全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．
例1 m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知
所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是
这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，
要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．
综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
例5 已知关于x的方程
x2＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
所以 (x1＋1)(x2+1)=7，
所以a=x1x2=0或16．
说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．
例6求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则
消去r得
x1x2-x1-x2＝2，
所以(x1-1)(x2-1)=3．
例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
至少有一个整数根，求a的值．
解将原方程变形为
(x＋2)2a= 2(x＋6)．
显然x＋2≠0，于是
由于a是正整数，所以a≥1，即
所以 x2+2x-8≤0，
(x＋4)(x-2)≤0，
所以-4≤x≤2(x≠-2)．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，
x2
(2)求证：b-1≤c≤b＋1；
(3)求b，c的所有可能的值．
解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．
(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)＋1，
所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，
解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)，
所以 (x1+1)(x2＋1)=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
所以
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．
练习二十六
1．填空：
(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，
(2)已知k为整数，且关于x的方程
(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0
有两个不相同的正整数根，则k=____．
(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，
(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．
(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．
2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程
(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0
有两个整数根，求m的值及方程的根．
3．已知关于x的一元二次方程
x2+(m-17)x+m-2=0
的两个根都是正整数，求整数m的值．
4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．
5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程
ax2＋2ax＋a-9＝0
至少有一个整数根．
一元二次方程的定义教案
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)
初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法
第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b ③对任意实数a则a≥a a≥－a ④a·b＝ab b≠0 ⑤a－b≤a±b≤a＋b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 ＝ 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数
2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则
人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】 解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝ ， 由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3， 即 33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法． 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根． 解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得 由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x1=6，x2=4． 解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知 所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73， 只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5． 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根． 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是
这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法． 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值． 分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来． 解因为a≠0，所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值． 解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令 Δ=(m-1)2-4m＝n2， 其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，
一元二次方程教案设计
《一元二次方程》教学设计 四川省旺苍县英萃中学校何剑 教学目标： 1、知识与技能目标 （1）通过对实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元二次方程的概念。 （2）能对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 2、过程与方法目标 体验数学与日常生活密切相关的联系，认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。 3、情感态度与价值观 体会在解决问题的过程中同学间合作交流的重要性，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习激情。 教学重点： 1、理解什么是一元二次方程，以及一元二次方程的有关概念。 2、经历探索等量关系式，列方程的过程。 教学难点： 分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 教学方法与教学手段 互动式、合作探究；投影仪
教学过程： 一、情景导入，回顾概念 1、求课桌的长和宽 教师利用投影仪向学生展示：你的课桌面积为0.24m 2,已知长比宽多20cm ，求课桌的长和宽是多少？ 学生根据老师给出的信息，寻找正确答案。 老师提问：你是怎样求出课桌的长和宽的？ 运用方程： 设课桌的宽为xm ，长比宽多0.2m ，则长应为(x+0.2)m ，要求课桌的面积，就要用到矩形面积公式：长×宽＝面积，就可以得到方程：x(x+0.2)=0.24，解出方程就可以求得宽。 2、求握手的人数。 游戏：请4个同学上讲台，每两人握一次手，看一共要握多少次手。 学生根据握手的次数，很容易得到答案是6次。 变式训练：一个小组的女生，每两人握一次手，共握了15次，求这个小组有女生多少人。 运用方程：设有x 个女生，每个女生要与其他剩下的(x-1)个女生握手，所以一共要握x(x-1)次，由于甲和乙握手后就不再需要乙和甲握手，所以共握手次数应为)1(2 1-x x 次，则方程为： 15)1(21=-x x ，整理得302=-x x 解出方程便得到女生人数。 请学生回顾：什么是一元二次方程。
初二数学竞赛辅导资料 勾股定理
初二数学竞赛辅导资料勾股定理 内容提要 1．勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c2 2．勾股定理及逆定理的应用 1 作已知线段a的，，……倍 2 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 3 证明线段的平方关系等． 3．勾股数的定义：如果三个正整数a，b，c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a，b，c 叫做一组勾股数. 4．勾股数的推算公式 4 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m和n(m>n，那么m2-n2，2mn，m2+n2是一组勾股数． 5 如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数． 6 如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数． 7 如果a，b，c是勾股数，那么na，nb，nc (n是正整数也是勾股数． 5．熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形．简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41． 例题
