全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲 勾股定理与应用
20180701新初二暑期竞赛专题一勾股定理及其应用
新初二暑期竞赛专题一 勾股定理及其应用一.知识链接1、勾股定理: 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=2、勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足不定方程222a b c +=的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。
如果勾股数a 、b 、c 满足（a, b, c ）=1,则a 、b 、c 叫做基本勾股数组。
性质 1.如果a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc(k 是正整数)也是一组勾股数。
性质 2.若a 、b 、c 是一个基本勾股数组，则a 、b 、c 不能同是奇数，也不能同是偶数，c 不能为偶数。
性质3.不定方程222a b c +=的基本勾股数组解a 、b 、c 且a 是偶数的公式为22222,,.a mn b m n c m n ==-=+其中0,(,)1,m n m n >>= m 和n 中一奇一偶。
（罗士琳法则）性质4.如果k 是大于1的奇数，那么k ， 212-k ，212+k 是一组勾股数．性质5. 如果k 是大于2的偶数，那么k ， 212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是一组勾股数．常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5, ，12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……规律：（1）短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a 2那么a,b,c 就是一组勾股数.如 （ 3, 4, 5）,（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n 2-1,n 2+1 。
如：（6,8,10）（8,15,17）等。
4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……（3）判定三角形形状： a 2 +b 2＞c 2锐角~，a 2 +b 2=c 2直角~，a 2 +b 2＜c 2钝角~ 直角三角形判定方法：①.找最长边； ②.比较长边的平方与另两条较短边的平方和之间的大小关系； ③.确定形状； （4）构建直角三角形解题。
勾股定理的应用-课件
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
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确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
勾股定理的应用课件
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
初中数学：勾股定理全章知识点总结大全及重点题型
初中数学：勾股定理全章知识点总结⼤全及重点题型基础知识点1：勾股定理 直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和等于斜边c的平⽅。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直⾓三⾓形三边之间的关系，是直⾓三⾓形的重要性质之⼀，其主要应⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边（2）已知直⾓三⾓形的⼀边与另两边的关系，求直⾓三⾓形的另两边（3）利⽤勾股定理可以证明线段平⽅关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状，在运⽤这⼀定理时应注意：（1）⾸先确定最⼤边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直⾓的直⾓三⾓形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝⾓的钝⾓三⾓形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐⾓三⾓形）。
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直⾓三⾓形的性质定理，⽽其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直⾓三⾓形有关。
4：互逆命题的概念 如果⼀个命题的题设和结论分别是另⼀个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中⼀个叫做原命题，那么另⼀个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明 勾股定理的证明⽅法很多，常见的是拼图的⽅法 ⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法，列出等式，推导出勾股定理规律⽅法指导1．勾股定理的证明实际采⽤的是图形⾯积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直⾓三⾓形的三边的数量关系，可以⽤于解决求解直⾓三⾓形边边关系的题⽬。
3．勾股定理在应⽤时⼀定要注意弄清谁是斜边谁直⾓边，这是这个知识在应⽤过程中易犯的主要错误。
勾股定理及其逆定理的综合应用
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
Ｒt△
互逆命题
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
逆定理:
a2+ b2=c2
1、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是(）． A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5,6 D．3，4，5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）如果a=3，b=4， 则c= ； （2）如果a=6，c=10， 则b= ； （3）如果c=13，b=12，则a= ； 3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ） A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2; C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB2 4、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长是 ．
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
解:设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD， ∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°， ∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ， ∴ ，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8， ∴BD=6 . ∵BC=12, ∴DC=6. ∵在Rt△ADC中，AD=8， DC=6. ∴AC=10， ∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
初三数学勾股定理“一、二”专题辅导
勾股定理“一、二”闫芳勾股定理是人类的宝贵财富，它揭示了直角三角形三边之间的关系，是平面几何中的一个极为重要的定理。
尤其是其体现出来的“数形结合”、“数形统一”思想方法更具有科学创新的重大意义。
一、勾股定理在初中阶段常见错误及应用拓展1、思维定势例1 在直角△ABC 中，已知两边长为3和4，求第三边长．错解：由勾股定理得第三边长为5．错因剖析：这是很多同学在学习勾股定理时屡犯的错误，主要在于受勾3、股4、弦5的影响，不假思索得出以上错误结论．正解：题中已知两边可能为两直角边也可能为一直角边和一斜边，因此应分类讨论：（1）当3和4同时为直角边时，第三边为54322=+；（2）当3为直角边时，4为斜边时，第三边为.73422=-2、生搬硬套例2 已知三角形的三边长a=12，b=20，c=16，这个三角形是直角三角形吗？错解：∵a 2+b 2=122+202=544，c 2=162=256，∴由a 、b 、c 组成的三角形不是直角三角形．错因剖析：本题错在只是表面记住了a 2+b 2=c 2，而没有分析其中的c 应是a 、b 、c 这三边中的最长边．应用勾股定理逆定理判断三角形形状是应先确定较长边，然后计算较短的两条边的平方和是否等于较长边的平方．正解：∵20>16>12，且122+162=202，由a 、b 、c 组成的三角形是直角三角形．3、忽视条件例3 如图，一艘轮船从甲地向南偏西45°方向航行80km 到达乙地，然后又向北航行100km 到达丙地，这时它离甲地多远（精确到1km ）?错解：由勾股定理得AB=.6080100AC BC 2222=-=-应用勾股定理的前提条件必须是直角三角形，也就是说只有直角三角形的三边才满足这个关系，题中并未指出该三角形为直角三角形，因此是滥用定理．正解：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设AD=xkm ，则BD=100-x （km ），由∠DAC=45°，可得AD=xkm ．在Rt △ADC 中，由勾股定理得，AD 2+DC 2=AC 2，即x 2+x 2=802，解得x ≈28.3．在Rt △ADB 中，由勾股定理得，AD 2+BD 2=AB 2，即28.32+（100-x ）2=1002，解得x ≈71．这时它离甲地约71km ．4、顾此失彼例4 在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC 边上的高AD=12，求BC 的长．错解：如图1，由勾股定理得，BD=,91215DC ,512132222=-==-∴BC=9+5=14．错因剖析：错因在于只考虑了AD 在△ABC 内部的情况，忽视了高AD 也可能在△ABC 外部．正解：（1）当∠B 和∠C 为锐角时，解法同上可得BC=14．（2）当∠B 为钝角时如图2所示．在Rt △ADC 中，由勾股定理得DC=9121522=-，同理可得BD=5。
勾股定理知识点总结PPT课件
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其 中一个叫做另一个的逆定理.
练习：
1.下列说法，正确的是（ D ） A.真命题的逆命题是真命题 B.原命题是假命题，它的逆命题也是假命题 C.定理一定有逆定理 D.命题一定有逆命题
练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一 定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4 ，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。 (10-x)2 - x2 = 62
2a,2b,2c D.
