精选题库高一数学 课堂训练8-6
2021年高一下学期数学周练8 Word版含答案
2021年高一下学期数学周练8 Word版含答案班级姓名学号得分一、填空题：（每小题5分）1．直线的倾斜角为 .2．不等式的解集是 .3．经过点,且与直线平行的直线方程是 .4．已知数列是等差数列,且,则 .5．直线x－y－5＝0被圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0所截得的弦的长为．6．．7．在约束条件下，目标函数的最大值为.8．已知，则两圆与的位置关系是.9.过点C（6，-8）作圆x2+y2=25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为10．直线与圆的位置关系为.11．当点在圆上变动时，它与定点相连，线段的中点的轨迹方程是.12．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是.13．若直线与曲线有两个不同交点，则k的范围是_____ ．14．已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为、．记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为．二、解答题：15．在中，角所对的边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)求的最大值.16.已知数列*122{}:1,(0),{}()n n n n n a a a a a b b a a n N +==>=∈满足数列满足(1)若是等差数列,且;(2)若的等比数列,求的前n 项和17.在中，的平分线所在直线的方程为，若点A （-4,2），B （3,1）.(1)求点A 关于直线的对称点D 的坐标；(2)求AC 边上的高所在的直线方程；(3)求得面积.18．已知圆，直线过定点。
（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于丙点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。
19.已知数列的前项和，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：不论取何正整数，不等式恒成立。
20．已知⊙过点,且与⊙:关于直线对称.(1) 求⊙的方程；(2) 设为⊙上的一个动点,求的最小值；(3) 过点作两条相异直线分别与⊙相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.高一数学周末作业（8）答案一、填空题：1．2．3．4．5．6．7．8．外离9．15/2 10．相交11．12．13．14．二、解答题：15．解(1)由及正弦定理得，………3分在中，，5分．……………………7分(2)由(1)，，…………………… 9分3()cos()cos[()]444cos2sin()6f A A B A AA A Aππππ∴=-+=--+=+=+……………… 12分因为，所以当时，的最大值为2．16.解 (1)因为是等差数列,,,,解得或(舍去),(2)因为是等比数列,,,当时,,;当时,17．解：（1）设点A关于的对称点∴………………………………………………………5分（2）∵D点在直线BC上，∴直线BC的方程为，因为C在直线上，所以所以。
精选题库高一数学 课堂训练7-7
第7章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案：D解析：若l ∥α，则a ·n ＝0. 而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1，只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2答案：C解析：∵α∥β，∴(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， ∴－2＝λ，k ＝－2λ，∴k ＝4.3．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45答案：D解析：如图建立坐标系，设AB ＝AD ＝1，AA 1＝2， cos 〈A 1B →，AD 1→〉 ＝A 1B →·AD 1→|A 1B →|·|AD 1→|＝(A 1A →＋AB →)·(AD →＋DD 1→)|A 1B →|·|AD 1→|＝0－2×2＋0＋05·5＝－45.故选D.4. [2012·辽宁沈阳]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案：B解析：设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，13，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→＝(－1，－1,1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，EF ∥BD 1.5. [2012·安徽调研]在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( )A. 64 B. －64 C.104D. －104答案：A解析：取AC 中点E ，连结BE ，则BE ⊥AC ， 如图，建立空间直角坐标系B －xyz ，]则A (32，12，0)，D (0,0,1)， 则AD →＝(－32，－12，1)．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面AA 1C 1C .∴BE →＝(32，0,0)为平面AA 1C 1C 的一个法向量，∴cos 〈AD →，BE →〉＝－64，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α， ∴sin α＝sin(〈AD →，BE →〉－π2)＝64.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12 B.23 C.33D.22答案：B解析：以A 为原点建系，设棱长为1.则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)， A 1E →＝(1,0，－12)，设平面A 1ED 的法向量为n 1＝(1，y ，z ) 则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)，∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0.1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.二、填空题(每小题7分，共21分)7．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为________．答案：3010解析：建立坐标系如图， 则A (1,0,0)，E (0,2,1)， B (1,2,0)，C 1(0,2,2)， BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝ (－1,2,1)，cos 〈BC 1→·AE →〉 ＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010.8．四棱锥P —ABCD 的底面为边长2的正方形，顶点在底面的射影为底面的中心O ，且PO ＝1，则此四棱锥的两个相邻的侧面所成的二面角的余弦值为________．答案：－13解析：如图，建立坐标系．则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，∴PB →＝(1,0，－1)，BC →＝(－1,1,0)，PC →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1，－1，0)． 设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面PCD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PB →＝x 1－z 1＝0n 1·BC →＝－x 1＋y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝y 2－z 2＝0n 2·CD →＝－x 2－y 2＝0.令x 1＝1，则z 1＝1，y 1＝1； 令y 2＝1，则z 2＝1，x 2＝－1， ∴n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,1,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1＋1＋13·3＝13. 由题意可知，所成二面角余弦值为－13.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为________． 答案：120°解析：如下图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )．∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )， 设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0， ∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ，令x ＝z ＝1，则n ＝(1,0,1)， 同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)， cos 〈n ，m 〉＝n·m |n |·|m |＝－12.而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2011·陕西]如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值． 解：(1)∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ， 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以DB →，D C →，D A →所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E (12，32，0)，∴AE →＝(12，32，－3)，DB →＝(1,0,0)，∴AE →与DB →夹角的余弦值为cos 〈AE →，DB →〉＝AE →·DB →|AE →||DB →|＝121×224＝2222.11．在三棱锥V －ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC ＝BC ＝a ，∠VDC ＝θ(0<θ<π2)．(1)求证：平面VAB ⊥平面VCD ；(2)当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．解：(1)以射线CA ，CB ，CV 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，D (a 2，a 2，0)，V (0,0，22a tan θ)．于是，VD →＝(a 2，a 2，－22a tan θ)，CD →＝(a2，a 2，0)，AB →＝(－a ，a,0)．从而AB →·CD →＝(－a ，a,0)·(a 2，a 2，0)＝－12a 2＋12a 2＋0＝0，即AB ⊥CD ；同理AB →·VD →＝(－a ，a,0)·(a 2，a 2，－22a tan θ)＝－12a 2＋12a 2＋0＝0，即AB ⊥VD .又CD ∩VD ＝D ，∴AB ⊥平面VCD.又AB平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD .(2)设直线BC 与平面VAB 所成的角为φ，平面VAB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB →＝0，n ·VD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，a 2x ＋a 2y －22az tan θ＝0.可取n ＝(1,1，2tan θ)，又BC →＝(0，－a,0)，于是sin φ＝|cos 〈n ，BC →〉|＝|n ·BC →||n |·|BC →|＝a2＋2tan 2θ·a ＝22sin θ，∵0<θ<π2，∴0<sin θ<1， 0<sin φ<22.又0≤φ≤π2，∴0<φ<π4.即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为(0，π4)． 12. [2011·四川]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1.D 是棱CC 1上的一点，P是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证：CD ＝C 1D ；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．