例1.已知线段a a a 2a 3a a 求作线段 a a 分析一：a＝＝2a ∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边． 分析二：a＝ ∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边．作图（略） 例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长 解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30 ∴CE＝2CD＝4， 在Rt△ABE中 设AB为x，则AE＝2x 根据勾股定理x2+52=(2x2， x2=
在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B的平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， ∠BDC＝2∠A＝∠C ∴AD＝BD＝BC 作BM⊥AC于M，则CM＝DM AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2） ＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM） ＝AC×AD＝AB×BC 例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC 证明：设AB，AC，BD，CD分别为b，c，m，n 则c+n=b+m， c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AD2＝c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2， (c+b(c-b=(m+n(m-n
一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义教学教材
教学目标 1、认识一元二次方程 2、掌握一元二次方程常见解法； 3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。 重点、难点 1、一元二次方程解法 2、会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 考点及考试要求 一元二次方程的四种解法 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理 1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？ 2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m m x ++-=-的一个根是0，求m 的值。 3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+； 课前检测
4.已知实数a 满足2280a a +-=，求) 3)(1(12)1)(1(31a 12+++-?+-+-+a a a a a a a 的值。 新课标第一网 5.已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值。 一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b += 举例：解方程：29(1)25x += 解：方程两边除以9，得： 225(1)9x += 125 1352581,13333x x x ∴+=± ∴=-==--=- 知识梳理
0)
第二课时一元二次方程的四种解法典型例题 题型一：直接开平方法 例1.（1）()()2 22 16 1 9+ = -x x（2）11 16 24 92= + -x x 变1.（1)解关于x的方程：0 2= -b ax (2)下列方程无解的是（） A.1 2 32 2- = +x x B.()0 22= - x C.x x- = +1 3 2 D.0 9 2= + x 题型二：配方法 例2.(1) x2+8x-9=0 （2） x2-x-1=0 典型例题
南开中学初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？
一元二次方程优质课教学设计
《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析
一元二次方程典型例题解析
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析：1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握） 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第21讲 分类与讨论
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始． 有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？ 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论． 任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个． 上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论． 分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论． 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根． x2+2x-1-4=0，
x 2-2x ＋1-4=0， x 1＝3，x 2=-1． 说明 在去绝对值时，常常要分类讨论． 例2 解方程x 2-[x]=2，其中[x]是不超过x 的最大整数． 解 由[x]的定义，可得 x ≥[x]=x 2-2， 所以 x 2-x -2≤0， 解此不等式得 -1≤x ≤2． 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解． (1)当-1≤x ≤0时，原方程为 x 2-(-1)=2， 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x ＜0)． (2)当0≤x ＜1时，原方程为 x 2=2． (3)当1≤x ＜2时，原方程为 x 2-1=2， 所以 (4)当x=2时，满足原方程．
一元二次方程教案
学生姓名：闫鹏飞郭 新 教师姓名：李双虎授课日期：7月27日授课科目：数学授课时间：8:30 第几课时：第十八课时 本 次 授 课 内 容 及 授 课 目 标 （教师填写）教学目标：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次 ──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方 法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 教学重点：一元二次方程及其它有关的概念． 教学难点：一元二次方程配方法解题．用公式法解一元二次方程时的讨论． 教学过程： 1、1、）长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多 少？ 2、）如图，如果 AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 3、）如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 3、将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项． 4.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二 次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 5、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元 二次方程．
新航线一线教师授课表 备注：请学生、教师根据实际情况认真填写并签字确认，我们将以此为依据，进行教学调整 学生签字： 学习管理师签字： 6、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。 7、：解方程：x 2+8x ―9=0 8、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，?上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 作 业 课 后 单元测试题1----8 思考题1 学生 评语
一元二次方程的解法辅导
类型之一：一元二次方程的解法： 1、 （配方法） 2、 2 (1)10(0)mx m x m 3、先化简，再求值： 22 2 4 12244 2a a a a a a （） ，其中，a 是方程x 2+3x+1=0 的根． 4、已知实数x 满足，则x ﹣的值是（ ） 5、()(1)60x y x y 则x+y=（ ） 6、2 222()(2)8a b a b 则22 a b （ ） 7、若,a b 都是正实数，且1110a b a b ，则 a b （ ） 8、关于x 的方程2 () 0(,,0)a x c b a b c a 为常数，且，的两根为-2，1。则关于x 的另外一个方程2 (2)0a x c b 的两根为：
类型之二：根的判别式与根与系数的关系 1、 关于x 的方程2 2(1)2(1)10k x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 2、 关于x 的方程22(2)(21)10k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 3、关于x 代数式2 (1)25x m x 是完全平方式，则m= ； 关于x 代数式2 (1)2m x mx 是完全平方式，则m= ； 4、对于方程2 0(0)ax bx c a 下列说法中：①若0,,a b a c 且则方程一定有实 数极；②若0ac ，则方程有两个不相等的实数根；③若,a c b 则方程一定有一个根为 -1；④若方程有两个不相等的实数根，则方程2 0(0)bx ax c a 一定有两个不相等的 实数根。其中正确的说法有 5、已知关于x 的方程2 (1)430m x x m 求证：方程总有实数根（2）若方程的根为 正整数，求整数m 的值 6、关于x 的一元二次方程x 2 ﹣（2k +1）x +k 2 +k ＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当 △ABC 是直角三角形时，求k 的值．