（2）验证c 与a +b 是否具有相等关系，若c ＝a +b ， 2 2 2 直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
3.若一个三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足
a2 6a 9 b 4 0 ，它的第三边长为5，则这个
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
初中数学几何培优第十一讲：勾股定理的应用
初中数学几何培优第十一讲：勾股定理的应用知识解读无论是解决实际问题，还是解决一些数学问题，勾股定理都有着广泛的应用。
典列示范一、在数轴上作出表示的点例1如图3－11－1，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是________【提示】这个点到原点的距离等于线段OB的长，OB是Rt△AOB 的斜边，根据勾股定理可得OB的长，就是这个点表示的实数。
【技巧点评】实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点较难.由此我们借助勾股定理，将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题。
第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。
二、在网格中作长度为无理数的线段例2如图3－11－3，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。
（1）使三角形的三边长分别为3，（在图①中画一个即可）（2）使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图②中画一个即可）【提示】（1）长度为3的线段很好作，主要考虑如何作出长度为，的线段和把三条线段组合成一个三角形。
由于＝8＝22＋22，因此可以构造一个两直角边分别为2和2的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是.同理要构造一个长度为的线段，可构造一个直角边分别为2和1的直角三角形。
（2）确定三角形的底和高分别为1和8或2和4，然后设法使三角形称为钝角三角形。
【解答】【技巧点评】在网格中作出长的线段的步骤，第一步设法将n表示成两个整数的平方和；第二步构造直角三角形，使得两条直角边等于第一步得出的两个整数的值.三、梯子下滑问题例3如图3－11－5，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时，梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足也将向外移0.4米吗？【提示】本题中出现两个直角三角形，考虑应用勾股定理，在Rt△ABC中，由AB和BC可求出AC，则A1C＝AC－AA1，而A1B1与AB均为梯子之长，在Rt△A1B1C中，再次运用勾股定理求出B1C，由此便可求出梯子向外移动的距离BB1.【解答】【技巧点评】梯子下滑问题，实际上是两个直角三角形问题，比如在本题中，两个直角三角形之间的联系是，AC=A1C+0.4，分别在两个直角三角形中应用勾股定理求出AC，A1C，即可解决问题.四、长方体的对角线例4有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是40cm，30cm，120cm的木箱中，露在木箱外边的长度至少为cm.【提示】如图3-11-7，和△是直角三角形，先在中应用勾股定理求出A′C′的长，然后在△AA′C′中应用勾股定理求出AC′的长.【技巧点评】长宽高分别为a，b，c的长方体的对角线长.五、立体图形表明的最短路径例5如图3-11-8，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长.【提示】要求最短路程，需要将正四棱柱展开成平面图形，再利用勾股定理求解，由于从A点到点C1的面上有两种情况，故需分类讨论。
第11讲 勾股定理与锐角三角函数(题型训练)【有答案】-【2022年】中考数学大复习(知识点·易错点
第11讲 勾股定理与锐角三角函数题型一 勾股定理1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点A 和B ，顶点为C ，且b 2﹣4ac ＝12，则∠ACB 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】解：令y ＝0，则ax 2+bx +c ＝0，∴x ＝2b a -，∴AB ＝|． ∵b 2﹣4ac ＝12，∴C （﹣2b a ，﹣3a）．∴AC ．由抛物线的对称性可知BC ＝， ∴AC ＝BC ＝AB ，∴∠ACB ＝60°．故选：C ．2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB ，CD 是⊙O 的两条平行弦，AB ＝8，CD ＝6，⊙O 的半径为5，则弦AB 与CD 的距离为（ ）A ．1B ．7C ．4或3D ．7或1【答案】D【解析】①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∵AB ＝8，CD ＝6，∴AE ＝4，CF ＝3，∵OA ＝OC ＝5，∴由勾股定理得：EO ＝2254-＝3，OF ＝2253-＝4，∴EF ＝OF ﹣OE ＝1；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，EF ＝OF +OE ＝7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故选：D ．3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，连接EF ，G 是EF 的中点，连接DG ．在中，2BE =，，若将绕点B 逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG 长的最大值是（ ）A 67B ．217C ．10D ．12【答案】C【解析】解：如图，△ BEF 旋转到图中位置，连接BD 、BG ，∵在△BEF 中，∠EBF =90°，BE =2，∠BFE =30°，∴EF =2BE =4，BF 3，∵旋转前点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，∴AB =CD =4，BC 3∴BD =8.∵在Rt △BEF 中，点G 是EF 的中点，∴BG =12EF =2.在△BEF 的旋转过程中，BG 的长不变，∵在△DBG 中，BG+BD >GD ，∴当D ，B ，G 三点共线且B 点在D 、G 之间时，DG 最大，此时，DG=BG+BD =2+8=10，∴DG 的最大值为10.故选C.4．（2021·浙江·杭州市杭州中学九年级期中）如图，点C ，D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若CD ＝23，∠CBA ＝15°，则AB 的长是（ ）A ．23B ．4C ．33D ．43【答案】B【解析】解：过点O 作OE CD ⊥交于点E ，连接OC ，则123CE DE CD ， ∵OC OB =，15CBA ∠=︒，∴，∵AB 是⊙O 的直径，∴，∵CD 平分ACB ∠，∴1452BCDACB ，∴，设OE =x ，则OC =2x ，在中，由勾股定理得， 222OC OE CE =+222(2)3x x =+ 2243x x =+233x =21x =解得11x =，21x =-（舍），∴OC =2，∴，故选B ．5．（2021·浙江台州·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，若∠BAP =∠CBP ，且AP =6，则PC 的最小值是（ ）A ．B ．3C ．3-3D ． 【答案】D【解析】把△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABP ’，连接PP ’则AP ’=PC ，BP =BP ’，∠PBP ’=90°，∠AP ’B =∠CPB故△PP ’B 是等腰直角三角形∴∠PP ’B =45°∵∠BAP =∠CBP∴∠BAP =∠ABP ’∴BP ’∥AP∴∠APB =90°当P ’、P 、C 在同一直线上，且AP ’⊥P ’C 时，AP ’最短∴∠AP ’B =90°+45°=135°∴∠P AP ’=180°-∠AP ’B =45°∴△APP ’是等腰直角三角形∴AP ’=6∴PC =AP故选D ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在边长为12的正方形中ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中点E 、F 、G 分别在线段AB 、BC 、FD 上，若3BF ，则小正方形的边长为（ ）A ．6B ．5C ．154D ．【答案】C【解析】解：在△BEF 与△CFD 中∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CFD ，∵BF ＝3，BC ＝12，∴CF ＝BC −BF ＝12−3＝9，又∵DF ＝222212915CD CF +=+=，∴BF EF CD DF =，即31215EF =， ∴154EF =， 故选：C ．7．（2021·江西省临川第二中学九年级期中）如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D ，E 是斜边BC 上两点，且，将绕点A 顺时针旋转90°后，得到AFB △，连接EF ，下列结论：①；②ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=．其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：∵△ADC 绕A 顺时针旋转90°后得到△AFB ，∴△ABF ≌△ACD ，∴AF =AD ，∠CAD =∠BAF ，∵在直角三角形ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，即∠CAD +∠BAD =90°，∴∠BAF +∠BAD =90°，即∠F AD =90°，∵∠DAE =45°，∴∠DAE =∠F AE =45°，在△AED 和△AEF 中， DA FA DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△AEF （SAS ），故①正确，∵AE 与AD 不一定相等，∴AE AD 不一定与1AB AC=相等 ∴△ABE 与△ACD 不一定相似，②错误；∵△AED ≌△AEF ，∴DE =EF ，由旋转可知：△ADC ≌△AFB ，∴BF =CD ，∵BE +BF ＞EF=DE ，∴BE +DC ＞DE ，③错误；∵在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴∠BAC =90°，∠ABC =∠C =45°，由旋转可知：∠ABF =∠C =45°，∴∠EBF =90°，∴BE 2+BF 2=EF 2，∴BE 2+DC 2=DE 2，④正确；故选B ．