解：(1)连接AB 1与A 1B 交于点F ，且F 为AB 1的中点，再连接DF .∵PB 1∥平面BDA 1，PB 1 平面PB 1A ，平面PB 1A ∩平面BDA 1＝DF ， ∴PB 1∥DF ， ∴D 为AP 的中点． 在△P AA 1中，DC 1∥AA 1， ∴C 1为A 1P 的中点， ∴△ACD ≌△PC 1D ， ∴CD ＝DC 1.(2)以A 1B 1、A 1C 1、A 1A 分别为x 、y 、z 轴建立空间坐标系． ∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴B 1(1,0,0)，P (0,2,0)，D (0,1，12)，B (1,0,1)，A (0,0,1)，C (0,1,1)， 由于A 1B 1⊥平面AA 1D ，∴平面AA 1D 的一个法向量n 1＝(1,0,0)． 设平面BA 1D 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．∵A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝(0,1，12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B →＝0，n 2·A 1D →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0y ＋12z ＝0.取z ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1，∴n 2＝(－2，－1,2)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23＝－23. 由图形可得，二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.(3)设平面B 1DP 的法向量为n 3＝(x ′，y ′，z ′)， B 1P →＝(－1,2,0)，B 1D →＝(－1,1，12)，⎩⎪⎨⎪⎧n 3·B 1P →＝0，n 3·B 1D →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ′＋2y ′＝0－x ′＋y ′＋12z ′＝0， 取z ′＝2，则y ′＝1，x ′＝2， ∴n 3＝(2,1,2)，CD →＝(0,0，－12)，∴点C 到面B 1DP 的距离d ＝|CD →·n 3||n 3|＝122＋1＋22＝13.。
新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)
新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习1.1.1集合的概念 (2)1.1.2集合的表示 (3)1.2集合间的基本关系 (5)1.3.1并集与交集 (7)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (11)1.4.2充要条件 (12)1.5.1全称量词与存在量词 (13)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (14)2.1等式性质与不等式性质 (16)2.2.1基本不等式 (17)2.2.2利用基本不等式求最值 (18)2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 (19)2.3.2一元二次不等式的应用 (20)3.1.1.1函数的概念 (21)3.1.1.2函数概念的应用 (22)3.1.2.1函数的表示法 (24)3.1.2.2分段函数 (25)3.2.1.1函数的单调性 (26)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (32)3.3幂函数 (36)3.4函数的应用(一) (37)4.1.1根式 (40)4.1.2指数幂及其运算 (41)4.2.1指数函数及其图象性质 (43)4.2.2指数函数的性质及其应用 (44)4.3.1对数的概念 (47)4.3.2 对数的运算 (48)4.4.1对数函数及其图象 (49)4.2.2对数函数的性质及其应用 (51)4.4.3不同函数增长的差异 (53)4.5.1函数的零点与方程的解 (54)4.5.2用二分法求方程的近似解 (57)4.5.3函数模型的应用 (58)5.1.1任意角 (60)5.1.2弧度制 (61)5.2.1三角函数的概念 (62)5.2.2同角三角函数的基本关系 (64)5.3.1诱导公式二、三、四 (66)5.3.2诱导公式五、六 (67)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (69)5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一) ...................................................................... 71 5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二) ...................................................................... 73 5.4.3正切函数的性质与图象 ........................................................................................ 75 5.5.1.1两角差的余弦公式 ............................................................................................. 76 5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 ......................................................................... 78 5.5.1.3两角和与差的正切公式 ..................................................................................... 80 5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 ..................................................................... 81 5.5.2.1简单的三角恒等变换 ......................................................................................... 83 5.5.2.2三角恒等变换的应用 ......................................................................................... 84 5.6.1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一) .......................................................................... 86 5.6.2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二) .......................................................................... 88 5.7三角函数的应用 . (90)1.1.1集合的概念1．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( ) A ． 2 B ．12 C ．－2 D ．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q ，2∈R .[答案] A2．若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝2019 C ．a ＝1D ．a ＝0或a ＝2019[解析] 若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C ． [答案] C3．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1. A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案] C4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为( )A．4 B．2C．0 D．0或4[解析] 当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，a＝4，故选A．[答案] A5．下列说法正确的是________．①及第书业的全体员工形成一个集合；②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；④x，3x3，x2，|x|形成的集合中最多有2个元素．[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案] ①④1.1.2集合的表示1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析] ∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.[答案] B2．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A[解析] ∵x∈N*，－5≤x≤5，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A，选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1，－2)，故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时，x ＝4； 当t ＝2时，x ＝4； 当t ＝3时，x ＝9； 当t ＝4时，x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2，－1,0,1,2，共有5个元素，则用列举法表示为{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2. (3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．课内拓展 课外探究 集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合： (1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y ＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案] B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．16[解析] A ＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案] A3．已知集合A ＝{3，－1}，集合B ＝{|x －1|，－1}，且A ＝B ，则实数x 等于( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－2D ．2[解析] ∵A ＝B ，∴|x －1|＝3，解得x ＝4或x ＝－2. [答案] C4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为________．[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案] 65．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．[解] (1)当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴(如图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <－2或0≤m ≤52. (2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.1.3.1并集与交集1．设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}[解析] 因为A ∩C ＝{1,2}，所以(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，选D. [答案] D2．集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M 等于( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{x |0≤x ≤3}D ．