x )在点(1， f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。 （19） （本小题共 14 分）
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在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 − . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程； (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 （20） （本小题共 13 分） 已 知 集 合
所以 x = 0, 且 z = 令 y = 1, 则 z =
2.
所以 n = (0,1, 2) .
uuu r uuu r ngCF 3 uuu r = 从而 cos〈 n, CF 〉 = 。 2 | n || CF |
因为二面角 A − BE − D 为锐角， 所以二面角 A − BE − D 的大小为 （17） （共 13 分）
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（4）A （8）D
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2 7
3x m y = 0
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（14）4
π +1
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分）
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解： （I） f ( ) = 2cos
π 3
2 3
7 , x∈R 3
cos x =
2 7 时， f ( x ) 取最小值 − 3 3
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（16） （共 分）
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证明： （I） 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF//AG，且 EF=1，AG=
1 AC=1. 2
所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF//平面 EG， 因为 EG ⊂ 平面 BDE，AF ⊄ 平面 BDE， 所以 AF//平面 BDE. （II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直，且 CE ⊥ AC， 所以 CE ⊥ 平面 ABCD. 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- xyz . 则 C（0，0，0） ，A（ 2 ， 2 ，0） ，B（0， 2 ，0）.
2π π π 3 9 + sin 2 − 4cos = −1 + = − 3 3 3 4 4
（II） f ( x ) = 2(2cos 2 x − 1) + (1 − cos 2 x ) − 4 cos x = 3cos 2 x − 4 cos x − 1 = 3(cos x − ) 2 − 因为 cos x ∈ [ −1,1] ， 所 以 ， 当 cos x = −1 时 ， f ( x ) 取 最 大 值 6 ； 当
x2 y 2 χ2 γ 2 的离心率为 2 ，焦点与椭圆 − =1 + = 1 的焦点相同，那么双 a 2 b2 25 9
；渐近线方程为 。
曲线的焦点坐标为
（14） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p（x，y）的轨迹方程是 y = f ( x ) ，则 f ( x ) 的最小正周 期为 ； y = f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 。
所围区域的面积为
说明： “正方形 PABC 沿 χ 轴滚动”包括沿 χ 轴正方向和沿 χ 轴负方向滚动。沿 χ 轴正方向 滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 χ 轴上时，再以顶点 B 为中心顺 时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABC 可以沿 χ 轴负方向滚动。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程。
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B ) =
∑
i −1
| a1 − b1 |
（Ⅰ）证明： ∀A, B , C ∈ S n , 有A − B ∈ S n ，且 d ( A − C , B − C ) = d ( A, B ) ; （Ⅱ）证明： ∀A, B , C ∈ S n , d ( A, B ), d ( A, C ), d ( B , C ) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ⊆ S n ，P 中有 m(m≥2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 证明： （P）≤ (P).
4 ，第二、 5
第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p ， q ( p ＞ q )，且不同课程是否取得优秀成绩相 互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3
p
6 125
a
d
24 125
(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求 p ， q 的值； (Ⅲ)求数学期望 E ξ。 (18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x +
1 − P(ξ = 0) = 1 −
（II）由题意知
6 119 = ， 125 125
1 6 P(ξ = 0) = P( A1 A2 A3 ) = (1 − p )(1 − q) = 5 125 4 24 P(ξ = 3) = P( A1 A2 A3 ) = pq = 5 125 6 ， p+q =1 125 3 2 由 p > q ，可得 p = ， q = . 5 5
（2）在等比数列 {an } 中， a1 = 1 ，公比 q ≠ 1 .若 am = a1a2 a3a4 a5 ，则 m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12
（3） 一个长方体去掉一个小长方体， 所得几何体的正 （主） 视图与侧 （左） 视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为
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π . 6
解：事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” ， i =1,2,3，由题意知
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P( A1 ) =
4 ， P ( A2 ) = p ， P ( A3 ) = q 5
（I）由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ξ = 0 ”是对立的，所以 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是
所以 CF = (
uuu r
uuu r uuu r 2 2 , ,1) ， BE = (0, − 2,1) ， DE = (− 2, 0,1) . 2 2 uuu r uuu r
所以 CF gBE = 0 − 1 + 1 = 0 , CF gDE = −1 + 0 + 1 = 0 所以 CF ⊥ BE , CF ⊥ DE . 所以 CF ⊥ BDE. (III) 由（II ）知， CF = (