8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，半径的圆，点P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π-【答案】D【解析】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴OP ，∵OA '=OB '=∴P A'=PB '= ，∴tan ∠A'OP =tan ∠B'OP ， ∴∠A'OP =∠B'OP =60°，∴∠A'OB'=120°，∴S阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ-=-， 故答案为：D ．9．（2021·福建省福州第十九中学九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上的两点，AB ＝EF ＝BC ，点G 是边AB 上的中点，连接GE 、DF ．当GE +DF 取最小值时，线段CF 的长是（ ）A ．1BC ．43D ．【答案】C【解析】解：取BC 的中点H ，连接GH 、HF 、HD ，∵在矩形ABCD 中， AB EF =BC ，∴BC =2，EF =BC =2，∴AC 4，∵点G 是边AB 上的中点，点H 是边BC 上的中点，∴GH =12AC =2，GH ∥AC ，∴GH = EF =2，GH ∥EF ，∴四边形EGHF 是平行四边形，∴EG =HF ，∴GE +DF = HF +DF ≥DH ，∴当H 、F 、D 共线时，GE +DF 有最小值，最小值为DH ，如图：在矩形ABCD 中，CH ∥AD ，CH =12BC =12AD ，∠DAC =∠HCF ，∴△CFH △AFD ，∴12CF CHAF AD ==，∵AC =4，∴CF =43， 故选：C ．10．（2021·江苏·无锡市江南中学九年级期中）如图1，若△ABC 内一点P 满足∠P AC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点，已知在等腰直角三角形DEF 中，如图2，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ EQ +FQ ＝（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：如图2，在等腰直角△DEF 中，∠EDF =90°，DE =DF ， ∠1=∠2=∠3，∴∠1+∠QEF =∠3+∠DFQ =45°，∴∠QEF =∠DFQ ，且∠2=∠3，∴△DQF ∽△FQE ， ∴DQ FQ DF FQ QE EF ===∵DQ∴2,FQ EQ ==∴EQ +FQ =2+，故选：D ．11．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝2，CD ＝5，AD ＝kAB （k 为常数），则BD 的长为____．（用含k 的式子表示）【解析】解：如图，连接AC ，∵AE ⊥BC ，BE ＝CE ＝2，∴BC =4，AE 垂直平分BC ，AB =AC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转至△ACG ，如图所示，连接DG ，则AD =AG ，BD =CG ，由旋转的性质可得：∠BAC =∠DAG ，∵AB=AC，AD=AG，∴△ABC∽△ADG，∴AD DG AB BC=，∵AD＝kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ABC+∠ADC=90°，∵△ABC∽△ADG，∴∠ABC=∠ADG，∴∠ADG+∠ADC=90°，即：∠CDG=90°，∴，∴．12．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____．【答案】1【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=6，CD=8，∴CE=4，AF=3，∵OA=OC=5，∴由勾股定理得：EO3=，OF4，∴EF=OFOE=1；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，反向延长OE 交AB 于点F ，连接OA ，OC ，EF =OF +OE =7，所以AB 与CD 之间的距离是1或7．故答案为：1或7．13．在等边△ABC 中，AB ＝6，BD ＝4，点E 为AC 边上一个动点，连接DE ，将△CDE 沿着DE 翻折得到△FDE ，则点F 到AB 距离的最小值是_____．【答案】2【解析】解：如图，过点D 作DT AB ⊥于T ．ABC ∆是等边三角形，，6BC AB ==，90DTB ∠=︒，4BD =，2CD DF ∴==，sin 60DT BD =︒=观察图象可知，当点F 落在DT 上时，点F 到AB 距离的最小，最小值为2，故答案为：2．14．（2021·山东李沧·九年级期中）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，AD DGH 是AF 的中点，那么CH 的长是 __________________．【解析】如图，连接AC 、CF ，∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，AD =DG =2AC ∴=，CG =， 143CF ∴=，∠ACD ＝∠GCF ＝45°， ∴∠ACF ＝90°，由勾股定理得，2222142582()33AF AC CF =+=+=， ∵H 是AF 的中点，11258582233CH AF ∴==⨯=． 故答案为：583． 15．（2021·浙江·温州市第四中学九年级期中）如图，在中，AD BC ⊥，BE AC ⊥交AD 于点F ，且BD AD =．（1）求证：．（2）若F 为AD 的中点，且1DC =．求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）5AC =【解析】（1）证：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴∠BDF =∠ADC =∠FEA =90°，∵∠AFB =∠CAD +∠FEA =∠FBD +∠BDF ，∴∠CAD =∠FBD ，在△BDF 和△ADC 中，∴；（2）∵，∴DF =DC ，∵F 为AD 的中点，1DC =，∴AD =2DF =2DC =2，∴在Rt △ADC 中，225AC AD DC =+=∴5AC =16．（2021·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠MAN ＝45°．把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ．（1）求证：△AEM ≌△ANM ．（2）若BM ＝3，DN ＝2，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABC＋∠ABE＝180°，∴点E，点B，点C三点共线，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x−3，CN＝x−2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM＋DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2，∴25＝（x−2）2＋（x−3）2，解得，x＝6或−1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．17．（2021·天津河西·九年级期中）如图，已知BC为⊙O的直径，BC=5，AB=3，点A点B点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求BD，CD的长．．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）CD BD【解析】解：（Ⅰ）连接OD，∵BC为直径，∴．在Rt CAB △中， 2222534AC BC AB =-=-=．（Ⅱ）∵ AD 平分CAB ∠，∴ ∠CAD =∠BAD ，∴CD BD =．在中，5BC =，222CD BD BC +=，∴ 522BD CD ==． 18．（2021·河南·永城市实验中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在AB 和BC 上，4BE =．1AE BF ==，将绕点F 顺时针旋转，当点H 落在CD 边上时，得到GHF △．（1）求证：．（2）求,E H 两点之间的距离．【答案】（1）见解析；（2）34【解析】（1）将绕点F 顺时针旋转得到GHF △，，四边形ABCD 是正方形，1AE BF ==， 4CF BE ∴==，22(17)41CH ∴=-=，，在EBF △与FCH △中，，，；（2）如图，连接EH ，作EM CD ⊥交于点M ，，，225334EH ∴+19．（2021·四川江油·九年级期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，6BC DE ==，8AC FE ==，顶点D 与边AB 的中点重合．（1）若DE 经过点C ，DF 交AC 于点G ，求重叠部分（DCG △）的面积：（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D 旋转，使DE AB ⊥交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图2，求DH 的长．【答案】（1）6；（2）154【解析】（1）∵，D 是AB 的中点，∴DC DB DA ==．∴∠B =∠DCB ．又∵ABC FDE △≌△，∴FDE B ∠=∠．∴．∴DG BC ∥．∴，∴DG AC ⊥．又∵DC DA =，∴G 是AC 的中点． ∴118422CG AC ==⨯=，116322DG BC ==⨯=． ∴1143622DCG SCG DG =⨯⋅=⨯⨯=．（2）如图2所示：∵ABC FDE △≌△，∴1B ∠=∠．∵90C ∠=︒，ED AB ⊥，∵，，∴2B ∠=∠，∴12∠=∠，∴GH GD =，∵，1390∠+∠=︒，∴3A ∠=∠，∴AG GD =，∴AG GH =，∴点G 为AH 的中点；在Rt ABC △中，10AB ==，∵D 是AB 中点， ∴152AD AB ==， 连接BH ．∵DH 垂直平分AB ，∴AH BH =．