全国初中数学竞赛辅导(初1)第23讲 图形的密铺
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页
初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。
【例3】 解关于的方程。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。
平面图形的密铺
探索用两种或两种以上边长 相等的平面图形密铺
试一试
用边长相等的正三角形和正方形能不能密铺呢？
●
试一试
用边长相等的正三角形和正六边形能不能密铺呢
●
试一试
用边长相等的正方形和正八边形能不能密铺呢？
●
试一试
用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能不 能密铺呢？
●
操作与交流
活动３：创意设计
用手中的纸片，选取若干张进 行密铺。
埃 舍 尔 的 作 品
● ● ● ●
操作与交流
活动１：
选择一种形状、大小完全 相同的多边形进行密铺.
操作与交流 （1）用形状、大小完全相同的三角 形能否密铺？ （2）用同一种四边形可以密铺吗？
（3）通过上面平面图形的密铺你有 什么发现呢？
三角形的密铺
●
三角形的密铺
● ●
任意大小形状相同的三角形能密铺 , 在每个拼接点处有六个角，而这六个角 和恰好是这个三角形的内角和的两倍， 也就是它们的和为360º ，且相等的边互 相重合。
正方形的密铺
●
四边形的密铺
●
任意大小形状 相同的四边形可以密铺， 在每个拼接点处有四个角，而这四个角的和 恰好是这个四边形的四个内角的和，它们的 和为360º 且相等的边互相重合。
想一想
正六边形可以密铺吗？
●
想一想
正五边形可以密铺吗？
注意:只用正五边形一种 图形不能密铺。
因此
可以用同一种多边形密铺的图形只有
生活与数学
生活与数学
生活与数学
生活与数学
生活与数学
文化与欣赏
《数学》( 苏科版.七年级 下册 )
淮安市周恩来红军中学：尹玲玲
1密铺模板
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任务驱动 1.什么是密铺?平面图形密铺的特点是什么?
数学好玩
第1课
把形状、大小相同的一种或几种平面图形不留空隙、不重叠地拼接 在一起,这就是密铺。 平面图形密铺的特点: (1)用一种或几种全等图形进行拼接。 (2)拼接处不留空隙、不重叠。 (3)能连续铺成一片。
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数学好玩
第1课
2.三角形能不能密铺?四边形可不可以?请将剪好的三角形或四边 形拼一拼, 摆一摆。
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课堂巩固
数学好玩
第1课
1.在下面给出的平面图形中,不能密铺的是( C )。
A.三角形
B.四边形
C.正五边形
D.正六边形
2.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起组成一个
( C )时,这个多边形就可以密铺。
A.45°角 B.平角 C.周角 D.直角
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数学好玩
第1课
3.只用等边三角形与正方形两种图形是否可以密铺?如果可以,请 画出图形。( 实践类作业) 60° +60° +60° +90° +90° =360° 可以密铺。
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5.观察下面的密铺图案,想一想它们是如何形成的。
数学好玩
第1课
略
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数学好玩
第1课
➡归纳总结 1.三角形的内角和是180°,用几个相同的三角形拼接时,每个角只 需用两次,就能拼出一个周角,所以三角形一定可以密铺。 2.任意四边形的四个内角之和是360°,它的四个角刚好能拼成一 个周角,所以任意四边形一定可以密铺。 3.正六边形的每个内角都是120°,也能拼接出周角,所以正六边形 可以密铺。 4.只用正五边形一种图形不能密铺。
浙教版-数学-九年级上册-数学文化：密铺的定义与正多边形密铺
密铺的定义与正多边形密铺密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。
正多边形的密铺正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120度，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面。
