九年级数学上册第2章一元二次方程2.1一元二次方程同步练习

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2.1 一元二次方程
知识点 1 一元二次方程的概念及一般形式
1．将一元二次方程x 2
－3＝－3x 化为一般形式为__________，其中，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
2．下列选项中一定是关于x 的一元二次方程的是( )
A ．x 2
＋1x
＝0
B ．ax 2
＋bx ＋c ＝0
C ．x 2
＝1
D ．(x ＋1)(x －1)－x 2
＋1＝0
3．已知一元二次方程x 2
－4＝0，则下列关于它的说法正确的是( ) A ．不是一般形式 B ．一次项系数是0 C ．常数项是4 D ．没有二次项系数
4．当a 满足条件：________时，关于x 的方程(2a －1)x 2
＋3x －1＝0是一元二次方程． 5．写出一个关于x 的一元二次方程，使它的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，2，－1，该方程是______________．
6．把下列方程化成关于x 的一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)3x (x －8)＝1；
(2)(x ＋m )(2x －5m )－12m 2
＝0(m 为常数)．
知识点 2 依据实际问题建立一元二次方程模型
7．2017·黔南州“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000辆清洁能源公交车，以2017客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”倡议下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到2019年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000辆．设平均每年的出口增长率为x ，则可列方程为( )
A ．1000(1＋x %)2
＝3000
B ．1000(1－x %)2
＝3000
C ．1000(1＋x )2
＝3000
D．1000(1－x)2＝3000
8．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900
D．2[x＋(x＋10)]＝900
9．用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，设矩形的一边长为x cm，则可列方程为______________．
10．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
(3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差2，求较长的直角边长x.
\
11．如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( ) A．±3 B．3
C．－3 D．以上都不对
图2－1－1
12．教材习题2.1第6题变式王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图2－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )
A．(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
13．已知有如下一元二次方程：
第一个方程：3x2＋2x－1＝0；
第二个方程：5x2＋4x－1＝0；
第三个方程：7x2＋6x－1＝0；
…
按照以上方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为____________．
14．已知关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0.
(1)当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
15．如图2－1－2，在宽为20 m ，长为30 m 的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余
下的部分作为耕地，且使耕地的面积为500 m 2
.若设路宽为x m ，根据题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
图2－1－2
16．教材或资料中会出现这样的题目：把方程12x 2
－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，
并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
(1)下列式子中，有哪几个是方程12x 2
－x ＝2所化的一元二次方程的一般形式？
________(答案只写序号)．
①12x 2－x －2＝0；②－12x 2
＋x ＋2＝0； ③x 2
－2x ＝4；④－x 2
＋2x ＋4＝0；
⑤3x 2
－2 3x 2
－4 3＝0.
(2)方程12x 2
－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常
数项之间的比固定吗？如果固定，这个比是多少？
17．如图2－1－3所示，在△ABC 中，∠B＝90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以3
2厘
米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动．点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，经过几秒△PBQ 的面积等于6平方厘米？(只列出方程即可)
图2－1－3
1．x 2
＋3x －3＝0 1 3 －3
2．C [解析] 选项A 是分式方程，选项B 中未强调a ≠0，选项D 化简整理后不含x 的二次项，故它们都不是一元二次方程．选项C 符合一元二次方程的定义，故选C.
3． B
4．a ≠12
5.x 2
＋2x －1＝0
6．解：(1)一般形式：3x 2
－24x －1＝0.
二次项系数为3，一次项系数为－24，常数项为－1.
(2)一般形式：2x 2－3mx －17m 2
＝0.
二次项系数为2，一次项系数为－3m ，常数项为－17m 2
. 7．C [解析] 根据题意得出2018年福田公司向海外出口清洁能源公交车1000(1＋x )辆，
2019年为1000(1＋x )2辆，则1000(1＋x )2
＝3000.故选C.
8． B
9．x (20－x )＝64 [解析] ∵设矩形的一条边长为x cm ，由矩形的周长为40 cm ，可得矩形的另一条边长为(20－x )cm ，根据矩形的面积是相邻两边长的积，可列出方程为x (20－x )＝64.
10．解：(1)依题意得4x 2＝25，化为一元二次方程的一般形式，得4x 2
－25＝0.
(2)依题意得x (x －2)＝100，化为一元二次方程的一般形式，得x 2
－2x －100＝0.
(3)依题意得x 2＋(x －2)2＝102，化为一元二次方程的一般形式，得2x 2
－4x －96＝0.
11．C [解析] 依题意，有m 2
－7＝2且m －3≠0，解得m ＝－3.
12．C [解析] 根据题意可知裁剪后的底面的长为(80－2x )cm ，宽为(70－2x )cm ，从而有(80－2x )(70－2x )＝3000.
13．17x 2
＋16x －1＝0 [解析] 二次项系数是从3开始的连续奇数，一次项系数是从2
开始的连续偶数，常数项都是－1，所以第8个方程为17x 2
＋16x －1＝0.
14．解：(1)若原方程为关于x 的一元一次方程，则应满足⎩⎪⎨⎪
⎧k 2
－1＝0，k ＋1≠0，
解得k ＝1.
所以当k ＝1时，此方程为关于x 的一元一次方程，方程为2x －2＝0，解得x ＝1. (2)若原方程为关于x 的一元二次方程，则应满足k 2
－1≠0，即k ≠±1.所以当k ≠±1
时，此方程为关于x 的一元二次方程，它的二次项系数为k 2
－1，一次项系数为k ＋1，常数项为－2.
15．解：通过平移，可将各部分耕地拼凑成一个矩形区域，则该矩形区域的长应为(30－x )m ，宽应为(20－x )m ，
根据矩形面积公式可得(30－x )(20－x )＝500，
整理得x 2
－50x ＋100＝0. 16．解：(1)①②④⑤
(2)固定．二次项系数、一次项系数、常数项之间的比为－1∶2∶4.
17．解：设经过x 秒△PBQ 的面积等于6平方厘米，则PB ＝(6－3
2x )厘米，BQ ＝2x 厘米，
于是S △PBQ ＝12BP ·BQ ，所以可列方程为12(6－3
2
x )·2x ＝6.。