设AH x =，则BH x =，8CH x =-，由勾股定理得：()22286x x -+=， 解得254x =，∴154DH =． 20．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝ BC ，∠ACB ＝ 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E ．（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ；（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②EF BE =，见解析【解析】（1）如图1，∵，AE BD ⊥，∴，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠；（2）①补全图形如图2；②EF BE =.理由如下：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌，∴CM CE =，，又∵，∴，∴ME =，又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒，后得到AF ，且，∴.题型二 锐角三角函数1．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）已知在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，设sin B ＝n ，那么n 的取值范围是（ ）A ．0＜n ＜1B ．102n <<C ．0n <<D ．0n < 【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＜∠A ，且，∴0°＜∠B ＜45°，∴0sin B <<，即0n << 故选C ．2．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）A ．sin A ＝45B ．tan A ＝43C ．cos A ＝45D ．tan B ＝34【答案】C【解析】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC3，∴sin A ＝35，故选项A 错误； tan A ＝34，故选项B 错误； cos A ＝45，故选项C 正确； tan B ＝43，故选项D 错误． 故选：C ．3．（2021·安徽省马鞍山市第七中学九年级期中）如图，将AOB ∠放在正方形网格中，则cos AOB ∠的值为（ ）A ．B C ．2 D ．12 【答案】A【解析】解：如图所示，在直角三角形OBE 中，OE =2，BE =4，∠OEB =90°， ∴OB∴，故选A ．4．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =3，AB ＝5，则cos A 的值为（ ）A ．35B ．43C ．34D ．45【答案】A 【解析】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴cos A ＝35AC AB =．5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列四个三角比正确的是（ ）A ．sinA ＝AC AB B ．cosA ＝AD AC C ．tanA ＝CD BD D ．cosA ＝CD AD【答案】B【解析】解：因为∠ACB =90°，CD ⊥AB ，所以sinA BC AB =，cosA =AD AC AC AB =，tanA =CD AD ， 故选：B ．6．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点C 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为E ，线段BE 交AD 于点F ，则tan EDF ∠的值为（ ）A ．724B ．C ．725D ．247【答案】A【解析】∵在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴AD =BC =4∵点C 沿对角线BD 折叠，得到△EDF∴DE =DC =AB又∠A =∠E =90°，∠AFB =∠EFD∴△ABF ≌△DEF ，∴BF =DF ，AF =EF设EF =x =AF ，则DF =4-x在Rt △DEF 中，DF 2=EF 2+DE 2即（4-x ）2=x 2+32解得x =78∴EF =78， ∴tan EDF ∠=778324EF DE ==7．已知a =3，且2(4tan 45)0b -°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A 【解析】解：∵2(4tan 45)0b -=°， ∴4tan 450,130,2b b c ︒-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩所以a =3，b =4，c =5，即222+=a b c ，∴∠C =90°， 所以162S ab ==． 8．（2021·山东新泰·九年级期中）已知α是锐角，sin cos30α=︒，则α的值为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．无法确定 【答案】B【解析】解：α是锐角，sin cos30α=︒，．故选：B ．9．（2021·浙江鄞州·九年级期末）角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（ ）A．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<【答案】C【解析】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小， tan β随β的增大而增大， A.∵sin 45︒∴0<sin α<,选项A 正确，不合题意； B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C．sin 45︒，cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，符合题意； D．sin 45︒，cos 45︒，cos αβ><sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意． 故选择：C ．10．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．3+3D ．3【答案】A 【解析】根据题意，得3,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,3A ，()3,1B ∵直线2l 过原点O 和点C∴直线2l ：y x =∵(,)P m n 在直线2l 上∴m n =∴PC = 连接PA ，PB ，FB∴PA PB =，线段AB 的中点为点C∴()2,2C ，OC AB ⊥过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D∴()2,0D∴AD ==AB =BD = ∴222AD AB BD =+∴∴点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心∴cos BD ADB AD ∠== ∵AC BC =，12FB FA AD ==∴12BFC AFB ∠=∠ ∵，且12APB AFB ∠=∠ ∴∴cos cos FC APB BFC FB ∠=∠===∴FC ∴或 当时，APB ∠和ADB ∠位于直线AB 两侧，即∴不符合题意∴PC PF FC =+=2m < ∴)2PC m ==-，∴)2m -=∴32m =∴23m n m +==故选：A ．11．（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室九年级期中）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，2BC =，则AC =______．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵1sin 3BC A AB==， 又∵BC =2，∴AB =6，∴，故答案为：12．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图，折线AB ﹣BC 中，AB ＝3，BC ＝5，将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，点B 的对应点落在线段BC 上的点D 处，点C 的对应点落在点E 处，连接CE ，若CE ⊥BC ，则tan ∠EDC ＝_________________．【答案】247【解析】解：如图，连接AC ，AE ，过点A 作AF ⊥BC 于F ，作AH ⊥EC 于H ，∵CE ⊥BC ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴四边形AFCH 是矩形，∴AF ＝CH ，∵将折线AB ﹣BC 绕点A 按逆时针方向旋转，得到折线AD ﹣DE ，∴AD ＝AB ＝3，BC ＝DE ＝5，∠ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴AC ＝AE ，∵AC ＝AE ，AB ＝AD ，AF ⊥BC ，AH ⊥EC ，∴BF ＝DF ，CH ＝EH ，∵AB 2＝AF 2＋BF 2，DE 2＝DC 2＋CE 2，∴9＝AF 2＋BF 2，25＝（5﹣2BF ）2＋4AF 2，∴BF ＝95，AF ＝125， ∴EC ＝2CH ＝2AF ＝245，CD ＝5﹣2×95＝75， ∴tan ∠EDC ＝EC CD ＝247， 故答案为：247．13．（2021·重庆南开中学九年级期中）计算：02tan 45)π+︒＝___．【答案】3【解析】解：原式＝2×1+1＝2+1＝3，故答案为：3．14．若三个锐角,,αβγ满足sin 48,cos 48,tan 48αβγ===，则,,αβγ由小到大的顺序为________________．【答案】βαγ<<【解析】解：根据锐角三角函数的性质可得：cos48°=sin42°,sin42°<sin48°<1,tan45°<tan48°,tan45°=1，∴cos48°<sin48°<1<tan48°，∴β<α<γ，故答案为β<α<γ．15．（2021·福建·泉州五中九年级期中）如果α是锐角，且22sin cos 481α+︒=，那么α= _________度【答案】48【解析】∵α是锐角，22sin cos 481α+︒=，又∵22sin cos 1αα+=，∴α=48°．故答案是48．16．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD 内有一动点P ，且BP ．