{x |0≤x <3}[解析] 由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}， 故P ∩M ＝{0,1,2}． [答案] B3．已知集合A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B[解析] ∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R .故选B.[答案] B4．设集合M ＝{x |－3≤x <7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．[解析] 因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－k 2，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.[答案] k ≤65．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．[解] (1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .∵M ＝{2}，∴2∈N . ∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.由(1)知，M∩N＝{2}＝M，适合题意，故m＝2.1.3.2补集及集合运算的综合应用1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.[答案] D2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．[答案] C3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．[答案] C4．全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|0<x<5}，则∁U A＝________.[解析] ∁U A＝{x|5≤x<10}，如图所示．[答案] {x|5≤x<10}5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁U A＝{5}，求实数a的值．[解] ∵∁U A＝{5}，∴5∈U，但5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．∴∁U A＝{5}，适合题意．∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁U A无意义，故a ＝－4应舍去．综上所述，a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A 的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或A B类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a的值组成的集合．[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，解得a <－4或a >4.此时B ⊆A .(2)若B ≠∅，则B ＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B ＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝－2， ∴(－2)2＋(－2)a ＋a 2－12＝0，即a 2－2a －8＝0. 解得a ＝4或a ＝－2.当a ＝4时，恰有Δ＝0； 当a ＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a ＝4时，B ⊆A . ②若B ＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝4， ∴42＋4a ＋a 2－12＝0，解得a ＝－2，此时Δ>0，舍去．③若B ＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x ＝－2或x ＝4，由①②知a ＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．∴当a ＝－2时，B ⊆A .综上所述，满足B ⊆A 的a 值组成的集合是{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．[点评] ∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A ，皆有A ∩∅＝∅；(2)对于任意集合A ，皆有A ∪∅＝A .正因如此，如果A ∩B ＝∅，就要考虑集合A 或B 可能是∅；如果A ∪B ＝A ，就要考虑集合B 可能是∅.【典例2】 设全集U ＝R ，集合M ＝{x |3a －1<x <2a ，a ∈R }，N ＝{x |－1<x <3}，若N ⊆(∁UM )，求实数a 的取值集合．[解] 根据题意可知：N ≠∅，又∵N ⊆(∁U M )． ①当M ＝∅，即3a －1≥2a 时，a ≥1. 此时∁U M ＝R ，N ⊆(∁U M )显然成立． ②当M ≠∅，即3a －1<2a 时，a <1.由M ＝{x |3a －1<x <2a }，知∁U M ＝{x |x ≤3a －1或x ≥2a }．又∵N ⊆(∁U M )，∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3≤3a －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≤－1，得a ≤－12.综上可知，a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤－12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．1.4.1充分条件与必要条件1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断[解析] 因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A.[答案] A2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3[解析] 因为x>2⇒x>1，所以选A.[答案] A3．下列命题中，是真命题的是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件[解析] A中，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故x2>0是x>0的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件．D中，|x|>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.[答案] B4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．[答案] 不必要(填必要、不必要)5．(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围．(2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．[解] (1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}．所以m ≤1.故m 的取值范围为{m |m ≤1}． (2)因为N 是M 的必要条件，所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为{a |－2≤a ≤7}．1.4.2充要条件1．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．[答案] A2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．[答案] B3．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件[解析] 由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] D4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． [解析] 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0. [答案] a <05．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[证明] 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1.5.1全称量词与存在量词1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘0都等于0 B ．自然数都是正整数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D 选项是存在量词命题． [答案] D2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案] B3．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3[解析] “∀x ∈R ，x 2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． [答案] C4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵对于任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8. [答案] a ≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假． (1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点． [解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ， 使|x |＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题．(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x －3≤0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x －3≤0 B ．∃x ∈R ，x 2－2x －3≥0 C ．∃x 0∈R ，x 2－2x －3>0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x －3>0[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.[答案] D2．已知命题p ：∀x >0，x 2≥2，则它的否定为( )A ．∀x >0，x 2<2 B ．∀x ≤0，x 2<2 C ．∃x ≤0，x 2<2 D ．∃x >0，x 2<2[答案] D3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.[答案] C4．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A ．p ：∀x ≥3，x 2－2x －3≥0；p 的否定：∃x ≥3，x 2－2x －3<0B ．p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C ．p ：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；p 的否定：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0[解析] 若p ：有的三角形为正三角形，则p 的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误．[答案] C5．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题． (2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．(4)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”，这个命题为真命题．因为x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋14＋34＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.2.1等式性质与不等式性质1．下列说法正确的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[解析] 用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. [答案] C3．