我们都知道，铺地时要把地面铺满，地砖与地砖之间就不能留有空隙。
如果用的地砖是正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。
正六边形的每个角都是120度， 3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好也是360度。
除了正方形、长方形以外，正三角形也能把地面密铺。
因为正三角形的每个内角都是60度，6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。
正因为正方形、正六边形拼合以后，在公共顶点上几个角度数的和正好是360度，这就保证了能把地面密铺，而且还比较美观。
因为只有正三角形、正方形、正六边形的内角为360°的约数，因此正多边形中仅此三者可以密铺。
密铺的示例生活中的密铺由于密铺可以无限地覆盖整个平面，因而常用来进行大面积的装饰。
如：地板、墙纸、街道两旁的地砖，等等。
街道两旁的道路常常用一些几何图案的砖铺成，地砖的形状往往是正方形的，也有长方形的，我们还见过正六边形的地砖。
无论是正方形、长方形、还是正六边形的地砖，都可以将一块地面的中间不留空隙、也不重叠地铺满，这就是密铺。
可密铺的组合1、用正三角形(等边三角形)与正方形可以密铺，它每一顶点处有 3 个正三角形(等边三角形)与 2 个正方形。
2、用正三角形(等边三角形)与正六边形也可以密铺，它每一顶点处有 2 个正三角形与 2 个正六边形或4个正三角形与1个正六边形。
图形的密铺ppt课件
形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。
猜一猜：
哪些图形可以密铺？
（ ）（ ） （ ） （ ） （ ）（ ）
怎样知道大家 的猜测是否正 确呢？
咱们来试一 试吧！
汇报：
（×）（√） （√） （√） （×） （√） 正三角形、长方形、梯形、正六边 形可以进行密铺 。 圆形和正五边形不能进行密铺。
不能密铺。
用了（12 ）块，所占 面积是（ 6 ）平方厘 米。
在我的图案中，
用了（12）块，所占面积是 （6 ）平方厘米。
用了（12）块，所占面积是 （ 6 ）平方厘米。
让我们放飞理想， 翱翔于数学殿堂。
先看下面几个密铺的图案
观察下图，这些图形在拼接时有什么特点?
平面图形的密铺
用形状、大小完全相同的一种 或几种平面图形进行拼接，彼此之 间不留空隙、不重叠地铺成一片，
这就是平面图形的密铺，又称作
平面图形的镶嵌。
下面我们具体来研究下密铺现象
猜一猜形状、大小完全相同的 平行四边形可以密铺吗？
看我的！
呀，可以！
我的也 可以。
1.用形状、大小完全相同的任意
三角形能否密铺？
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形状、大小完全相同的三角形可以密铺
在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？
它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
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【数学】初中数学《平面图形的密铺》说课稿【精华】
北师大版初中数学《平面图形的密铺》说课稿一、教材分析《平面图形的密铺》是四边形一章的结尾，位居多边形内角和与外角和之后，是多边形知识的生活应用。
内容的编写旨在通过生活中密铺的现象去发现它所蕴含的数学问题，理解并运用密铺的原理设计图案，培养学生的动手能力和数学应用意识。
二、学情分析知识储备：学生已学过图形的平移和对称，多边形的内角和、外角和公式、正多边形等，在日常生活中见到用瓷砖密铺的实例，具有了一定的生活经历。
心理特点：八年级学生好奇心和探索欲望特别强，但推理能力较弱，抽象思维能力较差，认识事物感性经验占主导。
校情学情：我校地处城乡结合部，学生基础薄弱，但我班学生活泼好动，思维活跃，学习数学的兴趣比较高。
经过一年多的训练，他们的动手能力，合作学习能力有了较大提高，为本节课使用小组合作学习打下了一定基础。
三、目标设计基于以上分析，制定如下教学目标知识与技能目标：知道密铺的概念和原理。
知道任意一个三角形、四边形、正六边形可以密铺。
过程与方法目标：经历探索多边形密铺条件的过程，发展学生的动手能力和合情推理能力。
.情感态度价值观目标: 在探索活动中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，体会数学的应用价值.重点：认识三角形，四边形和正六边形是密铺图形，理解密铺的原理。
四、教法学法教法上我采用以学案导学的DJP教学模式，为了引导和帮助学生更有效地自主学习，在课堂学习过程中，尽量放手让学生讨论、展示、讲解。
动手实践---合作探究----总结归纳是本节课的主要学习方法。