连接CP ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．连接CQ 、DQ ，则12DQ +CQ 的最小值为 ___．【答案】5【解析】解：如图，连接AC 、AQ ，∵四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∴∠BCP ＝∠ACQ ，cos ∠ACB ＝BC AC cos ∠PCQ ＝PC QC = ∴∠ACB =∠PCO ，∴△BCP ∽△ACQ ，∴AQ BP =∵BP ，∴AQ ＝2，∴Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1， ∵12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∴△QAE ∽△DAQ ， ∴12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∴12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ， ∴5CE =， ∴12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．17．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋．（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°．【答案】（1）（2）1． 【解析】解：（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋，，（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°，3222-⨯，1-，=1．18．（2021·四川·（﹣2014）0﹣（12）−2＋|2sin45°﹣2|．【答案】−2（﹣2014）0﹣（12）﹣2＋|2sin45°﹣2|4＋＝−2．19．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）计算：tan60cos30 2sin60tan45-︒-︒︒︒【答案】3 2【解析】解：tan60cos30 2sin60tan45--1-3=2．20．（2021·吉林·长春市净月实验中学九年级期中）图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5×5网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）（1）在图①中的线段AB上画出点M，使AB＝3AM．（2）在图②中作出△ABN，使点N在格点上，且tan∠BAN＝12．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图，点M即为所求．（2）如图，点N即为所求．BN=AN=AB=∵222BN AN AB+=,∴△ABN是直角三角形，且∠ANB=90°，∴1tan2BNBANAN∠===．21．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°，求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值．【答案】sin CDA ∠=cos 7CDA ∠=，tan CDA ∠= 【解析】解：过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵AD ＝BD ，∴CE ＝EB ，∴AC ＝2DE ．又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵∠BCD ＝30°，∴EC ＝2DE ，DC ．设DE ＝k ，则CD ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，．∴sinAC CDA AD ∠==cos CD CDA AD ∠===tanAC CDA CD ∠==22．（2021·上海市松江九峰实验学校九年级期中）如图1，已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝tan ∠ABC ＝3，BF ⊥AC ，垂足为F ．点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）．（1）求边BC 的长；（2）如图2，联结DF ，DF 恰好经过△ABC 的重心，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ．联结DF ，如果△DQF 和△ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3）BD BD 【解析】解（1）如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°，∵AB ＝AC ＝∴BC ＝2BH ，在Rt △AHB 中，tan ∠ABC ＝AH BH＝3， ∴AH ＝3BH ， 根据勾股定理得，AH 2＋BH 2＝AB 2，∴（3BH ）2＋BH 2＝（2，∴BH ＝5，∴BC ＝2BH ＝10；（2）∵BC ＝10，tan ∠ABC ＝3，∴CF BF ＝2，作BN ⊥BC ，CM ⊥BC ，∵G 为重心，∴AG ＝10，GH ＝5，∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC∴CM AG ∥，∴∠ACM =∠CAG ，∠GMC =∠AGM∴△CMF ∽△AGF 则CM CF AG AF =＝14， ∴CM ＝14AG ＝52， ∵AH ⊥BC ，CM ⊥BC ，BN ⊥BC∴CM AG BN ∥∥∴∴G 为MN 中点∴HG 为梯形CMNB 的中位线，∴BN ＝2GH ﹣CM ＝152， ∵NB AG ∥，∴∠DAG =∠NBD ,∠AGD =∠BND∴△ADG ∽△BDN ∴43AD AG BD BN ==，∴AD ＝47AB （3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC ＝∠DEB ＝90°，∴∠BQE ＝∠ACB （同角的余角相等）∵∠BQE ＝∠DQF ，∴∠DQF ＝∠ACB∵△DQF 和△ABC 相似，∴或DQ FQ BC AC=， ∵tan ∠BQE ＝tan ∠ACB ＝tan ∠ABC ＝3， ∴3BE QE =，3DE BE= 设QE ＝x ，BE ＝3x ，则DE ＝9x ，∴BQ BD ＝DQ ＝8x ，∵BF ＝3CF ＝∴QF ＝，（ⅰ解得x ＝1513，∴BD ＝（ⅱ）当DQ FQ BC AC =时，则，810x = 解得x 35=，∴BD ＝=，综上所述，BD BD 23．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AC 上一点（与点A ，C 不重合），连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 的延长线于E ．（1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ，并用文字描述圆心O 的位置；②连接OE ，求证：点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系，并证明．【答案】（1）①见祥解，圆心O 在斜边AB 的中点；②见详解；（2）①见详解；②AB ，见详解．【解析】解：（1）①作AC 的垂直平分线GH 与AB 的交点O 为圆心O ，以点O 为圆心，以OA 为半径画圆，则⊙O 是△ABC 的外接圆，∵GH 为AC 的垂直平分线，OI ⊥AC ，AI =CI ，∠ACB =90°，连OC ，∴IO ∥CB ， ∴1AI AO IC OB==， ∴AO =OB ，∴点O 为AB 中点，∴OC 为斜边中线，∴OC =OA =OB ，∴⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在斜边AB 的中点；②∵AE ⊥BD ，AO=BO ，∴OE 为斜边中线，∴OE =OA =OB ，∴点E 在⊙O 上；（2）①延长线段BD 至点F ，使EF ＝AE ，连接CF ，如图；②AB ，理由如下：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BAC =∠ABC =()1180452ACB ︒-∠=︒， ∴∠CEB =∠CAB =45°，∴∠AEC =∠CEB +∠AEB =45°+90°=135°，∴∠FEC =180°-∠CEB =180°-45°=135°=∠AEC ，在△FEC 和△AEC 中，FE AE FEC AEC EC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEC ≌△AEC （SAS ），∴FC =AC∵AC =AB sin45°AB ， ∴FC =ACAB ，∴AB ．24．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD ）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC ，BD 的长度分别为40cm ，30cm 及夹角∠BEC ＝60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．（1）如图1，△ABC 中，D 为AB 上任意一点（不与A ，B 两点重合），连接CD ，CD ＝a ，AB ＝b ，∠ADC ＝α（α为CD 与AB 所夹的锐角），则△ABC 的面积为 ．（用a ，b ，α表示）问题解决：请你解决工作人员的问题．（2）如图2，四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝40cm ，BD ＝30cm ，∠BEC ＝60°，求四边形ABCD 的面积．（写出必要的解答过程）新建模型：（3）若四边形ABCD 中，E 为对角线AC ，BD 的交点，已知AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝α（α为AC 与BD 所夹的锐角），直接写出四边形ABCD 的面积为 ．（用a ，b ，α表示）模型应用：（4）如图3，四边形ABCD 中，AD +BC ＝AB ，∠BAD ＝∠ABC ＝60°．已知BD ＝a ，求四边形ABCD 的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）【答案】（1）12ab sinα；（2）2；（3）12ab sinα；（4）a 2．【解析】解：（1）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，如图1所示：∴△CMD为直角三角形．