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤22.2.1基本不等式1．若ab >0，则下列不等式不一定能成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b2≥abD ．b a ＋a b≥2[解析] C 选项由条件可得到a 、b 同号，当a 、b 均为负号时，不成立． [答案] C 2．已知a >1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( ) A.a ＋12<a <2a a ＋1 B.a <a ＋12<2aa ＋1C.2a a ＋1<a <a ＋12 D.a <2a a ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 是正数时，2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12.又a >1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C.[答案] C3.b a ＋ab≥2成立的条件是________．[解析] 只要b a 与a b都为正，即a 、b 同号即可． [答案] a 与b 同号4．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. [证明] 因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc， 即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6.2.2.2利用基本不等式求最值1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式1．不等式－x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}[解析] 由－x 2－5x ＋6≤0得x 2＋5x －6≥0， 即(x ＋6)(x －1)≥0， ∴x ≥1或x ≤－6. [答案] D2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象可得{x |－1≤x ≤2}，故选D. [答案] D3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a，a ＝3.[答案] C4．不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为________． [解析] ∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0， ∴不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为R . [答案] R5．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________． [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0， 方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． [答案] {x |x <－a 或x >1}2.3.2一元二次不等式的应用1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |x >2} C ．{x |x <－3或x >2} D ．{x |x <－2或x >3}[解析] 不等式x －2x ＋3>0⇔(x －2)(x ＋3)>0的解集是{x |x <－3或x >2}，所以C 选项是正确的．[答案] C2．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． [答案] B3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2[解析] 由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.[答案] D4．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a <－4或a >4[解析] 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A. [答案] A5．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈R )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 [解析] 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. [答案] C3.1.1.1函数的概念1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)[解析] 由题意可知，要使函数有意义，需满足{ x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.[答案] A2．函数y ＝1－x 2＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤－1}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.[答案] D 3．函数f (x )＝(x ＋2)(1－x )x ＋2的定义域为( )A ．{x |－2≤x ≤1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(1－x )≥0，x ＋2≠0，解得－2≤x ≤1，且x ≠－2，所以函数的定义域是{x |－2<x ≤1}．[答案] C4．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． [解析] 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． [答案] [－1,0)∪(1,2]5．已知矩形的周长为1，它的面积S 是其一边长为x 的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．[解析] 由实际意义知x >0，又矩形的周长为1，所以x <12，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123.1.1.2函数概念的应用1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (m )＝m(m )2[解析] A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.[答案] D2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35[解析] f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.[答案] B3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1[解析] y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．[答案] B4．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[解析] 由f (x )的定义域是[0,2]知，{ 0≤2x ≤2，x －1≠0， 解得0≤x <1，所以g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)． [答案] B5．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． [解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5} ∴f (x )＝2x －3∈{－1,1,3,5,7}． ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． [答案] {－1,1,3,5,7}3.1.2.1函数的表示法1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[解析] 设y ＝k x ，当x ＝2时，y ＝1，所以1＝k 2，得k ＝2.故y ＝2x.[答案] C2．由下表给出函数y ＝f (x )，则f [f (1)]等于( )x 1 2 3 4 5 y45321A.1 B ．2 C ．4 D ．[解析] 由题意得f (1)＝4，所以f [f (1)]＝f (4)＝2. [答案] B3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.[答案] C4．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )的解析式为__________________． [解析] (换元法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ， 原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25，∴f (x )＝2x ＋25.[答案] f (x )＝2x ＋255．已知f (x )＝x ＋b ，f (ax ＋1)＝3x ＋2，求a ，b 的值． [解] 由f (x )＝x ＋b ，得f (ax ＋1)＝ax ＋1＋b . ∴ax ＋1＋b ＝3x ＋2，∴a ＝3，b ＋1＝2，即a ＝3，b ＝1.3.1.2.2分段函数1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，排除D 项． [答案] B5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.[答案] 23.2.1.1函数的单调性1．如图所示，函数y ＝f (x )在下列哪个区间上是增函数( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数． [答案] C2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2[解析] 选项A ，B 在(－∞，0)上为减函数，选项D 在(－2，0]上为减函数，只有选项C 满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.[答案] C3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 由一次函数的性质得2a －1<0，即a <12.故选D.[答案] D4．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．[解析] 因为f (x )在区间[－1,1]上为增函数，且f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明． [解] f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 证明如下：任取x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，由x 1>x 2>0知x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．3.2.1.2函数的最大(小)值1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2[解析] 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.[答案] C2．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 作出函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.[答案] D3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.[答案] A4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．[解析] 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40， 即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．[答案] 205．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．[解] (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上是单调递减的． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上是单调递增的，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上是单调递减的，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.3.2.2.1函数奇偶性的概念1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由－1＋a ＝0，得a ＝1.选C. [答案] C2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1][解析] A 项中的函数为奇函数；C 、D 选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B 项中的函数为偶函数．故选B.[答案] B3．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称[解析] 函数f (x )＝1x－x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称．[答案] C4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.[解析] 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.[答案] 45．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式f (x )g (x )<0的解集．[解] 由题知，y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数． 根据函数图象的对称性画出y ＝f (x )，y ＝g (x )在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f (x )>0⇔0<x <2或－2<x <0，g (x )>0⇔1<x <3或－1<x <0.f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0，可求得其解集是{x |－2<x <－1或0<x <1或2<x <3}．3.2.2.2函数奇偶性的应用1．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝－x －1C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x －1[解析] 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数． ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴f (x )＝－x －1(x <0)． [答案] B2．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2) [解析] ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π， ∴f (π)>f (3)<f (2)， 即f (－π)>f (3)>f (－2)． [答案] A3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [解析] 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.。
精选题库高一习题 数学8-8
第8模块 第8节[知能演练]一、选择题1．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y解析：由题意知P 到F (0,2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x 2＝8y . 答案：C2．设F 为抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点，点P 在抛物线上，且其到y 轴的距离与到点F 的距离之比为1∶2，则|PF |等于( )A.a4 B ．a C.a 8 D.a 2解析：设P (x 0，y 0)，则y 20＝ax 0，由抛物线定义知|PF |＝x 0＋a4，由已知得x 0x 0＋a 4＝12x 0＝a4，∴|PF |＝a 4＋a 4＝a2.答案：D3．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点的弦AB 被焦点分成长为m 、n (m ≠n )的两段，那么( ) A ．m ＋n ＝mn B ．m －n ＝mn C ．m 2＋n 2＝mn D ．m 2－n 2＝mn 解析：由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1， mn ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1 ＝x 1＋x 2＋2＝m ＋n . 答案：A4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点．若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：焦点F 坐标为(1,0)，准线方程x ＝－1，设A 、B 、C 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，A 、B 、C 在准线上的射影分别为A ′，B ′，C ′.∴FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3) ∵FA →＋FB →＋FC →＝0，∴x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3 ∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝|AA ′|＋|BB ′|＋|CC ′| ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6. 答案：B 二、填空题5．已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析：由抛物线y ＝ax 2－1的焦点坐标为(0，14a －1)为坐标原点，得a ＝14，则y ＝14x 2－1与坐标轴的交点为(0，－1)，(－2,0)，(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为12×4×1＝2.答案：26．点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22，则这样的点P 的个数为__________．解析：由抛物线定义，知点P 的轨迹为抛物线，其方程为y 2＝4x ，设点P 的坐标为(y 204，y 0)，由点到直线的距离公式，知|y204－y 0|2＝22，即y 20－4y 0±4＝0，易知y 0有三个解，故点P 个数有三个．答案：3 三、解答题7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ，所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x y 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8p y ＝－4p ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为(p2，p )和(8p ，－4p )．∴(p 2－8p )2＋(p ＋4p )2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .8．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .抛物线方程为y 2＝4cx .∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1. ∴94a 2－61－a 2＝1.∴a 2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.[高考·模拟·预测]1．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析：如右图，过点N 向准线引垂线，垂足为P ，由抛物线的定义知|NF |＝|NP |，又|NF |＝32|MN |，即|NP |＝32|MN |，所以，在Rt △NMP 中， sin ∠NMP ＝|NP ||NM |＝32，即∠NMP ＝π3，故∠NMF ＝π6，答案为A.答案：A2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：不论a 值正负，抛物线的焦点坐标都是(a 4，0)，故直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0得y ＝－a 2，故△OAF 的面积为12×|a 4|×|－a 2|＝a216＝4，故a ＝±8.答案：B3．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为__________．解析：设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x 得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)是AB 的中点，从而有a ＝4，故所求抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝__________.解析：设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －p 2，把x ＝y ＋p 2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝42，∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2，∴(2p )2－4×(－p 2)＝32，又p >0，∴p ＝2.答案：25．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)由e ＝c a ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径，得b ＝2，a ＝ 3. (2)解法一：由c ＝a 2－b 2＝1得F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设M (x ，y )，则P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，y 2＝ －4x ，此轨迹是抛物线．解法二：因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以 |MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点、l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .[备选精题]6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>x 2，y 1>0，y 2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使AF →＋λBF →＝0，|AB →|＝254.(1)求直线AB 的方程；(2)求△AOB 的外接圆的方程．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，F (1,0)． ∵AF →＋λBF →＝0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB →|＝x 1＋x 2＋2.由题知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB ：y ＝k (x －1)，而k ＝y 1－y 2x 1－x 2，x 1>x 2，y 1>0，y 2<0，∴k >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2x 1x 2＝1，|AB →|＝x 1＋x 2＋2＝2(k 2＋2)k 2＋2＝254，∴k 2＝169. 从而k ＝43，故直线AB 的方程为y ＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －4＝0y 2＝4x，求得A (4,4)，B (141)．设△AOB 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋H ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧H ＝016＋16＋4D ＋4E ＋H ＝0116＋1＋14D ＋(－E )＋H ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－294E ＝－34，H ＝0故△AOB 的外接圆的方程为x 2＋y 2－294x －34y ＝0.。
高一数学上册课时课后训练8(1.