五教学设计本节课的设计思路是：图片欣赏，感知密铺含义——动手实践，归纳密铺原理——分类讨论，寻找密铺方案——设计图案，解决密铺问题。
探究过程设计意图1．学习准备：（1）课前一天让学生用相机拍下街上或家里铺设的地砖，墙砖，几何图案等用于课堂展示。
（2）每组按座位号要求用吹塑纸剪一套全等图形。
6号:正三角形6个.5号:正方形4，.正六边形3个4号：任意三角形6个,任意四边形4个.3号:任意五边形，任意六边形各6个2号: 3个正五边形和1个边长与正五边形相同的菱形、1号: 4个正八边形和2个边长与它相等的正方形。
数学《密铺》
数学好玩——密铺【教学目标】：1、经历探索平面图形密铺的活动，理解密铺的含义。
2、在具体的活动中，初步知道哪些平面图形可以直接密铺。
3、结合密铺活动感受数学在生活中的广泛应用，发展学生对数学学习的兴趣。
【教学重点】：理解密铺的含义，知道哪些平面图形可以直接密铺。
【教学难点】：发现密铺图形的特点，初步感知密铺的规律。
【教具准备】：多媒体课件、平面图形图片【教学课时】：第一课时【教学过程】：一、联系实际，提出问题：师：大家喜欢上美术课吗？那你们认识他吗？（多媒体出示埃舍尔图片）他是荷兰著名版画家埃舍尔，今天老师带来了他的神奇作品，一起来看看。
多媒体出示1个骑士图片：神奇吗？（预设：不神奇）师：连续出示2个、3个……多个骑士图片，汇集成骑士图案，现在神奇吗？神奇在哪？（预设：观察深色部分，你发现了什么？那浅色部分呢？生：都是骑士）师：这两种颜色的骑士拼在一起有没有空隙？有没有重叠？小结：像这样把平面图形没有空隙，没有重叠地铺成一片，这种铺法数学上称它为“密铺”。
板书：密铺师：谁再来给大家说说什么是“密铺”？板书：无空隙无重叠二、操作探究，体验密铺：1、师：现在，我们已经理解了“密铺”，学习密铺，要从基本的平面图形开始，老师带来了一些平面图形，请看大屏幕（多媒体出示）认识它们吗？师：大胆猜一猜，你觉得哪个图形可以直接密铺？师：猜测是成功的第一步，要想达到成功的顶峰还需要咱们的（验证），对，动手去验证。
那咱们是独立思考完成还是小组合作呢？请看活动方案一：（多媒体出示）活动方案一：1）、请每组的1号同学打开1号学具袋。
在小组内说一说，是什么平面图形？2）、每组的2号同学进行图形密铺，其余同学认真观看，及时纠正。
3）、每组的3号同学维持好纪律，保证小组活动顺利进行。
4）、小组活动结束后，每组的4号同学在黑板上进行作品展示。
比一比：哪个小组活动秩序最好，用的时间最短。
生：小组活动黑板上贴图，展示作品师：通过刚才的活动，仔细观察这些图形，你有什么发现？能不能用一句话说说你的发现？师：引导小结：任意的三角形和四边形都可以直接密铺。
数学活动图形的密铺-苏科版九年级数学上册教案
数学活动：图形的密铺-苏科版九年级数学上册教案前言密铺是一项有趣的数学活动，可以帮助学生更好地理解图形变换及其性质。
本文介绍了一种密铺活动的教学安排，适用于苏科版九年级数学上册。
活动简介密铺活动是一种通过几何变换构建图形的方法，将几何形状不断地拼接在一起，形成美丽、有趣的纹样。
在本活动中，学生将学会如何使用平移、旋转及镜像等变换方式，构建简单的图形，并通过密铺的方式，将它们拼接在一起，形成华丽的纹样。
活动流程第一步：介绍密铺活动教师首先介绍密铺活动的概念和意义，并给出一些密铺的例子和图片，让学生感受到它们的美丽和抽象性。
第二步：基本变换首先，教师向学生介绍常见的几何变换方式：平移、旋转和镜像。
通过几何变换，可以将原来的图形进行变形，使之变得更加美观，更符合几何性质。
第三步：构建图形教师将学生分组，每个小组选择不同的简单几何形状，如三角形、四边形等，并使用平移、旋转和镜像等基本变换，来构建几何图形。
在此过程中，教师应鼓励学生尝试各种不同的变换方式，使他们更加熟练地掌握各种变换的操作方法。
第四步：拼接图形每个小组制作完毕后，把它们的几何图形拼凑在一起，形成一个大型的图形。
在此过程中，教师可以为学生提供一些提示，如可以尝试循环、重复、镜像等方式来拼凑图形。
第五步：交流及展示学生完成作品后进行交流，可以让学生向其他小组展示自己设计的图形并分享自己的创意。
教学目标1.通过积极参与活动，提高学生对于几何变换的感性认识。
2.学生能够通过平移、旋转和镜像等基本变换，构建新的几何图形。
3.学生可以将构建好的图形拼凑在一起，形成一个大型图形。
4.学生能够在小组内积极合作，增进互相间的了解和友谊。
教学效果通过本教学活动，学生了解了数学中的几何变换，并掌握了一些常见的变换方法。
他们不仅能够将这些技能运用到实际中，还可以将自己的创造力展现出来，通过拼凑构建出一个个美丽的图形。
这些操作方法可以培养他们的创新思维和动手能力，提高他们对数学的认识与理解。
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第二十三讲图形的密铺