又∵∠ADC＝α，∴sinα＝CMCD，∴CM＝CD•sinα，∴S△ABC＝12AB•CM＝12AB•CD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（2）过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，如图2所示：∵∠BEC＝60°，∴∠AED＝60°，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sin60°＝AC•DE，S△ABC＝12AC•BE•sin60°＝AC•BE，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AC•DE+AC•BE＝AC（DE+BE）＝AC•BD＝×40×30＝cm2）；（3）如图2，过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，∵∠BEC＝α，∴∠AED＝α，同（1）得：S△ACD＝12AC•DE•sinα，S△ABC＝12AC•BE•sinα，∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABD＝12AC•DE•sinα+12AC•BE•sinα＝12AC•（DE+BE）•sinα＝12AC•BD•sinα＝12ab sinα，故答案为：12ab sinα；（4）在AB上取BG＝BC，连接DG、AC、CG，AC分别交DG、BD于H、P，如图3所示：∵AD+BC＝AB，AG+BG＝AB，∴AD＝AG，∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴△ADG与△BCG均为等边三角形，∴DG＝AG，CG＝BG，∠AGD＝∠BGC＝60°，∴∠DGC＝60°＝∠BGC，∴∠AGC＝∠DGB＝120°，∴△AGC ≌△DGB （SAS ），∴AC ＝BD ，∠GAC ＝∠GDB ，∵∠DHC ＝∠AHG ，∴∠DPH ＝∠AGD ＝60°，∴S 四边形ABCD ＝12•a •a •sin60°＝12•a •a •＝a 2． 题型三 解直角三角形1．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE =10m ，且tan ∠CEF =43，那么矩形ABCD 的面积为（ ）cm ；A ．280B ．300C ．320D ．360【答案】C【解析】解：在Rt △EFC 中，tan ∠CEF=CF CE =43， ∴设3CE k =，则4CF k =，根据勾股定理得到5EF k =，由折叠的性质知，∴8DC AB k ==，∵，，∴，∴，∴6BF k =，，在Rt AEF 中，由勾股定理可得：，∴2k =，∴，20BC =，∴矩形ABCD 的面积为；故选C ．2．（2021·重庆八中九年级期中）如图，垂直于地面的通信基地AB 建在陡峭的山坡BC 上，该山坡的坡度i ＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB 的高度，他首先在C 处测得山脚与通信基地AB 的水平距离CD ＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E 处，他在E 处测得通信基地顶端A 的仰角为60°，则通信基地AB 的高度约为（ ）≈1.414）A ．136米B ．142米C ．148米D ．87米【答案】B【解析】解：如图，作EH ⊥CD 于H ，EF ⊥AD 于F ．在Rt △ECH 中，∵EH ：CH ＝1：2.4，EC ＝52m ，设EH=x ，则CH =2.4x ，222EH CH EC +=，即()2222.452x x +=， 解得x=20(负值舍去)，∴EH ＝DF ＝20m ，CH ＝48m ，∴EF ＝DH ＝CD ﹣CH ＝156﹣48＝108m ，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝60°，∴AF ＝EF •tan60°＝∴AD ＝AF +DF ＝m ，在Rt △BCD 中，∵BD ：CD ＝1：2.4，∴BD ＝65m ，∴AB ＝AD ﹣BD ＝207﹣65＝142m ，故选：B ．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（ ）A B ． C D 【答案】D【解析】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD∴ BD ＝BA +AD ＝5，在Rt △BCD 中，BC =∴ sin CD B BC ==．故选：D ．4．（2021·天津河西·九年级期中）如图，在⊙O 中，点A ，B 在圆上，∠AOB =120°，弦AB 的长度为则半径OA 的长度为（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】B【解析】过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，∵OA =OB ，∠AOB =120°，AB∴AD =BD =12AB ∠AOD =60°， ∵AD OA =sin ∠AOD = sin 60°=， ∴OA ==4，故选B ．5．（2021·山东东昌府·九年级期中）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB =米，背水坡CD 的坡度i =则背水坡的坡长CD 为（ ）米．A ．20B ．C ．10D ．【答案】A【解析】解：∵迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB 米，∴AE sin45°=10（米），∴DF =AE =10，∵背水坡CD 的坡度i =1∠DFC =90°，∴tan ∠C =DF FC = ∴∠C =30°，∴DC=2DF=2AE=20（米），故选A．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1 B．1.2 C．3 D．5【答案】B【解析】解：如下图：以点F为国心，以2为半径作圆F，过点F作AB的垂线，垂足为Q，FQ交圆F于P0，故点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FQ⊥AB时，点P到AB的距离最短，在Rt△AFQ和Rt△ABC中，∵sin∠A=FQAF，sin∠A=BCAB，∴FQAF=BCAB，∵AC＝6，BC＝8，CF＝2，∴AB=10，∴8 410 FQ=，∴FQ=3.2，∵FP0=2，∴P0Q=3.2-2=1.2．故选：B．7．（2021·山东沂源·九年级期中）在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tan A＝_________．【答案】3 4【解析】如图，∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，∴∠C=90°，AC，∴tanA =68BC AC ==34， 故答案为：34． 8．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝60°，则△ABC 的面积是 ___．【答案】123【解析】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD △中，sin AD B AB =，即3sin 6062AD =︒=， 解得33AD =， 则的面积是1183312322BC AD ⋅=⨯⨯ 故答案为：39．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）如图，在菱形ABCD 中，tan ∠DAB ＝43，AB ＝3，点P 为边AB 上一个动点，延长BA 到点Q ，使AQ ＝2AP ，且CQ 、DP 相交于点T ．当点P 从点A 开始向右运动到点B 时，求点T 运动路径的长度为__________．385 【解析】解：连接AT 并延长交CD 于N ，如图：∵CD ∥BQ ，∴AP DN＝AT NT ＝AQ CN ， ∴ AP AQ ＝12＝DN CN ， ∴点N 是CD 上靠近D 的三等分点，∴点T 在线段AN 上运动，当P 从点A 开始向右运动到点B ，即P 与B 重合时，如图：点T 运动路径即为AT ，过D 作DH ⊥AB 于H ，过T 作TM ⊥AB 于M ，在Rt△ADH中，tan∠DAB＝43，设DH＝4k，则AH＝3k，AD＝5k，∵AD＝AB＝3，∴5k＝3，∴k＝35，∴DH＝125，AH＝95，∴BH＝AB﹣AH＝65，∵DTPT＝CDPQ＝APAP AQ+＝13，∴PTPD＝34，∵DH⊥AB，TM⊥AB，∴TM∥DH，∴PTPD＝TMDH＝BMBH，即34＝125TM＝65BM，∴TM＝95，BM＝910，∴AM＝AB﹣BM＝21 10，在Rt△ATM中，AT，．10．（2021·广东·广州六中九年级期中）如图，△ABCAB＝AC，∠BAC＝120°，P为⊙O中优弧BC上一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最大值___．【答案】6+【解析】延长PC至F，使CF＝BP，连接AF，∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠ACF＝∠ABP，在△ACF和△ABP中，AC AB ACF ABP CF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABP （SAS ），∴AF ＝AP ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝30°，∴∠APC ＝30°，过点A 作AE ⊥PF 于E ，∵AF =AP ，∴△APF 是等腰三角形，则PF ＝2PE ，在Rt △AEP 中，cos ∠APC ＝PE AP， ∴PE ＝AP •cos ∠APC ＝AP •cos 30°＝ AP ，∴PF ＝2PE，∵PF ＝PC ＋CF ＝PC ＋BP，即PC ＋PB，∴P A +PB +PC =（AP而AP 为⊙O∴AP 最大＝∴P A +PB +PC 的最大值为（×故答案为：．11．（2021·山东泰山·九年级期中）在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了学校旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为4米，落在斜坡上的影长CD 为3.8米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与水平面的夹角为60°，1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1）．【答案】旗杆的高度约为8.8米【解析】解：如图，过C 作CM ∥AB 交AD 于点M ，过M 作MN ⊥AB 于点N ．