课时作业(七)1．(2015·广东理)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝()A．{1,4}B．{－1，－4}C．{0} D．∅答案 D2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6答案 A3．集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则下列关系中正确的是()A．M P B．P MC．M＝P D．M P且P M答案 A解析P＝{x|x＝1＋(a－2)2，a∈N*}，当a＝2时，x＝1而M中无元素1，P 比M多一个元素．4．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}答案 B5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁N B)＝()A．{1,5,7} B．{3,5,7}C．{1,3,9} D．{1,2,3}答案 A6．已知方程x 2－px ＋15＝0与x 2－5x ＋q ＝0的解集分别为S 与M ，且S ∩M ＝{3}，则p ＋q 的值是( )A ．2B ．7C ．11D ．14 答案 D解析 由交集定义可知，3既是集合S 中的元素，也是集合M 中的元素．亦即是方程x 2－px ＋15＝0与x 2－5x ＋q ＝0的公共解，把3代入两方程，可知p ＝8，q ＝6，则p ＋q 的值为14.7．已知全集R ，集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)(x －2)＝0}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩(∁R B )为( )A ．{1,2，－2}B ．{1,2}C ．{－2}D ．{－1，－2} 答案 C解析 A ＝{1,2，－2}，而B 的补集是{y |y <0}，故两集合的交集是{－2}，选C.8．集合P ＝{1,4,9,16，…}，若a ∈P ，b ∈P ，则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是( )A ．除法B ．加法C ．乘法D ．减法答案 C解析 当⊕为除法时，14∉P ，∴排除A ；当⊕为加法时，1＋4＝5∉P ，∴排除B ；当⊕为乘法时，m 2·n 2＝(mn )2∈P ，故选C ；当⊕为减法时，1－4∉P ，∴排除D.9．设全集U ＝Z ，集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( )A．P∪Q B．(∁U P)∪QC．P∪(∁U Q) D．(∁U P)∪(∁U Q)答案 C10．设S，P为两个非空集合，且S P，P S，令M＝S∩P，给出下列4个集合：①S；②P；③∅；④S∪P.其中与S∪M能够相等的集合的序号是()A．①B．①②C．②③D．④答案 A11．设集合I＝{1,2,3}，A是I的子集，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的“配集”，则当A＝{1,2}时，A的配集的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 D解析A的配集有{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4个．12．已知集合A，B与集合A@B的对应关系如下表：A {1,2,3,4,5}{－1,0,1}{－4,8}B {2,4,6,8}{－2，－1,0,1}{－4，－2,0,2}A@B {1,3,6,5,8}{－2}{－2,0,2,8} 若AA@B＝________.答案{2 012,2 013}13．已知A＝{2,3}，B＝{－4，2}，且A∩M≠∅，B∩M＝∅，则2________M,3________M.答案∉∈解析∵B∩M＝∅，∴－4∉M,2∉M.又A∩M≠∅且2∉M，∴3∈M.14．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，且A∪B＝{1,3，x}，则x＝________.答案±3或0解析由A∪B＝{1,3，x}，B A，∴x2∈A.∴x2＝3或x2＝x.∴x＝±3或x＝0，x＝1 (舍)．15．已知A⊆M＝{x|x2－px＋15＝0，x∈R}，B⊆N＝{x|x2－ax－b＝0，x∈R}，又A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求p，a和b的值．解析由A∩B＝{3}，知3∈M，得p＝8.由此得M＝{3,5}，从而N＝{3,2}，由此得a＝5，b＝－6.►重点班·选做题16．已知某校高一年级有10个班，集合A＝{某校高一(1)的学生}，B＝{某校高一(1)班的男生}，D＝{某校高一年级(1)－(10)班}．(1)若A为全集，求∁A B；(2)若D为全集，能否求出∁D B？为什么？解析(1)∁A B＝{某校高一(1)班的女生}．(2)不能求出∁D B，因为D的元素是某校高一年级各班，而B的元素是学生，∴B不是D的子集．故无法求出∁D B.1．若A，B，C为三个集合，且A∪B＝B∩C，则一定有()A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅答案 A2．已知全集U＝{a,1,3，b，x2－2＝0}，集合A＝{a，b}，则∁U A＝________.答案{1,3，x2－2＝0}解析在全集U中除去A中的元素后所组成的集合即为∁U A，故∁U A＝{1,3，x2－2＝0}．3．设M＝{1,2}，N＝{2,3}，P＝{x|x是M的子集}，Q＝{x |x 是N 的子集}，则P ∩Q ＝________.答案 {∅，{2}}解析 P ＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，Q ＝{∅，{2}，{3}，{3,2}}，∴P ∩Q ＝{∅，{2}}．4．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1>0}，若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围．思路 首先根据题意判断出A 与B 的关系，再对m 分类讨论化简集合B ，根据A ，B 的关系求出m 的范围．解析 ∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .①当m >0时，由mx ＋1>0，得x >－1m ，此时B ＝{x |x >－1m }，由题意知－1m <－1，∴0<m <1.②当m ＝0时，B ＝R ，此时A ⊆B .③当m <0时，得B ＝{x |x <－1m }，由题意知－1m >2，∴－12<m <0.综上：－12<m <1.点评 在解有关集合交、并集运算时，常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题．解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件，有时也借助数轴分析处理，另外还要注意“空集”这一隐含条件．1．(2015·新课标全国Ⅰ文)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 D2．(2015·天津理)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}答案 A3．(2014·北京理)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝() A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}答案 C解析解x2－2x＝0，得x＝0或x＝2，故A＝{0,2}，所以A∩B＝{0,2}，故选C.4．(2014·辽宁)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}答案 D解析∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.5．(2014·大纲全国理改编)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩(∁R N)＝()A．(0,4] B．[0,4)C．[－1,0) D．(－1,0)答案 D解析∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，∴∁R N＝{x|x<0或x>5}．∴M∩(∁R N)＝{x|－1<x<0}．6．(2014·江西文)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝()A．(－3,0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3,3)答案 C解析由题意知，A＝{x|x2－9<0}＝{x|－3<x<3}，∵B＝{x|－1<x≤5}，∴∁R B＝{x|x≤－1或x>5}．∴A∩(∁R B)＝{x|－3<x<3}∩{x|x≤－1或x>5}＝{x|－3<x≤－1}．7．(2014·四川文)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B ＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}答案 D解析由二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图像可以得到不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集A＝[－1,2]，属于A的整数只有－1,0,1,2，所以A∩B＝{－1,0,1,2}，故选D.8．(2013·山东文)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)＝()A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅答案 A解析由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩(∁U B)＝{3}．9．(2013·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}答案 A10．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()C ．5D ．9答案 C 解析 逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．11．(2013·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]答案 D解析 解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，所以A ＝[－2,2]，所以A ∩B ＝[－2,1]．12．(2012·北京)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，－23)C ．(－23，3)D ．(3，＋∞) 答案 D解析 A ＝{x |x >－23}，B ＝{x |x >3或x <－1}，则A ∩B ＝{x |x >3}，故选D.13．(2012·福建)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2} 答案 D解析 A 项，M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，M 与N 显然无包含关系，故A 错．