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第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程 解令y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程 y2-18y+72=0， 所以 y1=6或y2=12． x2-2x＋6=0．此方程无实数根． x2-8x+12=0，
所以 x1=2或x2=6． 经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 例3 解方程 分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 经检验知，x=-9是原方程的根． 例4 解方程
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
21.1一元二次方程(教学设计)
第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(
小学一元二次方程例题复习辅导
1.不是一元二次方程的是（ ）A.2x 2+7=0 B.2x 2+x +1=0 C.5x 2+ x 1+4=0 D.3x 2=0 2.不是的一般形式是（ ）A.x 2 －5x +5=0 B.x 2 +5x =6 C.x 2 +5x =0 D.x 2 +5=0 3、一元二次方程03 222 =-x 的a= ，b= ，c= ，4、x x 52 ++( )=(x+ ) 2 5、关于x 的方程 012)3(2 =--+x x k 当k 时是一元二次方程． 6、当m 时，取何值时，方程x ∣m ∣-1 +x-7=0是关于x 的一元二次方程。 7．当m 时，方程(m-3)x ∣m ∣-1 +2mx+3=0是关于x 的一元二次方程。 8、)3(3-=-x x x 9、4x 2 -4x+1=0 10、0222=-+x x 11、18)1(22 =-x 12、0452 =-x x 13、06822 =+-x x 14、某工厂1月份的产值是100万元，3月份的产值达到121万元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？ 15、有一个养鸡场依靠着一面10米的墙，用20米的篱笆围成 一个面积为48平方米的长方形鸡场，求它的长和宽。 16、广州百货大楼服装组在销售中发现”粤宝”牌童装平均每天售出20件,每件盈利40元,为了迎接”六.一”国际儿童节,商场决定采取适当降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存,经市场调查发现:如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件,要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? 1.不是一元二次方程的是（ ）A.2x 2+7=0 B.2x 2+x +1=0 C.5x 2+ x 1+4=0 D.3x 2=0 2.不是的一般形式是（ ）A.x 2－5x +5=0 B.x 2+5x =6 C.x 2 +5x =0 D.x 2 +5=0 3、一元二次方程03 222=-x 的a= ，b= ，c= ，4、x x 52 ++( )=(x+ )2 5、关于x 的方程 012)3(2=--+x x k 当k 时是一元二次方程． 6、当m 时，取何值时，方程x ∣m ∣-1+x-7=0是关于x 的一元二次方程。 7．当m 时，方程(m-3)x ∣m ∣-1 +2mx+3=0是关于x 的一元二次方程。 8、)3(3-= -x x x 9、4x 2-4x+1=0 10、0222=-+x x 11、18)1(22 =-x 12、0452=-x x 13、06822=+-x x 14、某工厂1月份的产值是100万元，3月份的产值达到121万元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？ 15、有一个养鸡场依靠着一面10米的墙，用20米的篱笆围成 一个面积为48平方米的长方形鸡场，求它的长和宽。 16、广州百货大楼服装组在销售中发现”粤宝”牌童装平均每天售出20件,每件盈利40元,为了迎接”六.一”国际儿童节,商场决定采取适当降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存,经市场调查发现:如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件,要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,每件童装应降价多少元?
全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(3)
全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（3） 例1：解方程084223=+--x x x 。 例2：解方程()()()()197412=+++-x x x x 。 例3：解方程()()()6143762=+++x x x 。 例4：解方程01256895612234=+-+-x x x x 。 例5：解方程52222=??? ??++x x x 。 例6：解方程()()821344=-++y x 。 例7：解方程()()02652112102234=++++---a a x a x a x x ，其中a 是常数，且6-≥a 。 解答：（1）221==x x ，23-=x （2）28552,1±-=x 2554,3±-=x （3）32 1-=x 35 2-=x （4）23 ,32 ,21 ,24321====x x x x （5）2,121=-=x x （6）4,021-==x x （7）622,1+± =a x ，934,3+±=a x 。 练习： 1、填空： （1）方程()()()()24321=++++x x x x 的根为__________。 （2）方程0233=+-x x 的根为__________。 （3）方程025********=+--+x x x x 的根为__________。 （4）方程()()()2 222222367243+-=+-+-+x x x x x x 的根为__________。 （5）方程()()()29 134782=+++x x x 的根为__________。 2、解方程()()()()431121314x x x x x =++++。 3、解方程403322 =??? ??-+x x x 。
一元二次方程全教案
21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
（三）情感态度价值观 通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段： 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次 方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x
全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲 勾股定理与应用
第十一讲勾股定理与应用 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理． 勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 a2+b2=c2． 勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系： a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形． 早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法． 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法． 证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为 AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG， 所以△ACE≌△AGB(SAS)．而 所以 S AEML=b2．①
同理可证 S BLMD=a2．② ①+②得 S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2， 即 c2=a2+b2． 证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 所以 AG=GH=HB=AB=c， ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即 化简得 a2+b2=c2．
一元二次方程组教案
5.1.认识二元一次方程组 教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。 教学重难点： 重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。 难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。 课时安排： 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 （一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 ： 一元：一个未知数 一次：含有未知数的项的次数都是1次 整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？ （二）新课讲授 1、老牛与小马 分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹， 小马驮了 y 个包裹。 ）（小马 老牛121-=+
想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个 判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次 判断点：3、整式 分母中不含未知数 练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？ （A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-?