地板砖展铺的图形，一般都是用几种全等的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化．但是作为基础还是用平面多边形展铺平面．有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的．例如，一个由正方形展铺的平面图案(图1－77(a))，如果对正方形用圆弧做一些变化(图1－77(b))，那么把以上两个图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了(图1－77(c))．
由于多边形是构成地板砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析．
例1怎样以三角形为基础展铺平面图案．
分析与解三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点．由于三角形的三个内角和为180°，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角．如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角．因此，若把图1－78中的三角形的三个内角集中在一起，并进行轴对称变换或中心对称变换，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面．变换的方法见图1－79．
在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折．如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称变换，正、反两面就会明显地反映出来了．
由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图1－80．
例2怎样以四边形为基础展铺平面图案？
分析与解由于四边形内角和为360°，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案．图1－81中的(a)，(b)，(C)，(d)分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案．
例3怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？
分析与解用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个角的和应是360°．例如，正五边形一个内角为
正十边形一个内角为
如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，则其和为2×108°+144°=360°．但是它们并不能用来展铺平面．
如果用同种的正n边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了m 个正n边形的角．由于这些角的和应为360°，所以以下等式成立
因为m，n都是正整数，并且m＞2，n＞2．所以m-2，n-2也都必定是正整数．所以当n-2=1，m-2=4时，则n=3，m=6；当n-2=2，m-2=2时，则n=4，m=4；当n-2=4，m-2=1时，则n=6，m=3．这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：
(1)由6个正三角形拼展，我们用符号(3，3，3，3，3，3)来表示(见图1－82)．
(2)由4个正方形拼展，我们用符号(4，4，4，4)来表示
(见图1－83)．
(3)由3个正六边形来拼展，我们用符号(6，6，6)来表示
(见图1－84)．
如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：(3，3，3，4，4)，(3，3，3，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)．这五种情况中，(3，3，3，4，4)又可有两种不同的拼展方法，参看下面六种拼展图形(图1－85)．
用三种正多边形展拼平面图形就比较难设计了．下面举出两例供同学们思考(图1－86)．
有兴趣的同学请自己构想出一两个例子．
练习
1．试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案．
2．试用形如图1－87的图形拼展平面图案．
3．试用边长为1的正三角形、边长为1的正方形和两腰为1、夹角为120°的等腰三角形拼展平面图案．
4．试用圆弧和多边形(多边形可以用圆弧割补)设计一种平面图案．
5．试用一个正方形，仿照图1－76(a)，(b)，(c)的变化方式，设计一种平面图案．。