B 项同A 项，故B 项错．C 项，M ∩N ＝{2}，故C 错，D 对．14．(2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )C．3 D．4答案 D解析A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C的个数为24－2＝22＝4，即C＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.15．(2012·山东)已知集合U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}答案 C解析由题意知∁U A＝{0}，又B＝{2,4}，∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.16．(2011·课标全国)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P 的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个答案 B解析由题意得P＝M∩N＝{1,3}，∴P的子集为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个，故选B.17．(2010·大纲全国)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝()A．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}答案 C18．(2010·北京)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M＝() A．{1,2} B．{0,1,2}C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}答案 B19．(2010·福建)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于() A．{x|2<x≤3} B．{x|x≥1}C．{x|2≤x<3} D．{x|x>2}答案 A20．(2014·重庆理)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝∁U A∩B＝________.{1,3,5,7,9}，则()答案{7,9}解析由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A＝{4,6,7,9,10}，(∁U A)∩B ＝{7,9}．。
精选题库高一数学 课堂训练6 1
精选题库高一数学课堂训练6 1精选题库高一数学课堂训练6-1第六章第一节时间：45分钟满分：100分一、多项选择题（每个子题7分，共42分）111.若<<0，给出下列不等式：abba（1） a＋b | b |（3）A2，则正确不等式的序列号为（）aba.(1)(2)c.(3)(4)答案：d十一解析：由<<0可得a<0，b<0，a>b，所以a＋b|b|不成立，a阿巴巴和>0，>0，所以+>2ababbaba=2，所以+>2成立。
阿巴布b.(2)(3)d.(1)(4)2.已知a<0，-1ab>ab2c。
答案：D解析：由－1ab2>a，故选d.二3.已知a>b>0，且ab＝1，设c＝，p＝logca，n＝logcb，m＝logcab，则有()a＋ba。
P分析：因为a>b>0且ab=1，a>102ab=2，C=logca4114[适应问题]我们知道a>b≥ 2.对于下列不等式；①b2>3b－a②1＋>2(＋)；③ab>a+b；ABAB④ loga3>logb3，正确的答案是（）a。
② ④ C③ ④ 答：D分析：从a>b可知≥ 2，log3a>log3b>0，从对数的底部交换公式可知，loga3不包括a和C②, 当B=2，1+=1+，2（+）=1+，也就是说，1+=2（+），所以abab① ② D① ③ 2<1，所以a+BB单抗>ad.ab>AB2>a② 不正确，不包括B，因此选择d.5有三种降价方案：方案a是第一次折扣，第二次折扣；方案B是第一个B折扣销售，第二个a折扣销售，a+B销售；方案C打折两次，a≠ B.那么下面的说法是正确的：（2a）方案a和方案B降价幅度更大；（b）方案b和方案C降价幅度较大；（c）方案a和方案c降价幅度较大；（d）这三个方案的降价幅度相同。
新教材苏教版高中数学必修第一册第八章函数应用 课时分层练习题 精选最新配套习题,含解析
第八章函数应用1函数的零点 .................................................................................................................. - 1 - 2用二分法求方程的近似解......................................................................................... - 11 - 3几个函数模型的比较................................................................................................. - 16 - 4函数的实际应用......................................................................................................... - 21 -1函数的零点基础练习1.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(0)>0,f(1)>0,f(2)<0,则y=f(x)有唯一零点需满足的条件是( )A.f(3)<0B.函数f(x)在定义域内是增函数C.f(3)>0D.函数f(x)在定义域内是减函数【解析】选D.因为f(1)>0,f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上一定有零点.若要保证只有一个零点,则函数f(x)在定义域内必须是减函数.2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是( )A. B.C. D.∪【解析】选B.根据题意,函数f(x)=mx+1,当m=0时,f(x)=1,没有零点,当m≠0时,f(x)为单调函数,若其在区间(1,2)内存在零点,必有f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解可得:-1<m<-,即m的取值范围为.3.(2020·张家界高一检测)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,即f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在区间是(1,2).【补偿训练】方程ln x+x-4=0的实根所在的区间为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【解析】选B.令f(x)=ln x+x-4,在定义域上连续且单调递增,f(3)=ln 3+3-4=ln 3-1>0,f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0,故f(2)f(3)<0,故实根所在区间是(2,3).4.(2020·徐州高一检测)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c【解析】选B.令f(x)=3x+x=0,则x=-3x,令g(x)=log3x+x=0,则x=-log3x,令h(x)=x3+x=0,则x=-x3,设函数f(x),g(x),h(x)的零点分别为a,b,c,作出函数y=-3x,y=-log3x,y=-x3,y=x的图象如图,由图可知:b>c>a.5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.【解析】因为函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,所以即所以g(x)=6x2-5x-1,所以g(x)的零点为1和-.答案:1和-6.已知函数f(x)=(1)在如图所示的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.(2)若f(a)=2,求实数a的值.(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.【解析】(1)函数图象如图,由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+∞).(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.(2)由f(a)=2,得a2-a=2(a≤1)或log2(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-<-m≤0,解得0≤m<.【补偿训练】(2020·普宁高一检测)已知a>0,函数f(x)=,(x∈R).(1)证明:f(x)是奇函数.(2)如果方程f(x)=1只有一个实数解,求a的值.【解析】(1)由函数f(x)=(x∈R),可得定义域为R,且f(-x)=-=-f(x), 所以f(x)为奇函数.(2)方程f(x)=1只有一个实数解,即为x2-ax+1=0,即Δ=a2-4=0,解得a=2(-2舍去),所以a的值为2.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020·十堰高一检测)若点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则f(x)的零点为( )A.1B.C.2D.【解析】选D.根据题意,点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则log1456=k×log147+3,解得k=-2,则f(x)=-2x+3,若f(x)=0,则x=,即f(x)的零点为.2.(2020·烟台高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( )A.a<α<b<βB.a<α<β<bC.α<a<b<βD.α<a<β<b【解析】选C.因为α,β是函数f(x)的两个零点,所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.3.(2020·常州高一检测)已知函数f(x)=(a>0且a≠1),若函数图象上关于原点对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.(-x),【解析】选A.当x<0时,f(x)=-logax的图象与函数f(x)的图象关于原点对称;则x>0时,函数g(x)=loga又x≥0时,f(x)=cos-1,x的图象,画出函数f(x)=cos-1(x≥0)和函数g(x)=loga如图所示:要使f(x)=cos-1(x≥0)与g(x)=x(x>0)的图象至少有3个交点,loga需使0<a<1,且f(6)<g(6);即所以解得即0<a<,所以a的取值范围是.4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.由题意,令f(f(x))-1=0,得f(f(x))=1,令f(x)=t,由f(t)=1,得t=-1或t=,作出函数f(x)的图象,如图所示,结合函数f(x)的图象可知,f(x)=-1有1个解,f(x)=有2个解,故y=f(f(x))-1的零点个数为3.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( )A.-2B.-1C.-4D.-3【解析】选AD.f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,则<0,解得-4<a<-1,所以a的值可能是-2,-3.6.函数f(x)=|x2-4x|-m恰好有两个不同零点,则m的值可以是( )A.m>4B.4C.0<m<4D.0【解析】选AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|,作出y=|x2-4x|的函数图象如图所示:因为f(x)恰好有两个不同的零点,所以直线y=m与y=|x2-4x|的图象有两个不同的交点,。