则四边形BCMN 是矩形，∴MN ＝BC ＝4米，BN ＝CM ， 由题意得：CM PQ CD QR =， 即13.82CM =， 解得：CM ＝1.9（米），在Rt △AMN 中，∠ANM ＝90°，MN ＝BC ＝4米，∠AMN ＝60°，∴tan60°＝AN MN ＝4AN∴AN ＝．∵BN ＝CM ＝1.9米，∴AB ＝AN +BN ＝（米），答：旗杆的高度约为8.8米．12．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期中）全球最长跨海大桥——港珠澳大桥连接香港、澳门、珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30，拉索CD 与水平桥面的夹角是60︒，两拉索顶端的距离BC 为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH 的长．（结果精确到0.1 1.732）．【答案】立柱BH 的长约为16.3米【解析】解：设DH 的长为x 米，由题意得∠AHB =90°，∵∠CDH =60°，∠AHB =90°，∴米∴()2BH CH BC =+=米，∵∠A =30°，∴米，∵AH=AD+DH，∴320=+，x x∴10x=∴米，答：立柱BH的长约为16.3米．13．（2021·山东阳谷·九年级期中）如图，小杰在高层楼A点处，测得多层楼CD最高点D的俯角为30°，小杰从高层楼A处乘电梯往下到达B处，又测得多层楼CD最低点C的俯角为10°，高层楼与多层楼CD之间的距离为CE，已知AB＝CE＝30米，求多层楼CD的高度．（结果精确到1米），sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【答案】18米【解析】解：如图所示，延长CD至F点，使得AF⊥CD，则四边形AECF为矩形，AF=CE=30，AE=CF，由题意，∠F AD=30°，在Rt△ADF中，，∵在B处测得最低点C的俯角为10°，∴∠BCE=10°，在Rt△BCE中，，∵AE=CF，∴AB+BE=DF+CD，即：30+5.4CD=，∴米，∴CD的高度约为18米．14．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝12米，AE＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3≈1.73，sin53°≈45，34cos53,tan 5353︒︒≈≈） （1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．【答案】（1）点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）广告牌CD 的高约8.4米【解析】解：（1）如图，过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，垂足分别为M N 、，由题意可知，45CBN ∠︒＝，53DAE ∠︒＝，13i ＝：，12AB ＝米，24AE ＝米，∵13BM i tan BAM AM∠＝：＝＝， ∴30BAM ∠︒＝，∴162BM AB ＝＝（米）， 即点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）在中，∴162NE BM AB ＝＝＝（米）， 3632AM AB ＝＝（米）， ∴()6324ME AM AE ++＝＝米，∵45CBN ∠︒＝，∴()6324CN BN ME +＝＝＝米，∴()6330CE CN NE ++＝＝米，在中，53DAE ∠︒＝，24AE ＝米， ∴4·5324323DE AE tan ︒≈⨯＝＝（米）， ∴CD CE DE -＝33032-＝32＝8.4≈（米）答：广告牌CD的高约8.4米．15．（2021·山东任城·九年级期中）如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B≈1.4≈2.45，结果精确到个位）．【答案】A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．【解析】如图，过点A作AD BC⊥于D，△中，，在Rt ACDAC＝35×40＝1400（米），则（米）．△中，∠B＝30°，在Rt ABD∴（米）．过点P作PE AB⊥，垂足为E，则AE＝PE•tan45°＝PE，BE＝PE•tan60°，∴，∴)1PE=PE=≈．解得：700735综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．16．（2021·山东任城·九年级期中）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）【答案】建筑物BC的高度为25米．【解析】设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，∴DC＝BC＝x米，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACDC，即5xx+＝1.2，解得：x＝25，答：建筑物BC的高度为25米．17．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点．点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB＝143°，AB＝AE＝1.2米，（1）求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到真线BC的距离）．（2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°＝0.60，cos 37°＝0.80，tan 37°＝0.75）【答案】（1）2.2米；（2）0.6米【解析】解：（1）如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB-∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°-∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米．（2）把连接点E向右移动到E'，连接A E',过点E'作E K AG'⊥,垂足为K，∴∴四边形EHKE'是矩形，∴EE HK'=，米∵∠EAH= =53°，．∴。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲 勾股定理与应用
第十一讲 勾股定理 应用在课内 们学过了勾股定理及它的逆定理．勾股定理 直角 角形两直角边a，b的 方和等于斜边c的 方，即a2+b2称c2．勾股定理逆定理 如果 角形 边长a，b，c有 面关系a2+b2称c2那么 个 角形是直角 角形．早在3000 前， 已有 勾广 ，股修四，径阳五 的说法．关于勾股定理，有很多证法，在 它们都是用拼 形面 方法来证明的． 面的证法1是欧几里得证法．证法1 如 2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作 方形ABDE，BCH图，ACFG，它们的面 分别是c2，a2，b2． 面证明，大 方形的面 等于两个小 方形的面 之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB称AE，AC称AG，∠CAE称∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML称b2．理可证 S BLMD称a2．+ 得S ABDE称S AEML+S BLMD称b2+a2，即 c2称a2+b2．证法2 如 2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD称a，BF称b．完 方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE 截取DG称b，在EF 截取EH称b，连接AG，GH，HB．由作 易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG称GH称HB称AB称c，∠BAG称∠AGH称∠GHB称∠HBA称90°，因 ，AGHB为边长是c的 方形．显然， 方形CDEF的面 等于 方形AGHB的面 四个全等的直角 角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面 和，即化简得 a2+b2称c2．证法3 如 2-18．在直角 角形ABC的斜边AB 向外作 方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作D图⊥CB延长线于图，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作 难证明， 述各直角 角形均 Rt△ABC全等△AFE≌△EHD≌△B图D≌△ACB．设五边形AC图DE的面 为S，一方面S称S ABDE+2S△ABC，另一方面S称S ACGF+S HG图D+2S△ABC．由 ，所以 c2称a2+b2．关于勾股定理，在 古代 有很多类似 述拼 求 的证明方法， 们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中 古代数学家的 字命 ．利用勾股定理，在一般 角形中，可以得到一个更一般的结论．定理 在 角形中，锐角(或钝角)所对的边的 方等于另外两边的 方和， 去(或加 ) 两边中的一边 另一边在 边(或其延长线) 的射影的乘 的2倍．证 (1)设角C为锐角，如 2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC 的射影．在直角 角形ABD中，AB2称AD2+BD2，在直角 角形ACD中，AD2称AC2-CD2，又BD2称(BC-CD)2，， 代入 得AB2称(AC2-CD2)+(BC-CD)2称AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD称AC2+BC2-2BC·CD，即c2称a2+b2-2a·CD．(2)设角C为钝角，如 2-20所示．过A作AD BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线) 的射影．在直角 角形ABD中，AB2称AD2+BD2，在直角 角形ACD中，AD2称AC2-CD2，又BD2称(BC+CD)2，将 ， 代入 得AB2称(AC2-CD2)+(BC+CD)2称AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD称AC2+BC2+2BC·CD，即c2称a2+b2+2a·cd．综合 ， 就是 们所需要的结论特别地，当∠C称90°时，CD称0， 述结论 是勾股定理的表述c2称a2+b2．因 ， 们常又 定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般 角形中的推广)．