高一数学第2章第8课时函数的最值配套练习苏教版必修
第8课 函数的最值分层训练1．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则 （ ）A ．21->kB ．21-<kC ．0>bD ．0>b 2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内（ ）A ． 至少有一实根B ． 至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根 3．已知f(x)=8+2x －x 2,如果g(x)=f( 2－x 2 ),那么g(x)（ ）A ．在区间(－1,0)上是减函数B ．在区间(0,1)上是减函数C ．在区间(－2,0)上是增函数D ．在区间(0,2)上是增函数考试热点4．函数22[0,2]()2[3,0)x x x f x x x ⎧-∈=⎨∈-⎩的最小值是． 5．已知x ∈[0,1],则函数y=22+x －x -1 的最大值为_____.最小值为_____.6．函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值为 .7．．已知函数2122y x x =- 求: (1) 当03x <≤时， 函数的最值(2) 当35x ≤<时， 函数的最值．8．已知函数22(),[1,)x x a f x x x++=∈+∞． （1）当0.5a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．拓展延伸9．已知31≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-． （1）求()g a 的函数表达式；（2）判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 .10．在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某每月最多生产100台报警系统装置。
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第8章 第6节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·陕西]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A. y 2＝－8x B. y 2＝8x C. y 2＝－4x D. y 2＝4x答案：B解析：由抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4. 故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选B.2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2 答案：C解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知P 到准线距离为4， 故p2＋2＝4，∴p ＝4， ∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝－36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案：D解析：分两类a >0，a <0可得 y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 4. [2012·湖北武汉]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，且A F →·B F →＝0，则直线AB 的斜率k 等于( )A. 2B. 22 C. 3D.33答案：B解析：焦点F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB ：y ＝k (x ＋1)，代入y 2＝4x 中，得k 2(x 2＋2x ＋1)＝4x ， k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4－2k 2k2，x 1·x 2＝1.又A F →·B F →＝(1－x 1)(1－x 2)＋y 1y 2 ＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋2x 1·2x 2 ＝1－4－2k 2k 2＋1＋4×1＝0，∴k ＝22或k ＝－22(舍去)， 故选B.5. 已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 32＋1答案：B解析：设抛物线焦点为F ，圆的圆心为C ，点P 到抛物线准线的距离为d 1，即点P 到抛物线焦点的距离为d 1，要使d 1＋d 2的值最小，所以有d 1＋d 2＝|PF |＋|PQ |≥|PF |＋|PC |－1≥|CF |－1＝5－1＝4，∴d 1＋d 2的最小值是4.故选B.6．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：因为M (－3,0)，N (3,0)，所以M N →＝(6,0)，|M N →|＝6，M P →＝(x ＋3，y )，N P →＝(x －3，y )． 由|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，从而可知点M 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到点M 的距离的最小值就是原点到点M (－3,0)的距离为3.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·北京朝阳]已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝__________.答案：3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4， 则M 的横坐标为3.8. 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是__________．答案：2解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，动点P 到l 2的距离等于动点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，问题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ，即d ＝|4－0＋6|5＝2.9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案：y 2＝4x解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB 中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程． 解：设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，直线y ＝2x ＋1与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0， 则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14.由|AB |＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15，解得a ＝12或a ＝－4，均满足Δ＝(4－a )2－16＞0. 所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .11. 如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上．过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 解：(1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4， ∴OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． ∵OA →＋OB →＝(－4，－12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .(2)据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△APB 的面积最大． 设点P (x 0，y 0)，由y ′＝－x ， 故由－x 0＝2得x 0＝－2，则y 0＝－12x 20＝－2，故P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0. 故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410， 故△ABP 的面积的最大值为 12·|AB |·d ＝12×410×455＝8 2. 12. [2011·浙江]已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M (0,4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，x 20)，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由题意得x 0≠0， x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 20＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋x 20.① 则|kx 0＋4－x 20|1＋k 2＝1，即(x 20－1)k 2＋2x 0(4－x 20)k ＋(x 20－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝2x 0(x 20－4)x 20－1，k 1k 2＝(x 20－4)2－1x 20－1.将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0，k MP ＝x 20－4x 0.由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝(2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0)·(x 20－4x 0)＝－1，解得x 20＝235， 即点P 的坐标为(±235，235)，所以直线l 的方程为y ＝±3115115x ＋4.。