由广勾股定理 们可以自然地推导出 角形 边关系对于角的影响．在△ABC中，(1)若c2称a2+b2，则∠C称90°(2)若c2 a2+b2，则∠C 90°(3)若c2 a2+b2，则∠C 90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了 角形内部的边角关系，因 在解决 角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．例1 如 2-21所示．已知 在 方形ABCD中，∠BAC的 分线交BC 于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证 AB2称2FG2．分析 注意到 方形的特性∠CAB称45°，所以△AGF是等腰直角 角形，从而有AF2称2FG2，因而应有AF称AB， 启发 们去证明△ABE≌△AFE．证 因为AE是∠FAB的 分线，EF⊥AF，又AE是△AFE △ABE的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以 AF称AB．在Rt△AGF中，因为∠FAG称45°，所以AG称FG，AF2称AG2+FG2称2FG2．由 ， 得AB2称2FG2．说明 事实 ，在审题中，条件 AE 分∠BAC 及 EF⊥AC于F 应使 们意识到两个直角 角形△AFE △ABE全等，从而将AB 过渡到AF，使AF(即AB) FG处于 一个直角 角形中，可以利用勾股定理进行证明了．例2 如 2-22所示．AM是△ABC的BC边 的中线，求证AB2+AC2称2(AM2+BM2)．证 过A引AD⊥BC于D( 妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，AB2称AM2+BM2+2BM·MD．在△ACM中，AC2称AM2+MC2-2MC·MD．+ ，并注意到MB称MC，所以AB2+AC2称2(AM2+BM2)．如果设△ABC 边长分别为a，b，c，它们对应边 的中线长分别为m a，m b，m c，由 述结论 难推出关于 角形 条中线长的公式．推论 △ABC的中线长公式说明 角形的中线将 角形分为两个 角形，其中一个是锐角 角形，另一个是钝角 角形(除等腰 角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式． ′， ′， ′中的m a，m b，m c分别表示a，b，c边 的中线长．例3 如 2-23所示．求证 任意四边形四条边的 方和等于对角线的 方和加对角线中点连线 方的4倍．分析 如 2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论， 难证明本题．证 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ 中，即2BQ2+2DQ2称4PQ2+BD2．在△ABC中，BQ是AC边 的中线，所以在△ACD中，QD是AC边 的中线，所以将 ， 代入 得称4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2称AC2+BD2+4PQ2．说明 本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法． 面， 们再看两个例题，说明 种转化方法的应用．例4 如 2-24所示．已知△ABC中，∠C称90°，D，E分别是BC，AC 的任意一点．求证 AD2+BE2称AB2+DE2．分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角 角形的斜边，因 考虑从勾股定理入手．证 AD2称AC2+CD2，BE2称BC2+CE2，所以AD2+BE2称(AC2+BC2)+(CD2+CE2)称AB2+DE2例5 求证 在直角 角形中两条直角边 的中线的 方和的4倍等于斜边 方的5倍．如 2-25所示．设直角 角形ABC中，∠C称90°，AM，BN分别是BC，AC边 的中线．求证4(AM2+BN2)称5AB2．分析 由于AM，BN，AB均可看作某个直角 角形的斜边，因 ，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果 们能将本题看 例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．证 连接MN，利用例4的结论， 们有AM2+BN2称AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)称4AB2+4MN2．由于M，N是BC，AC的中点，所以所以 4MN2称AB2．由 ，4(AM2+BN2)称5AB2．说明 在证明中，线段MN 为△ABC的中位线，以 会知道中位线的基本性质 MN∥AB且MN称2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面 为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM称S△BCN，两边 去公共部分△CMN 得S△AMN称SAB必 MN 行．又S△△BMN，从而高相ABM称，而S△ABM称2S△BMN，所以AB称2MN．练习十一1．用 面各 验证勾股定理(虚线代表辅助线)(1)赵君卿 ( 2-27)(2)项 达 (2-28)(3)杨作枚 ( 2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在 面内的任意一点，求证PA2+PC2称PB2+PD2．(提示 应分 种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形 、P在矩形外，均有 个结论．)3．由△ABC内任意一点O向 边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证AF2+BD2+CE2称FB2+DC2+EA2．4．如 2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证AC2+BD2称AD2+BC2．它的逆定理是否 立 证明你的结论．5．如 2-31所示．从锐角 角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证BC2称AB·BF+AC·CE．。
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第十一讲勾股定理与应用在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理．勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML=b2．①同理可证 S BLMD=a2．②①+②得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即化简得 a2+b2=c2．证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=S ABDE+2S△ABC，①另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC．②由①，②所以 c2=a2+b2．关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②又BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD=AC2+BC2-2BC·CD，即c2=a2+b2-2a·CD．④(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥又BD2=(BC+CD)2，⑦将⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD，即c2=a2+b2+2a·cd．⑧综合④，⑧就是我们所需要的结论特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC 于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以 AF=AB．①在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2．②由①，②得AB2=2FG2．说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD．①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD．②①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2)．③如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为m a，m b，m c，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的m a，m b，m c分别表示a，b，c边上的中线长．例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ 中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．①在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以将②，③代入①得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC 上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：4(AM2+BN2)=5AB2．分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．证连接MN，利用例4的结论，我们有AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2．①由于M，N是BC，AC的中点，所以所以 4MN2=AB2．②由①，②4(AM2+BN2)=5AB2．说明在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=SAB必与MN平行．又S△△BMN，从而高相ABM=同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．练习十一1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：(1)赵君卿图(图2-27)；(2)项名达图(2-28)；(3)杨作枚图(图2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．初中数学学科网（）初中数学学科网（）。